2019屆云師大附中高三適應(yīng)性月考(九)數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題第 1 1 頁共 2424 頁2019 屆云師大附中高三適應(yīng)性月考（九）數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題2 2x y 1,x Z,y Z則A中元素個(gè)數(shù)為（）A A . 4 4B B. 5 5C C. 8 8D D . 9 9【答案】B B、22【解析】根據(jù)集合 A A,得出表示圓x y 1上及其內(nèi)部的整數(shù)點(diǎn)，結(jié)合圖象，即可求解 【詳解】由題意，集合A x, y |x2y21,x乙y Z表示如圖所示的圓x2y21上及其內(nèi)部的整數(shù)點(diǎn)，共 5 5 個(gè). .本題主要考查了集合表示，其中解答中正確理解集合表示表示方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題112.-()

2、i1 i13.13A A .iB B .2222【答案】A A【解析】由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算公式，求得答案 【詳解】11.11.13.iii,i 1+i2 222故選：A A【點(diǎn)睛】1第2 2頁共 2424 頁23 3 已知雙曲線的焦點(diǎn)C,到它的一條漸近線|：y x的距離是 1,1,則該雙曲線的2方程為（）（）x2y2A A 1422C C y212第3 3頁共 2424 頁【答案】C CB B.2y_4x221D D.2y2x12【解由焦點(diǎn)c,至y直線| y 2 x2的距離為求得c ,3, ,再結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì),求得a,b的值，得到雙曲線的方程【詳由焦點(diǎn)2C,至煩線| : y -x的距離為21

3、 1，可得又由焦點(diǎn)在x軸上，且漸近線的方程為l:y所以-a因?yàn)閍2b2c2, ,即（，2b）2b23，解得a 2，b 1,2所以雙曲線的方程為：y21. .2故選：C.C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中雙曲線的幾何性質(zhì)，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題4 4.已知函數(shù)A A . -1-1【答案】C C廠為奇函數(shù)，則2B B.C C.3【解析】根據(jù)f 0 a10, ,解得a2即可求解【詳解】由題意，函數(shù)廠的定義域?yàn)閤R， 且x為奇函數(shù), ,第4 4頁共 2424 頁曰11上11可得f 0 a 0, ,解得a,所以fx-22 2

4、2x11所以f 1-. .6故選：C.C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，以及函數(shù)值的求解，其中解答中函數(shù)的奇偶性，合理應(yīng)用求得函數(shù)的解析式是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題5 5.棱長為 2 2 的正方體截去四個(gè)小三棱錐所得幾何體的三視圖如圖所示, ,則該幾何體的體積是（）20A A . 4 4B B.3【答案】B B【解析】由幾何體的三視圖，可得該幾何體表示一個(gè)棱長為錐的底面是腰長為 1 1 的等腰直角三角形，高為2 2,結(jié)合體積公式，即可求解【詳解】根據(jù)給定的幾何體的三視圖，可得該幾何體表示一個(gè)棱長為 2 2 的正方體被截去的小三棱錐的底面是腰長為1 1 的等腰直角三

5、角形，高為 2,2,則該幾何體的體積1 120V 2 2 2 42. .3 23故選：B.B.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖及體積的計(jì)算， 在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀 時(shí)，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線 在三視圖中為虛線，求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視 圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)公式求解22C.32 2 的正方體被截去的小三棱I 1【解析】 設(shè)學(xué)生甲？乙兩人到校時(shí)間為x分鐘, ,y分鐘，得到第 4 4 頁共 2424 頁A A.S S 2n 1B B.S S 2n1C C.S

6、 2SD D.S 2S 1【答案】D D【解析】 根據(jù)給定的程序框圖，逐項(xiàng)驗(yàn)證，即可求解，得到答案【詳解】當(dāng)空白框填入S S 2n1時(shí), ,執(zhí)行程序框圖，得S 21222100100;當(dāng)空白框填入S 2S時(shí), ,執(zhí)行程序框圖，得S 0;空白框填入S 2S 1, ,第 1 1 次循環(huán): :S 1, ,n 1, ,不滿足條件n 100；第 2 2 次循環(huán): :S 1 2 1, ,n 2，不滿足條件n 100;2第 3 3 次循環(huán)：S 22 111 2 2, ,n 3, ,不滿足條件n 100；由此可知，第 101101 次循環(huán)：S 1 21222100, ,n=101, ,滿足條件n 100. .

7、故選: :D.D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算功能，其中解答中認(rèn)真審題， 根據(jù)給定的程序框圖，逐項(xiàng)驗(yàn)證是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題. .7 7 .某校上午 7:407:40 開始上課，學(xué)生甲？乙兩人均在早上 7:157:15 至 7:407:40 之間到校，且兩人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校都是等可能的，則甲比乙至少早 5 5 分鐘到校的概率為（）82164A A .B B.C C.D D . 一255255【答案】A A6 6 為計(jì)算S 121222100, ,設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖, ,則在空白框內(nèi)應(yīng)填入由題意，當(dāng)空白框填入S S 2n 1時(shí)

8、, ,執(zhí)行程序框圖，得S 212221002仙仙( ( ) )第6 6頁共 2424 頁0 X 25,0 y 25, y x 5，再求得A為甲比乙至少早 5 5 分鐘到校所表示的集合A，結(jié)合面積比的幾何概型，即可求解 【詳解】由題意，設(shè)學(xué)生甲？乙兩人到校時(shí)間分別為x分鐘, ,y分鐘,則x， y 0 x 25,0 y 25, y x 5，設(shè)事件A為甲比乙至少早 5 5 分鐘到校貝 U UA x, y 0 x 25,0 y 25, y x 5，故選A.A.r2S2015105to05 10 15 20歸 x【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何概型的概率的計(jì)算問題，解決此類問題的步驟： 求出滿足條件 A A

9、的基本事件對(duì)應(yīng)的 幾何度量N(A)”，再求出總的基本事件對(duì)應(yīng)的幾何度量N”，然后根 據(jù)p =求解，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題N8 8 在朱世杰所著的四元玉鑒中有如下問題：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤只云初日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多七人，每人日支米三升 ”其大意是 官府陸續(xù)派遣 18641864 人 前往筑堤壩，第一天派出 6464 人，從第二天開始每天派出的人比前一天多7 7 個(gè)，修筑堤壩每人每天發(fā)大米 3 3 升, ,在該問題中，設(shè)第n天派出的人為an, ,則a3a6a9a12( () )A A 238238B B. 354354C C. 438438D D . 8348

10、34【答案】C C【解析】得到每天派出的人數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為64, ,公差為 7 7 的等差數(shù)列，即可求解玄3比a9ah的值，得到答案 【詳解】x, y如圖所示，可得S 25 25625，陰影部分面積為SA120 202200, ,所以P A200 862525第7 7頁共 2424 頁所以a3a6a9a12a33a9q 2d 3 a 8d 438. .故選：C.C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，得到每天派出的人數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為64, ,公差為 7 7 的等差數(shù)列是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題 圖象上兩點(diǎn)，若ab的最小值是 1,1,則f13()

11、)A A .旦7B.-C C 亟7D.-2 2222【答案】D D【解析】由函數(shù)fx為偶函數(shù)，求得2，得到fx 3 cos x,再根據(jù)a b的最小值是 1 1，求得，得到函數(shù)的解析式，代入即可求解. .【詳解】由題意，函數(shù)f xsin x3為偶函數(shù)，所以一k ,k Z, ,2因?yàn)?，所以，所以2f x 3 cos x, ,由于a b的最小值是1 21,1,可得丄21, ,所以，即f x 3 cos x, ,則f173 cos332故選：D.D.【點(diǎn)睛】 本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求得函數(shù)的解析式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)

12、題上，則橢圓的離心率是（）B B.由題意，每天派出的人數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為ai64，公差d 7的等差數(shù)列an9 9 .已知函數(shù)f x sin x30,0為偶函數(shù), ,A a,3, ,B b,3是其2x1010 橢圓-y-yab21 a b 0的左焦c,0關(guān)于直線y -x的對(duì)稱點(diǎn)P在橢圓c第8 8頁共 2424 頁【答案】B B2bc【解析】連接FP, ,依題意得到FP，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為a【詳解】如圖所示，連接FP，交直線ybx于M點(diǎn)，c依題意, ,FP等于F c,0到直線ybx的距離FM的 2 2 倍，即FP空ca設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F, ,則FP 2OM，又由a2b2c2, ,化簡整理得b c, ,即a

13、 /2c，故離心率c_2 .a 2【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義及橢圓的幾何性質(zhì)一一離心率的求解，其中橢圓的離心率（或范_c圍），常見有兩種方法： 求出a,c，代入公式e；只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)a于a,b,c的齊次式，轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e e 的方程，即可得 e e 的值（范圍）1111設(shè)M，N，P分別是長方體ABCD AiBGDi的棱AB,CC,CCi, ,CiDi的中點(diǎn)，且AB 2, ,BC CCi1, ,Q是底面ABCD內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線 D DiQ Q 與平面MNP沒有公共點(diǎn)，則三角形BBiQ的面積的最小值是（）（）F, ,則FP 2OM，得出FP2c2，再利用橢圓的

14、定義，求得a2C，即可求得橢圓的離心率，得到答案因?yàn)镕MOMb，所以O(shè)M2,于是FPa2c2a由橢圓定義，可得2bc2c22a，故選：B.B.第9 9頁共 2424 頁A A .6B B.3C C. -I-ID D.6434【答案】A A【解析】作出過M,N, P三點(diǎn)的截面與底面ABCD的交線MM -得到Q點(diǎn)在AC上, ,得出當(dāng)線段QB最短時(shí)，BBiQ面積的最小，在Rt ABC中, ,QB -5, ,利用面積公式，3即可求解. .【詳解】如圖甲，作出過M，N, P三點(diǎn)的截面與底面ABCD的交線MM則平面 ACDACDiP P 截面MMiNP, ,故Q點(diǎn)在AC上， 由于BBiD是Rt, ,且直角

15、邊BBi1, ,故當(dāng)線段QB最短時(shí)，BB1Q面積的最小，此時(shí)QB AC, ,AB BC2 i6如圖乙，在Rt ABC中, ,QBAC33所以BBiQ面積的最小值為i上i2 36故選：A.A.甲乙【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其應(yīng)用，其中解答中熟記空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，得出截面的形狀，結(jié)合面積公式求解是解題關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于 中檔試題. .1212 如圖所示，一個(gè)倉庫設(shè)計(jì)由上部屋頂和下部主體兩部分組成，屋頂?shù)男螤钍撬睦忮FP ABCD，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)0為正方形ABCD的中心，PO平面ABCD;下部的形狀是長方體ABCD ABCD 已知上部屋頂造價(jià)與屋頂面積

16、成正第1010頁共 2424 頁比，比例系數(shù)為k k 0，下部主體造價(jià)與高度成正比，比例系數(shù)為8k. .若欲造一個(gè)上、下總高度為 lOlOm, ,AB 8m的倉庫，則當(dāng)總造價(jià)最低時(shí),PO（）A1片A A.更B B4爲(wèi)mC C. 4 4m53【答案】B B【解析】取BC的中點(diǎn)為E,表示 0E0E,由于PO平面ABCD，在Rt POE中，設(shè)PEO，表示PO,PE，從而分別表示上部屋頂面積，下部主體的高度，進(jìn)而表示倉庫的總造價(jià)的函數(shù)關(guān)系，利用求導(dǎo)分析單調(diào)性，再求得最小值，即為答案【詳解】如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為E，連接PE, OE，則 0E0E 4 4 . .由于PO平面ABCD，則有PO OE；在Rt

17、 POE中，設(shè)PEO, 則有PO44tan,PE -cos所以上部屋頂面積為S4SPBC64F部主體的咼度為h 10 4tan,cos2 sin所以倉庫的總造價(jià)為yS k h8k 32k80k. .cos、2 sin2sin 1設(shè)f0，所以f2 令f0,得sincos2cos所以-;則當(dāng)06時(shí)，f0,f在0,上單調(diào)遞減;6時(shí)2時(shí)，0，f在6 2上單調(diào)遞增;第1111頁共 2424 頁4；3m,3所以當(dāng)有最小值，此時(shí)PO第1212頁共 2424 頁當(dāng)r 3時(shí)，常數(shù)項(xiàng)T4C；a3160，所以a 2. .故答案為：2 2【點(diǎn)本題考查由二項(xiàng)式展開項(xiàng)中指定項(xiàng)的值求參數(shù)，屬于簡單題uuur1414 .已知

18、ABC的外接圓圓心為O，半徑為 7 7,AOuuu uuur口棋AB AC，且AOuuuAB，則uuu ULTCA在CB方向上的投影為【答案】遼2 2uuur uuu umr uuu【解析】 由AO ABAC得OBuuurAC，則四邊形OBAC是平行四邊形，由uuuruuuAOABOAB是正三角形，則四邊形OBAC是菱形，由故選：B B【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中的造價(jià)最低問題，還考查了立體幾何的圖形關(guān)系，屬于難題 、填空題61313.若ax的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-160-160，則a _.x【答案】2 2【解析】表示展開式中的第r 1項(xiàng)，由常數(shù)項(xiàng)的未知數(shù)的指數(shù)為零構(gòu)建當(dāng)方程，求得第幾

19、項(xiàng)，代入即可 【詳解】6ax的展開式中的第r 1項(xiàng)為Tr 1C6xr;二c；?（1）r鬃x2r-6，所以ABC的外心, ,又第1313頁共 2424 頁投影的運(yùn)算公式即可求得答案【詳解】菱形,uuu uruuu7/3所以CA在CB方向上的投影為CA cos-. .6 2故答案為：LJ2 2【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的投影的運(yùn)算，屬于中檔題. .1515 在銳角ABC中，B-，角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,3cosAco，則a c的取值范圍是 _ .a c 2ac丄uuir uuu uuur/口uuu由AO AB AC，得OBuiurAC，所以四邊形OBAC是平行四邊形,uuur因?yàn)?/p>

20、O是ABC的外心，又AOAB，所以O(shè)AB是正三角形，則四邊形OBAC是第1414頁共 2424 頁【解析】由已知關(guān)系結(jié)合余弦定理化簡整理可得b b,再由正弦定理表示外接圓半徑以及a a, c c 邊，并由輔助角公式整理為一個(gè)角的三角函數(shù)，又由三角形為銳角三角形構(gòu)建不等式關(guān)系求得角 A A 的取值范圍，從而可求得a+ca+c 的范圍. .【詳解】由cosAacosCc3b結(jié)合余弦定理得2ac2c2a22 . 2 2a b c-,/3，化簡得2ac2bc2abcab 0,2由正弦定理，得ABC的外接圓直徑2Rb1si nB則a csi nA sinC si nA sinA、-3sinA _36又A

21、BC為銳角三角形，則有解得A，故2第1515頁共 2424 頁A -363所以a c3sin A,3. .6 2故答案為：3八32【點(diǎn)睛】本題考查求三角形兩邊和的取值范圍，常由正弦定理轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，由銳角或鈍角三角形求得角的范圍，進(jìn)而解決問題，屬于較難題1616.函數(shù)f x的定義域?yàn)閠,，若存在一次函數(shù)g x kx b，使得對(duì)于任意的x t,，都有f X g X 1恒成立，則稱函數(shù)g x在t,上的弱漸進(jìn)函數(shù) 下列結(jié)論正確的是_ .（寫出所有正確命題的序號(hào)）1g x x是f x, x21在1,上的弱漸進(jìn)函數(shù)；12g x2x1是f X3x在1,上的弱漸進(jìn)函數(shù)；x3g x3x4是f xxlnx在1

22、,上的弱漸進(jìn)函數(shù)；x4g xx1是fxxx在1,上的弱漸進(jìn)函數(shù) e【答案】【解析】根據(jù)弱漸進(jìn)函數(shù)的新定義，對(duì) 4 4 個(gè)命題分別構(gòu)建f x g x1構(gòu)建關(guān)系，并分子有理化，由不等式性質(zhì)可知符合題意，正確；2構(gòu)建關(guān)系，由雙勾函數(shù)值域可知不符合題意，錯(cuò)誤；3構(gòu)建關(guān)系，取特值G e，其絕對(duì)值大于 1 1,不符合題意，錯(cuò)誤；4構(gòu)建關(guān)系，求導(dǎo)分析單調(diào)性，求得值域，符合題意，正確【詳解】x - 1，當(dāng)x 1時(shí)，F(xiàn) x 1，不符合F x 1,x所以錯(cuò)誤;由于f x g x1設(shè)F x 3x 2x 1x1,所以1,所以正確;第1616頁共 2424 頁設(shè)G x xl nx 3x 4,Ge 4 2e 1,G e

23、1，不符合G x 1，所以錯(cuò)誤；設(shè)Hx1,H xeJ，當(dāng)xe1時(shí)，Hx1xx0,Hex 4 1e在1,上單調(diào)遞減，所以H xH 111;又x1時(shí)，二0,eeH xx11，即1H x110,所以Hx1,正確， 綜上，ee正確. .故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)新定義問題，需根據(jù)定義精準(zhǔn)對(duì)應(yīng)定義要求，屬于難題 三、解答題1717 .已知正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足4Sn 2Sn6. .(1)(1)求數(shù)列an的首項(xiàng)a1及公比q；1log1Tn 1，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Pn. .2【答案】印1, ,q12n巳巳2n 116, ,兩式相減得a4-a2, ,求4【解析】由4&2Sn6，得到4

24、S336, ,4S4S2ZB1得q，再由24S3S6,求得a1的值；由知an1n21n n 1，求得T丄丄2, ,進(jìn)而得到bn2n21 1，再結(jié)合裂項(xiàng)法，n n 1即可求解. .【詳解】(1)(1)由題意，正項(xiàng)等比數(shù)列an的滿足4Sn 2Sn6, ,12a41兩式相減得a44a2, ,所以q- 4, ,解得q(2)(2)若an的前n項(xiàng)積為Tn, ,bn可得4S3S16, ,4S4S26, ,又由4S3S16，可得4 a1a2比a6，解得a11. .第1717頁共 2424 頁n 11由知ana“q2所以T011122b1 221 1所以nlog1Tn 1n n 1 n n 1，則巳2 1111

25、22 3【點(diǎn)睛】熟記等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n n 項(xiàng)和公式，合理利用 裂項(xiàng)法”求和是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于?？碱} 1818 .如圖，已知多面體PABCDE的底面ABCD是邊長為 2 2 的菱形，PA平面ABCD，ED PPA,且PA 2ED 2. .(1) 證明：平面PAC平面PCE;(2) 若直線PC與平面ABCD所成的角為 4545求平面CPB與平面CDE所成銳二面 角的余弦值. .【答案】(1 1)證明見解析；(2 2)7【解析】(1 1)連接BD交AC于點(diǎn)0，取PC的中點(diǎn)F，連接 OFOF ,EF,由中位線定 理，和空間中平行的傳遞性可證四邊形OFEDOFED 為平

26、行四邊形，即OD/EF，由已知線面垂直和菱形證得0D平面PAC，所以EF平面PAC，再由面面垂直的判定定 理得證；(2 2)由直線PC與平面ABCD所成的角為 4545。求得 APAP,分別以AM , AD, AP所在直線為x, y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz，有空間坐標(biāo)表示法表示點(diǎn)P,C,E,D,B,P,C,E,D,B,進(jìn)2nn 1本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n n 項(xiàng)和公式，以及 裂項(xiàng)法”求和，其中解答中第1818頁共 2424 頁而求得平面CPB和平面CDE的法向量，由向量的數(shù)量積求夾角的公式求得，法向量的夾角，觀察已知圖形為銳二面角，作答即可【詳解】(1) 證明：如圖，

27、連接BD交AC于點(diǎn)0，取PC的中點(diǎn)F，連接 OFOF ,EF,/ 0, F分別是AC, PC的中點(diǎn)，1 1 OF /PA，且 OFOFPAPA ,2 21 1 DE/PA，且 DEDE PAPA ,2 2 ，OF /DE, ,且OF DE,四邊形 OFEDOFED 為平行四邊形，OD/EF. . PA平面ABCD,OD平面ABCD,PA OD,又ABCD是菱形，AC OD,PAI AC A,OD平面PAC, EF平面PAC,又EF平面PCE,平面PAC平面PCE. .(2)由直線PC與平面ABCD所成的角為 4545知，PCA 45o, AC PA 2,ABC為等邊三角形 設(shè)BC的中點(diǎn)為M,則

28、AM BC. .如圖，分別以AM , AD , AP所在直線為x, y , z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz,第1919頁共 2424 頁則P 0,0,2,C31 , 0,E 0 ,21,D0,2 ,0,uuu/PCx31,2uuv,CEuuv.311,DE0,01設(shè)mx, y, z為平面CPB的法向量，rnrtmuuvPC0,Rn.3xy 2z 0,人2,可彳則ruuv即y令xm CB0,2y 0,2即m2,0 , 3. .3,uuivDEuuvCEz,0,13x-iy-iz令x1，可得n0,1 八3 ,0,所以cosrh,nmn 2_ “rh|n|2祈7xz為平面CDE的法向量,設(shè)nXi,

29、yi, zuuv,CB0, 2 ,0,B 3 , 1 ,0,2第2020頁共 2424 頁本題考查立體幾何中面面垂直的證明，還考查了求空間中二面角的余弦值,21919 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A, B為拋物線C : y 2px p 0上不同的兩點(diǎn)，且OA OB，點(diǎn)D1,2且OD AB于點(diǎn)D. .(1) 求P的值；(2) 過x軸上一點(diǎn)Tt,0 t 0的直線I交C于Mx-i,y!, N NX X2, y y2兩點(diǎn)，M , N在C的準(zhǔn)線上的射影分別為P,Q,F為C的焦點(diǎn)，若SPQF2SMNF，求MN中點(diǎn)E的軌跡方程 1答案, (1)2；(2)y2夕25與拋物線方程由韋達(dá)定理可表示yA約B，進(jìn)而表

30、示XAXB,再由OA OB，得uuu uuuOA OB 0構(gòu)建方程，解得 P P 值；(2 2)分別表示SPQF與SMNF,由已知SPQF2SMNF構(gòu)建方程，解得 t t 的值，設(shè)MN的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為x, y，當(dāng)MN與x軸不垂直時(shí)，由KMNKTE構(gòu)建等式，整理得 中點(diǎn)軌跡方程；當(dāng)MN與x軸垂直時(shí)，T與E重合，綜上可得答案【詳解】1則AB的方程為y 2x 1，即x 2y 5,2設(shè)AXAJA,BXB,yB,屬于較難題. .【解析】(1 1)由點(diǎn)D 1,2且0DAB于點(diǎn)D,可求得直線 ABAB 的方程，聯(lián)立直線方程(1)由0DAB及D 1,，得直線AB的斜率k第2121頁共 2424 頁軌跡方程問題

31、，屬于難題園的單個(gè) 糖心蘋果”的果徑（最大橫切面直徑， 單位：mm）在正常環(huán)境下服從正態(tài)分聯(lián)立2px,消去x得2y 5,2y 4py 10p0,216p40p 0,由韋達(dá)定理，得YAYB10P，于是XAXB仏YB2p2p由OA OB,e uuu uuu口0，則得OA OB 0，即XAXBYAYB5解得p. .100 p225 10p0,(2)1 1）得拋物線的焦點(diǎn)5F ,0，設(shè)C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為4PQFFG| PQ|V1 yd，1SMNF2FT I PQitPQF2SMNF，得t設(shè)MN的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為x,則當(dāng)MN與x軸不垂直時(shí),KMNKTE,可得y2y1y 0y2yiX2Xi2y252yi

32、y2yi2yy5,x -225當(dāng)MN與x軸垂直時(shí),T與E重合,5所以MN的25本題考查由已知關(guān)系求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,還考查了在拋物線中線弦的問題下求中點(diǎn)的2020 某果園種植 糖心蘋果”已有十余年,根據(jù)其種植規(guī)模與以往的種植經(jīng)驗(yàn)，產(chǎn)自該果22【點(diǎn)第2222頁共 2424 頁布N 68,36(1(1) 一顧客購買了 2020 個(gè)該果園的 糖心蘋果”求會(huì)買到果徑小于 5656mm的概率;(2(2)為了提高利潤，該果園每年投入一定的資金，對(duì)種植、采摘、包裝、宣傳等環(huán)節(jié)進(jìn)行改進(jìn) 如圖是 20092009 年至 20182018 年，該果園每年的投資金額潤增量y(單位：萬元)的散點(diǎn)圖:45403G302

33、520n -該果園為了預(yù)測(cè) 2012019 9年投資金額為2 20 0萬元時(shí)的年利潤增量, 歸模型;模型：由最小二乘公式可求得y與x的線性回歸方程：? 2.50X 2.50； 模型：由圖中樣本點(diǎn)的分布，可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在曲線:10對(duì)投資金額x做交換，令t In x，貝U y b t a，且有tii 110 102ly 569.00,ti250.92. .i 1i 1(i i)根據(jù)所給的統(tǒng)計(jì)量，求模型中y關(guān)于x的回歸方程；(IIII )根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的相關(guān)指數(shù)R2，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測(cè)投資金額為2020 萬元時(shí)的年利潤增量(結(jié)杲保留兩位小數(shù)) 回歸模型模型

34、模型回歸方程?2.50 x 2.50? blnx a10yi?2i 1102.28102.2836.1936.19x(單位：萬元)與年利建立了y關(guān)于x的兩個(gè)回y bl nx a的附近,1022.00,yi230,i 1第2323頁共 2424 頁_ 2yiy?=42.89（萬元），【解析】（1 1）由已知滿足正態(tài)分布，則可知， 的值，由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，可求得買一個(gè)蘋果，其果徑小于5656mm的概率1P X 561 P 22，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率的運(yùn)算方式，求2得購買 2020 個(gè) 糖心蘋果”中有果徑小于 5656mm的蘋果概率；（2 2）（ I I）由最小二乘法求得模型 中y關(guān)于x的回歸方

35、程；（IIII ）分別計(jì)算兩種模型的相關(guān)系數(shù)的平方，得模型的相關(guān)系數(shù)的平方更大其擬合程度越好，再代x= 20進(jìn)行計(jì)算，求得預(yù)測(cè)值. .【詳解】 （1 1）由已知，當(dāng)個(gè) 糖心蘋果”的果徑X則68，6. .由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，1 1P P X X 56561 1 P P 6868 1212 X X 6868 12122 2設(shè)一顧客購買了 2020 個(gè)該果園的糖心蘋果附:若隨機(jī)變量2，則P20.9544,0.9974；樣本ti,yii 1,2,n的最小乘估計(jì)公式為ntiri 1nti1，a? y相關(guān)指數(shù)R2參考數(shù)據(jù):0.9772200.6305，0.9987200.9743,In20.6931，

36、In5 1.6094. .【答案】 （1 1）0.36950.3695 ；25I n x 32, , （|）模型的R2小于模型，說明回歸模型刻畫的擬合效果更好，當(dāng)x= 20時(shí)，模型的年利潤增量的預(yù)測(cè)值為N，2，11 1 P P2 22 21 11 1 0.95440.95442 22 2”其中果徑小于5656mm的有個(gè)，則0.02280.0228第2424頁共 2424 頁B 20,0.0228，第2525頁共 2424 頁又由題，得y ?23 25 2.2032102.28102i 1yiy36.19當(dāng)x 20時(shí)，模型 的年利潤增量的預(yù)測(cè)值為（萬元）， 這個(gè)結(jié)果比模型的預(yù)測(cè)精度更高、更可靠【

37、點(diǎn)睛】難題. .2121 .已知函數(shù)f xexx（2 2）由（1 1）可知當(dāng)a e時(shí)，得f x的單調(diào)性，從而表示o；將所證不等式x 1所以,模型中y關(guān)于x的回歸方程? 25lnx32. .所以模型 的R2小于模型 ，說明回歸模型刻畫的擬合效果更好,故P 11 P 0201 1 0.0228 10.9772200.3695，所以這名顧客所購買 2020 個(gè)糖心蘋果”中有果徑小于5656mm的蘋果概率為 0.3695.0.3695.(2(2) (I I)由10ti22.00,i 110yi230，可得Ti 12.20，y 23，ni 1tii 1ini 1titt y y=-2i 1in_iw 1

38、0t yn 22i 1ti10ti 1i569.0 10 1 222325，50.92 10 2.20 2.20(II(II由表格中的數(shù)據(jù)，有102.28 36.19，即? 25 ln20 32 25 2ln2 ln5 32252 0.6931 1.609432 42.89本題考查統(tǒng)計(jì)涉及正態(tài)分布求概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率運(yùn)算以及利用最小二乘法還考查了由相關(guān)系數(shù)的平方比較模型的擬合程度,屬于(1(1)若x 1是f x的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2(2)若xa e，證明：當(dāng)m 2時(shí)， 一x 1x m In xx22【答(1)(1)a，e；（2 2）證明見解析【解（1）求得f x的定義域，并

39、求導(dǎo)，利用分類討論當(dāng)a 0時(shí)，分析單調(diào)性顯然成立；當(dāng)a 0時(shí)，令f x 0，得x分別分析單調(diào)性討論是否成立，得到當(dāng)0不成立，最后綜上得參數(shù)的取值范圍；1或x Ina,再利用分類討論兩根的大小，a e時(shí)成立，當(dāng)a e時(shí)與當(dāng)a e時(shí)，都第2626頁共 2424 頁f xln x等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式m x2對(duì)任意的x 0,11,都恒成立，構(gòu)x 1xInx建g xx x 0，利用導(dǎo)數(shù)求得值域g x g 11，最后由不等式的性x質(zhì)即可得證原不等式成立 【詳解】（1 1）f x的定義域?yàn)閤 R，f x x 1 exa1當(dāng)a 0時(shí)，x R，則exa 0，令f x 0，得x 1，當(dāng)X 1時(shí)，f X0，所以f x在

40、,1上單調(diào)遞減；當(dāng)x 1時(shí)，f x 0，所以f x在1,上單調(diào)遞增；此時(shí)x 1是f x的極小值點(diǎn)，符合題意；2當(dāng)a 0時(shí)，令f x 0，得x 1或x lna. .（i i）當(dāng)0 a e時(shí)，則lna 1，所以當(dāng)x Ina時(shí)，f x0,所以f x在，lna上單調(diào)遞增；當(dāng)In a x 1時(shí)，f x 0，所以f x在In a,1上單調(diào)遞減；當(dāng)x 1時(shí)，f x 0，所以f x在1,上單調(diào)遞增，此時(shí)x 1是f x的極小值點(diǎn)，符合題意；（iiii ）當(dāng)a e時(shí)，f x x 1 exe，當(dāng)x R時(shí)，f x 0，所以f x在R上單調(diào)遞增，x 1不是f x的極值點(diǎn). .（iiiiii ）當(dāng)a e時(shí)，則Ina 1，

41、所以當(dāng)x 1時(shí)，f x 0，所以f x在,1上單調(diào)遞增；當(dāng)1 x Ina時(shí)，f x 0，所以f x在1,Ina上單調(diào)遞減；當(dāng)x Ina時(shí)，f x 0，所以f x在Ina,上單調(diào)遞增，此時(shí)x 1是f x的極大值點(diǎn)，不符合題意. .第2727頁共 2424 頁所以方程g x 0的唯一解為x 1，所以當(dāng)0 x1時(shí)，g x 0，所以g x在0,1上單調(diào)遞增;恒成立. .【點(diǎn)睛】本題考查含參函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)解決由極值點(diǎn)討論參數(shù)取值范圍問題，還考查了利用導(dǎo)數(shù)解決不等式證明問題，屬于難題. .x2222 .在直角坐標(biāo)系中，曲線C1的參數(shù)方程為綜合，得a,e(2(2)證明：由(1 1)可知當(dāng)a e時(shí),x在0,上單調(diào)遞增;又f 10，所以當(dāng)0 x1時(shí),x 0；當(dāng)x 1時(shí),所以當(dāng)0 x 1或x1時(shí)，都有0. .要證不等式x m Inx x22x對(duì)任意的x 0,11,都恒成立,f xinx即證不等式mxx 1x2對(duì)任意的x 0,11,都恒成立,Inx x x0，則g x1 Inx x2設(shè)h x 1 Inx x2，h 10且h x在0,上單調(diào)遞減;當(dāng)x 1時(shí)，g x 0，所以g x在1,上單調(diào)遞減;所以當(dāng)x 0時(shí)，g1. .當(dāng)m 2時(shí)，mg x