構(gòu)造“三垂直”模型,求解“構(gòu)成已知角度的直線”解析式

1、構(gòu)造“三垂直”模型，求解“構(gòu)成已知角度的直線”解析式【例1】如圖1,在坐標(biāo)系中， A (0, 4) , B (-2, 0) , OCX AB于點(diǎn) C,求 OC【解析】(方法一)直線 AB的斜率為 2,故直線 OC的斜率為-1/2 ,所以O(shè)C解析 式為：y=-x/2 ;(方法二) 過點(diǎn)C作CD± y軸于點(diǎn) D,過點(diǎn)B作BE，CD ,交DC延長線于點(diǎn) E (如則4 BCEA DCOA ACO ABO bco ,BC : CO=BE : CD=BO : AO=1 : 2,設(shè) C ( m, 2m+4 )，則：2(m+2) ： (0-m)=1 : 2,解得：m= -8/5 ,C ( -8/5

2、, 4/5) , OC 解析式：y=(4/5)/(-8/5)x=-x/2。方法二構(gòu)建了土垂直”模型，利用比例關(guān)系解得點(diǎn)C坐標(biāo)，再用 兩點(diǎn)式”求解直線解析式，在此題中顯得繁雜，但是揭開了解決此類問題的通用方法”?！纠?】如圖2,在坐標(biāo)系中， A (-1, 0) , B (0, -3),直線 BC / ABC=45。，求 BC的函數(shù)表達(dá)式。泄產(chǎn)甲叼寺起手H作罡【思路】坐標(biāo)?！窘馕觥亢蘄J用/ABC=45o構(gòu)建等腰直角三角形，再構(gòu)建三垂直模型過點(diǎn) A作AD，BC于點(diǎn)D ;過點(diǎn)D作DE，x軸于點(diǎn) E,過點(diǎn)”求出直角頂點(diǎn)B 作 BF ± ED,交ED延長線于點(diǎn) F (如圖2-1 )。圖2；則4

3、 ABD為等腰直角三角形， AED BDF , DE=BF , AE=DF ;設(shè) D (x, y),則：0-y=x ,x+1=y+3 ,解此方程組，得：x=1 , y=-1 , 1- D (1 , -1),直線BC解析式：y=(-1+3)/(1-0)x-3,化簡得：y=2x-3.AC ± AB與x軸【練習(xí)1】如圖L1 ,在坐標(biāo)系中，A (-1 , 2) , B (5, -1),直線交于點(diǎn)C,求直線 AC的解析式。肉I11二弓仍國庫*手工諄度【提示】用 斜率法”?！揪毩?xí)2】如圖L2 , A ( 0, 1) , B ( 3, 0),直線 BC交y軸于點(diǎn) C, / ABC=45 o , 求

4、BC的函數(shù)表達(dá)式?！纠?】如圖 3, A (-2, -4) , B (4, 0)，直線 BC交y軸于點(diǎn) C, / ABC=60o , 求BC的函數(shù)表達(dá)式。: 揖的謬立亍工片呈【思路】利用特殊角構(gòu)建直角三角形，再利用三邊關(guān)系構(gòu)建土垂直模型”。【解析】過點(diǎn) A作AD，BC于點(diǎn)D ,過點(diǎn) D作DE / x軸，過點(diǎn) A作AE，DE于點(diǎn) E,過點(diǎn) B作BF, ED,交ED延長線于點(diǎn) F (如圖3-1 )。 .AD : DB=/3 : 1,易知 ADE s' BDF ,ED : FB=AE : DF"3 : 1 ;設(shè) D (x, y),則：(x+2 ) : y=，3 : 1,(y+4)

5、: (4-x)=，3 : 1 ,解得：x=5/2-，3, y=3,3/2-1 ;D ( 5/2- V3, 3V3/2-1 ), BC 解析式：y=(3，3/2-1)/( 5/2- v/3-4)(x-4),化簡得：【練習(xí) 3】如圖L3, A ( 0, 1) , B (3, 0),直線 BC交y軸于點(diǎn) C, / ABC=30o ,【提示】如圖 L3-1 ,構(gòu)建 三垂直模型”，求出點(diǎn) D坐標(biāo)?！纠?】如圖 4, A (0, -4) , B (4, 0),直線 y=-3x和直線 AB交于點(diǎn) C,點(diǎn)P 是y軸上一點(diǎn)，且/ OCP=3 / OAB , ( 1)求點(diǎn) C的坐標(biāo)；(2)求直線 BP的函數(shù)表 達(dá)

6、式。土垂直【思路】易知/ OAB=45o ,所以/ OCP=135o , / OCP的鄰補(bǔ)角為 45。構(gòu)建 模型”求解點(diǎn)P坐標(biāo)?！窘馕觥?1)略。C (1 , -3);CG±y(2)過點(diǎn)P作PEXCP,交OC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EFy軸于點(diǎn) F,過點(diǎn)C， 軸于點(diǎn)G (如圖4-1 )。 . / OAB=45o , ./ OCP=135o , / PCE= / PEC=45o；易知 PEFA PCG,G (0, -3)設(shè) P (0, p) , E (e, -3e),則 p+3e=1 ,-3-p=e ,解得：p= -5 ,BP 解析式：y=5x/4-5 ?！緜渥ⅰ恳部梢匀鐖D4-2那樣構(gòu)造 土垂

7、直”，求得 P坐標(biāo)。【例5】(綜合運(yùn)用，2018天津中考第 25題)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O (0, 0),點(diǎn)A (1 , 0)。已知拋物線y=x2+mx-2m(m 是常數(shù))，頂點(diǎn)為 P。(1)當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，求頂點(diǎn) P的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P在x軸下方，當(dāng) /AOP=45o時(shí)，求拋物線的解析式；(3)無論m取何值，該拋物線都經(jīng)過定點(diǎn)H。當(dāng)/AHP=45o時(shí)，求拋物線的解析式?！窘馕觥?1)略。解析式：y=x2+x-2 , P (-1/2, 9/4);(2) P (-m/2 , - ( m2+8m )/4), P在x軸下方，- ( m2+8m ) /4 < 0,. . m > 0

8、或 m v -8 ; / AOP=45o ,OP 解析式：y= -x ,- ( m2+8m ) /4=m/2 ,解得m= -10 ,或m=0 (舍去)。，拋物線解析式：y=x2-10x+20 ;(3)易知 H (2, 4)。當(dāng)點(diǎn) P在AH下方時(shí)，過點(diǎn) A作AB XHP于點(diǎn)B,過點(diǎn) B作BC，x軸于點(diǎn) C,過 點(diǎn)H作HD ± CB,交 CB延長線于點(diǎn) D (如圖5-1 )。初朝除娉工俏|圖5-21物不偌需工田則4 ABH 為等腰直角三角形，ABCA BHD ,. HD=BC , AC=BD ;設(shè) B (x, y),貝U D (x, 4) , C (x, 0),故：x-1=4-y ,x-

9、2=y ,解得：x=7/2 , y=3/2，.二 B (7/2, 3/2), 直線BH解析式為：y=(4-3/2)/(2-7/2)(x-2)+4,化簡得：y= -5x/3+22/3 , P在直線 HB上，- (m2+8m) /4=(-m/2) (-5/3)+22/3 , 化簡彳導(dǎo):3m2+34m+88=0 ,解得： m=-22/3(m=-4 舍去)；.此時(shí)拋物線解析式為：y=x2 -22x/3+44/3 ;當(dāng)點(diǎn)P在AH上方時(shí)，由知：斜率為 3/5, 故解析式為：y=(3/5 ) (x-2)+4 ,化簡得： y= 3x/5+14/5 , P在直線 HB上，- (m2+8m) /4=(-m/2) (3/5)+14/5 ,化簡彳導(dǎo):3m2+34m+88=0 , 解得： m= -14/5(m=-4 舍去)； .此時(shí)拋物線解析式為：y=x2-14x/5+28/5 ;綜上所述，當(dāng)/AHP=45o時(shí)，拋物線的解析式為：y=x2 -22x/3+44/3 ;或 y=x2-14x/5+28/5 ?！揪毩?xí)4】如圖L4, A