2014年高考數(shù)學(xué)理科（高考真題+模擬新題）分類匯編：H單元　解析幾何

1、數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)H H 單元單元解析幾何解析幾何H1H1直線的傾斜角與斜率、直線的方程直線的傾斜角與斜率、直線的方程14 、2014湖北卷 設(shè) f(x)是定義在(0，)上的函數(shù)，且 f(x)0，對任意 a0，b0，若經(jīng)過點(a，f(a)，(b，f(b)的直線與 x 軸的交點為(c，0)，則稱 c 為 a，b 關(guān)于函數(shù) f(x)的平均數(shù)，記為 Mf(a，b)，例如，當 f(x)1(x0)時，可得 Mf(a，b)cab2，即 Mf(a，b)為 a，b 的算術(shù)平均數(shù)(1)當 f(x)_(x0)時，Mf(a，b)為 a，b 的幾何平均數(shù)；(2)當 f(x)_(x0)時，Mf(a，b)為 a，b 的調(diào)和平均數(shù)2

2、abab.(以上兩空各只需寫出一個符合要求的函數(shù)即可)14(1) x(2)x(或填(1)k1x；(2)k2x，其中 k1，k2為正常數(shù))解析 設(shè) A(a，f(a)，B(b，f(b)，C(c，0)，則此三點共線：(1)依題意，c ab，則0f（a）ca0f（b）cb，即0f（a）aba0f（b）abb.因為 a0，b0，所以化簡得f（a）af（b）b，故可以選擇 f(x) x(x0)；(2)依題意，c2abab，則0f（a）2ababa0f（b）2ababb，因為 a0，b0，所以化簡得f（a）af（b）b，故可以選擇 f(x)x(x0)202014江西卷 如圖 17 所示，已知雙曲線 C：x2

3、a2y21(a0)的右焦點為 F，點 A，B 分別在 C 的兩條漸近線上，AFx 軸，ABOB，BFOA(O 為坐標原點)圖 17(1)求雙曲線 C 的方程；(2)過 C 上一點 P(x0，y0)(y00)的直線 l：x0 xa2y0y1 與直線 AF 相交于點 M，與直線 x32相交于點 N.證明：當點 P 在 C 上移動時，|MF|NF|恒為定值，并求此定值20解：(1)設(shè) F(c，0)，因為 b1，所以 c a21.由題意，直線 OB 的方程為 y1ax，直線 BF 的方程為 y1a(xc)，所以 Bc2，c2a .又直線 OA 的方程為 y1ax，則 Ac，ca ，所以 kABcac2

4、acc23a.又因為 ABOB，所以3a1a 1，解得 a23，故雙曲線 C 的方程為x23y21.(2)由(1)知 a 3，則直線 l 的方程為x0 x3y0y1(y00)，即 yx0 x33y0(y00)因為直線 AF 的方程為 x2，所以直線 l 與 AF 的交點為 M2，2x033y0，直線 l 與直線x32的交點為 N32，32x033y0，則|MF|2|NF|2（2x03）2（3y0）21432x032（3y0）2（2x03）29y20494（x02）243（2x03）23y203（x02）2.又 P(x0，y0)是 C 上一點，則x203y201，代入上式得|MF|2|NF|24

5、3（2x03）2x2033（x02）243（2x03）24x2012x0943，所以|MF|NF|232 33，為定值20 ， ，2014四川卷 已知橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的焦距為 4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形(1)求橢圓 C 的標準方程(2)設(shè) F 為橢圓 C 的左焦點，T 為直線 x3 上任意一點，過 F 作 TF 的垂線交橢圓 C于點 P，Q.證明：OT 平分線段 PQ(其中 O 為坐標原點)；當|TF|PQ|最小時，求點 T 的坐標20解：(1)由已知可得a2b22b，2c2 a2b24，解得 a26，b22，所以橢圓 C 的標準方程是x26y221

6、.(2)證明：由(1)可得，F(xiàn) 的坐標是(2，0)，設(shè) T 點的坐標為(3，m)，則直線 TF 的斜率 kTFm03（2）m.當 m0 時，直線 PQ 的斜率 kPQ1m.直線 PQ 的方程是 xmy2.當 m0 時，直線 PQ 的方程是 x2，也符合 xmy2 的形式設(shè) P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將直線 PQ 的方程與橢圓 C 的方程聯(lián)立，得xmy2，x26y221.消去 x，得(m23)y24my20，其判別式16m28(m23)0.所以 y1y24mm23，y1y22m23，x1x2m(y1y2)412m23.設(shè) M 為 PQ 的中點，則 M 點的坐標為6m23，2mm23 .

7、所以直線 OM 的斜率 kOMm3，又直線 OT 的斜率 kOTm3，所以點 M 在直線 OT 上，因此 OT 平分線段 PQ.由可得，|TF| m21，|PQ| （x1x2）2（y1y2）2 （m21）（y1y2）24y1y2（m21）4mm23242m2324（m21）m23.所以|TF|PQ|124（m23）2m21124m214m214124（44）33.當且僅當 m214m21，即 m1 時，等號成立，此時|TF|PQ|取得最小值故當|TF|PQ|最小時，T 點的坐標是(3，1)或(3，1)H2H2兩直線的位置關(guān)系與點到直線的距離兩直線的位置關(guān)系與點到直線的距離21 、 、2014全

8、國卷 已知拋物線 C：y22px(p0)的焦點為 F，直線 y4 與 y 軸的交點為 P，與 C 的交點為 Q，且|QF|54|PQ|.(1)求 C 的方程；(2)過 F 的直線 l 與 C 相交于 A，B 兩點，若 AB 的垂直平分線 l與 C 相交于 M，N 兩點，且 A，M，B，N 四點在同一圓上，求 l 的方程21解：(1)設(shè) Q(x0，4)，代入 y22px，得 x08p，所以|PQ|8p，|QF|p2x0p28p.由題設(shè)得p28p548p，解得 p2(舍去)或 p2，所以 C 的方程為 y24x.(2)依題意知 l 與坐標軸不垂直，故可設(shè) l 的方程為 xmy1(m0)代入 y24

9、x，得 y24my40.設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 y1y24m，y1y24.故線段的 AB 的中點為 D(2m21，2m)，|AB| m21|y1y2|4(m21)又直線 l 的斜率為m，所以 l 的方程為 x1my2m23.將上式代入 y24x，并整理得 y24my4(2m23)0.設(shè) M(x3，y3)，N(x4，y4)，則 y3y44m，y3y44(2m23)故線段 MN 的中點為 E2m22m23，2m ，|MN|11m2|y3y4|4（m21） 2m21m2.由于線段 MN垂直平分線段 AB， 故 A， M， B， N四點在同一圓上等價于|AE|BE|12|MN|，從

10、而14|AB|2|DE|214|MN|2，即4(m21)22m2m22m2224（m21）2（2m21）m4，化簡得 m210，解得 m1 或 m1，故所求直線 l 的方程為 xy10 或 xy10.H3H3圓的方程圓的方程9 、2014福建卷 設(shè) P，Q 分別為圓 x2(y6)22 和橢圓x210y21 上的點，則 P，Q 兩點間的最大距離是()A5 2B. 46 2C7 2D6 29D解析 設(shè)圓心為點 C，則圓 x2(y6)22 的圓心為 C(0，6)，半徑 r 2.設(shè)點Q(x0，y0)是橢圓上任意一點，則x2010y201，即 x201010y20，|CQ| 1010y20（y06）2

11、9y2012y0469y023250，當 y023時，|CQ|有最大值 52，則 P，Q 兩點間的最大距離為 52r62.H4H4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系10 、2014安徽卷 在平面直角坐標系 xOy 中，已知向量 a，b，|a|b|1，ab0，點 Q 滿足OQ 2(ab)曲線 CP|OPacos bsin，02，區(qū)域P|0r|PQ|R，rR若 C為兩段分離的曲線，則()A1rR3B1r3RCr1R3D1r3R10A解析由已知可設(shè)OAa(1，0)，OBb(0，1)，P(x，y)，則OQ( 2， 2)，|OQ|2.曲線 CP|OP(cos，sin )，02，即 C：

12、x2y21.區(qū)域P|0r|PQ|R，rR表示圓 P1：(x 2)2(y 2)2r2與 P2：(x 2)2(y 2)2R2所形成的圓環(huán)，如圖所示要使 C為兩段分離的曲線，則有 1rR3.19 、 、2014北京卷 已知橢圓 C：x22y24.(1)求橢圓 C 的離心率；(2)設(shè) O 為原點，若點 A 在橢圓 C 上，點 B 在直線 y2 上，且 OAOB，試判斷直線AB 與圓 x2y22 的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論19解：(1)由題意，橢圓 C 的標準方程為x24y221.所以 a24，b22，從而 c2a2b22.因此 a2，c 2.故橢圓 C 的離心率 eca22.(2)直線 AB 與圓 x

13、2y22 相切證明如下：設(shè)點 A，B 的坐標分別為(x0，y0)，(t，2)，其中 x00.因為 OAOB，所以O(shè)AOB0，即 tx02y00，解得 t2y0 x0.當 x0t 時，y0t22，代入橢圓 C 的方程，得 t 2，故直線 AB 的方程為 x 2.圓心 O 到直線 AB 的距離 d 2，此時直線 AB 與圓 x2y22 相切當 x0t 時，直線 AB 的方程為 y2y02x0t(xt)，即(y02)x(x0t)y2x0ty00.圓心 O 到直線 AB 的距離d|2x0ty0|（y02）2（x0t）2.又 x202y204，t2y0 x0，故d|2x02y20 x0|x20y204y

14、20 x204|4x20 x0|x408x20162x20 2.此時直線 AB 與圓 x2y22 相切6 、2014福建卷 直線 l：ykx1 與圓 O：x2y21 相交于 A，B 兩點，則“k1”是“OAB 的面積為12”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分又不必要條件6 A解析 由直線 l 與圓 O 相交， 得圓心 O 到直線 l 的距離 d1k21g(x)，根據(jù)圓心(0，0)到直線 y3xb 的距離是圓的半徑求得|b|912，解得 b210或 b2 10(舍去)，要使 h(x)g(x)恒成立，則 b2 10，即實數(shù) b 的取值范圍是(2 10，)122014

15、陜西卷 若圓 C 的半徑為 1，其圓心與點(1，0)關(guān)于直線 yx 對稱，則圓 C的標準方程為_12x2(y1)21解析 由圓 C 的圓心與點(1，0)關(guān)于直線 yx 對稱，得圓 C 的圓心為(0，1)又因為圓 C 的半徑為 1，所以圓 C 的標準方程為 x2(y1)21.14 ，2014四川卷 設(shè) mR，過定點 A 的動直線 xmy0 和過定點 B 的動直線 mxym30 交于點 P(x，y)，則|PA|PB|的最大值是_145解析 由題意可知，定點 A(0，0)，B(1，3)，且兩條直線互相垂直，則其交點P(x，y)落在以 AB 為直徑的圓周上，所以|PA|2|PB|2|AB|210.|P

16、A|PB|PA|2|PB|225，當且僅當|PA|PB|時等號成立13 2014重慶卷 已知直線axy20與圓心為C的圓(x1)2(ya)24相交于A，B 兩點，且ABC 為等邊三角形，則實數(shù) a_134 15解析 由題意可知圓的圓心為 C(1，a)，半徑 r2，則圓心 C 到直線 axy20 的距離 d|aa2|a21|2a2|a21.ABC 為等邊三角形，|AB|r2.又|AB|2 r2d2，222|2a2|a2122，即 a28a10，解得 a4 15.21 ，2014重慶卷 如圖 14 所示，設(shè)橢圓x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點分別為 F1，F(xiàn)2，點 D 在橢圓上，DF1F1

17、F2，|F1F2|DF1|2 2，DF1F2的面積為22.(1)求橢圓的標準方程；(2)設(shè)圓心在 y 軸上的圓與橢圓在 x 軸的上方有兩個交點， 且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點，求圓的半徑圖 1421解：(1)設(shè) F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，其中 c2a2b2.由|F1F1|DF1|22得|DF1|F1F2|2 222c.從而 SDF1F212|DF1|F1F2|22c222，故 c1.從而|DF1|22，由 DF1F1F2得|DF2|2|DF1|2|F1F2|292，因此|DF2|3 22，所以 2a|DF1|DF2|2 2，故 a 2，b2a2c21.因此，所求

18、橢圓的標準方程為x22y21.(2)如圖所示，設(shè)圓心在 y 軸上的圓 C 與橢圓x22y21 相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是兩個交點，y10，y20，F(xiàn)1P1，F(xiàn)2P2是圓 C 的切線，且 F1P1F2P2.由圓和橢圓的對稱性，易知，x2x1，y1y2，|P1P2|2|x1|.由(1)知 F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，所以F1P1(x11，y1)，F(xiàn)2P2(x11，y1)再由 F1P1F2P2得(x11)2y210.由橢圓方程得 1x212(x11)2，即 3x214x10，解得 x143或x10.當 x10 時，P1，P2重合，此時題設(shè)要求的圓不存在當 x143時，過 P1

19、，P2分別與 F1P1，F(xiàn)2P2垂直的直線的交點即為圓心 C.由 F1P1，F(xiàn)2P2是圓 C 的切線，且 F1P1F2P2，知 CP1CP2.又|CP1|CP2|，故圓 C 的半徑|CP1|22|P1P2| 2|x1|4 23.H5H5橢圓及其幾何性質(zhì)橢圓及其幾何性質(zhì)20 ， ，2014四川卷 已知橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的焦距為 4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形(1)求橢圓 C 的標準方程(2)設(shè) F 為橢圓 C 的左焦點，T 為直線 x3 上任意一點，過 F 作 TF 的垂線交橢圓 C于點 P，Q.證明：OT 平分線段 PQ(其中 O 為坐標原點)；當|TF|

20、PQ|最小時，求點 T 的坐標20解：(1)由已知可得a2b22b，2c2 a2b24，解得 a26，b22，所以橢圓 C 的標準方程是x26y221.(2)證明：由(1)可得，F(xiàn) 的坐標是(2，0)，設(shè) T 點的坐標為(3，m)，則直線 TF 的斜率 kTFm03（2）m.當 m0 時，直線 PQ 的斜率 kPQ1m.直線 PQ 的方程是 xmy2.當 m0 時，直線 PQ 的方程是 x2，也符合 xmy2 的形式設(shè) P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將直線 PQ 的方程與橢圓 C 的方程聯(lián)立，得xmy2，x26y221.消去 x，得(m23)y24my20，其判別式16m28(m23)0

21、.所以 y1y24mm23，y1y22m23，x1x2m(y1y2)412m23.設(shè) M 為 PQ 的中點，則 M 點的坐標為6m23，2mm23 .所以直線 OM 的斜率 kOMm3，又直線 OT 的斜率 kOTm3，所以點 M 在直線 OT 上，因此 OT 平分線段 PQ.由可得，|TF| m21，|PQ| （x1x2）2（y1y2）2 （m21）（y1y2）24y1y2（m21）4mm23242m2324（m21）m23.所以|TF|PQ|124（m23）2m21124m214m214124（44）33.當且僅當 m214m21，即 m1 時，等號成立，此時|TF|PQ|取得最小值故當|

22、TF|PQ|最小時，T 點的坐標是(3，1)或(3，1)142014安徽卷 設(shè) F1，F(xiàn)2分別是橢圓 E：x2y2b21(0b1)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓 E 于 A，B 兩點若|AF1|3|F1B|，AF2x 軸，則橢圓 E 的方程為_14x232y21解析設(shè) F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，其中 c 1b2，則可設(shè) A(c，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|3|F1B|，可得AF13F1B，故2c3x03c，b23y0，即x053c，y013b2，代入橢圓方程可得25（1b2）919b21，解得 b223，故橢圓方程為 x23y221.19 、 、2014北京卷 已知橢圓 C

23、：x22y24.(1)求橢圓 C 的離心率；(2)設(shè) O 為原點，若點 A 在橢圓 C 上，點 B 在直線 y2 上，且 OAOB，試判斷直線AB 與圓 x2y22 的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論19解：(1)由題意，橢圓 C 的標準方程為x24y221.所以 a24，b22，從而 c2a2b22.因此 a2，c 2.故橢圓 C 的離心率 eca22.(2)直線 AB 與圓 x2y22 相切證明如下：設(shè)點 A，B 的坐標分別為(x0，y0)，(t，2)，其中 x00.因為 OAOB，所以O(shè)AOB0，即 tx02y00，解得 t2y0 x0.當 x0t 時，y0t22，代入橢圓 C 的方程，得 t

24、2，故直線 AB 的方程為 x 2.圓心 O 到直線 AB 的距離 d 2，此時直線 AB 與圓 x2y22 相切當 x0t 時，直線 AB 的方程為 y2y02x0t(xt)，即(y02)x(x0t)y2x0ty00.圓心 O 到直線 AB 的距離d|2x0ty0|（y02）2（x0t）2.又 x202y204，t2y0 x0，故d|2x02y20 x0|x20y204y20 x204|4x20 x0|x408x20162x20 2.此時直線 AB 與圓 x2y22 相切9 、2014福建卷 設(shè) P，Q 分別為圓 x2(y6)22 和橢圓x210y21 上的點，則 P，Q 兩點間的最大距離是

25、()A5 2B. 46 2C7 2D6 29D解析 設(shè)圓心為點 C，則圓 x2(y6)22 的圓心為 C(0，6)，半徑 r 2.設(shè)點Q(x0，y0)是橢圓上任意一點，則x2010y201，即 x201010y20，|CQ| 1010y20（y06）2 9y2012y0469y023250，當 y023時，|CQ|有最大值 52，則 P，Q 兩點間的最大距離為 52r62.20 、2014廣東卷 已知橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的一個焦點為( 5，0)，離心率為53.(1)求橢圓 C 的標準方程；(2)若動點 P(x0，y0)為橢圓 C 外一點，且點 P 到橢圓 C 的兩條切線相互垂

26、直，求點 P 的軌跡方程9 、2014湖北卷 已知 F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P 是它們的一個公共點，且F1PF23，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為()A.4 33B.2 33C3D29A解析 設(shè)|PF1|r1，|PF2|r2，r1r2，橢圓的長半軸長為 a1，雙曲線的實半軸長為 a2，橢圓、雙曲線的離心率分別為 e1，e2.則由橢圓、雙曲線的定義，得 r1r22a1，r1r22a2，平方得 4a21r21r222r1r2，4a22r212r1r2r22.又由余弦定理得 4c2r21r22r1r2，消去 r1r2，得 a213a224c2，即1e213e224.所以由柯西

27、不等式得1e11e221e1133e221e213e22113 163.所以1e11e24 33.故選 A.21 、 、 、2014湖南卷 如圖 17，O 為坐標原點，橢圓 C1：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點分別為 F1，F(xiàn)2，離心率為 e1；雙曲線 C2：x2a2y2b21 的左、右焦點分別為 F3，F(xiàn)4，離心率為 e2.已知 e1e232，且|F2F4| 31.(1)求 C1，C2的方程；(2)過 F1作 C1的不垂直于 y 軸的弦 AB，M 為 AB 的中點當直線 OM 與 C2交于 P，Q兩點時，求四邊形 APBQ 面積的最小值圖 1721解： (1)因為 e1e232，所

28、以a2b2aa2b2a32，即 a4b434a4，因此 a22b2，從而 F2(b，0)，F(xiàn)4( 3b，0)，于是3bb|F2F4| 31，所以 b1，a22.故 C1，C2的方程分別為x22y21，x22y21.(2)因 AB 不垂直于 y 軸，且過點 F1(1，0)，故可設(shè)直線 AB 的方程為 xmy1，由xmy1，x22y21得(m22)y22my10.易知此方程的判別式大于 0.設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 y1，y2是上述方程的兩個實根，所以 y1y22mm22，y1y21m22.因此 x1x2m(y1y2)24m22，于是 AB 的中點為 M2m22，mm22 ，故直

29、線 PQ的斜率為m2，PQ 的方程為 ym2x，即 mx2y0.由ym2x，x22y21得(2m2)x24，所以 2m20，且 x242m2，y2m22m2，從而|PQ|2 x2y22m242m2.設(shè)點 A 到直線 PQ 的距離為 d， 則點 B 到直線 PQ 的距離也為 d， 所以2d|mx12y1|mx22y2|m24.因為點 A，B 在直線 mx2y0 的異側(cè)，所以(mx12y1)(mx22y2)0，于是|mx12y1|mx22y2|mx12y1mx22y2|，從而 2d（m22）|y1y2|m24.又因為|y1y2| （y1y2）24y1y22 2 1m2m22，所以 2d2 2 1m

30、2m24.故四邊形 APBQ 的面積 S12|PQ|2d2 2 1m22m22 2132m2.而 0b0)相交于 A，B 兩點，若 M 是線段 AB 的中點，則橢圓 C 的離心率等于_15.22解析 設(shè)點 A(x1，y1)，點 B(x2，y2)，點 M 是線段 AB 的中點，所以 x1x22，y1y22，且x21a2y21b21，x22a2y22b21，兩式作差可得x21x22a2（y21y22）b2，即（x1x2） （x1x2）a2（y1y2） （y1y2）b2，所以y1y2x1x2b2a2，即 kABb2a2.由題意可知，直線 AB 的斜率為12，所以b2a212，即 a 2b.又 a2b

31、2c2，所以 cb，e22.152014遼寧卷 已知橢圓 C：x29y241，點 M 與 C 的焦點不重合若 M 關(guān)于 C 的焦點的對稱點分別為 A，B，線段 MN 的中點在 C 上，則|AN|BN|_1512解析 取 MN 的中點為 G，點 G 在橢圓 C 上設(shè)點 M 關(guān)于 C 的焦點 F1的對稱點為 A，點 M 關(guān)于 C 的焦點 F2的對稱點為 B，則有|GF1|12|AN|，|GF2|12|BN|，所以|AN|BN|2(|GF1|GF2|)4a12.20 、2014遼寧卷 圓 x2y24 的切線與 x 軸正半軸，y 軸正半軸圍成個三角形，當該三角形面積最小時，切點為 P(如圖 16 所示

32、)雙曲線 C1：x2a2y2b21 過點 P 且離心率為 3.圖 16(1)求 C1的方程；(2)橢圓 C2過點 P 且與 C1有相同的焦點， 直線 l 過 C2的右焦點且與 C2交于 A， B 兩點 若以線段 AB 為直徑的圓過點 P，求 l 的方程20解：(1)設(shè)切點坐標為(x0，y0)(x00，y00)，則切線斜率為x0y0，切線方程為 yy0 x0y0(xx0)， 即 x0 xy0y4， 此時兩個坐標軸的正半軸與切線的交點分別為4x0，0，0，4y0.故其圍成的三角形的面積 S124x04y08x0y0.由 x20y2042x0y0知，當且僅當 x0y0 2時x0y0有最大值 2，此時

33、 S 有最小值 4，因此點 P 的坐標為( 2， 2)由題意知2a22b21，a2b23a2，解得 a21，b22，故 C1的方程為 x2y221.(2)由(1)知 C2的焦點坐標為( 3，0)，( 3，0)，由此可設(shè) C2的方程為x23b21y2b211，其中 b10.由 P( 2， 2)在 C2上，得23b212b211，解得 b213，因此 C2的方程為x26y231.顯然，l 不是直線 y0.設(shè)直線 l 的方程為 xmy 3，點 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由xmy 3，x26y231，得(m22)y223my30.又 y1，y2是方程的根，因此y1y223mm22，y1y23

34、m22，由 x1my1 3，x2my2 3，得x1x2m（y1y2）2343m22，x1x2m2y1y2 3m（y1y2）366m2m22.因為AP( 2x1， 2y1)，BP( 2x2， 2y2)，由題意知APBP0，所以 x1x2 2(x1x2)y1y2 2(y1y2)40，將代入式整理得2m226m46110，解得 m3621 或 m621.因此直線 l 的方程為x(3621)y 30 或 x(621)y 30.62014全國卷 已知橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點為 F1，F(xiàn)2，離心率為33，過 F2的直線 l 交 C 于 A，B 兩點若AF1B 的周長為 4 3，則

35、 C 的方程為()A.x23y221B.x23y21C.x212y281D.x212y2416 A解析 根據(jù)題意， 因為AF1B 的周長為 4 3， 所以|AF1|AB|BF1|AF1|AF2|BF1|BF2|4a4 3，所以 a 3.又因為橢圓的離心率 eca33，所以 c1，b2a2c2312，所以橢圓 C 的方程為x23y221.20 、 、2014新課標全國卷 已知點 A(0，2)，橢圓 E：x2a2y2b21(ab0)的離心率為32，F(xiàn) 是橢圓 E 的右焦點，直線 AF 的斜率為2 33，O 為坐標原點(1)求 E 的方程；(2)設(shè)過點 A 的動直線 l 與 E 相交于 P，Q 兩點

36、，當OPQ 的面積最大時，求 l 的方程20解：(1)設(shè) F(c，0)，由條件知，2c2 33，得 c 3.又ca32，所以 a2，b2a2c21.故 E 的方程為x24y21.(2)當 lx 軸時不合題意，故可設(shè) l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)將 ykx2 代入x24y21 得(14k2)x216kx120，當16(4k23)0，即 k234時，x1，28k2 4k234k21，從而|PQ| k21|x1x2|4 k21 4k234k21.又點 O 到直線 l 的距離 d2k21.所以O(shè)PQ 的面積SOPQ12d|PQ|4 4k234k21.設(shè) 4k23t，則 t0，SOP

37、Q4tt244t4t.因為 t4t4，當且僅當 t2，即 k72時等號成立，滿足0，所以，當OPQ 的面積最大時，k72，l 的方程為 y72x2 或 y72x2.20 、 、2014新課標全國卷 設(shè) F1，F(xiàn)2分別是橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點，M 是 C 上一點且 MF2與 x 軸垂直，直線 MF1與 C 的另一個交點為 N.(1)若直線 MN 的斜率為34，求 C 的離心率；(2)若直線 MN 在 y 軸上的截距為 2，且|MN|5|F1N|，求 a，b.20解：(1)根據(jù) c a2b2及題設(shè)知 Mc，b2a ，2b23ac.將 b2a2c2代入 2b23ac，解得

38、ca12，ca2(舍去)故 C 的離心率為12.(2)由題意知，原點 O 為 F1F2的中點，MF2y 軸，所以直線 MF1與 y 軸的交點 D(0，2)是線段 MF1的中點，故b2a4，即 b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.設(shè) N(x1，y1)，由題意知 y1b0，y0)和部分拋物線 C2：yx21(y0)連接而成，C1與 C2的公共點為 A，B，其中 C1的離心率為32.(1)求 a，b 的值；(2)過點 B 的直線 l 與 C1，C2分別交于點 P，Q(均異于點 A，B)，若 APAQ，求直線 l的方程圖 1520解：(1)在 C1，C2的方程中，令 y0，可得

39、b1，且 A(1，0)，B(1，0)是上半橢圓 C1的左、右頂點設(shè) C1的半焦距為 c，由ca32及 a2c2b21 得 a2，a2，b1.(2)方法一：由(1)知，上半橢圓 C1的方程為y24x21(y0)易知，直線 l 與 x 軸不重合也不垂直，設(shè)其方程為 yk(x1)(k0)，代入 C1的方程，整理得(k24)x22k2xk240.(*)設(shè)點 P 的坐標為(xP，yP)，直線 l 過點 B，x1 是方程(*)的一個根由求根公式，得 xPk24k24，從而 yP8kk24，點 P 的坐標為k24k24，8kk24 .同理，由yk（x1） （k0） ，yx21（y0） ，得點 Q 的坐標為(

40、k1，k22k)AP2kk24(k，4)，AQk(1，k2)APAQ，APAQ0，即2k2k24k4(k2)0，k0，k4(k2)0，解得 k83.經(jīng)檢驗，k83符合題意，故直線 l 的方程為 y83(x1)方法二：若設(shè)直線 l 的方程為 xmy1(m0)，比照方法一給分20 ， ，2014陜西卷 如圖 15 所示，曲線 C 由上半橢圓 C1：y2a2x2b21(ab0，y0)和部分拋物線 C2：yx21(y0)連接而成，C1與 C2的公共點為 A，B，其中 C1的離心率為32.(1)求 a，b 的值；(2)過點 B 的直線 l 與 C1，C2分別交于點 P，Q(均異于點 A，B)，若 APA

41、Q，求直線 l的方程圖 1520解：(1)在 C1，C2的方程中，令 y0，可得 b1，且 A(1，0)，B(1，0)是上半橢圓 C1的左、右頂點設(shè) C1的半焦距為 c，由ca32及 a2c2b21 得 a2，a2，b1.(2)方法一：由(1)知，上半橢圓 C1的方程為y24x21(y0)易知，直線 l 與 x 軸不重合也不垂直，設(shè)其方程為 yk(x1)(k0)，代入 C1的方程，整理得(k24)x22k2xk240.(*)設(shè)點 P 的坐標為(xP，yP)，直線 l 過點 B，x1 是方程(*)的一個根由求根公式，得 xPk24k24，從而 yP8kk24，點 P 的坐標為k24k24，8kk

42、24 .同理，由yk（x1） （k0） ，yx21（y0） ，得點 Q 的坐標為(k1，k22k)AP2kk24(k，4)，AQk(1，k2)APAQ，APAQ0，即2k2k24k4(k2)0，k0，k4(k2)0，解得 k83.經(jīng)檢驗，k83符合題意，故直線 l 的方程為 y83(x1)方法二：若設(shè)直線 l 的方程為 xmy1(m0)，比照方法一給分18 、2014天津卷 設(shè)橢圓x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點分別為 F1，F(xiàn)2，右頂點為 A，上頂點為 B.已知|AB|32|F1F2|.(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè) P 為橢圓上異于其頂點的一點，以線段 PB 為直徑的圓經(jīng)過點 F1

43、，經(jīng)過原點 O 的直線 l 與該圓相切，求直線 l 的斜率18解：(1)設(shè)橢圓右焦點 F2的坐標為(c，0)由|AB|32|F1F2|，可得 a2b23c2.又 b2a2c2，則c2a212，所以橢圓的離心率 e22.(2)由(1)知 a22c2，b2c2.故橢圓方程為x22c2y2c21.設(shè) P(x0，y0)由 F1(c，0)，B(0，c)，有F1P(x0c，y0)，F(xiàn)1B(c，c)由已知，有F1PF1B0，即(x0c)cy0c0.又 c0，故有 x0y0c0.又因為點 P 在橢圓上，所以x202c2y20c21.由和可得 3x204cx00.而點 P 不是橢圓的頂點，故 x043c.代入得

44、 y0c3，即點P 的坐標為4c3，c3 .設(shè)圓的圓心為 T(x1，y1)，則 x143c0223c，y1c3c223c，進而圓的半徑 r（x10）2（y1c）253c.設(shè)直線 l 的斜率為 k，依題意，直線 l 的方程為 ykx.由 l 與圓相切，可得|kx1y1|k21r，即|k2c3 2c3|k2153c，整理得 k28k10，解得 k4 15，所以直線 l 的斜率為 4 15或 4 15.21 、2014浙江卷 如圖 16，設(shè)橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)，動直線 l 與橢圓 C 只有一個公共點 P，且點 P 在第一象限(1)已知直線 l 的斜率為 k，用 a，b，k 表示點

45、P 的坐標；(2)若過原點 O 的直線 l1與 l 垂直，證明：點 P 到直線 l1的距離的最大值為 ab.圖 1621解：(1)設(shè)直線 l 的方程為 ykxm(kb0)的左、右焦點分別為 F1，F(xiàn)2，點 D 在橢圓上，DF1F1F2，|F1F2|DF1|2 2，DF1F2的面積為22.(1)求橢圓的標準方程；(2)設(shè)圓心在 y 軸上的圓與橢圓在 x 軸的上方有兩個交點， 且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點，求圓的半徑圖 1421解：(1)設(shè) F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，其中 c2a2b2.由|F1F1|DF1|22得|DF1|F1F2|2 222c.從而 SDF1F2

46、12|DF1|F1F2|22c222，故 c1.從而|DF1|22，由 DF1F1F2得|DF2|2|DF1|2|F1F2|292，因此|DF2|3 22，所以 2a|DF1|DF2|2 2，故 a 2，b2a2c21.因此，所求橢圓的標準方程為x22y21.(2)如圖所示，設(shè)圓心在 y 軸上的圓 C 與橢圓x22y21 相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是兩個交點，y10，y20，F(xiàn)1P1，F(xiàn)2P2是圓 C 的切線，且 F1P1F2P2.由圓和橢圓的對稱性，易知，x2x1，y1y2，|P1P2|2|x1|.由(1)知 F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，所以F1P1(x11，y1)，F(xiàn)

47、2P2(x11，y1)再由 F1P1F2P2得(x11)2y210.由橢圓方程得 1x212(x11)2，即 3x214x10，解得 x143或x10.當 x10 時，P1，P2重合，此時題設(shè)要求的圓不存在當 x143時，過 P1，P2分別與 F1P1，F(xiàn)2P2垂直的直線的交點即為圓心 C.由 F1P1，F(xiàn)2P2是圓 C 的切線，且 F1P1F2P2，知 CP1CP2.又|CP1|CP2|，故圓 C 的半徑|CP1|22|P1P2| 2|x1|4 23.H6H6雙曲線及其幾何性質(zhì)雙曲線及其幾何性質(zhì)9 、2014湖北卷 已知 F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P 是它們的一個公共點，且F1PF

48、23，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為()A.4 33B.2 33C3D29A解析 設(shè)|PF1|r1，|PF2|r2，r1r2，橢圓的長半軸長為 a1，雙曲線的實半軸長為 a2，橢圓、雙曲線的離心率分別為 e1，e2.則由橢圓、雙曲線的定義，得 r1r22a1，r1r22a2，平方得 4a21r21r222r1r2，4a22r212r1r2r22.又由余弦定理得 4c2r21r22r1r2，消去 r1r2，得 a213a224c2，即1e213e224.所以由柯西不等式得1e11e221e1133e221e213e22113 163.所以1e11e24 33.故選 A.112014北

49、京卷 設(shè)雙曲線 C 經(jīng)過點(2，2)，且與y24x21 具有相同漸近線，則 C 的方程為_；漸近線方程為_11.x23y2121y2x解析 設(shè)雙曲線 C 的方程為y24x2，將(2，2)代入得224223，雙曲線 C 的方程為x23y2121.令y24x20 得漸近線方程為 y2x.92014全國卷 已知雙曲線 C 的離心率為 2，焦點為 F1，F(xiàn)2，點 A 在 C 上若|F1A|2|F2A|，則 cosAF2F1()A.14B.13C.24D.239A解析 根據(jù)題意，|F1A|F2A|2a，因為|F1A|2|F2A|，所以|F2A|2a，|F1A|4a.又因為雙曲線的離心率 eca2，所以

50、c2a，|F1F2|2c4a，所以在AF1F2中，根據(jù)余弦定理可得 cosAF2F1|F1F2|2|F2A|2|F1A|22|F1F2|F2A|16a24a216a224a2a14.19 、2014福建卷 已知雙曲線 E：x2a2y2b21(a0，b0)的兩條漸近線分別為 l1：y2x，l2：y2x.(1)求雙曲線 E 的離心率(2)如圖 16，O 為坐標原點，動直線 l 分別交直線 l1，l2于 A，B 兩點(A，B 分別在第一、四象限)，且OAB 的面積恒為 8.試探究：是否存在總與直線 l 有且只有一個公共點的雙曲線 E？若存在，求出雙曲線 E 的方程；若不存在，說明理由圖 1619解：

51、方法一：(1)因為雙曲線 E 的漸近線分別為 y2x，y2x，所以ba2，所以c2a2a2，故 c 5a，從而雙曲線 E 的離心率eca 5.(2)由(1)知，雙曲線 E 的方程為x2a2y24a21.設(shè)直線 l 與 x 軸相交于點 C.當 lx 軸時，若直線 l 與雙曲線 E 有且只有一個公共點，則|OC|a，|AB|4a.又因為OAB 的面積為 8，所以12|OC|AB|8，因此12a4a8，解得 a2，此時雙曲線 E 的方程為x24y2161.若存在滿足條件的雙曲線 E，則 E 的方程只能為x24y2161.以下證明：當直線 l 不與 x 軸垂直時，雙曲線 E：x24y2161 也滿足條

52、件設(shè)直線 l 的方程為 ykxm，依題意，得 k2 或 k2，則 Cmk，0.記 A(x1，y1)，B(x2，y2)由ykxm，y2x得 y12m2k，同理得 y22m2k.由 SOAB12|OC|y1y2|，得12|mk|2m2k2m2k|8，即 m24|4k2|4(k24)由ykxm，x24y2161得(4k2)x22kmxm2160.因為 4k20，所以4k2m24(4k2)(m216)16(4k2m216)又因為 m24(k24)，所以0，即 l 與雙曲線 E 有且只有一個公共點因此，存在總與 l 有且只有一個公共點的雙曲線 E，且 E 的方程為x24y2161.方法二：(1)同方法一

53、(2)由(1)知，雙曲線 E 的方程為x2a2y24a21.設(shè)直線 l 的方程為 xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)依題意得12m12.由xmyt，y2x得 y12t12m， 同理得 y22t12m.設(shè)直線 l 與 x 軸相交于點 C，則 C(t，0)由 SOAB12|OC|y1y2|8，得12|t|2t12m2t12m|8.所以 t24|14m2|4(14m2)由xmyt，x2a2y24a21得(4m21)y28mty4(t2a2)0.因為 4m212 或 k2.由ykxm，4x2y20得(4k2)x22kmxm20，因為 4k20，所以 x1x2m24k2，又因為OAB 的面積為

54、 8，所以12|OA|OB| sinAOB8，又易知 sinAOB45，所以25x21y21 x22y228，化簡得 x1x24.所以m24k24，即 m24(k24)由(1)得雙曲線 E 的方程為x2a2y24a21，由ykxm，x2a2y24a21得(4k2)x22kmxm24a20.因為 4k20，直線 l 與雙曲線 E 有且只有一個公共點當且僅當4k2m24(4k2)(m24a2)0，即(k24)(a24)0，所以 a24，所以雙曲線 E 的方程為x24y2161.當 lx 軸時，由OAB 的面積等于 8 可得 l：x2，又易知 l：x2 與雙曲線 E：x24y2161 有且只有一個公

55、共點綜上所述，存在總與 l 有且只有一個公共點的雙曲線 E，且 E 的方程為x24y2161.4 2014廣東卷 若實數(shù)k滿足0k9， 則曲線x225y29k1與曲線x225ky291的()A焦距相等B實半軸長相等C虛半軸長相等D離心率相等4A解析 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，注意利用基本量的關(guān)系進行求解0k0，25k0.對于雙曲線x225y29k1，其焦距為 2 259k2 34k；對于雙曲線x225ky291，其焦距為 2 25k92 34k.所以焦距相等21 、 、 、2014湖南卷 如圖 17，O 為坐標原點，橢圓 C1：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點分別為 F1，F(xiàn)2，離心率

56、為 e1；雙曲線 C2：x2a2y2b21 的左、右焦點分別為 F3，F(xiàn)4，離心率為 e2.已知 e1e232，且|F2F4| 31.(1)求 C1，C2的方程；(2)過 F1作 C1的不垂直于 y 軸的弦 AB，M 為 AB 的中點當直線 OM 與 C2交于 P，Q兩點時，求四邊形 APBQ 面積的最小值圖 1721解： (1)因為 e1e232，所以a2b2aa2b2a32，即 a4b434a4，因此 a22b2，從而 F2(b，0)，F(xiàn)4( 3b，0)，于是3bb|F2F4| 31，所以 b1，a22.故 C1，C2的方程分別為x22y21，x22y21.(2)因 AB 不垂直于 y 軸

57、，且過點 F1(1，0)，故可設(shè)直線 AB 的方程為 xmy1，由xmy1，x22y21得(m22)y22my10.易知此方程的判別式大于 0.設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 y1，y2是上述方程的兩個實根，所以 y1y22mm22，y1y21m22.因此 x1x2m(y1y2)24m22，于是 AB 的中點為 M2m22，mm22 ，故直線 PQ的斜率為m2，PQ 的方程為 ym2x，即 mx2y0.由ym2x，x22y21得(2m2)x24，所以 2m20，且 x242m2，y2m22m2，從而|PQ|2 x2y22m242m2.設(shè)點 A 到直線 PQ 的距離為 d， 則點 B

58、 到直線 PQ 的距離也為 d， 所以2d|mx12y1|mx22y2|m24.因為點 A，B 在直線 mx2y0 的異側(cè)，所以(mx12y1)(mx22y2)0，于是|mx12y1|mx22y2|mx12y1mx22y2|，從而 2d（m22）|y1y2|m24.又因為|y1y2| （y1y2）24y1y22 2 1m2m22，所以 2d2 2 1m2m24.故四邊形 APBQ 的面積 S12|PQ|2d2 2 1m22m22 2132m2.而 00)的右焦點為 F，點 A，B 分別在 C 的兩條漸近線上，AFx 軸，ABOB，BFOA(O 為坐標原點)圖 17(1)求雙曲線 C 的方程；(

59、2)過 C 上一點 P(x0，y0)(y00)的直線 l：x0 xa2y0y1 與直線 AF 相交于點 M，與直線 x32相交于點 N.證明：當點 P 在 C 上移動時，|MF|NF|恒為定值，并求此定值20解：(1)設(shè) F(c，0)，因為 b1，所以 c a21.由題意，直線 OB 的方程為 y1ax，直線 BF 的方程為 y1a(xc)，所以 Bc2，c2a .又直線 OA 的方程為 y1ax，則 Ac，ca ，所以 kABcac2acc23a.又因為 ABOB，所以3a1a 1，解得 a23，故雙曲線 C 的方程為x23y21.(2)由(1)知 a 3，則直線 l 的方程為x0 x3y0

60、y1(y00)，即 yx0 x33y0(y00)因為直線 AF 的方程為 x2，所以直線 l 與 AF 的交點為 M2，2x033y0，直線 l 與直線x32的交點為 N32，32x033y0，則|MF|2|NF|2（2x03）2（3y0）21432x032（3y0）2（2x03）29y20494（x02）243（2x03）23y203（x02）2.又 P(x0，y0)是 C 上一點，則x203y201，代入上式得|MF|2|NF|243（2x03）2x2033（x02）243（2x03）24x2012x0943，所以|MF|NF|232 33，為定值42014新課標全國卷 已知 F 為雙曲線