2020屆山西省大同市高三開(kāi)學(xué)學(xué)情調(diào)研測(cè)試試題數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到結(jié)果.第 1 1 頁(yè)共 2020 頁(yè)2020 屆山西省大同市高三開(kāi)學(xué)學(xué)情調(diào)研測(cè)試試題數(shù)學(xué)(理)試題、單選題1 1.已知集合A=x R |0：x：3,B Ax R |x2一4?，則B二()()A A .x |2：x：3C C .x | x _ -2或2乞x：3【答案】B B【詳解】 集合 B B 中的不等式x2-4, ,移項(xiàng)并分解因式得：(x 2)(x-2尸0, ,可解得x2或x, -2, ,所以集合B二x|x, -2或x2. .又集合A = x |0：x：3, ,則AflB =x|2, x 1時(shí)，兩個(gè)函數(shù)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，故選B B.第5 5頁(yè)共 2020 頁(yè)nJT,)上的

2、圖象大致為(2【答案】C C【解析】 【詳解】.2第6 6頁(yè)共 2020 頁(yè)因?yàn)楹瘮?shù) f f（X X）的定義域?yàn)椋?，），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且2 2f （-x） = -2x tan x = - f （x），所以函數(shù) f f （x x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除 A A、B B 選項(xiàng)，TT在同一直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)y =2x，y二tanx在（_ , ）的圖象,2 2由圖可知故在x 0時(shí)，靠近y軸的部分滿足2x tanx，比較選項(xiàng) C C、D可得答案 C C 正確，故選 C.C.【考點(diǎn)】1 1 函數(shù)的奇偶性；2 2 次函數(shù)與正切函數(shù)的圖象；3 3 排除法. .9 9 三國(guó)時(shí)代吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽所注周髀算經(jīng)中

3、給出了勾股定理的絕妙證明下面是趙爽的弦圖及注文，弦圖是一個(gè)以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實(shí).圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形，分別涂成紅（朱）色及黃色，其面積稱為朱實(shí)、 黃實(shí)，利用2勾 股（股-勾）2=4朱實(shí)黃實(shí)二弦實(shí)， 化簡(jiǎn)， 得勾2-股2二弦2設(shè) 勾股形中勾股比為1：.3，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲 10001000 顆圖釘（大小忽略不計(jì)），則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為（）A A 866866 B B. 500500 C C 300300 D D 134134【答案】D D【解析】由題意，大正方形的邊長(zhǎng)為2,中間小正形的邊長(zhǎng)為.3-1，則所求黃色圖形1010 某幾何體的三視圖如圖所

4、示，則該幾何體外接球表面積為（內(nèi)的圖釘數(shù)大約為10003-1:134，故選 D.D.第7 7頁(yè)共 2020 頁(yè)【點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)思想方法，考查空間想象能力，屬于中檔題 要找到幾何體外接球的球心，主要根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)，利用球心到球面上的點(diǎn)的距離相等，通過(guò)解直角三角形來(lái)求解出半徑,從而求得球的表面積或者體積A A .11二【答案】C CB B.14二328二3D D.16二【解析】畫(huà)出幾何體的直觀圖,利用底面的外心和高的一半求得球的半徑,由此求得球的表面積. .【詳畫(huà)出幾何體的直觀圖如下圖所示A - BCD，設(shè)球心為0，底面等邊三角形BCD的外心為，由三視圖可知3OfB2=3OB ： 3，設(shè)球的半徑為(

5、227r2=00j OfB2=12，故球的表面積為M丿34n2二些，故選 C.C.3本小題主要考查由三視圖還原為原圖,考查幾何體外接球的有關(guān)計(jì)算，考查數(shù)形結(jié)合的第8 8頁(yè)共 2020 頁(yè)1111.在直角三角形 ABCABC 中，C = 2,AC =3，取點(diǎn) D D、E E，使BD =2DA，AB=3BE，【答案】D D【解析】由向量的線性運(yùn)算法則，算出擊=2CACB且CEJCACB，從3333而算出CDCA宗CA總（3CA5CB），再將 和啟代入進(jìn)行計(jì) 算，可得答案?！驹斀狻抗蔬x：D.D.【點(diǎn)睛】 本題給出直角三角形ABC斜邊AB上滿足條件的兩點(diǎn)D,E,求向量的數(shù)量積.著重考查了向量的線性運(yùn)算

6、法則、平面向量數(shù)量積公式及其運(yùn)算性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題.2篤=1的焦點(diǎn)，Sx是雙曲線 M M 的一條m一個(gè)公共點(diǎn)，則A A. 8 8PFiPF2=（）B B. 6 6C C. 1010D D . 1212【答案】 D D【解析】利用Fi、F2是雙曲線M :丄X2-21的焦點(diǎn)，2Jy=-x是雙曲線M的一4m53的橢圓E與雙曲線M的焦點(diǎn)相同，求出橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，再利4用橢圓、雙曲線的定義，即可得出結(jié)論.【詳解】那么CDCA CE C =（）A A. -6-6B B. 6 6C C. -3-3.CD CB =2（CA CD），化簡(jiǎn)得CD=2CA+CB,3314* *兀同理可得CECA CB，C，可得C

7、A CB =0,3321 CA CB）二二CA +二337 BD =2DA，CAk0)0.150.150.100.100.050.050.0250.0250.0100.0100.0050.0050.0010.001k02.0722.0722.7062.7063.8413.8415.0245.0246.6356.6357.8797.87910.82810.828(K2二-，其中n = a b e d)(a+bc+d a+cjtb+d )【答案】（1 1）可以在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.0010.001 的前提下，認(rèn)為教師教學(xué)水平好評(píng)與教師8. .見(jiàn)解析E（X），D（X）5【解析】 分析：（1 1）由題

8、意得到列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表求得 可得結(jié)論.（2 2）由條件得到X的所有可能取值，再求出每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，由此 可得分布列.由于X、Bi4,2，結(jié)合公式可得期望和方差.I 5丿詳解：（1 1）由題意可得關(guān)于教師教學(xué)水平和教師管理水平評(píng)價(jià)的22列聯(lián)表:對(duì)教師管理水平好評(píng)對(duì)教師管理水平不滿意合計(jì)2n ad -be2425K2的值后，再根據(jù)臨界值表管理水平好評(píng)有關(guān)第1717頁(yè)共 2020 頁(yè)對(duì)教師教學(xué)水平好評(píng)1201206060180180對(duì)教師教學(xué)水平不滿意1051051515120120合計(jì)22522575753003002由表中數(shù)據(jù)可得K2300120 160 105.16.667 10.828

9、,180 x120 x225x75所以可以在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.0010.001 的前提下，認(rèn)為教師教學(xué)水平好評(píng)與教師管理水平好評(píng)有關(guān). .2 2， 3 3, 4 4,其中p（x =0）=21；15丿,2丫3 $p x =1 =C45 5；P X =4 i；= C：所以x的分布列為:x0 01 12 23 34 4Pc4-丫3丫C2們何C：岔。15丿4(5人5丿415丿15丿415八5丿415丿15丿由于x B 4,2，I 5丿28J2 F 2 24則E x =4T5，Dx =45壇.點(diǎn)睛：求離散型隨機(jī)變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值,(2(2)對(duì)教師教學(xué)水平和教師管理水平全好評(píng)

10、的概率為-，且x的取值可以是 0 0，1 1，52p x =2二C4r.i2p x =3二c|門1寫(xiě)出隨第1818頁(yè)共 2020 頁(yè)量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差公式進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于二項(xiàng)分布的均值和方差可根據(jù)公 式直接計(jì)算即可.20.已知函數(shù).1I、.（1） 當(dāng)汗時(shí)，求的圖像在處的切線方程；（2） 若函數(shù)汀:心-二匯-汁十:I 在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.f1 1【答案】（1）2x-$T=0；（2）口+飛.【解析】試題分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求的圖象在-ri 1處的切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的在-疋 上的極值和最值，即可得到結(jié)論.試題解析：（1）當(dāng)亠時(shí)，-,切

11、點(diǎn)坐標(biāo)為1M,切線的斜率則切線方程為-，即- .-.（2） 一二則_ -XX1 1 HE，當(dāng)g 1x1=0時(shí)，丫二1.當(dāng)一 ”時(shí)，；當(dāng)忖述空時(shí)，一 故誇Lv）在：- 處取得極大值1! _ .J- !.r 1八又g二規(guī)-一一,glgl二刖+2-，I盤丿b了、1）一瓦一=4-e +0 ,G J盤n（jn0対在1怡上的最小值是gig）.藥塔在1怡上有兩個(gè)零點(diǎn)的條件是第1919頁(yè)共 2020 頁(yè)解得小弋：二-【1 實(shí)數(shù)朋的取值范圍是1 V + r【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值22l2121 .橢圓 篤爲(wèi)=1(a b 0)兩焦點(diǎn)分別為Fi、F2,且離心率e=6；a b3 3(1) 設(shè) E E 是直

12、線y = x+2與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，求EF+|EF2取最小值時(shí)橢圓的方程；(2)已知N0,1, 是否存在斜率為 k k 的直線 I I 與(1 1)中的橢圓交于不同的兩點(diǎn)A A、B B,使得點(diǎn) N N 在線段 ABAB 的垂直平分線上，若存在，求出直線I I 在 y y 軸上截距的范圍；若不存在，說(shuō)明理由。【答案】2(1 1) y1. . (2 2)存在，見(jiàn)解析3【解析】b212 2()由于e -, -2_，橢圓方程可化為22- 1與直線方程3 3a233b2b2y二x 2聯(lián)立，消去y化簡(jiǎn)得：4x212x 13b0，又由厶一0,解得b2_1,此時(shí)EF-|EF2 =2 3b 2.3，當(dāng)且僅當(dāng)b=1

13、時(shí)取等號(hào)，此時(shí)EFJ -|EF2取最小 值2,3即可得到橢圓方程.(2 2)設(shè)直線 I I 的方程為y二kx t，代入橢圓方程可得到一元二次方程即根與 系數(shù)的關(guān)系，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得線段AB的中點(diǎn)M坐標(biāo)公式，利用kMN-1可 得k與t的關(guān)系，結(jié)合.：- C進(jìn)而得出t的取值范圍.當(dāng)k = 0時(shí)，容易得出.【詳解】廠b2122解：(1) e e = =6 6 , , . .橢圓方程可化為 一 r r 篤-1，與y = x 2聯(lián)立，3 3a233b2b2消去 y y 化簡(jiǎn)得4x2V2x V2 -3b2=0,第2020頁(yè)共 2020 頁(yè)又由U=144b2-1612-3b2_0，解得b2_ 1，此時(shí)|

14、EFI|+|EF2|=23b蘭2島，當(dāng)且僅當(dāng)b=1時(shí)，EFi+|EF2取最小值2近,2所以橢圓方程為y2=1=1. .32(2 2)設(shè)直線 I I 的方程為y =kX - t，代入1 y2=1，消去 y y 整理得：31 3k2x26ktx 3t2-3 =0T直線與橢圓交與不同的兩點(diǎn)，.U =(6kt)2-12 t2-1 1 3k20,即t2: 1 3k2，設(shè)A X1,y1,B6kt3t23X1X22，XtX2=-虧,1 3k2121 3k2則AB中點(diǎn)Q罟，程【點(diǎn)睛】 本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到厶匚及根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、相互垂直的直線的

15、斜率之間的關(guān)系、分類討 論的思想方法等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題.2222 .在平面直角坐標(biāo)系 xoyxoy 中，以坐標(biāo)原點(diǎn) O O 為極點(diǎn)，x x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。已知曲線 C C 的極坐標(biāo)方程為sin2r =2acos(a 0)，過(guò)點(diǎn)P -2,-4的直線 1 1 的參一2迢2數(shù)方程為_(kāi) （為參數(shù)），直線 I I 與曲線 C C 交于 M M、N N 兩點(diǎn)。72 y = 4tI 2（1 1）寫(xiě)出直線 I I 的普通方程和曲線 C C 的直角坐標(biāo)方程：所以當(dāng)k=0時(shí),宜I k1 3k2化簡(jiǎn)得1 3k2= -2t，代入t2：1 3k2得-2t：0；又-2t=1 3k21，所以t

16、：一丄，故 一2：t：-1；當(dāng)k = 0時(shí)，-1. t：綜上，k = 0時(shí)，2t :-；k = 0時(shí)，一1：t： ：1.第2121頁(yè)共 2020 頁(yè)（2 2）若|P M M N P N1成等比數(shù)列，求 a a 的值?！敬鸢浮浚? 1）I I 的普通方程y=x2； C C 的直角坐標(biāo)方程y= 2ax；（ 2 2）a=1.a=1.【解析】（1 1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式即可把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用消去參數(shù)t即可得到直線I的直角坐標(biāo)方程；（2 2）將直線I的參數(shù)方程，代入曲線C的方程，利用參數(shù)的幾何意義即可得出| PM | | PN |，從而建立關(guān)于a的方程，求解即可.【詳

17、解】x = 2 + t（1 1）由直線 I I 的參數(shù)方程消去參數(shù) t t 得，y =_4 + I 2-4x2，即y =x -2為| |的普通方程由sin2v -2acos，兩邊乘以得2sin2v -2acosv-y二2ax為 C C 的直角坐標(biāo)方程. .72x = 2 + t（2 2）將 代入拋物線y2=2ax得t2272(a+4)t + 32+8a = 0A.近*y = -4 + tj2|_=(2、2(a 4)2-4(32 8a) 0tit2 =2、2(a 4)0t,t2=32 8 a 0右-0,t20由已知|P M |,| M N |,| P N |成等比數(shù)列,| MN |2=| PM

18、| | PN |第2222頁(yè)共 2020 頁(yè)口仃222即 12= t|t2,(t|+t2)一4址2=t|t2,(t|+t2)= 5t|t2,(2 .2(a 4)2=5(328a)整理得a23a - 4=0a- - 4 4 (舍去)或 a a=1. .【點(diǎn)睛】熟練掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式、方程思想、直線意義是解題的關(guān)鍵.2323.設(shè) a a, b b, c c 均為正數(shù)，且 a+b+c=1a+b+c=1，證明:1ab+bc+acab+bc+ac _ _3【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（IIII）證明見(jiàn)解析【解析】【詳解】a2b2c2_ ab be ca,由題設(shè)得一即a2b2c22ab 2bc 2ca二1,1所以3(ab bc ca)乞1，即ab