實(shí)數(shù)基本定理的相互證明

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上實(shí)數(shù)基本定理的相互證明袁 文 ?。◤V州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院院，廣東 廣州 ） 【摘要】本文給出實(shí)數(shù)理論的8個(gè)基本定理的兩兩相互證明。 【關(guān)鍵詞】實(shí)數(shù)基本定理；等價(jià)性；數(shù)列；極限；收斂?！局袌D分類號】O 174.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】 A1. 引 言實(shí)數(shù)基本定理以不同的形式刻劃了實(shí)數(shù)的連續(xù)性和完備性，實(shí)數(shù)基本定理是建立與發(fā)展微積分學(xué)的基礎(chǔ)。因此掌握這部分內(nèi)容是十分必要的，特別是可通過這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)與鉆研，培養(yǎng)嚴(yán)密的邏輯思維能力。本文主要給出實(shí)數(shù)理論的8個(gè)基本定理的兩兩相互證明。2. 實(shí)數(shù)基本定理的陳述 定理1(確界原理) 非空有上(下)界數(shù)集，必有上(下)確界。定理2(

2、單調(diào)有界原理) 任何單調(diào)有界數(shù)列必有極限。定理3( Cantor區(qū)間套定理) 若是一個(gè)區(qū)間套, 則存在唯一一點(diǎn)，使得。定理4(Heine-Borel有限覆蓋定理) 設(shè)是一個(gè)閉區(qū)間，為上的一個(gè)開覆蓋，則在中存在有限個(gè)開區(qū)間，它構(gòu)成上的一個(gè)覆蓋。定理5（Weierstrass聚點(diǎn)原理） 直線上的有解無限點(diǎn)集至少有一個(gè)聚點(diǎn)。定理6（Bolzano致密性定理） 有界無窮數(shù)列必有收斂子列。定理7(Cauchy收斂準(zhǔn)則) 數(shù)列收斂對任給的正數(shù)，總存在某一個(gè)自然數(shù)，使得時(shí)，都有。定理8(Dedekind準(zhǔn)則，或稱實(shí)數(shù)連續(xù)性定理) 設(shè)序?qū)?,)為R的一個(gè)分劃，則或者有最大元，或者有最小元。由于多數(shù)教材中Ded

3、ekind分劃定理是作為選學(xué)內(nèi)容， 因此在證明等價(jià)性時(shí)我們將分兩部分進(jìn)行。在第3節(jié)給出定理1到定理7之間的兩兩推證， 而在第4節(jié)證明定理8與其它7個(gè)命題的等價(jià)性。限于篇幅，對有關(guān)概念和某些命題的簡單情形(如Cauchy收斂準(zhǔn)則的必要條件，Cantor區(qū)間套定理中點(diǎn)的唯一性證明，數(shù)列中僅有有限個(gè)不同數(shù)等)在本文中不予介紹和證明，讀者若有興趣，可以自己給出或可參見文獻(xiàn)(3, 4)等。 我們注意到，實(shí)數(shù)完備性基本定理等價(jià)性的互證，幾乎都可以利用二等分構(gòu)造區(qū)間套的方法證明，為了開闊視野，加深對這部分內(nèi)容的理解，我們盡可能利用二等分法以外的方法證明定理之間的等價(jià)性。 作者簡介：袁文俊（1957-），男，

4、教授，理學(xué)博士，主要從事函數(shù)論及其應(yīng)用的教學(xué)與研究?；痦?xiàng)目：教育部重點(diǎn)資助項(xiàng)目的子項(xiàng)目(03A08); 廣東省新世紀(jì)高校教改資助項(xiàng)目(02042)。3. 定理1到定理7的互證 (1) 定理1定理2(確界原理單調(diào)有界原理) 證 不妨設(shè)為單增有上界數(shù)列，即，有。 記，則由確界原理知有上確界，不妨記為，則 ，從而，使得成立。因?yàn)槭菃握{(diào)遞增數(shù)列，所以，有 。故 。 (2) 定理定理3（確界原理Cantor區(qū)間套定理） 證 因?yàn)?，所以。則顯然數(shù)列、皆為有界數(shù)列，且每個(gè)都是的上界，每個(gè)都是的下界所以由確界原理知, 使得， 使得。所以。又因?yàn)?，所以?記則即有使得。 假設(shè)還有另外一點(diǎn)且，則 即。從而唯一性

5、得證。 (3) 定理1定理4(確界原理Heine-Borel有限覆蓋定理) 證 設(shè)是有閉區(qū)間的任一開覆蓋。令 可以被有限覆蓋，。因?yàn)?，所以必含有中的點(diǎn)，即覆蓋。即，且有上界。由確界原理知, 。下面證明: 為此取開區(qū)間，故使，。由于有有限覆蓋，故添上，仍有有限覆蓋，從而。 現(xiàn)證: 若，因，故則。這與是的上確界矛盾，故。 (4) 定理1定理5(確界原理Weierstrass聚點(diǎn)原理)證 設(shè)是直線上的有界無限點(diǎn)集，則由確界原理有。若中有一點(diǎn)不是的孤立點(diǎn)，則顯然就是的一個(gè)聚點(diǎn)。否則，令中僅有有限個(gè)數(shù)小于。顯然非空且有上界。令，則由的構(gòu)造方法可知，必有，即中有無限個(gè)數(shù)小于大于。所以中含有的無限個(gè)數(shù)，故是

6、的聚點(diǎn)。 (5) 定理1定理6(確界原理Bolzano致密性定理) 證 設(shè)是有界無窮數(shù)列，則由(4)的證明可知，有聚點(diǎn)。再由聚點(diǎn)的等價(jià)定義可知，在中存在點(diǎn)列以該聚點(diǎn)為極限。再將此收斂的點(diǎn)列作些技術(shù)性處理就可得到的一個(gè)收斂的子列。 (6) 定理1定理7(確界原理Cauchy收斂準(zhǔn)則)證 設(shè)為Cauchy基本列，則 有。易證為有界列。由確界原理可知，。Case(1) 若或者。不妨設(shè)則使得。設(shè)，則必使得 。令，則。即使得當(dāng)時(shí)，有。由于為Cauchy基本列，所以使得有 。故。 Case(2)若且，則令，。若有Case(1) 的條件，則可知收斂。否則令。依次遞推，若有Case(1)的條件成立，則可知收斂

7、。否則，有最大最小值，則得兩個(gè)數(shù)列，和，。其中單增、單減且都有界。記，則，使得，有。所以，使得有 。故當(dāng)時(shí)收斂。 (7) 定理2定理1(單調(diào)有界原理確界原理) 證 設(shè)是非空有上界集合，不妨設(shè)中有一個(gè)正數(shù)?，F(xiàn)構(gòu)造函數(shù)列: Step(1) 由于有上界，所以中的數(shù)必有一個(gè)最大的整數(shù)部分，記為。 記集合 ，則，有。 Step(2) 設(shè)中各數(shù)的一位小數(shù)中最大是為。記集合 ，則，有。 Step(n) 設(shè)中第位小數(shù)中最大的為記集合數(shù)為，則，有從而得到一數(shù)列記為其中，且單增有上界，故由單調(diào)有界原理知收斂。不妨記為，有，所以為的一個(gè)上界。 現(xiàn)證:因?yàn)槭沟糜?，即。所以由上確界定義知。(8) 定理2定理3(單調(diào)有界

8、定理Cantor區(qū)間套定理)證 因?yàn)?，所以?從而可見數(shù)列單增有上界，數(shù)列單減有下界故由單調(diào)有界定理可知 使得，使得。且有有，所以 ，于是成立 。又因?yàn)椋?。記，從而存在性得證。 (9) 定理2定理4(單調(diào)有界原理Heine-Borel有限覆蓋定理)證(反證法) 假設(shè)閉區(qū)間有一個(gè)開覆蓋不能用它的任有限個(gè)開區(qū)間覆蓋。 定義性質(zhì)P： 不能用中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋。Step(1) 將等分為兩個(gè)子區(qū)間，則至少有一個(gè)具有性質(zhì)，不妨記該區(qū)間為，則 ;Step(2) 將等分為兩個(gè)子區(qū)間，則至少有一個(gè)具有性質(zhì)，不妨記該區(qū)間為，則 ;Step(n) 將等分為兩個(gè)子區(qū)間，則至少有一個(gè)具有性質(zhì)P，不妨記該區(qū)間為，則

9、;由此可得一個(gè)區(qū)間套且滿足 。 (3.1)所以為單增有上界數(shù)列，為單減有下界的數(shù)列。所以由有單調(diào)有界原理可知使得，。由(3.1)易知，。從而，有，這與具有性質(zhì)矛盾。這就證明了HeineBorel有限復(fù)蓋定理。(10) 定理2定理5(單調(diào)有界原理Weierstrass聚點(diǎn)定理)證 設(shè)是直線上的有界無限點(diǎn)集。容易證明結(jié)論一：若無最大數(shù)，則從中去掉任意有限點(diǎn)集所得無限點(diǎn)集仍然無最大數(shù)。 現(xiàn)在我們從中挑選單調(diào)數(shù)列如下： Case(1) 當(dāng)無最大數(shù)時(shí)，由結(jié)論一知，對于， 使；因仍然是無最大數(shù)的無限集, 由結(jié)論一知， 使；此過程可以無限繼續(xù)下去，于是就從中找到了一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列。 Case(2)當(dāng)有最大數(shù)

10、時(shí)，考察，若它無最大數(shù)， 則由Case(1) 討論可得一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列；若有最大數(shù)，顯然有; 此過程可以無限繼續(xù)下去，于是就從中找到了一個(gè)單減數(shù)列或單增數(shù)列。由單調(diào)有界原理知，從中挑選單調(diào)數(shù)列有極限。再由聚點(diǎn)的等價(jià)定義知，至少有一個(gè)聚點(diǎn)。 (11) 定理2定理6(單調(diào)有界原理Bolzano致密性定理)證 設(shè)為一有界無窮點(diǎn)列，則對(10)的證明做點(diǎn)技術(shù)性處理，就是保證挑選的數(shù)列構(gòu)成的子列即可。事實(shí)上因?yàn)槊總€(gè)都含有的無限多項(xiàng)，所以必存在，如果無最大數(shù)。(12) 定理2定理7(單調(diào)有界原理Cauchy收斂準(zhǔn)則)證 設(shè)為一Cauchy基本列，則易證有界，由(10) 和(11)的證明可知存在的一個(gè)子列單

11、調(diào)且有界，由單調(diào)有界原理可知，有極限。參照的證明就知道收斂。(13) 定理3定理l(Cantor區(qū)間套定理確界原理)證明：設(shè)是有上界集合，不妨設(shè)是的一個(gè)上界，取構(gòu)造區(qū)間，定義性質(zhì) 閉區(qū)間滿足且。仿(9)的證明對按性質(zhì)，用二等分法，可以構(gòu)造出區(qū)間套，其中每個(gè)為的上界。由Cantor區(qū)間套定理知存在唯一的且為的一個(gè)下界為的一個(gè)上界，使得當(dāng)時(shí)，有。故使得，故為的上確界。 (14) 定理3定理2(Cantor區(qū)間套定理單調(diào)有界原理)證 設(shè)是單調(diào)遞增有上界的數(shù)列，則存在一個(gè)區(qū)間，使得，顯然，有。定義性質(zhì) 含有中無限多項(xiàng)。仿(9)的證明，利用二等分法容易構(gòu)造出滿足性質(zhì)的區(qū)間套。故由Cantor區(qū)間套定理可

12、知，存在唯一的且中包含中的無限多項(xiàng)。 由于是單調(diào)遞增的，所以包含中某一項(xiàng)后的所有項(xiàng)。由于為的一個(gè)上界，所以。所以。(15) 定理3定理4(Cantor區(qū)間套定理Heine-Borel有限覆蓋定理)證(反證法) 假設(shè)閉區(qū)間有一個(gè)開覆蓋不能用它的任有限個(gè)開區(qū)間覆蓋。 定義性質(zhì)： 不能用中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋。 仿(9)的證明，利用二等分法容易構(gòu)造出滿足性質(zhì)的區(qū)間套。故由Cantor區(qū)間套定理可知，存在唯一的，從而，有，這與具有性質(zhì)矛盾。這就證明了HeineBorel有限復(fù)蓋定理。(16) 定理3定理5(Cantor區(qū)間套定理Weierstrass聚點(diǎn)定理)證 設(shè)為直線上的有界無限點(diǎn)集，不妨設(shè)。 定義性

13、質(zhì) 含有中無限多個(gè)點(diǎn)。仿(9)的證明，利用二等分法容易構(gòu)造出滿足性質(zhì)的區(qū)間套且滿足(3.1)。故由Cantor區(qū)間套定理可知，存在唯一的。由(3.1)從而可知，有。即，有有無限點(diǎn)，所以即為的一個(gè)聚點(diǎn)。(17) 定理3定理6(Cantor區(qū)間套定理Bolzano致密性定理)證 設(shè)為有界數(shù)列，不妨設(shè)。定義性質(zhì)含有數(shù)列的無限多項(xiàng)。 仿(9)的證明，利用二等分法容易構(gòu)造出滿足性質(zhì)的區(qū)間套，且滿足(3.1)。故由閉區(qū)間套定理可知存在唯一的。下證是某個(gè)子列的極限。事實(shí)上因?yàn)槊總€(gè)都含有的無限多項(xiàng)，所以必存在又存在且，此過程可以無限進(jìn)行下去，于是得到一個(gè)子列且有。由 (3.1)易知。(18) 定理3定理7(C

14、antor區(qū)間套定理Cauchy收斂準(zhǔn)則)證 設(shè)為Cauchy基本列，即有 ，即。定義性質(zhì) 有。則 Step(1): 令，則使得具有性質(zhì)，不妨記此區(qū)間為。 Step(2): 令， 則使得具有，不妨記此區(qū)間為。 Step(k): 令，則 使得具有，不妨記此區(qū)間為。由此可得一閉區(qū)間套滿足(i) ; (ii) ; (iii) 具有性質(zhì)，即含有某個(gè)后的所有項(xiàng)。由閉區(qū)間套定理可知存在唯一的。從而。(19) 定理4定理1(Heine-Borel有限覆蓋定理確界原理)證 設(shè)是有上界的非空數(shù)集，則使得有，取，得到區(qū)間 。反證法，假設(shè)沒有上確界，則，使得滿足條件：若是的上界，那么中的點(diǎn)都是的上界；若是中的點(diǎn)，那

15、么中不存在的上界。從而得的一個(gè)開覆蓋 。 (3.2) 由HeineBorel有限覆蓋定理知，存在的一個(gè)有限子覆蓋 。 (3.3)因此必有一個(gè)， 不妨設(shè)為，包含。因?yàn)槭堑囊粋€(gè)上界，故內(nèi)的元素全是的上界。從而與相交的中的鄰域的點(diǎn)也必為的上界。依次類推下去，將有為的一個(gè)上界，這與矛盾，故具有上確界。(20) 定理4定理2(Heine-Borel有限覆蓋定理單調(diào)有界定理)證 不妨設(shè)為單調(diào)遞增的有上界的無限數(shù)列，即存在閉區(qū)間使得則。若收斂于，則必有。假設(shè)都不是的極限，則使得使，即或者。 Case(1) 若，則至多只含有有限多項(xiàng)。 Case(2) 若，則也只能含有的有限多項(xiàng)，因?yàn)?，由知。綜上可知只含有的有

16、限項(xiàng)。因此，可得的一個(gè)開覆蓋(3.2)記為。由Heine-Borel有限覆蓋定理可知存在的一個(gè)有限子覆蓋(3.3)記為。因?yàn)橹忻恳粋€(gè)中只含有的有限多個(gè)數(shù)，所以也只含有的有限多個(gè)數(shù)，這與是無限數(shù)列矛盾。故必存在是的極限。(21) 定理4定理3(Heine-Borel有限覆蓋定理Cantor區(qū)間套定理) 證(反證法) 假設(shè)命題不成立，則使得至少有一個(gè)與不相交，那么有。從而得的一個(gè)開覆蓋(3.2)記為。由Heine-Borel有限覆蓋定理可知存在的一個(gè)有限子覆蓋(3.3)記為，所以當(dāng)時(shí)，。這顯然與矛盾。故假設(shè)錯(cuò)誤，原命題成立。(22) 定理4定理5(Heine-Borel有限覆蓋定理 Weierst

17、rass聚點(diǎn)原理)證(反證法) 假設(shè)原命題不成立，則由于是直線上的有界無限點(diǎn)集，即存在閉區(qū)間，使得， 所以只含中的有限多項(xiàng)。從而得的一個(gè)開覆蓋(3.2)記為。由Heine-Borel有限覆蓋定理可知存在的一個(gè)有限子覆蓋(3.3)記為。所以只含有中的有限多個(gè)點(diǎn)，這顯然與是矛盾的,故可知假設(shè)錯(cuò)誤,原命題成立。(23) 定理4定理6(Heine-Borel有限覆蓋定理Bolzano致密性定理)證(反證法) 設(shè)是有界無限數(shù)列，即使得，假設(shè)中任一子列(為方便起見，用表示該子列。由(10) 的證明可不妨設(shè)是單調(diào)遞增子列) 都不收斂，則都不是的極限，即使得。則容易證明含有的有限多項(xiàng)。這是因?yàn)?， 有。 Ca

18、se(1) 若屬于的上界; Case(2) 若不屬于的上界。 從而得的一個(gè)開覆蓋(3.2)記為。由Heine-Borel有限覆蓋定理可知存在的一個(gè)有限子覆蓋(3.3)記為。所以只含有中的有限多個(gè)點(diǎn)，這顯然與為無窮數(shù)列矛盾。故有界無窮數(shù)列必含有收斂子列。(24) 定理4定理7(Heine-Borel有限覆蓋定理Cauchy柯西收斂準(zhǔn)則)證(反證法) 假設(shè)柯西列不收斂，易證為有界無窮數(shù)列。即存在閉區(qū)間使得。則使得中只含有中的有限多項(xiàng)(否則，若都有中的無限多項(xiàng)，則易證收斂，這與假設(shè)矛盾)。從而得的一個(gè)開覆蓋(3.2)記為。由Heine-Borel有限覆蓋定理可知存在的一個(gè)有限子覆蓋(3.3)記為。所

19、以只含有中的有限多個(gè)點(diǎn)，這顯然與是矛盾的, 假設(shè)錯(cuò)誤, 因此必收斂。(25) 定理5定理1(Weierstrass聚點(diǎn)原理確界原理)證 設(shè)是一個(gè)有上界數(shù)集，則使得有，取構(gòu)造區(qū)間。定義性質(zhì) 區(qū)間中至少有一個(gè)數(shù)屬于且區(qū)間的右端點(diǎn)為的一個(gè)上界。仿(9)的證明，利用二等分法容易構(gòu)造出滿足性質(zhì)的區(qū)間套且滿足(3.1)。 顯然且單調(diào)遞減有下界。我們證明。事實(shí)上，不妨設(shè)有無窮個(gè)數(shù)，由Weierstrass聚點(diǎn)原理知有聚點(diǎn)。因此，使得且。由于單調(diào)遞減，則易證 有 。由于都為S的上界，所以也為的上界。由(3.1) 易證。故有 。從而可知， 。即，故為的上確界。(26) 定理5定理2(Weierstrass聚點(diǎn)原

20、理單調(diào)有界定理)證 不妨設(shè)是單調(diào)有上界無窮數(shù)列，即，使得。故由Weierstrass聚點(diǎn)原理可知為的聚點(diǎn)，即含有中的無限多項(xiàng)。由單調(diào)性易得知外最多有中的有限項(xiàng)，因此我們證明了。(27) 定理5定理3(Weierstrass聚點(diǎn)原理Contor區(qū)間套定理)證 因?yàn)?，所以為一單調(diào)遞增有界數(shù)列。故仿上題證明，Weierstrass聚點(diǎn)原理可知為的聚點(diǎn)且。又由(3.1) ，單調(diào)遞減易證。故有。(28) 定理5定理4(Weierstrass聚點(diǎn)原理Heine-Borel有限覆蓋定理)證(反證法) 假設(shè)閉區(qū)間有一個(gè)開覆蓋不能用它的任有限個(gè)開區(qū)間覆蓋。 定義性質(zhì)： 不能用中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋。 仿(9)的證明

21、，利用二等分法容易構(gòu)造出滿足性質(zhì)的區(qū)間套。故由Weierstrass聚點(diǎn)原理可知為的一個(gè)聚點(diǎn)由Cantor區(qū)間套定理可知，存在唯一的，從而，有，這與具有性質(zhì)矛盾。這就證明了HeineBorel有限復(fù)蓋定理。(29) 定理5定理6(Weierstrass聚點(diǎn)原理Bolzano致密性定理)證 設(shè)為有界無窮數(shù)列(若有無限多相等的項(xiàng)，則命題顯然成立)。Weierstrass聚點(diǎn)原理可知，至少有一個(gè)聚點(diǎn)，則由聚點(diǎn)的定義： Step(1) 令 ，則且。Step(2) 令 且 。 Step(k) 令 且 。從而得到的子列使得當(dāng)時(shí)有。即。故 。(30) 定理5定理7(Weierstrass聚點(diǎn)原理Cauchy

22、收斂準(zhǔn)則)證 不妨設(shè)是無窮Cauchy基本列，即有，使得有。易證有界。由Weierstrass聚點(diǎn)原理可知至少有一個(gè)聚點(diǎn)必含有的無限多項(xiàng)。從而, 任取中滿足的某項(xiàng)，即可得到 。故。(31) 定理6定理1(Bolzano致密性定理確界原理) 證 仿(25)的證明。 (32) 定理6定理2(Bolzano致密性定理單調(diào)有界定理) 證 不妨設(shè)是單調(diào)有上界無窮數(shù)列。則由Bolzano致密性定理可知存在一個(gè)收斂子列，其極限記為。即知含有的無限多項(xiàng)。由單調(diào)性易得知外最多有的有限項(xiàng)，因此我們證明了。(33) 定理6定理3(Bolzano致密性定理Cantor區(qū)間套定理)證 因?yàn)?，所以為一單調(diào)遞增有界數(shù)列。故

23、由Bolzano致密性定理仿上題證明， 。又由(3.1) ，單調(diào)遞減易證。故有。(34) 定理6定理4(Bolzano致密性定理Heine-Borel有限覆蓋定理)證(反證法) 假設(shè)區(qū)間不能被開覆蓋 有限覆蓋。定義性質(zhì) 不能被有限個(gè)開區(qū)間覆蓋。利用二等分法容易得到一個(gè)具有性質(zhì)的區(qū)間套滿足(3.1)。由于都是有界數(shù)列，故由Bolzano致密性定理知，存在子列，使得 ，。由(3.1)易證。從而，使得有。從而，這與具有性質(zhì)矛盾。這就證明了HeineBorel有限復(fù)蓋定理。(35) 定理6定理5(Bolzano致密性定理Weierstrass聚點(diǎn)定理)證 設(shè)為直線上有界無窮點(diǎn)集，則由Bolzano致密

24、性定理可知必存在一個(gè)序列，使得, 則即為的一個(gè)聚點(diǎn)。 (36) 定理6定理7(Bolzano致密性定理Cauchy收斂準(zhǔn)則)證 不妨設(shè)是無窮Cauchy基本列，即有，使得有。易證有界。由Bolzano致密性定理可知至少有一個(gè)收斂子列，其極限記為。即知含有的無限多項(xiàng)。從而, 任取中滿足的某項(xiàng)，即可得到 。故。(37) 定理7定理1(Cauchy收斂準(zhǔn)則確界原理) 證 設(shè)是一個(gè)有上界非空數(shù)集，則使得有，取構(gòu)造區(qū)間。定義性質(zhì) 區(qū)間中至少有一個(gè)數(shù)屬于，且區(qū)間的右端點(diǎn)為的一個(gè)上界。仿(9)的證明，利用二等分法容易構(gòu)造出滿足性質(zhì)的區(qū)間套且滿足(3.1)。則由(3.1)可知， 時(shí)，有。由于單調(diào)遞增，中的每一

25、個(gè)元素都為的上界。故，則有 。故由Cauchy收斂準(zhǔn)則可知收斂，記其極限為。由(3.1) 易證。因此， 有 。由于都為S的上界，所以也為的上界。從而可知， 。即，故為的上確界。(38) 定理7定理2(Cauchy收斂準(zhǔn)則單調(diào)有界定理)證 不妨設(shè)為單增有上界數(shù)列。假設(shè)無極限，Cauchy收斂準(zhǔn)則可知， 但是 。由的任意性，不難得到的一個(gè)嚴(yán)格單增的子列，滿足 。由于， 所以當(dāng)時(shí)，有。 這與為有界數(shù)列矛盾， 故收斂。(39) 定理7定理3(Cauchy收斂準(zhǔn)則Cantor區(qū)間套定理) 證 設(shè)是Cantor區(qū)間套。則由 可知， 時(shí)，有。由于單調(diào)遞增，中的每一個(gè)元素都為的上界。故，則有 。故由Cauch

26、y收斂準(zhǔn)則可知收斂，記其極限為。由(3.1) 易證。由，的單調(diào)性可知有 。(40) 定理7定理4(Cauchy收斂準(zhǔn)則Heine-Borel有限覆蓋定理)證(反證法) 假設(shè)閉區(qū)間有一個(gè)開覆蓋不能用它的任有限個(gè)開區(qū)間覆蓋。 定義性質(zhì)： 不能用中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋。 仿(9)的證明，利用二等分法容易構(gòu)造出滿足性質(zhì)的區(qū)間套。仿(39)的證明可知，從而，有，這與具有性質(zhì)矛盾。這就證明了HeineBorel有限復(fù)蓋定理。(41) 定理7定理5(Cauchy收斂準(zhǔn)則 Weierstrass聚點(diǎn)原理)證 設(shè)為直線上有界點(diǎn)集，則使得。 定義性質(zhì) 至少含有中的無限多個(gè)點(diǎn)。 利用二等分法容易構(gòu)造出具有性質(zhì)的區(qū)間套滿

27、足(3.1) 。由性質(zhì)任意挑選中不同的點(diǎn)構(gòu)成的數(shù)列使得。，由(3.1)和極限定義知， 有 。由定義知是Cauchy列。由Cauchy收斂準(zhǔn)則知， 使得 。從而可知即為的一個(gè)聚點(diǎn)。(42) 定理7定理6(Cauchy收斂準(zhǔn)則Bolzano致密性定理)證 設(shè)為有界無限點(diǎn)集。則由(10)，(11)的證明，從中可抽出一單調(diào)有界子列。對該子列重復(fù)(38)的證明，可以得知該子列收斂，故必存在一個(gè)數(shù)列子列。4. 定理8與前7個(gè)定理的互證 (43) 定理1定理8(確界原理 Dedekind準(zhǔn)則)證 設(shè)(,)是的一個(gè)劃分，則為非空有上界數(shù)集，為非空有下界數(shù)集，則由確界原理可知。若則有最大元，否則，則由上確界的定

28、義可知，是所有上界中最小的，即=為的最小元。(44) 定理2定理8(單調(diào)有界定理 Dedekind準(zhǔn)則)證 設(shè)是的一個(gè)劃分，因?yàn)榉强?，故且，?gòu)造區(qū)間。定義性質(zhì) 存在一點(diǎn)屬于，但區(qū)間的右端點(diǎn)屬于。仿(9)的證明，利用二等分法容易構(gòu)造出滿足性質(zhì)的區(qū)間套且滿足(3.1)。所以為單增有上界數(shù)列，為單減有下界的數(shù)列。所以由有單調(diào)有界原理可知使得，。由(3.1)易知，。又由和的單調(diào)性可知都有。不難證明是的一個(gè)上界，且是的一個(gè)下界。若，則顯然為的最大元，否則，則同理為的最小元(45) 定理3定理8(Cantor區(qū)間套定理 Dedekind準(zhǔn)則)證 仿上題的證明，構(gòu)造出區(qū)間套，其中。則由區(qū)間套定理可知，存在唯

29、一的實(shí)數(shù)，且。由和的單調(diào)性不難證明是的一個(gè)上界，且是的一個(gè)下界，若，則顯然為的最大元，否則，則同理為的最小元。(46) 定理4定理8(Hein-Borel有限覆蓋定理 Dedekind準(zhǔn)則)證(反證法) 因?yàn)榉强?，所以，?gòu)造區(qū)間。假設(shè)無最大元且無最小元，則，必存在，使得，或(如若不然，即，使得，且，則由于，不難證明或?yàn)榈淖畲笤驗(yàn)榈淖钚≡?。從而得的一個(gè)開覆蓋(3.2)記為。由Heine-Borel有限覆蓋定理可知存在的一個(gè)有限子覆蓋(3.3)記為。因此必有一個(gè)，不妨設(shè)為，包含。因?yàn)椴粚儆冢?定義為性質(zhì))。從而與相交的中的鄰域也具有性質(zhì)。依次類推下去，將有包含的中的鄰域也應(yīng)具有性質(zhì)， 這與矛

30、盾， 故或有最大元或。(47) 定理5定理8(Weierstrass聚點(diǎn)原理 Dedekind準(zhǔn)則)證 仿(44) 的證明，構(gòu)造出區(qū)間套，其中。由Weierstrass聚點(diǎn)原理可知，和都至少存在一個(gè)聚點(diǎn)分別記為。容易證得，則顯然。若，則由的取法可知，為的最大元; 若，則由的取法可知，為的最小元。(48) 定理6定理8(Bolzano致密性定理 Dedekind準(zhǔn)則)證 仿(44) 的證明，構(gòu)造出區(qū)間套，其中。由Bolzano致密性定理可知，和各自至少存在一個(gè)收斂子列。又由于和單調(diào)，容易證明和收斂。再由(3.1)可知，和收斂于同一點(diǎn)，且則不難證明或?yàn)榈淖畲笤?，或?yàn)榈淖钚≡?49) 定理7定理8

31、(Cauchy收斂準(zhǔn)則 Dedekind準(zhǔn)則)證 仿(44) 的證明，構(gòu)造出區(qū)間套，其中。仿(44) 的證明可知，和收斂于同一點(diǎn)，且。，則由，的單調(diào)性及，由柯西收斂準(zhǔn)則易證，收斂于同一點(diǎn)，仿(47) 的證明可知或?yàn)榈淖畲笤?，或?yàn)榈淖钚≡?50) 定理8定理1(Dedekind準(zhǔn)則確界原理) 證明：設(shè)為有上界集合。若為的上界，那么容易知道，。否則，記的上界集為，令。顯然，且容易知道， 構(gòu)成的一個(gè)分劃。由Dedekind準(zhǔn)則和所定義的分化可知，必有最小元。若，使得都有，則。因?yàn)槭堑淖钚≡悦?。故，使得，即為的上確界。 (51) 定理8定理2(Dedekind準(zhǔn)則單調(diào)有界原理) 證 不妨設(shè)為

32、單調(diào)遞增有上界數(shù)列，記的所有上界為且，則不難證明構(gòu)成的一個(gè)分劃，由Dedekind準(zhǔn)則和所定義的分化可知，必有最小元。仿(44) 的證明可知，含有數(shù)列中的數(shù)。由單調(diào)性易得知外最多有數(shù)列中的有限項(xiàng)，因此我們證明了。(52) 定理8定理3(Dedekind準(zhǔn)則Cantor區(qū)間套定理) 證 記的上界集為，令，不難驗(yàn)證為的一個(gè)分劃，則由Dedekind準(zhǔn)則可知，或者有最大元，或者有最小元。不妨設(shè)有最大元，則因?yàn)?，所以，又因?yàn)楣?，從而有?(53) 定理8定理4(Dedekind準(zhǔn)則Heine-Borel有限覆蓋定理) 證(反證法) 假設(shè)閉區(qū)間有一個(gè)開覆蓋不能用它的任有限個(gè)開區(qū)間覆蓋。 定義性質(zhì)： 不能

33、用中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋。 仿(9)的證明，利用二等分法容易構(gòu)造出滿足性質(zhì)的區(qū)間套。仿(52)的證明可知，。從而由(3.1)可知，有，這與具有性質(zhì)矛盾。這就證明了HeineBorel有限復(fù)蓋定理。(54) 定理8定理5(Dedekind準(zhǔn)則 Weierstrass聚點(diǎn)原理)證 設(shè)為直線上有界無限點(diǎn)集，則，使得。 定義性質(zhì) 含有中的無限個(gè)點(diǎn)。 仿(9)的證明，利用二等分法容易構(gòu)造出滿足性質(zhì)的區(qū)間套。仿(52)的證明可知，。從而由(3.1)可知，有。由具有性質(zhì)及聚點(diǎn)的定義可知，即為的一個(gè)聚點(diǎn)。(55) 定理8定理6(Dedekind準(zhǔn)則Bolzano致密性定理)證 設(shè)為有界無窮點(diǎn)集。仿(11)的證明，

34、可知存在一個(gè)單調(diào)子列。仿(51)的證明，可知這子列收斂。這就證明了Bolzano致密性定理。(56) 定理8定理7(Dedekind準(zhǔn)則Cauchy收斂準(zhǔn)則)證明：設(shè)滿足，有。不難證明有界。仿(54) 證明的不難證明，使得中含有的無限多項(xiàng)，即。從而有。故。致謝 感謝學(xué)生葉飛、陳國鋒、張靜嫻、陳麗紅在撰寫學(xué)位論文時(shí)作了大量的工作，包括查閱文獻(xiàn)、輸入文本以及制作多媒體課件等。 參考文獻(xiàn)1 鄺榮雨，薛宗慈，陳平尚，等. 微積分學(xué)講義M. 北京：北京師范大學(xué)出版社，1989. KUANG Yurong,XUE Zongci,CHEN Pingshang,et al. Calculus LectureM.Beijing: Beijing Normal University Press,1989.2 劉玉璉，楊奎元，呂鳳. 數(shù)學(xué)分析講義學(xué)習(xí)指導(dǎo)書M. 北京：高等教育出版社 ，1987. LIU Yulian,YANG Kuiyuan,LU Feng. Guide of Mathematical AnalysisM.Beijing: Higher Education Press,1987.3 陳紀(jì)修，於崇華，金路. 數(shù)學(xué)分析M. 北京：高等教育出版社，1999. CHEN Jixiu, YU Chonghua, JIN Lu. Mathematical Ana