橢圓幾何性質數學集體備課教案

1、第二章橢圓的幾何性質命制：文亞妮校對：高二數學組審核：嚴春香備課時間：上課時間：§2.1.2橢圓的幾何性質一、教學目標：1 .知識與技能：掌握橢圓的簡單的幾何性質，學會由已知橢圓的標準方程求橢圓的幾何性質的一般方法與步驟。2 .過程與方法：通過實際活動培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)、觀察、歸納的能力；培養(yǎng)分析、抽象、概括的能力，加強數形結合等數學能力的培養(yǎng)。3 .情感、態(tài)度價值觀：通過有關橢圓幾何性質的實際應用的介紹，激發(fā)學生研究橢圓的幾何性質的積極性。教、教學重難點：（1）教學重點：橢圓的幾何性質（范圍、對稱性、頂點、離心率）（2）教學難點：學生的發(fā)現(xiàn)、觀察、歸納能力的培養(yǎng)。三：課時計劃：1課時四、

2、教學過程：學習目標：1、掌握橢圓的幾何性質。2、靈活應用橢圓的幾何性質。（一）課堂導入：為什么國家大劇院最終會選擇了橢球形設計呢？其根本原因是橢球形非常美觀，這源于橢圓的美！那么橢圓到底美在何處？它又具有哪些特22性？讓我們一起來研究一下一一橢圓的幾何性質，以方程、41（ab0）為研究對象。a2b2（板書）12.1.2橢圓的幾何性質（二）講授新課探究問題，觀察發(fā)現(xiàn)問題1:教師：你能找到橢圓紙板的中心嗎？學生1:（思考并回答）用手中的紙板折紙一一把橢圓紙板折疊，使兩部分完全重合，兩條折痕的交點,即為橢圓紙板的中心，兩條折痕為對稱軸。得出結論：橢圓具有對稱性。學生活動1:探究一：橢圓的對稱性兩條折

3、痕為對稱軸橢圓是軸對稱圖形，它關于x軸和y軸對稱；實物演示：橢圓繞中心旋轉180后與原橢圓重合一一橢圓也是中心對稱圖形，這時坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。實物演示部分可以由學生同桌兩兩一組共同完成，首先讓兩橢圓重合，旋轉180后觀察，得出結論問題2:關于x軸、y軸、原點對稱的點的坐標之間又有什么樣關系呢？學生2:設P（x,y）,則P點關于x軸、y軸和坐標原點的對稱點分別是（x,-y）、（-x,y）、（-x,-y）若曲線關于x軸對稱，則P點關于x軸對稱點也在曲線上，即（x,-y）滿足方程。同理可以推出另外兩種情況。問題3:那么下面同學們一起歸納出方程要

4、滿足什么條件曲線才具有這些對稱性。學生3:結論：以-x代x,方程不變，則曲線關于y軸對稱；以-y代y,方程不變，則曲線關于x軸對稱；同時以-x代x、以-y代y,方程不變，則曲線關于原點對稱。老師：非常正確。+二1問題4:那么橢圓1是否也具有這種對稱性，你能根據方程得到結論嗎？此時學生能快速判斷，得出結論。同時讓學生明白，圖形對稱性的本質是構成圖形的點的對稱性，從方程來判斷也就是抓住了點的對稱性形成的結論。（板書）橢圓的對稱性：橢圓關于x軸，y軸和原點對稱。問題:5:教師：橢圓與它的對稱軸有交點嗎？若有，那么橢圓與它的對稱軸有幾個交點？你能求出交點的坐標嗎？學生2:橢圓與對稱軸有交點，有四個交點

5、。教師：很好，我們把橢圓與它的對稱軸的這四個交點分別記作A,A2,Bl,B2請同學們將這四個點標在自己的橢圓紙板上，并抽象成數學圖形將橢圓放在平面直角坐標系內研究，求出Ai,A2,Bi,B2的坐標。學生活動2:探究二：橢圓的頂點學生取點、畫圖，自己動手親自體驗將橢圓抽象成數學圖形的過程，并求出A,A2,B1,B2的坐標。22教師：其實，我們把橢圓告4i（ab0）與坐標軸的交點A（a,O）,A2（a,0）,Bi（0,b）,B2（0,b）就叫做ab橢圓的頂點其中線段AAB&分別叫做橢圓的長軸和短軸。顯然長軸長|AA|=2a,短軸長舊區(qū)|=2b,a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長，此時長

6、軸在x軸上。(板書)橢圓的頂點：A1(a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,b)。探究3：橢圓的范圍教師：如果圖中虛線所代表的就是你所要制作的橢圓紙板所在矩形紙的四個邊緣，那么在平面直角坐標系中，他們所在直線的直線方程是什么？結論：橢圓位于直線xa,yb所圍成的矩形內。(板書)橢圓的范圍：-a<x<a,-b<y<b學生活動4:問題7：請同學們舉起手中的橢圓，大家觀察它們的形狀有何不同？有的同學手中的橢圓形紙板扁長，有的同學手中的橢圓形紙板稍圓，有的同學手中的橢圓更接近于圓形。在同學們參與到課堂活動中的時候，在自己舉起自己手的橢圓的時候希望得到大家的關注想與

7、大家交流，同時，在其他同學們舉起手中的橢圓的時候，他們也會更加去關注其他同學手中的橢圓的形狀，進而與自己手中的橢圓進行比較。在比較的過程中就會發(fā)現(xiàn)橢圓形狀的變化，引起思考。問題8：圓的形狀都是相同的，而橢圓卻有些比較“扁”，有些比較“圓”，用什么樣的量來刻畫橢圓“扁”的程度呢？(帶著疑問進入探究四。)學生活動5：探究四：離心率問題閱讀課本39頁內容，自習觀察2.1-10圖，當a不變時，c改變時，橢圓的扁與平與什么有關?學生在老師的啟發(fā)下而提出離心率這一概念，進而得出可以用"來表示離心率。1）概念：橢圓C焦距與長軸長之比。2）定義式：,一】老師：那么離心率這一概念的引入到底是用來刻劃橢

8、圓的哪一個幾何性質呢？再一次演示幾何畫板。學生發(fā)現(xiàn)厘不變時，c變大，即離心率變大時，橢圓越扁；c變小即離心率變小時，橢圓越圓。學生10:離心率是用來刻劃橢圓的扁平程度的一個量。離心率越大，橢圓越扁，離心率越小，橢圓越圓。1）范圍：2）考察橢圓形狀與e的關系：gTOqTQ,橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時也可認為圓為橢圓在時的特例。凡橢圓變扁，直至成為極限位置線段其電,此時也可認為圓為橢圓在時的特例。老師：進一步拓展，除了用!可以來刻劃橢圓的扁平程度，還可以用什么來刻劃呢？學生指出a也可以，老師再問，那b是否也可以呢？它們分別是怎樣來刻劃的呢？留給大家課后思考。3 .反思構建，性質應用例1、求

9、橢圓9x2+25y2=225的長軸和短軸的長，離心率、交點和頂點的坐標。例2、下列各組橢圓中，哪一個更接近于圓?(1)4x29y236W2520229x24y236Wy12164 .課堂小結，競爭合作請你談談通過這節(jié)課的學習，你學習到了什么？并且請各組成員互相評價。6 .當堂檢測：課本41頁：2,3,4第二章直線與橢圓的綜合(1)命制：文亞妮校對：高二數學組審核：張雪梅§2.2.2直線與橢圓的綜合(1)教學目標：(1)知識與技能：類比點與圓、直線與圓的位置關系，理解點與橢圓、直線與橢圓的位置關系，并會判斷其位置關系。(2)過程與方法：類比學習點與橢圓、直線與橢圓的位置關系。(3)情感

10、態(tài)度與價值觀：滲透數形結合思想。教、教學重難點：(1)教學重點：點與橢圓、直線與橢圓的位置關系(2)教學難點：當直線與橢圓聯(lián)立時，準確運算的能力。三：課時計劃：1課時四、教學過程：學習目標：判斷點與橢圓、直線與橢圓的位置關系知識點一點與橢圓的位置關系x22思考1判斷點P(1,2)與橢圓了+y2=1的位置關系.答案當x=1時，得y2=3,故y=±*,而2>23,故點在橢圓外.思考2類比點與圓的位置關系的判定，你能給出點P(X0,y0)與橢圓，+匕=1(a>b>0)的位置關系的ab判定嗎？答案當p在橢圓外時，02+-0>1；當P在橢圓上時，b°=1;X2

11、2當p在橢圓內時，b0<1.22梳理設P(x。，y。)，橢圓1+1(a>b>0),則點P與橢圓的位置關系如下表所示:ab滿足條件位置關系知識點二直線與橢圓的位置關系思考1直線與橢圓有幾種位置關系?P在橢圓外22X0 V。 a2+b2>1P在橢圓上22x。y。02+b2=1P在橢圓內22xo y。T2 + p<1 a b答案 有三種位置關系，分別有相交、相切、相離.22思考2如何判斷y=kx + m與橢圓a2+b2= 1(a>b>0)的位置關系?y= kx + m,答案聯(lián)立x2 y2_a-b2一，消去y得關于x的次方程.位置關系解的個數的取值相交兩解A&

12、gt;0相切一解A = 0相離無解A<0兒類型一 點、直線與橢圓位置關系的判斷命題角度1點與橢圓位置關系判斷已知點P(k, 1),橢圓著+?=1,點在橢圓外，則實數k的取值范圍為 9 4解析(一 00+ 0°)據題知k + 1>1,9 4解得,33.33k<2或k>2.引中探究若將本例中P點坐標改為“P(1,k)”呢?，+°°)答案(8,1k2.32解析依就9+1，解行k>§,即k<¥或k".33反思與感悟處理點與橢圓位置關系問題時，緊扣判定條件，然后轉化為解不等式等問題，注意求解過程與結果的準確性

13、.22跟蹤訓練1已知點(3,2)在橢圓亨+看=1(a>b>0)上，則()A.點(3,2)不在橢圓上B.點(3,2)不在橢圓上C.點(一3,2)在橢圓上D.以上都不正確答案C94解析由已知得孑+=1,只有選項C符合該條件.命題角度2直線與橢圓位置關系判斷例2(1)直線y=kxk+1與橢圓=1的位置關系是()23A.相交B.相切C.相離D.不確定答案A解析直線y=kxk+1=k(x1)+1過定點(1,1),且該點在橢圓內部，因此必與橢圓相交.2x(2)在平面直角坐標系xOy中，經過點(0,也)且斜率為k的直線l與橢圓萬+y=1有兩個不同的父點P和Q求k的取值范圍._x2-1解由已知條件

14、知直線l的方程為y=kx+42,代入橢圓方程得萬十(kx+，2)2=1.整理得+k2x2+2/kx+1=0.直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于A=8k24；+k2=4k22>0,解得k<好或k>22.即k的取值范圍為8,乎U1，+.反思與感悟直線與橢圓的位置關系判別方法(代數法)聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元得到一元二次方程：(1) A>0?直線與橢圓相交？有兩個公共點.(2) A=0?直線與橢圓相切？有且只有一個公共點.(3) A<0?直線與橢圓相離？無公共點.22跟蹤訓練2(1)已知直線l過點(3,1),且橢圓C:3y6=1,則直線l與橢圓C的公共點的個數為

15、（）A.1B.1或2C.2D.02 2（2）若直線y=kx+2與橢圓1+=1相切，則斜率k的值是（）3 2A.當B.普C.土坐D/答案(1)C(2)C解析（1）因為直線過定點（3,1）且<1,2536所以點（3,1）在橢圓的內部，故直線l與橢圓有2個公共點.x2y222（2）把丫=1+2代入§+彳=1,得（2+3/"2+12卜乂+6=0,4=0,*2=3,*=±當當堂訓練：22.，一xy一.、1 .點A（a,1）在橢圓4+彳=1的內部，則a的取值氾圍是（）A.2<a<<2B.a<42或a>y2C.2<a<2D.1&l

16、t;a<122 .若直線y=x+46與橢圓x2+m=1（m>0且m1）只有一個公共點，則該橢圓的長軸長為（）A.1B.5C.2D.253 .直線y=kx+1與焦點在x軸上的橢圓1總有公共點，則m的取值范圍是5m第二章直線與橢圓的綜合2)命制：文亞妮校對：高二數學組審核：張雪梅.備課時間上課時間§2.2.2直線與橢圓的綜合(2)教學目標：(1)知識與技能：會求直線與橢圓相交弦的弦長，會解決橢圓中的最值問題(2)過程與方法：聯(lián)立方程組的思想，利用韋達定理求弦長；掌握點差法。(3)情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)嚴謹思維能力，認真計算的能力。教、教學重難點：(1)教學重點：求直線與橢圓相

17、交弦的弦長。(2)教學難點：點差法。三：課時計劃：1課時四、教學過程：學習目標：1、會求直線與橢圓相交弦的弦長。2、橢圓中的最值問題和范圍問題。(一)直線與橢圓的相交弦思考若直線與橢圓相交，如何求相交弦弦長？答案有兩種方法：一種方法是聯(lián)立直線方程與橢圓方程求出交點坐標，利用兩點間距離公式可求得,另一種方法是利用弦長公式可求得.梳理 弦長公式：(1)| AB=7X1X2+y1 一 y2=、1 + k1 2 | X1X2|=1+k2y+y24yy2(直線與橢圓的交點NjyMB(x2,y2)k為直線的斜率).其中，X1+X2,X1X2或y1+y2,y1y2的值，可通過由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y

18、或x后得到關于x或y的一元二次方程得到.(二)弦長及中點問題22例1已知橢圓轟+y=1和點P(4,2),直線l經過點P且與橢圓交于A、B兩點.369,一一，1，一，一、(1)當直線l的斜率為2時，求線段AB的長度;(2)當P點恰好為線段AB的中點時，求l的方程.1解(1)由已知可得直線l的萬程為y2=2(x4),1消去 y 可得 x2 18=0,若設 A(X1, y1)，B(X2, y?).則 x + X2=0, X1X21 y=2X，即y=7.由222 xy36+8=1，=18.于是|AB|=xiX22+yi-y22,2.12=、/Xi-X2+4Xi-X2=25yX1+X22-4X1X2若X

19、642=3亞所以線段AB的長度為310.(2)方法一當直線l的斜率不存在時，不合題意所以直線l的斜率存在.設l的斜率為k,則其方程為y2=k(X4).y2=kx4,聯(lián)立工y36+§=1?消去y得(1+4k2)X2-(32k216k)X+(64k264k20)=0.若設 A(X1, y。，-32k216kB(X2,y,則X1+X2=+4k2,由于AB的中點恰好為P(4,2),所以X1；X261118k=4,解得k=一：,且滿足A>0.21+4k21這時直線的萬程為y2=2(X4),即X+2y8=0.22X1y36+9j方法二設A(X1,y。，B(X2,y»,則有22JJ

20、3691，x2X2y2y2兩式相減得36+=0,士5”口,y2-y19X2+X1整理得kAB=-36y2+y1,由于P(4,2)是AB的中點，X1+X2=8,y1+y2=4,9X8于7H kAB= 367=12'一一一，、1于是直線AB的萬程為y2=2(x4),即x+2y8=0.反思與感悟處理直線與橢圓相交的關系問題的通法是通過解直線與橢圓構成的方程.利用根與系數的關系或中點坐標公式解決，涉及弦的中點，還可使用點差法：設出弦的兩端點坐標，代入橢圓方程，兩式相減即得弦的中點與斜率的關系.跟蹤訓練1已知橢圓ax2+by2=1(a>0,b>0且awb)與直線x+y1=0相交于A,

21、B兩點，C是AB的中點，若|AB=2，OC的斜率為平，求橢圓的方程.解方法一設A(xi,y。，B(x2,y2),代入橢圓方程并作差，得a(xi+x2)(xi-x2)+b(yi+y2)(yi-y2)=0.A,B為直線x+y-仁。上的點，=-L由已知得x：x?=koK2'代入式可得b=.112a.;直線x+y1=0的斜率k=1.又|AB=11+k21x2-x1|=加膝2刈=272,.|x2x"=2.聯(lián)立ax2+by2=1與x+y1=0,可得(a+b)x22bx+b1=0.一.一一、一o2bb-1且由已知得xsx2是萬程(a+b)x2bx+b1=0的兩根，x1+x2=a,x1x2=

22、ob,.4=(x2x)=(x+x2)4xx22b2b-1=a+b4a+b1將b=y2a代入式，解得a=1,3所求橢圓的方程是等=1.ax2+by2=1方法二由，cx+y1=0得(a+b)x22bx+b1=0.設 Ax1, y1), B(x2, y2),則2bb-1x1+x2=x1x2=a+b'a+b'且直線AB的斜率k=1,|AB=yk2+1xI一x22=k2+1xi+X224x1x2廠,4b4a+bb17a+ba + b aba+ b=1.a+ b.IAB|=2蛆，,V4b2-4a±b設C(x,y),則x=-2-=or，y=1-x=a+b.oc的斜率為乎，J=b=g

23、,將其代入式得，a=,b=g.Xb233所求橢圓的方程為2+m=1.33類型三橢圓中的最值(或范圍)問題例4已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m(1)當直線和橢圓有公共點時，求實數m的取值范圍;求被橢圓截得的最長弦所在的直線方程.4x2+y2= 1,y=x+m,得 5x2+2mx+ m2- 1=0,因為直線與橢圓有公共點，所以A=4m2-20(m2-1)>0,解得一乎&mK專.(2)設直線與橢圓交于A(xi,y。,B(x2,y2)兩點,由(1)知5x2+2m奸m2-1=0,xd2=1(m2-1)所以|AB|=qx1一x2+y1一y22x1一xY2x+x2-4x1x-=l2空，

24、m2T=5-a8m.所以當m=0時，|AB|最大，此時直線方程為y=x.引中探究在例4中，設直線與橢圓相交于A(x1,y1),B(x2,y»兩點，求AOB0積的最大值及AOBH積最大時的直線方程.解可求得。到AB的距離d=,又 |AB =101 8m2,c1S>AAOB=21AB.d2im10-8m2-1f；22二55 m2 mk 2 -455cC當且僅當4一吊=南時，上式取”此時m=土呼E真當.;所求直線方程為xy±4°=0.反思與感悟解析幾何中的綜合性問題很多，而且可與很多知識聯(lián)系在一起出題，例如不等式、三角函數、平面向量以及函數的最值問題等.解決這類問

25、題需要正確地應用轉化思想、函數與方程思想和數形結合思想.其中應用比較多的是利用方程根與系數的關系構造等式或函數關系式，這其中要注意利用根的判別式來確定參數的限制條件.跟蹤訓練4已知橢圓C：x2+2y2=4.(1)求橢圓C的離心率；(2)設。為原點，若點A在直線y=2上，點B在橢圓C上，且OAL0旦求|AB的最小值.介上工22八仙，x2y2解(1)橢圓C：x+2y=4化為標準方程為I+2=1，a=2,b=J2,c=J2,、c2，橢圓c的離心率e=a=2.(2)設 A(t, 2) , B(xo,yo) , x°w0.OAL OBOA恒o,tx o+ 2yo=o, . t =2yo xo'又=x2+2y；=4,o<x2<4.IAB2=(xo-t)2+(yo-2)2=xr+；82+4>4+4=8,2xox2o當且僅當Ax2,即x2=4時等號成立,|AB的最小值為2班.(三)當堂檢測：221.過點P( 1,1)的直線交橢圓=1于A, B兩點，若線段AB的中點恰為點P,則AB所在的直線方程為答案 x 2y+3=05.直線l : y = kx+1與橢圓1+y2=1交于M, N兩點，且|MN = 4f,求直線