2020屆北京市東城區(qū)高三下學(xué)期4月第一次模擬新高考適應(yīng)考試數(shù)學(xué)試題

1、-1 -2020 年高考數(shù)學(xué)（4 月份）第一次模擬試卷、選擇題（共 10 小題）.22已知曲線 C 的方程為二二丄，則“a b”是“曲線 C 為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”的（D .既不充分也不必要條件一排 6 個(gè)座位坐了 2 個(gè)三口之家.若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為（已知圓 C 與直線 y=- x 及 x+y- 4= 0 的相切，圓心在直線 y= x 上，則圓 C 的方程為（已知正項(xiàng)等比數(shù)列 an中，a1a5a9= 27, a6與 a7的等差中項(xiàng)為 9,貝 U a10=（春天來(lái)了，某池塘中的荷花枝繁葉茂，已知每一天新長(zhǎng)出荷葉覆蓋水面面積是前一天的20 天可以完全長(zhǎng)滿池塘水面，則當(dāng)荷葉剛好覆蓋

2、水面面積一半時(shí)，荷葉已生長(zhǎng)了（上班的職工人數(shù)是 20,則這三天都開車上班的職工人數(shù)至多是二、填空題共 5 題，每題 5 分，共 25 分.1.已知集合A = x|x (x+1) 0，集合 B = X| 1vxv1，貝yAUB =(2.3.4.A. x|-已知復(fù)數(shù)1xw1 B.拋物線 xz=2ix|-1vxw0 C.x|-1 2); n 是 ai+ a2+an的因數(shù)(n 1)(I)當(dāng) m = 5 時(shí)，寫出數(shù)列an的前五項(xiàng)；(n)若數(shù)列an的前三項(xiàng)互不相等，且 n 3 時(shí)，an為常數(shù)，求 m 的值；(川)求證：對(duì)任意正整數(shù) m，存在正整數(shù) M,使得 n M 時(shí)，an為常數(shù).解： xv0,-6 -參

3、考答案、選擇題共 10 題，每題 4 分，共 40 分在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).已知集合 A = x|x (x+1 ) 0，集合 B = x| 1vxv1，貝UAUB =(【分析】先求出集合 A，集合 B,由此能求出 AUB .解：集合 A = x|x (x+1)w0 = x|- 1 b”是“曲線 C 為焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓”的()abA充分而不必要條件B.必要而不充分條件C 充分必要條件D 既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)橢圓方程的特點(diǎn)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.解：若 a b 0，則對(duì)應(yīng)的曲線為雙曲線，不是橢圓，即充分性不成立，若曲線 C 為焦點(diǎn)在

4、x 軸上的橢圓，則滿足 a- b0,即 a0, bv0，滿足 ab，即必要性成立，即“ a b”是“曲線 C 為焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓”的必要不充分條件，故選：B.6.排 6個(gè)座位坐了 2個(gè)三口之家.若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為()A. 12B. 36C. 72D. 720【分析】根據(jù)題意，由捆綁法分析：先將2 個(gè)三口之家的成員進(jìn)行全排列，再對(duì) 2 個(gè)三口之家整體進(jìn)行全排列，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.解：根據(jù)題意，先將 2 個(gè)三口之家的成員進(jìn)行全排列，有銘玷=36 種情況，再對(duì) 2 個(gè)三口之家整體進(jìn)行全排列，有醐=2 種情況，則有 36X2 = 72 種不同的坐法；故選：C.7.已知

5、圓C與直線 y=- x 及 x+y- 4= 0 的相切，圓心在直線 y = x 上，則圓 C 的方程為()A . ( x - 1)2+ (y- 1)2= 2B.( x- 1)2+( y+1)2= 2C . ( x+1)2+ ( y- 1)2= 4D . ( x+1)2+ (y+1)2= 4【分析】根據(jù)圓心在直線y= x 上，設(shè)出圓心坐標(biāo)為(a， a)，利用圓 C 與直線 y=- x 及 x+y - 4 = 0的相切，求得圓心坐標(biāo)，再求圓的半徑，可得圓的方程.解：圓心在 y= x 上，設(shè)圓心為(a，a)，圓 C 與直線 y=- x 及 x+y- 4= 0 的相切，圓心到兩直線 y=- x 及 x

6、+y- 4= 0 的距離相等，-8 -9圓心坐標(biāo)為（1, 1）, R=7=!,圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為（X - 1）2+ （ y - 1 ）2= 2 .故選：A.&已知正項(xiàng)等比數(shù)列 an中，a1a5a9= 27, a6與 a7的等差中項(xiàng)為 9,貝 U a10=()A. 729B. 332C. 181D. 96【分析】正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比設(shè)為 q, q0，運(yùn)用等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)，解方程可得公比 q,再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得所求值.解：正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比設(shè)為 q, q0,由 a1a5a9= 27,可得 a53= 27,即 a5= 3,即 a1q4= 3,a

7、6與 a7的等差中項(xiàng)為 9，可得 a6+a7= 18,即 ag5+a1q6= 18, 相除可得 q2+q - 6 = 0,解得 q = 2 (- 3 舍去)，貝a10=a5q5=3x32=96.故選：D.9.春天來(lái)了， 某池塘中的荷花枝繁葉茂，已知每一天新長(zhǎng)出荷葉覆蓋水面面積是前一天的2 倍，若荷葉20 天可以完全長(zhǎng)滿池塘水面，則當(dāng)荷葉剛好覆蓋水面面積一半時(shí)，荷葉已生長(zhǎng)了()A . 10 天B . 15 天C . 19 天D. 2 天【分析】由題意設(shè)荷葉覆蓋水面的初始面積，再列出解析式，并注明x 的范圍，列出方程求解即可.解：設(shè)荷葉覆蓋水面的初始面積為a,則 x 天后荷葉覆蓋水面的面積y= a

8、? 2X(x 3+),根據(jù)題意，令 2 (a? 2X)= a? 220,解得 x= 19,故選：C.10.某學(xué)校高三教師周一、周二、周三坐地鐵上班的人數(shù)分別是8, 10, 14,若這三天中至少有一天開車上班的職工人數(shù)是 20,則這三天都開車上班的職工人數(shù)至多是()A . 8B. 7C . 6D. 5【分析】設(shè)周三，周二，周一開車上班的職工組成的集合分別為A, B, C,集合 A, B, C 中元素個(gè)數(shù)分別為 n (A) , n ( B) , n (C),根據(jù) n(AUBUC) = n (A) +n( B) +n (C) - n (AnB) - n(AnC) - n( BnC) +n(AnBnC

9、)，且 n(AnB) n(AnBnC) , n( AnC) n(AnBnC), n ( BnC ) n(AnBnC )可得.解：設(shè)周三，周二，周一開車上班的職工組成的集合分別為A , B, C,集合 A, B , C 中元素個(gè)數(shù)分別-9 -為 n (A), n (B), n (C),貝yn (A)= 14, n ( B)= 10, n (C)= 8, n (AUBUC)= 20,因?yàn)?n (AUBUC)= n (A) +n ( B) +n (C)- n (AnB)- n ( AnC)- n ( BnC) +n (AnBnC),-10 -且 n(AnB)n (A nBnC),n (A nC)n

10、( AnBnC),n(BnC)n (A nBnC),所以 14+10+8-20+ n ( AnBn C) 3n (AnBnC),即卩 n (AnBnc)w11.設(shè)向量-i, |不平行，向量 入+|與-1+2 |，平行，則實(shí)數(shù)【分析】利用向量平行的條件直接求解.解：T向量孔，b 不平行，向量垃+電與赴+2b 平行,二入宜+t =t(3L+2|b|)= t*2tb，rl?2t.故答案為:點(diǎn)（-1,【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，先求得a的值，可得 sina的值.解：T角a的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與 X 軸的正半軸重合，將角故答案為：1.13某四棱錐的三視圖如圖所示，那么該四棱錐的體積為jr

11、審11 1 !： =6.，解得實(shí)數(shù)匸12.已知角a的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與 x 軸的正半軸重合,將角a的終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后經(jīng)過(guò),此時(shí),7Va=，sina=1,a的終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后經(jīng)過(guò)-:，故a+為第二象限角.可-11 -/*$-2-MI厠（左）釵圖t1丄【分析】畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)，求解幾何體的體積. 解：幾何體的直觀圖如圖：是長(zhǎng)方體的一部分，長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)為：2，1，2，14四棱錐的體積為： X 1X2X2 =二3314.若頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)四個(gè)點(diǎn)（1, 1）,（2，+），（ 2，1）,（ 4, 2）中的 2 個(gè)點(diǎn)，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是x2=8或護(hù)=x .【

12、分析】由題意可設(shè)拋物線方程為 y2= 2px （ p 0）或 x2= 2py （p 0），然后分類求解得答案.解：由題意可得，拋物線方程為y2= 2px （p0）或 x2= 2py （p0）.若拋物線方程為 y2= 2px （ p 0），代入（1, 1），得 p=二，則拋物線方程為 y2= x,此時(shí)（4, 2）在拋物線上，符合題意；若拋物線方程為 x2= 2py （ p 0），代入（2, 1），得 p= 2,則拋物線方程為 x2= 8y,此時(shí)（2,十）在拋物線上，符合題意.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是x2= 8y 或 y2= x.故答案為：x2= 8y 或 y2= x.15某部影片的盈利額（即影片的

13、票房收入與固定成本之差）記為y,觀影人數(shù)記為 x,其函數(shù)圖象如圖（1）所示.由于目前該片盈利未達(dá)到預(yù)期，相關(guān)人員提出了兩種調(diào)整方案，圖（2）、圖（3）中的實(shí)線分別為調(diào)整后 y 與 x 的函數(shù)圖象.-io -1圖（2）對(duì)應(yīng)的方案是：提高票價(jià)，并提高成本；2圖（2）對(duì)應(yīng)的方案是：保持票價(jià)不變，并降低成本;3圖（3）對(duì)應(yīng)的方案是：提高票價(jià)，并保持成本不變;4圖（3）對(duì)應(yīng)的方案是：提高票價(jià)，并降低成本.其中，正確的說(shuō)法是（填寫所有正確說(shuō)法的編號(hào)）【分析】解題的關(guān)鍵是理解圖象表示的實(shí)際意義，進(jìn)而得解.解：由圖可知，點(diǎn) A 縱坐標(biāo)的相反數(shù)表示的是成本，直線的斜率表示的是票價(jià),故圖（2）降低了成本，但票價(jià)保

14、持不變，即對(duì)；圖（3）成本保持不變，但提高了票價(jià)，即對(duì);故選： 三、解答題共 6 題，共 85 分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.如圖 1,在厶 ABC 中，D, E 分別為 AB , AC 的中點(diǎn)，0 為 DE 的中點(diǎn)，AB = AC = 2 壬,BC = 4.將 ADE 沿 DE 折起到AIDE的位置，使得平面 AiDE 丄平面 BCED，如圖.（I）求證：AiO 丄 BD;（H）求直線 AiC 和平面 AiBD 所成角的正弦值;【分析】（I）推導(dǎo)出 AiO 丄 DE,從而 AiO 丄平面 BCDE，由此能證明 AiO 丄 BD .（H）以 O 為原點(diǎn)，在平面 BCED 中過(guò)

15、點(diǎn) O 作 DE 的垂線為 x 軸，以 OE 為 y 軸，OAi為 z 軸，建立 空間直角坐標(biāo)系，由此能求出直線AiC 和平面 AiBD 所成角的正弦值.解：（I）證明：在ABC 中，D,E 分別為 AB,AC 的中點(diǎn)，O 為 DE 的中點(diǎn)，AB = AC =2、，BC = 4.二 AiO 丄 DE ,將 ADE 沿 DE 折起到AIDE的位置，使得平面AIDE丄平面 BCED ,-ii -二 AiO 丄平面 BCDE ,/ BD?平面 BCDE , AiO 丄 BD .(n)解：以 O 為原點(diǎn)，在平面 BCED 中過(guò)點(diǎn) O 作 DE 的垂線為 x 軸,以 OE 為 y 軸，OAi為 z 軸，

16、建立空間直角坐標(biāo)系,Ai(0, 0, 2), C (2, 2, 0), B (2, 2, 0), D (0, - 1, 0),；：=(2,2,-2), L=(2,-i,0), I=(0,i,2),設(shè)平面AiBD 的法向量為n=(x,y,z),，取 x = i，得 |=( i, 2, - i),設(shè)直線 AiC 和平面 AiBD 所成角為0,-ii -sinB+cosB =.：,這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的弦定理可得 a，最后利用三角形的面積公式計(jì)算即可得出;問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題已知 ABC 的內(nèi)角 A, B, C 的對(duì)邊分別為 a, b, c,7T ,A一,b=【分析】取 b2-V2aca

17、2+c3,由余弦定理可得 cosB進(jìn)而解得 B, C 的大小也可得出，再由正弦定理可得 a，最后利用三角形的面積公式計(jì)算即可得出;取 acosB = bsinA，由正弦定理可得：tanB = i, B ( 0,n)，解得 B,可得 sinC= sin(A+B)，由正弦定理可得：a，利用三角形面積計(jì)算公式即可得出;兀取，、，可得y一，由此可求出 B 的大小，C 的大小也可得出，再由正則直線 AiC 和平面 AiBD 所成角的正弦值為:-15 -VV V2ac V22ac 2ac 2兀因?yàn)锽G(o,n,所以4由正弦定理si nA sinBbsinA血說(shuō)嶺 l，所以I- I ，得412所以* 一*5

18、兀f譏兀、兀 兀，兀兀一聽林邁 所以smL=sin=sin-j-cos_g-+os_j_SLrr_11l廣/6W23-h/3.所以若選擇 acosB = bsinA，貝UsinAcosB = sinBsinA,因?yàn)?sinA豐0，所以 sinB = cosB ,因?yàn)橛烧叶ɡ韄a_Dsi nA sinB，得兀兀JT因?yàn)锽，所以G二兀-一bsinA PsinV la=T=ViTV兀5兀3571n 71 , Jl 7L 71% _V6S/2亠1 L廠晶砸3+V3呂昌ABC 7absinC=yXV3XV2x_J所以sinC=sin所以(3)若選擇 sinB*cosB=,，所以=71嚴(yán)r口5兀、 因?yàn)?/p>

19、BG(0,n)，所以.-； nA所以，所以由正弦定理si nA sinBanr=亞噸71兀5兀，所以W .，得12，,5兀7T .7T7T ,兀所以sinC=sin-y2_=sin=sin-j-cos_g-+cos_j_SLrr_ -18為了解甲、乙兩個(gè)快遞公司的工作狀況，假設(shè)同一個(gè)公司快遞員的工作狀況基本相同，現(xiàn)從甲、 乙兩-16 -X 136147154189203公司各隨機(jī)抽取一名快遞員，并從兩人某月（30 天）的快遞件數(shù)記錄結(jié)果中隨機(jī)抽取10 天的數(shù)據(jù)，制表如圖：甲公司某員工丿乙公司某員工R50658333466677C 144222每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務(wù)費(fèi)情況如下：甲

20、公司規(guī)定每件4.5 元；乙公司規(guī)定每天 35件以內(nèi)（含 35 件）的部分每件 4 元，超出 35 件的部分每件 7 元.（I）根據(jù)表中數(shù)據(jù)寫出甲公司員工A 在這 10 天投遞的快遞件數(shù)的平均數(shù)和眾數(shù)；（H）為了解乙公司員工 B 的每天所得勞務(wù)費(fèi)的情況，從這10 天中隨機(jī)抽取 1 天，他所得的勞務(wù)費(fèi)記為 X （單位：元），求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望；（川）根據(jù)表中數(shù)據(jù)估算兩公司的每位員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi).【分析】（I）由莖葉圖能求出甲公司員工A 投遞快遞件數(shù)的平均數(shù)和眾數(shù).（n）由題意能求出 X 的可能取值為 136, 147, 154, 189, 203，分別求出相對(duì)應(yīng)的概率，由此能求出X

21、的分布列和數(shù)學(xué)期望.（川）利用（n）的結(jié)果能估算算兩公司的每位員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi).解：（i）甲公司員工A 投遞快遞件數(shù)的平均數(shù)為：-1,=一 （32+33+33+38+35+36+39+33+41+40 ）= 36,10眾數(shù)為 33.（n）設(shè) a 為乙公司員工 B 投遞件數(shù)，則當(dāng) a= 34 時(shí)，X = 136 元，當(dāng) a35 時(shí)，X = 35X4+ (a- 35)x7 元, X 的可能取值為 136, 147, 154, 189, 203,(X = 136) =(X = 189) =(X = 203) =X 的分布列為:(X = 147) =10，(X = 154) =10，-17 -一

22、二、-_i - -p-u - _J.(川)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，由(n)可估算：甲公司被抽取員工該月收入=36X4.5X30= 4860 元，乙公司被抽取員工該月收入=165.5X30= 4965 元.19.已知函數(shù) f (x) = lnx - -1.K(1)若曲線 y=f (x)存在斜率為-1 的切線，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍；(2) 求 f (x)的單調(diào)區(qū)間；戈-pa(3)設(shè)函數(shù) g (x)= ，求證：當(dāng)-1 0時(shí)遞增，求出 a 的范圍即可；(2)求出函數(shù) f (x)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論 a 的范圍，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；(3 )求出函數(shù) g (x)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù) f (e)=- 0，

23、得到存在 X0( 1, e)滿足 g，( x0)= 0,從而 得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極小值，證出結(jié)論即可.解：(1)由 f (x) = lnx - - 1 得：f( x)=：, ,( x 0),由已知曲線 y= f (x)存在斜率為-1 的切線， f( x )=- 1 存在大于 0 的實(shí)數(shù)根，即 x2+x+a = 0 存在大于 0 的實(shí)數(shù)根， y= x2+x+a 在 x0 時(shí)遞增， a 的范圍是(-8，0)；(2)由 f( x)=，( x0)，I得：a 0 時(shí)，f( x) 0， f (乂)在(0，+8)遞增；a 0，110Z 2 io lo To-18 -若 x (0，- a)，貝Uf

24、( x) 1,f(e)=十0，存在 xo (1, e)滿足 f ( xo)= 0,即存在x0 (1, e)滿足 g( X0)= 0,令 g(x) 0，解得：xx0,令 gz(x)v0，解得：1vxvX0,故 g (x)在(1 , X。)遞減，在(X0, +s)遞增， - 1vav0 時(shí)，g (乂)在(1, +s)存在極小值.20.已知橢圓 C: x2+3y2= 6 的右焦點(diǎn)為 F .(I)求點(diǎn) F 的坐標(biāo)和橢圓 C 的離心率；(H)直線 I: y= kx+m ( k豐0)過(guò)點(diǎn) F，且與橢圓 C 交于 P, Q 兩點(diǎn)，如果點(diǎn) P 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)為P ，判斷直線 PQ 是否經(jīng)過(guò) x 軸上的定

25、點(diǎn)，如果經(jīng)過(guò)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不經(jīng)過(guò)，說(shuō)明理由.【分析】(I)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出；(II )直線 I: y= kx+m (kz0)過(guò)點(diǎn) F，可得 I: y= k (x - 2).代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得：(3k2+1)x2- 12k2x+12k2- 6= 0.(依題意 0).設(shè) P(x1,y1) , Q(X2, y2),可得根與系數(shù)的關(guān)系.點(diǎn) P 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)為 P，則 P(X1,- y1).可把根與系數(shù)的關(guān)系代入化簡(jiǎn)即可得出.- c2= a2- b2= 4,解得 c= 2,(H)直線 I:y=kx + m(k豐0)過(guò)點(diǎn) F,解：(I)：橢圓焦點(diǎn) F (2, 0)由1vav0,

26、得：0vav1,得直線 PQ 的方程可以為，離心率(n)解：T0anWn1,0a21,0a3 0).12k2IBBiarS=12 k -613k2+lk2+l點(diǎn) P 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)為則設(shè)P(xi, yi), Q (x2, y2),P，則 P (X1,- yi).直線 PQ 的方程可以設(shè)為令 y= 0,也卩廠址1珥噸卄冷2x=- 1 =-2511+2kx2(x j-2)+k x j(X2-2)12k2-612b;2也Qj3kz+l並仃122 _-4) 3宀112k=3.直線 PQ 過(guò) x 軸上定點(diǎn)(3, 0).21各項(xiàng)均為非負(fù)整數(shù)的數(shù)列 an同時(shí)滿足下列條件： ai= m (m N*); n 1 (n 2); n 是 ai+ a2+an的因數(shù)(n 1)(I)當(dāng) m