小學(xué)思維數(shù)學(xué)講義：雞兔同籠問(wèn)題(二)-帶詳解

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上雞兔同籠問(wèn)題（二）教學(xué)目標(biāo)1. 熟悉雞兔同籠的“砍足法”和“假設(shè)法”.2. 利用雞兔同籠的方法解決一些實(shí)際問(wèn)題，需要把多個(gè)對(duì)象進(jìn)行恰當(dāng)組合以轉(zhuǎn)化成兩個(gè)對(duì)象知識(shí)精講一、雞兔同籠這個(gè)問(wèn)題，是我國(guó)古代著名趣題之一大約在年前，孫子算經(jīng)中就記載了這個(gè)有趣的問(wèn)題書(shū)中是這樣敘述的：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各幾何？這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有個(gè)頭；從下面數(shù)，有只腳求籠中各有幾只雞和兔？ 你會(huì)解答這個(gè)問(wèn)題嗎？你想知道孫子算經(jīng)中是如何解答這個(gè)問(wèn)題的嗎？ 二、解雞兔同籠的基本步驟解答思路是這樣的：假如砍去每只雞、每只兔一半的腳，則每只

2、雞就變成了“獨(dú)腳雞”，每只兔就變成了“雙腳兔”這樣，雞和兔的腳的總數(shù)就由只變成了只；如果籠子里有一只兔子，則腳的總數(shù)就比頭的總數(shù)多因此，腳的總只數(shù)與總頭數(shù)的差，就是兔子的只數(shù)，即（只）顯然，雞的只數(shù)就是（只）了 這一思路新穎而奇特，其“砍足法”也令古今中外數(shù)學(xué)家贊嘆不已除此之外，“雞兔同籠”問(wèn)題的經(jīng)典思路“假設(shè)法”假設(shè)法順口溜：雞兔同籠很奧妙，用假設(shè)法能做到，假設(shè)里面全是雞，算出共有幾只腳，和腳總數(shù)做比較，做差除二兔找到解雞兔同籠問(wèn)題的基本關(guān)系式是：如果假設(shè)全是兔，那么則有：數(shù)=（每只兔子腳數(shù)×雞兔總數(shù)-實(shí)際腳數(shù)）÷（每只兔子腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)） 兔數(shù)=雞兔總數(shù)-雞數(shù)如果假

3、設(shè)全是雞，那么就有：兔數(shù)=（實(shí)際腳數(shù)-每只雞腳數(shù)×雞兔總數(shù)）÷（每只兔子腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)） 雞數(shù)=雞兔總數(shù)-兔數(shù)當(dāng)頭數(shù)一樣時(shí)，腳的關(guān)系：兔子是雞的2倍當(dāng)腳數(shù)一樣時(shí)，頭的關(guān)系：雞是兔子的2倍在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，注重假設(shè)法的運(yùn)用，滲透假設(shè)法的重要性，在以后的專(zhuān)題中，如工程，行程，方程等專(zhuān)題中也都會(huì)接觸到假設(shè)法例題精講兩個(gè)量的“雞兔同籠”問(wèn)題變例【例 1】 某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共有道題，每道題做對(duì)得分，沒(méi)做或做錯(cuò)都要扣分，小聰?shù)昧朔?，他做?duì)了多少道題？【考點(diǎn)】雞兔同籠問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 做錯(cuò) (道)，因此，做對(duì)的 (道)【答案】道【鞏固】 數(shù)學(xué)

4、競(jìng)賽共有20道題，規(guī)定做對(duì)一道得5分，做錯(cuò)或不做倒扣3分，趙天在這次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中得了60分，他做對(duì)了幾道題？【考點(diǎn)】雞兔同籠問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 假設(shè)他將所有題全部做對(duì)了，則可得100分，實(shí)際上只得了60分，比假設(shè)少了40分，做錯(cuò)一題要少得8分，少得的40分中，有多少個(gè)8分，就是他做錯(cuò)的題的數(shù)量，則知他做對(duì)了15道【答案】道【鞏固】 東湖路小學(xué)三年級(jí)舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共道試題.做對(duì)一題得分，沒(méi)有做一題或做錯(cuò)一題都要倒扣分.劉鋼得了分，問(wèn)他做對(duì)了幾道題？【考點(diǎn)】雞兔同籠問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 這道題也類(lèi)似于“雞兔同籠”問(wèn)

5、題假設(shè)劉鋼道題全對(duì)，可得分（分），但他實(shí)際上只得分，少了（分），因此他沒(méi)做或做錯(cuò)了一些題由于做對(duì)一道題得分，沒(méi)做或做錯(cuò)一道題倒扣分，所以沒(méi)做或做錯(cuò)一道題比做對(duì)一道題要少（分）分中含有多少個(gè)，就是劉鋼沒(méi)做或做錯(cuò)多少道題所以，劉鋼沒(méi)做或做錯(cuò)題為（道），做對(duì)題為（道）【答案】道【鞏固】 某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，試題共有道，每做對(duì)一題得分，每做錯(cuò)一題倒扣分。小紅最終得分，做對(duì)的題比做錯(cuò)的題多_道?！究键c(diǎn)】雞兔同籠問(wèn)題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，3年級(jí)，第8題，假設(shè)思想方法【解析】 ，做錯(cuò)道題，做對(duì)道題，對(duì)的比錯(cuò)的多道?！敬鸢浮慷嗟馈眷柟獭?次數(shù)學(xué)競(jìng)賽有道試題，若小宇得70分，根據(jù)圖5中兩人的

6、對(duì)話可知小宇答對(duì)_題?！究键c(diǎn)】雞兔同籠問(wèn)題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，一試，第12題【解析】 設(shè)答對(duì)了道題，那么，所以，也就是小宇答對(duì)了8道題。【答案】題【鞏固】 一次口算比賽，規(guī)定：答對(duì)一題得8分，答錯(cuò)一題扣5分。小華答了18道題，得92分，小華在此次比賽中答錯(cuò)了_ 道題。【考點(diǎn)】雞兔同籠問(wèn)題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試，第12題【解析】 假設(shè)他全答對(duì)了，應(yīng)該的18×8=144分，實(shí)際上少了144-92=52分，每答錯(cuò)一道題少8+5=13分，答錯(cuò)了52÷13=4道題?！敬鸢浮款}【例 2】 某工人與老板簽訂了一份30天

7、的勞務(wù)合同：工作一天可得報(bào)酬48元，休息一天則要從所得報(bào)酬中扣掉12元。該工人合同到期后并沒(méi)有拿到報(bào)酬，則他最多工作了_天?！究键c(diǎn)】和倍問(wèn)題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試，第5題【解析】 方法一：假設(shè)他沒(méi)有休息他會(huì)得（元），休息一天會(huì)少（元），所以他休息了（天），他工作了天方法二：工作一天休息4天剛好抵消，那么最后沒(méi)拿到錢(qián)，他只工作了30÷(4+1)=6天。【答案】天【例 3】 春風(fēng)小學(xué)3名云參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共10道題，答對(duì)一道題得10分，答錯(cuò)一道題扣3分，這3名同學(xué)都回答了所有的題，小明得了87分，小紅得了74分，小華得了9分，他們?nèi)艘还泊饘?duì)了_道題.【

8、考點(diǎn)】雞兔同籠問(wèn)題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 三人共得(分)，比滿分(分)少(分)因此三個(gè)人共做錯(cuò)：(道)題，共答對(duì)了(道)題【答案】【例 4】 張明、李華兩人進(jìn)行射擊比賽，規(guī)定每射中一發(fā)得20分，脫靶一發(fā)扣12分，兩人各射了10發(fā)，共得208分，其中張明比李華多64分，則張明射中_發(fā)?！究键c(diǎn)】雞兔同籠問(wèn)題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，1試【解析】 張明得分（20864）2136分，根據(jù)雞兔同籠，張明脫靶（20×10136）（2012）2，射中8發(fā)?！敬鸢浮堪l(fā)【鞏固】 小明和小剛進(jìn)行數(shù)學(xué)解題能力對(duì)抗賽，兩人商定，對(duì)一題得20分，

9、不答或答錯(cuò)一題扣12分。兩人各解答了10道題，一共得208分，又知道小明比小剛多得64分。那么小剛做對(duì)了 道題?！究键c(diǎn)】雞兔同籠問(wèn)題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級(jí)，初試，10題【解析】 小剛得了（分）,如果小剛道題都做對(duì)了，應(yīng)得分，實(shí)際得分，所以錯(cuò)了（道），做對(duì)了（道）?！敬鸢浮康馈眷柟獭?有兩次自然測(cè)驗(yàn)，第一次24道題，答對(duì)1題得5分，答錯(cuò)(包含不答)1題倒扣1分；第二次15道題，答對(duì)1題8分，答錯(cuò)或不答1題倒扣2分，小明兩次測(cè)驗(yàn)共答對(duì)30道題，但第一次測(cè)驗(yàn)得分比第二次測(cè)驗(yàn)得分多10分，問(wèn)小明兩次測(cè)驗(yàn)各得多少分？ 【考點(diǎn)】雞兔同籠問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞

10、】假設(shè)思想方法【解析】 法一：如果小明第一次測(cè)驗(yàn)24題全對(duì)，得(分).那么第二次只做對(duì)(題)得分是(分).兩次相差(分).比題目中條件相差10分，多了80分.說(shuō)明假設(shè)的第一次答對(duì)題數(shù)多了，要減少.第一次答對(duì)減少一題，少得(分)，而第二次答對(duì)增加一題不但不倒扣2分，還可得8分，因此增加分.兩者兩差數(shù)就可減少(分).(題).因此，第一次答對(duì)題數(shù)要比假設(shè)(全對(duì))減少5題，也就是第一次答對(duì)19題，第二次答對(duì)(題).第一次得分.第二次得分.法二：答對(duì)30題，也就是兩次共答錯(cuò)(題).第一次答錯(cuò)一題，要從滿分中扣去(分)，第二次答錯(cuò)一題，要從滿分中扣去(分).答錯(cuò)題互換一下，兩次得分要相差 (分).如果答錯(cuò)

11、9題都是第一次，要從滿分中扣去.但兩次滿分都是120分.比題目中條件“第一次得分多10分”，要少了.因此，第二次答錯(cuò)題數(shù)是(題).第一次答錯(cuò)(題).第一次得分(分).第二次得分 (分).【答案】第一次得分分.第二次得分分.【例 5】 某旅游點(diǎn)有兒童票、成人票兩種規(guī)格的門(mén)票賣(mài)，兒童票的價(jià)格為30元，成人票的價(jià)格為40元，如果是團(tuán)體還可以買(mǎi)平均32元一位的團(tuán)體票，一個(gè)由8個(gè)家庭組成的旅游團(tuán)（每個(gè)家庭由兩位大人，或兩個(gè)大人、一個(gè)小孩組成）來(lái)景點(diǎn)旅游，如果他們買(mǎi)團(tuán)體票那么可以比他們各買(mǎi)各的少花120元，問(wèn)這個(gè)旅游團(tuán)一共有多少人？ 【考點(diǎn)】雞兔同籠問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【

12、解析】 每個(gè)三口之家可以少花（元），每個(gè)二口之家可以少花（元），如果這8個(gè)家庭都是三口之家，那么一共少花（元），所以這8個(gè)家庭中有（個(gè)）家庭是二口之家，所以這個(gè)旅游團(tuán)一共有（人）【答案】人【例 6】 一張數(shù)學(xué)試卷，只有道選擇題做對(duì)一題得分，做錯(cuò)一題倒扣分；如不做，不得分也不扣分若小明得了分，那么他做對(duì) 題，做錯(cuò) 題，沒(méi)做 題 【考點(diǎn)】雞兔同籠問(wèn)題 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法，祖沖之杯【解析】 這道題不是普通的雞兔同籠問(wèn)題，需要尋找一些特殊的線索 小明得了分，而且只有做對(duì)了題目才能得分，所以可以知道小明至少做對(duì)道題目，否則一定低于(分)； 再假設(shè)他做對(duì)題，發(fā)現(xiàn)即使另外四題都

13、錯(cuò)，小明仍然有(分)，超過(guò)了分，所以小明至多做對(duì)道題目； 綜上，可以斷定小明做對(duì)了道題 至此本題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單雞兔同籠問(wèn)題 假設(shè)剩下題全部沒(méi)做，那么小明應(yīng)得(分) 但是只得了分，說(shuō)明又倒扣了分，說(shuō)明錯(cuò)了道題，道題沒(méi)做 所以小明做對(duì)了道題，做錯(cuò)了道題，沒(méi)做道題【答案】對(duì)了道題，做錯(cuò)了道題，沒(méi)做道題【例 7】 一批鋼材，用小卡車(chē)裝載要輛，用大卡車(chē)裝載只要輛已知每輛大卡車(chē)比每輛小卡車(chē)多裝噸，那么這批鋼材有多少?lài)?？【考點(diǎn)】雞兔同籠問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 要算出這批鋼材有多少?lài)崳枰烂枯v大卡車(chē)或小卡車(chē)能裝多少?lài)嵗眉僭O(shè)法，假設(shè)只用輛小卡車(chē)來(lái)裝載這批鋼材，因?yàn)槊枯v大

14、卡車(chē)比每輛小卡車(chē)多裝噸，所以要剩下 (噸)根據(jù)條件，要裝完這噸鋼材還需要(輛)小卡車(chē)這樣每輛小卡車(chē)能裝(噸)由此可求出這批鋼材有噸【答案】噸【例 8】 下面是小波和售貨員阿姨的一段對(duì)話：小波：“阿姨，您好！” 售貨員：“同學(xué)，你好想買(mǎi)點(diǎn)什么？”小波：“我只有100元，請(qǐng)幫我安排買(mǎi)10支鋼筆和15本筆記本”售貨員：“好，每支鋼筆比每本筆記本貴2元，退你5元，請(qǐng)拿好再見(jiàn)”根據(jù)這段對(duì)話，則鋼筆每支是 元，筆記本每本是 元【考點(diǎn)】雞兔同籠問(wèn)題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，4年級(jí)，第14題【解析】 一共花了元。如果是買(mǎi)本筆記本可以少花元，即元。所以每本筆記本元，每支鋼筆元【答案】元【例

15、 9】 買(mǎi)一些4分和8分的郵票,共花6元8角.已知8分的郵票比4分的郵票多40張,那么兩種郵票各買(mǎi)了多少?gòu)?【考點(diǎn)】雞兔同籠問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 解一:如果拿出40張8分的郵票,余下的郵票中8分與4分的張數(shù)就一樣多. (680-8×40)÷(8+4)=30(張), 這就知道,余下的郵票中,8分和4分的各有30張. 因此8分郵票有 40+30=70(張). 解二:譬如,假設(shè)有20張4分,根據(jù)條件"8分比4分多40張",那么應(yīng)有60張8分.以"分"作為計(jì)算單位,此時(shí)郵票總值是 4×20+

16、8×60=560. 比680少,因此還要增加郵票.為了保持"差"是40,每增加1張4分,就要增加1張8分,每種要增加的張數(shù)是 (680-4×20-8×60)÷(4+8)=10(張). 因此4分有20+10=30(張),8分有60+10=70(張).【答案】4分有30張,8分有70張.【例 10】 喜羊羊的存錢(qián)罐中只有5角和1元的硬幣共100枚，其中5角的硬幣比1元的硬幣多20元，喜羊羊的存錢(qián)罐中總共有_錢(qián)。【考點(diǎn)】盈虧問(wèn)題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，4年級(jí)，第3題【解析】 元。枚，枚，元。【答案】元【例 11】 小

17、同有一個(gè)儲(chǔ)蓄筒，存放的都是硬幣，其中2分幣比5分幣多22個(gè)；按錢(qián)數(shù)算，5分幣卻比2分幣多4角；另外，還有36個(gè)1分幣小同共存了多少錢(qián)？【考點(diǎn)】雞兔同籠問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 假設(shè)去掉22個(gè)2分幣，那么按錢(qián)數(shù)算，5分幣比2分幣多8角4分，一個(gè)5分幣比一個(gè)2分幣多3分，所以5分幣有（個(gè)），2分幣有（個(gè)）， （分）【答案】分【例 12】 現(xiàn)有大小油桶50個(gè)，每個(gè)大桶可裝油4千克，每個(gè)小桶可裝油2千克，大桶比小桶共多裝油20千克，問(wèn)大小桶各多少個(gè)?【考點(diǎn)】雞兔同籠問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 方法一：假設(shè)50個(gè)油桶都是大桶，則共

18、裝油千克，而這小桶所裝油則為0這樣大桶比小桶多裝200千克，比條件所給的差數(shù)多了千克，若在50個(gè)大桶中把一部分大桶換成小桶，則每拿一個(gè)大桶換成小桶，大桶裝的油就減少4千克，而小桶共裝的油就增加2千克，那么大桶比小桶多裝的數(shù)量就減少千克，所以小桶有：(個(gè))，大桶有：(個(gè)).方法二：這道題也可以用另外一種假設(shè)；每個(gè)大桶比每個(gè)小桶多裝2千克，如果大小桶同樣多，大桶要比小桶共多裝20千克，則應(yīng)該大小桶各個(gè)，現(xiàn)在共有50個(gè)桶，在剩下的個(gè)桶中，大小桶應(yīng)裝同樣多的油，而每個(gè)大桶裝的油是每個(gè)小桶裝的倍，那么在這30個(gè)桶中，應(yīng)該有個(gè)大桶，個(gè)小桶；所以可求出50個(gè)桶中，有大小桶各多少個(gè)解：(個(gè)) (個(gè)) (大桶)

19、(個(gè)) (大桶共有)(個(gè)) (小桶共有)【答案】大桶個(gè)，小桶個(gè)【例 13】 大、小猴共只，它們一起去采摘水蜜桃猴王不在時(shí)，一只大猴一個(gè)小時(shí)可采摘千克，一只小猴子一小時(shí)可摘千克；猴王在場(chǎng)監(jiān)督的時(shí)候，每只猴子不論大小每小時(shí)都可以多采摘千克一天，采摘了小時(shí)，其中第一小時(shí)和最后一小時(shí)猴王在監(jiān)督，結(jié)果共采摘了千克水蜜桃在這個(gè)猴群中，共有小猴子多少只？【考點(diǎn)】雞兔同籠問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 其實(shí)大猴子和小猴子就相當(dāng)于雞兔問(wèn)題中的雞和兔但是卻有猴王來(lái)?yè)v亂，所以我們先讓猴王消失一天中，猴王監(jiān)視了小時(shí)，假設(shè)猴王一直都不在，同猴王在時(shí)相比，每只猴子每小時(shí)都會(huì)少采千克，那樣猴

20、群只能采摘(千克)；這是一天也就是小時(shí)的工作量，據(jù)此可以求出這群猴每小時(shí)采(千克)；假設(shè)都是大猴子，應(yīng)該每小時(shí)采摘(千克)，比實(shí)際多采了(千克)而每只小猴子被假設(shè)成大猴子，會(huì)多采(千克)因此可以求出小猴子有：(只)【答案】只【例 14】 今年是1998年,父母年齡(整數(shù))和是78歲,兄弟的年齡和是17歲.四年后(2002年)父的年齡是弟的年齡的4倍,母的年齡是兄的年齡的3倍.那么當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時(shí),是公元哪一年？【考點(diǎn)】雞兔同籠問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 4年后,兩人年齡和都要加8.此時(shí)兄弟年齡之和是17+8=25,父母年齡之和是78+8=86.我

21、們可以把兄的年齡看作"雞"頭數(shù),弟的年齡看作"兔"頭數(shù).25是"總頭數(shù)".86是"總腳數(shù)".根據(jù)公式,兄的年齡是 (25×4-86)÷(4-3)=14(歲). 1998年,兄年齡是14-4=10(歲). 父年齡是 (25-14)×4-4=40(歲). 因此,當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時(shí),兄的年齡是 (40-10)÷(3-1)=15(歲),這是2003年. 【答案】年【例 15】 一份稿件,甲單獨(dú)打字需6小時(shí)完成.乙單獨(dú)打字需10小時(shí)完成,現(xiàn)在甲單獨(dú)打若干小時(shí)后,因有事由乙接著打完,共用了7小時(shí).甲打字用了多少小時(shí)？【考點(diǎn)】雞兔同籠問(wèn)題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】假設(shè)思想方法【解析】 我們把這份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍數(shù)),甲每小時(shí)打30÷6=5(份),乙每小時(shí)打30÷10=3(份). 現(xiàn)在把甲打字的時(shí)間看成"兔"頭數(shù),乙打字的時(shí)