2011南通市二模數(shù)學(xué)試題及答案

1、江蘇省南通市2011屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分1 曲線在點(diǎn)（1,1）處的切線方程是 2 若（R，i為虛數(shù)單位），則ab= 3命題“若實(shí)數(shù)a滿足，則”的否命題是 命題（填“真”、“假”之一）4 把一個(gè)體積為27cm3的正方體木塊表面涂上紅漆，然后鋸成體積為1 cm3的27個(gè)小正方體，現(xiàn)從中任取一塊，則這一塊至少有一面涂有紅漆的概率為 5 某教師出了一份三道題的測(cè)試卷，每道題1分，全班得3分、2分、1分和0分的學(xué)生所占比例分別為30、50、10和10，則全班學(xué)生的平均分為 分6設(shè)和都是元素為向量的集合，則MN= 7 在如圖所示的算法流程圖中，若輸

2、入m = 4，n = 3，則輸出的a= 8設(shè)等差數(shù)列的公差為正數(shù)，若則 9設(shè)是空間兩個(gè)不同的平面，m，n是平面及外的兩條不同直線從“mn；n；m”中選取三個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題： （用代號(hào)表示）10定義在R上的函數(shù)滿足：，當(dāng)時(shí)，下列四個(gè)不等關(guān)系：；其中正確的個(gè)數(shù)是 11在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A、B分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，ABC 的頂點(diǎn)C在雙曲線的右支上，則的值是 12在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)、，定義： 已知點(diǎn)，點(diǎn)M為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則使取最小值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)是 13若實(shí)數(shù)x，y，z，t滿足，則的最小值為 14在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A、B、C是圓

3、x2+y2=1上相異三點(diǎn)，若存在正實(shí)數(shù)，使得=，則的取值范圍是 【填空題答案】1. xy2=0 2. 3. 真 4. 5. 2 6. 7. 12 8. 105 9. （或） 10. 1 11. 12.  13.   14. 二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟15（本小題滿分14分）如圖，平面平面，點(diǎn)E、F、O分別為線段PA、PB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段CO的PABCOEFG(第15題)中點(diǎn)，求證：（1）平面；（2）平面【證明】由題意可知，為等腰直角三角形，為等邊三角形 2分（1）因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平?/p>

4、，所以面 5分PABCOEFGQ因?yàn)槠矫?，所以，在等腰三角形?nèi)，為所在邊的中點(diǎn)，所以，又，所以平面；8分（2）連AF交BE于Q，連QO因?yàn)镋、F、O分別為邊PA、PB、PC的中點(diǎn)，所以，且Q是PAB的重心，10分于是，所以FG/QO. 12分因?yàn)槠矫鍱BO，平面EBO，所以平面 14分【注】第（2）小題亦可通過(guò)取PE中點(diǎn)H，利用平面FGH/平面EBO證得.16（本小題滿分14分）已知函數(shù)（1）設(shè)，且，求的值；（2）在ABC中，AB=1，且ABC的面積為，求sinA+sinB的值【解】（1）=3分 由，得， 5分于是，因?yàn)?，所?7分（2）因?yàn)?，由?）知 9分因?yàn)锳BC的面積為，所以，于是.

5、在ABC中，設(shè)內(nèi)角A、B的對(duì)邊分別是a，b.由余弦定理得，所以  由可得或 于是 12分由正弦定理得，所以 14分17（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓E：的左、右頂點(diǎn)分別為、，上、OA1A2B1B2xy(第17題)下頂點(diǎn)分別為、設(shè)直線的傾斜角的正弦值為，圓與以線段為直徑的圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)（1）求橢圓E的離心率；（2）判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）若圓的面積為，求圓的方程【解】（1）設(shè)橢圓E的焦距為2c（c>0），因?yàn)橹本€的傾斜角的正弦值為，所以，于是，即，所以橢圓E的離心率 4分（2）由可設(shè)，則，于是的方程為：，故的中點(diǎn)到的距離， 6分又以為直徑

6、的圓的半徑，即有，所以直線與圓相切 8分（3）由圓的面積為知圓半徑為1，從而， 10分設(shè)的中點(diǎn)關(guān)于直線：的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則 12分解得所以，圓的方程為14分18（本小題滿分16分）如圖，實(shí)線部分的月牙形公園是由圓P上的一段優(yōu)弧和圓Q上的一段劣弧圍成，圓P和圓Q的半徑都是2km，點(diǎn)P在圓Q上，現(xiàn)要在公園內(nèi)建一塊頂點(diǎn)都在圓P上的多邊形活動(dòng)場(chǎng)地（1）如圖甲，要建的活動(dòng)場(chǎng)地為RST，求場(chǎng)地的最大面積；（2）如圖乙，要建的活動(dòng)場(chǎng)地為等腰梯形ABCD，求場(chǎng)地的最大面積（第17題甲）DACBQPNMRSMNPQT（第17題乙）【解】（1）如右圖，過(guò)S作SHRT于H，SRST= 2分由題意，RST在月牙形公園里，

7、RT與圓Q只能相切或相離； 4分RT左邊的部分是一個(gè)大小不超過(guò)半圓的弓形，則有RT4，SH2，當(dāng)且僅當(dāng)RT切圓Q于P時(shí)（如下左圖），上面兩個(gè)不等式中等號(hào)同時(shí)成立 此時(shí)，場(chǎng)地面積的最大值為SRST=4（km2） 6分（2）同(1)的分析，要使得場(chǎng)地面積最大，AD左邊的部分是一個(gè)大小不超過(guò)半圓的弓形，AD必須切圓Q于P，再設(shè)BPA=，則有 8分令，則 11分若，又時(shí)，時(shí)， 14分函數(shù)在處取到極大值也是最大值，故時(shí)，場(chǎng)地面積取得最大值為（km2） 16分19 （本小題滿分16分）設(shè)定義在區(qū)間x1， x2上的函數(shù)y=f(x)的圖象為C，M是C上的任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)向量=，=(x，y)，當(dāng)實(shí)數(shù)滿

8、足x= x1+(1) x2時(shí)，記向量=+(1)定義“函數(shù)y=f(x)在區(qū)間x1，x2上可在標(biāo)準(zhǔn)k下線性近似”是指“k恒成立”，其中k是一個(gè)確定的正數(shù)（1）設(shè)函數(shù) f(x)=x2在區(qū)間0，1上可在標(biāo)準(zhǔn)k下線性近似，求k的取值范圍；（2）求證：函數(shù)在區(qū)間上可在標(biāo)準(zhǔn)k=下線性近似（參考數(shù)據(jù)：e=2.718，ln(e1)=0.541）【解】（1）由=+(1)得到=，所以B，N，A三點(diǎn)共線， 2分又由x= x1+(1) x2與向量=+(1)，得N與M的橫坐標(biāo)相同 4分對(duì)于 0，1上的函數(shù)y=x2，A(0，0)，B(1，1)，則有，故；所以k的取值范圍是 6分（2）對(duì)于上的函數(shù)，A()，B()， 8分則直

9、線AB的方程， 10分令，其中，于是， 13分列表如下：xem(em，em+1em)em+1em(em+1em，em+1)em+1+00增減0則，且在處取得最大值，又0.123，從而命題成立 16分20(本小題滿分16分)已知數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)任意給定的，是否存在（）使成等差數(shù)列？若存在，用分別表示和（只要寫(xiě)出一組）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）證明：存在無(wú)窮多個(gè)三邊成等比數(shù)列且互不相似的三角形，其邊長(zhǎng)為【解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 所以；綜上所述， 3分 （2）當(dāng)時(shí)，若存在p，r使成等差數(shù)列，則，因?yàn)椋裕c數(shù)列為正數(shù)相矛盾，因此，當(dāng)時(shí)不存在； 5分 當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，所以

10、， 7分 令，得，此時(shí)， 所以， 所以；綜上所述，當(dāng)時(shí)，不存在p，r；當(dāng)時(shí)，存在滿足題設(shè).10分（3）作如下構(gòu)造：，其中，它們依次為數(shù)列中的第項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng)， 12分顯然它們成等比數(shù)列，且，所以它們能組成三角形由的任意性，這樣的三角形有無(wú)窮多個(gè) 14分下面用反證法證明其中任意兩個(gè)三角形和不相似：若三角形和相似，且，則，整理得，所以，這與條件相矛盾，因此，任意兩個(gè)三角形不相似故命題成立 16分 【注】1第（2）小題當(dāng)ak不是質(zhì)數(shù)時(shí)，p，r的解不唯一；2. 第（3）小題構(gòu)造的依據(jù)如下：不妨設(shè)，且符合題意，則公比>1，因，又，則，所以，因?yàn)槿?xiàng)均為整數(shù)，所以為內(nèi)的既約分?jǐn)?shù)且含平方數(shù)因子，經(jīng)驗(yàn)證

11、，僅含或時(shí)不合，所以； 3第（3）小題的構(gòu)造形式不唯一數(shù)學(xué)II（附加題）21【選做題】本題包括A，B，C，D四小題，請(qǐng)選定其中兩題作答，每小題10分，共計(jì)20分，（第21A題）解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟A選修41：幾何證明選講自圓O外一點(diǎn)P引圓的一條切線PA，切點(diǎn)為A，M為PA的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M引圓O的割線交該圓于B、C兩點(diǎn)，且BMP=100°，BPC=40°，求MPB的大小【解】因?yàn)镸A為圓O的切線，所以又M為PA的中點(diǎn)，所以因?yàn)椋?5分于是在MCP中，由，得MPB=20° 10分B選修42：矩陣與變換已知二階矩陣A，矩陣A屬于特征值的一個(gè)特征向量

12、為，屬于特征值的一個(gè)特征向量為求矩陣A【解】由特征值、特征向量定義可知，A，即，得 5分同理可得 解得因此矩陣A 10分C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為點(diǎn)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l距離的最大值【解】化簡(jiǎn)為，則直線l的直角坐標(biāo)方程為 4分設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，得P到直線l的距離，即，其中 8分當(dāng)時(shí)， 10分D選修45：不等式選講若正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，求的最小值【解】因?yàn)檎龜?shù)a，b，c滿足a+b+c=1，所以，5分即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，原式取最小值1 10分【必做

13、題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分 解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟22在正方體中，O是AC的中點(diǎn)，E是線段D1O上一點(diǎn)，且D1EEO. A1BADCBAO（第22題）EBAB1CBAA1CBACBAC1D1（1）若=1，求異面直線DE與CD1所成角的余弦值；（2）若平面CDE平面CD1O，求的值.【解】(1)不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，以為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則A(1，0，0)，D1(0，0，1)，E， 于是，.由cos.所以異面直線AE與CD1所成角的余弦值為. 5分（2）設(shè)平面CD1O的向量為m=(x1，y1，z1)，由m·0，m·0得 取x11，得y1z11，即m=(1，1，1) . 7分由D1EEO，則E，=.又設(shè)平面CDE的法向量為n(x2，y2，z2)，由n·0，n·0.得 取x2=2，得z2，即n(2，0，) .因?yàn)槠矫鍯DE平面CD1F，所以m·n0，得2 10分23一種拋硬幣游戲的規(guī)則是：拋擲一枚硬幣，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）設(shè)拋擲5次的得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E；（2）求恰好得到n分的概率【解】（1）所拋5次得分的概率