重積分部分難題解答

1、重積分部分難題解答1（P148,第2題）求函數(shù)在閉正方形區(qū)域上的函數(shù)值的平均值.解：； 又所以 故在閉正方形區(qū)域上的函數(shù)值的平均值為2（P148,第3題）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，證明不等式證明：考慮積分 一方面 代入）得 另一方面顯然，即，故 3（P149,第4題）設(shè)在閉區(qū)間上為正值連續(xù)函數(shù).證明不等式證法一：考慮到定積分與變量的記號無關(guān).故有：-（1）以及-（1） 所以， -（2）其中，同理， -（3）， （2）+（3），得：即：證法二：因?yàn)椋?，即?（1） （1）式左邊是的非負(fù)二次三項(xiàng)式，因此必有判別式，故4（書p149頁習(xí)題8）設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，證明：證法一：對應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域 交

2、換積分次序后，重新計(jì)算，則有.證法二：記，則5（書p149頁習(xí)題10）設(shè)為上的連續(xù)函數(shù)，證明：證明：因?yàn)?其中對于，令則； 同理，對于，令則6（書p158頁習(xí)題3）證明：證明：（一）記 ，.分別畫出草圖.則（二）按所給積分次序很困難，故更換積分次序，即要將積分區(qū)域視為型區(qū)域：，此時無須分塊. 原式7（書p158頁習(xí)題4）求解：按所給積分次序很困難，畫出積分區(qū)域D的圖形，交換積分次序.8（書p158頁習(xí)題5）利用極坐標(biāo)，求下面的二重積分：（）為由上半圓周（）與直線圍成的圓扇形；（）為單位圓（）；（）為圓環(huán)域（）；（）為單位圓（）含在第一象限內(nèi)的部分.解：（）（）（令）（）（）9（書p158頁習(xí)題

3、6）計(jì)算下面的二重積分：（）為正方形（）；（）為圓域（）；（）為正方形（）.解：（）此題中積分區(qū)域本來是非常規(guī)范的矩形域（畫圖）但由于被積函數(shù)為分段函數(shù)，故需要用拋物線將積分區(qū)域分成兩個小區(qū)域.即，則原式=其中，于是，有（）設(shè)則 所以，（）以直線將區(qū)域分成兩個子區(qū)域，其中，其中；所以 10（書p159頁習(xí)題7）求其中.解：（一）令則（二） 11（書p159頁習(xí)題8）根據(jù)的面積，求下面曲線圍成圖形的面積：（）由拋物線與半圓周圍成的圖形；（）曲線圍成的圖形.解：（）聯(lián)立 得或故兩曲線的交點(diǎn)為及.化出區(qū)域的草圖，并視之為型區(qū)域.則所求面積為 （）解法一：由，知，即圖形分布在第一及第三象限. 化為極坐

4、標(biāo)方程表示為故 或所以，所求面積為解法二：記為在第一象限內(nèi)的那部分區(qū)域，則12（書p159頁習(xí)題9）求下面立體圖形的體積（）球面的上半部分與圓錐面圍成圖形；（）圓柱面與圍成的立體的圖形.（）解法一：畫出積分區(qū)域的草圖.聯(lián)立 ，消去，即得在面上的投影區(qū)域?yàn)樗?，所求立體的體積為解法二：畫出積分區(qū)域的草圖，顯然見的體積為球體的體積的上半部分體積加上錐體的體積 故 （）解法一：所以，解法二：解法三：（切片法）13（P159,第12題）根據(jù)下面的提示，證明貝塔函數(shù)與伽馬函數(shù)之間的關(guān)系為 其中 提示：（）在中用替換，得.（），其中為正方形，函數(shù)（）如圖所示，表示半徑為的圓含在第一象限的部分，表示半徑為的

5、圓含在第一象限的部分.由于函數(shù)的非負(fù)性，（）計(jì)算上述不等式兩端的積分，并讓證明：（）令，則 ，故 換記為 . （1）（）. （2）其中為正方形區(qū)域，（）顯然，由于，故有 （3）其中 ；分別是半徑為及的圓含在第一象限的部分.（3）式左端積分（改為極坐標(biāo)） （4） 其中 （令，則）； （5）其中（令，則）；（6）故由（5）、（6）兩式，得（3）式左端積分.（7）同理得（3）式右端積分.（8）故（3）化為（9）（9）式兩邊令有故 （10）（10）化簡，即得：14（書p166頁習(xí)題1）引入適當(dāng)?shù)淖儞Q，將下面的二重積分化為一重積分：（）；（）為雙曲線和（）與直線和圍成的區(qū)域；（）；（）（）.解：（）畫出

6、積分區(qū)域（如圖，為一個正方形區(qū)域）.作變量代換： 由二重積分的換元法； （）畫出積分區(qū)域（如圖）.作變量代換： 換元法.（）畫出積分區(qū)域（如圖）.作變量代換： 由二重積分的換元法 .（）作正交變量代換：由二重積分的換元法.或15（書p167頁習(xí)題2）引入適當(dāng)?shù)淖儞Q，求下列曲線所圍成圖形的面積：（）；（）（）；（）；（）（）.解：（）作變量代換：則原方程化為. （1）于是，曲線所圍成的面積為其中 （2） （3）所以（）令則原方程化為 （1）由于，故有.（2）為使（2）式有解，首先要求不能落在第三象限（否則，）因此確定不能超出的范圍.下面進(jìn)一步討論的取值范圍.若，則由（2）式，得：， （3）由（3

7、）式解得： ； （4）若，則由（2）式，得：， （5）由（3）式解得： （6）綜合（4）、（6）兩式，知的取值范圍為于是，曲線所圍成的面積為 （7） （8） 故 （9）令 （10）則 （）令則原方程化為 （1）于是，曲線所圍成的面積為其中 （2） （3） 故 （令）（）（）.令即 則原方程化為 （1）于是，曲線所圍成的面積為其中 （令）16（書p167頁習(xí)題3）求由下列曲面包圍的立體的體積：（）（橢球面）；（）（雙葉雙曲面），（橢圓柱面）；（），解：（）根據(jù)對稱性及二重積分的幾何意義，知 為計(jì)算方便，特引入變量替換 令則被積函數(shù)化為 積分區(qū)域化為 （）根據(jù)對稱性及二重積分的幾何意義，知其中 為

8、計(jì)算方便，特引入變量替換 令則被積函數(shù)化為 積分區(qū)域化為 （），根據(jù)對稱性及二重積分的幾何意義，知 其中 為計(jì)算方便，特引入變量替換 令則被積函數(shù)化為 積分區(qū)域化為 17.（書p174頁習(xí)題2）計(jì)算下列各三重積分（先畫出積分區(qū)域的草圖）：（），其中為由坐標(biāo)平面和平面圍成的四面體；（），為由曲面和平面圍成的區(qū)域；（），為單位球位于第一卦限的那部分區(qū)域； （），為圓錐面與平面圍成的區(qū)域；解：（）；在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域?yàn)槿切螀^(qū)域故=（）；在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域?yàn)槿切螀^(qū)域故=（）；在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域?yàn)楣?（）由對稱性知， 其中為在第一卦限內(nèi)的那部分區(qū)域，在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域?yàn)楣?其中 ；所以 18

9、（書p174頁習(xí)題3）利用改變積分次序的方法，將下面的三次積分表示成一重積分（）；（2）解：（1）先將后兩次積分中的積分次序進(jìn)行變換：- 所以， （2）先將后兩次積分中的積分次序進(jìn)行變換： 所以， -.其中，- ，所以，.19（書p174頁習(xí)題4）證明不等式其中為為正方體區(qū)域.證明：顯然，對于，有，即所以，由估值定理知（注意到正方體的體積為1）.20（書p174頁習(xí)題5設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，若對于內(nèi)任何一個有界子域都有證明：其中證明：反證法設(shè)，的結(jié)論不成立，則必存在某點(diǎn)，使得 不妨假設(shè)因?yàn)樵谔庍B續(xù)，故有 （1）故根據(jù)函數(shù)極限的定義知，對于使得當(dāng)時（即時），就有（2）由（2）式可解得，當(dāng)時，就有

10、（3）所以，由積分中值定理有 （4）而（4）式與函數(shù)在對于內(nèi)任何一個有界子域上都有的假設(shè)前提是矛盾的！所以，其中21（書p179頁習(xí)題1）利用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?jì)算下列各三重積分：解：（），本題宜采用“切片法”計(jì)算 如采用柱面坐標(biāo)系：（），本題宜采用柱面坐標(biāo)計(jì)算.聯(lián)立消,得在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域?yàn)閳A域（），本題宜采用“切片法”計(jì)算（），本題宜采用“切片法”計(jì)算（）解法一：柱面坐標(biāo)法：聯(lián)立消,得在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域?yàn)閳A域（令）其實(shí)，此題最宜采用球面坐標(biāo)計(jì)算：這時首先要把積分區(qū)域分成兩個子區(qū)域：其中 則=（），此題最宜采用球面坐標(biāo)計(jì)算：（），本題宜采用“切片法”計(jì)算：（令）（）顯然因?yàn)榉e分區(qū)域：關(guān)于坐標(biāo)面

11、對稱，且被積函數(shù)關(guān)于為奇.22 .（書p180頁習(xí)題3）設(shè)連續(xù)函數(shù)，求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).解：， 所以，.20.（書p180頁習(xí)題4）設(shè)為非負(fù)整數(shù)，為單位球體求 解：（一） 當(dāng)中至少有一個為奇數(shù)時例如為奇數(shù)時，于是（記為） （2）今在積分中作變量代換即令 ，則 故于是 （二） 當(dāng)均偶數(shù)時，此時被積函數(shù)關(guān)于三個坐標(biāo)平面皆對稱.于是 為方便計(jì)算，引入球坐標(biāo)變換 （令）由于 比如：故書中所提供的答案有誤.23 .（書p180頁習(xí)題5）求由曲面包圍的立體體積.解：根據(jù)對稱性及二重積分的幾何意義，知其中為由曲面包圍的立體體積在第一卦限的那部分區(qū)域.為方便計(jì)算，令則曲面的方程化為積分區(qū)域化為 則24.（書p187頁習(xí)題1）討論下列二重積分的收斂性（當(dāng)收斂時，并求出積分值）解：（）（為參數(shù)）取則因此當(dāng)時，廣義積分收斂，且收斂于當(dāng)時，廣義積分發(fā)散. （）；取 則 因?yàn)?因此廣義積分收斂，且收斂于（）； 因?yàn)?，所以，上述二重積分是收斂的.且（）；.其中（分部積分）； （1）（分部積分）（）.（分部積分）（分部積分）（）由于被積函數(shù)是正的，采用球坐標(biāo)，得（注意到上式用到了概率積分）（）取 因此，當(dāng)時，廣義積分收斂，且收斂于當(dāng)