反比例函數(shù)知識點與典型例題

1、1 / 13反比例函數(shù)知識點及考點：知識點及考點：（一）反比例函數(shù)的概念：（一）反比例函數(shù)的概念： 知識要點：知識要點：1、一般地，形如、一般地，形如 y =( k 是常數(shù)是常數(shù), k = 0 ) 的函數(shù)叫做反比例函數(shù)。的函數(shù)叫做反比例函數(shù)。xk注意：（注意：（1）常數(shù)）常數(shù) k 稱為比例系數(shù)，稱為比例系數(shù)，k 是非零常數(shù)；是非零常數(shù)；（2）解析式有三種常見的表達(dá)形式：）解析式有三種常見的表達(dá)形式：（A）y =（k 0） ， （B）xy = k（k 0） （C C）y=kxy=kx-1-1（k0k0）xk例題講解：有關(guān)反比例函數(shù)的解析式例題講解：有關(guān)反比例函數(shù)的解析式（1）下列函數(shù)，. . ；

2、其中是 y 關(guān)于1)2(yx11xy21xy xy212xy 13yxx 的反比例函數(shù)的有：_。（2）函數(shù)是反比例函數(shù)，則的值是（）22)2(axaya A1 B2 C2 D2 或2（3）若函數(shù)(m 是常數(shù))是反比例函數(shù)，則 m_，解析式為_11mxy（4）如果是的反比例函數(shù)，是的反比例函數(shù)，那么是的（ ）ymmxyxA反比例函數(shù) B正比例函數(shù) C一次函數(shù) D反比例或正比例函數(shù)練習(xí)：（1）如果是的正比例函數(shù)，是的反比例函數(shù)，那么是的（ ）ymmxyx （2）如果是的正比例函數(shù)，是的正比例函數(shù)，那么是的（ ）ymmxyx（5）反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過（2，5）和（， ） ，(0kykx ）2n求 1

3、）的值；2）判斷點 B（，）是否在這個函數(shù)圖象上，并說明理由n242（6）已知 y 與 2x3 成反比例，且時，y2，求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式41x2 / 13（7）已知函數(shù)，其中與成正比例,與成反比例，且當(dāng)1 時，1；12yyy1yx2yxxy3 時，5求：（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)2 時，的值xyyxxy(二二)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)：反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)：知識要點：知識要點：1、形狀：圖象是雙曲線。、形狀：圖象是雙曲線。2、位置：（、位置：（1）當(dāng)）當(dāng) k0 時時,雙曲線分別位于第雙曲線分別位于第_象限內(nèi)；（象限內(nèi)；（2）當(dāng)）當(dāng) k0 時時,_,y 隨隨 x 的增大而的增大

4、而_；（2）當(dāng)）當(dāng) k0 時時,_,y 隨隨 x 的增大而的增大而_。4、變化趨勢：雙曲線無限接近于、變化趨勢：雙曲線無限接近于 x、y 軸軸,但永遠(yuǎn)不會與坐標(biāo)軸相交但永遠(yuǎn)不會與坐標(biāo)軸相交5、對稱性：（、對稱性：（1）對于雙曲線本身來說，它的兩個分支關(guān)于直角坐標(biāo)系原點）對于雙曲線本身來說，它的兩個分支關(guān)于直角坐標(biāo)系原點_；（；（2）對于）對于 k 取互為取互為相反數(shù)的兩個反比例函數(shù)（如：相反數(shù)的兩個反比例函數(shù)（如：y =和和 y =）來說，它們是關(guān)于）來說，它們是關(guān)于 x 軸，軸，y 軸軸_。x6x6例題講解：例題講解：反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)：反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)：（1）寫出一個反比例函數(shù)，

5、使它的圖象經(jīng)過第二、四象限（2）若反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，則的值是（ ）22) 12(mxmymA、 1 或 1; B、小于的任意實數(shù); C、1; 、不能確定12（3）下列函數(shù)中，當(dāng)時，隨的增大而增大的是（）0 x yxABCD34yx 123yx 4yx 12yx（4）已知反比例函數(shù)的圖象上有兩點 A（，） ，B（，） ，且，2yx1x1y2x2y12xx則的值是（）12yyA正數(shù)B負(fù)數(shù) C非正數(shù)D不能確定（5）若點（，） 、 （，）和（，）分別在反比例函數(shù) 的圖象上，且1x1y2x2y3x3y2yx ，則下列判斷中正確的是（）1230 xxxABCD123yyy312yyy231y

6、yy321yyy3 / 13MyNxO圖 4（6）在反比例函數(shù)的圖象上有兩點和，若時，則的xky111()xy，22()xy，xx120yy12k取值范圍是（7）老師給出一個函數(shù),甲、乙、丙三位同學(xué)分別指出了這個函數(shù)的一個性質(zhì):甲:函數(shù)的圖象經(jīng)過第二象限; 乙:函數(shù)的圖象經(jīng)過第四象限; 丙:在每個象限內(nèi),y 隨 x 的增大而增大.請你根據(jù)他們的敘述構(gòu)造滿足上述性質(zhì)的一個函數(shù):.（8）作出反比例函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象回答：xy4(1)當(dāng) x2 時，y 的值；(2)當(dāng) 1x4 時，y 的取值范圍；(3)當(dāng) 1y4 時，x 的取值范圍（三）反比例函數(shù)與面積結(jié)合題型。（三）反比例函數(shù)與面積結(jié)合題型。知識

7、要點：知識要點：1、反比例函數(shù)與矩形面積：、反比例函數(shù)與矩形面積：若 P(x，y)為反比例函數(shù)(k0)圖像上的任意一點如圖 1 所示，過xky P 作PMx 軸于 M，作 PNy 軸于 N，求矩形 PMON 的面積.分析：分析：S矩形 PMON=xyxyPNPM, xy=k,S =.xky k2、反比例函數(shù)與矩形面積：、反比例函數(shù)與矩形面積：若 Q(x，y)為反比例函數(shù)(k0)圖像上的任意一點如圖 2 所示，過 Q 作xky QAx 軸于 A(或作 QBy 軸于 B)，連結(jié) QO，則所得三角形的面積為：SQOA=（或 SQOB=）.說明：以上結(jié)論與點在反比例函數(shù)圖像上的位置無關(guān)以上結(jié)論與點在反

8、比例函數(shù)圖像上的位置無關(guān).2k2k（1）如圖 3，在反比例函數(shù)（x0）的圖象上任取一點，過點分別作軸、軸的垂線，垂足分xy6PPxy別為 M、N，那么四邊形的面積為PMONPyxOMN圖 1OByxAQ圖2PyMx0N3yxOACB圖 64 / 13（2）反比例函數(shù)的圖象如圖 4 所示，點 M 是該函數(shù)圖象上一點，MNx 軸，垂足為 N.如果 SMON=2，xky 這個反比例函數(shù)的解析式為_(3)如圖 5，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于 A、C 兩點，(0)ykx k2yx過點 A 作 AB軸于點 B，連結(jié) BC則 ABC 的面積等于（）xA1B2C4D隨的取值改變而改變k（4）如圖 6，

9、A、B 是函數(shù)2yx的圖象上關(guān)于原點對稱的任意兩點，BCx軸，ACy軸，ABC 的面積記為S，則（）A2S B4S C24SD4S （5）如圖 7，過 y 軸正半軸上的任意一點 P，作 x 軸的平行線，分別與反比例函數(shù)的圖象交于點xyxy24和A 和點 B，若點 C 是 x 軸上任意一點，連接 AC、BC，則ABC 的面積為 （ ）(四四)一次函數(shù)與反比例函數(shù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)(1)一次函數(shù) y=2x+1 和反比例函數(shù) y=的大致圖象是（）3A、B、C、(2)一次函數(shù))0( kkkxy和反比例函數(shù))0( kxky在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大致是( )圖 5圖 75 / 13（3）一次函數(shù) y1

10、=k1x+b 和反比例函數(shù) y2=（k1k20）的圖象如圖所xk2示，若y1y2，則 x 的取值范圍是（）A、2x0 或 x1B、2x1C、x2 或 x1D、x2 或 0 x1（4）正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象有個交點2xy 2yx（5）正比例函數(shù) y=k1x(k10)和反比例函數(shù) y= (k20)的一個交點為(m,n),則另一個交點為_.2kx（6）設(shè)函數(shù) y=與 y=x1 的圖象的交點坐標(biāo)為（a，B） ，則的值為2x11ab(7)如圖，RtABO 的頂點 A 是雙曲線與直線kyxyxm 在第二象限的交點，AB 垂直軸于 B，且 SABO，x32則反比例函數(shù)的解析式(8)若反比例函數(shù)與一次函

11、數(shù) y3xb 都經(jīng)過點(1，4)，則 kb_xky （9）如圖，已知 A （4，a） ，B （2，4）是一次函數(shù) ykxb 的圖象和反比例函數(shù) y的圖象的交xm點（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解祈式；（2）求A0B 的面積(10)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線在第一象限交于點 A，2kyxkyx與軸交于點 C，AB軸，垂足為 B，且1求：xxAOBS（1）求兩個函數(shù)解析式；（2）求ABC 的面積（第（7）題）6 / 13（11）平面直角坐標(biāo)系中，直線 AB 交 x 軸于點 A，交 y 軸于點 B 且與反比例函數(shù)圖象分別交于 C、D 兩點，過點 C 作 CMx 軸于M，AO=6，BO=3

12、，CM=5求直線 AB 的解析式和反比例函數(shù)解析式（五）反比例函數(shù)的應(yīng)用：（五）反比例函數(shù)的應(yīng)用：例題講解：例題講解：1一個水池裝水 12 立方米，如果從水管中每小時流出 x 立方米的水，經(jīng)過 y 小時可以把水放完，那么 y 與 x的函數(shù)關(guān)系式是_，自變量 x 的取值范圍是_2三角形的面積為 6cm2，如果它的一邊為 ycm，這邊上的高為 xcm，那么 y 與 x 之間是_函數(shù)關(guān)系，以x 為自變量的函數(shù)解析式為_3長方體的體積為 40cm3，此長方體的底面積 y(cm2)與其對應(yīng)高 x(cm)之間的函數(shù)關(guān)系用圖象大致可以表示為下面的( )4下列各問題中兩個變量之間的關(guān)系，不是反比例函數(shù)的是(

13、)(A)小明完成百米賽跑時，所用時間 t(s)與他的平均速度 v(m/s)之間的關(guān)系(B)長方形的面積為 24，它的長 y 與寬 x 之間的關(guān)系7 / 13(C)壓力為 600N 時，壓強(qiáng) p(Pa)與受力面積 S(m2)之間的關(guān)系(D)一個容積為 25L 的容器中，所盛水的質(zhì)量 m(kg)與所盛水的體積 V(L)之間的關(guān)系5在溫度不變的條件下，通過一次又一次地對汽缸頂部的活塞加壓，測出每一次加壓后缸內(nèi)氣體的體積和氣體對汽缸壁所產(chǎn)生的壓強(qiáng)，如下表：體積 x(ml)10080604020壓強(qiáng) y(kpa)60則可以反映 y 與 x 之間的關(guān)系的式子是( )(A)y3000 x(B)y6000 x

14、(C)(D)xy3000 xy60006甲、乙兩地間的公路長為 300km，一輛汽車從甲地去乙地，汽車在途中的平均速度為 V(km/h)，到達(dá)時所用的時間為 t(h)，那么 t 是V_的函數(shù)，V 關(guān)于 t 的函數(shù)關(guān)系式為_7農(nóng)村常需要搭建截面為半圓形的全封閉蔬菜塑料暖房(如圖所示)，則需要塑料布 y(m2)與半徑 R(m)的函數(shù)關(guān)系式是(不考慮塑料埋在土里的部分)_8有一面積為 60 的梯形，其上底是下底長的三分之一，若下底長為 x，高為 y，則 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式是( )(A)(B)(C)(D)0(45xxy)0(30 xxy)0(90 xxy)0(15xxy9一個長方體的體積是 1

15、00cm3，它的長是 y(cm)，寬是 5cm，高是 x(cm)(1)寫出長 y(cm)關(guān)于高 x(cm)的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量 x 的取值范圍；(2)畫出(1)中函數(shù)的圖象；(3)當(dāng)高是 3cm 時，求長10一個氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓 p(kPa)是氣體體積 V(m3)的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示(1)寫出這一函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)氣體體積為 1m3時，氣壓是多少？8 / 13(3)當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于 140kPa 時，氣球?qū)⒈ǎ瑸榱税踩鹨?，氣體的體積應(yīng)不小于多少？11某學(xué)校對教室采用藥薰消毒法進(jìn)行消毒已知藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量 y(

16、毫克)與時間 x(分鐘)成正比例，藥物燃燒完后，y 與 x 成反比例(如圖所示)，現(xiàn)測得藥物 8 分鐘燃畢，此時室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為 6 毫克，請根據(jù)題圖中所提供的信息解答下列問題：(1)藥物燃燒時 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式為_，自變量 x 的取值范圍是_；藥物燃燒后 y 關(guān)于x 的函數(shù)關(guān)系式為_(2)研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量小于 1.6 毫克時學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從消毒開始，至少需要經(jīng)過_分鐘后，學(xué)生才能回到教室；(3)研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于 3 毫克且持續(xù)時間不低于 10 分鐘時，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效？為什么？練習(xí)1反比例函數(shù)

17、的概念（1）下列函數(shù)中，y 是 x 的反比例函數(shù)的是（ ） Ay=3x B C3xy=1 D（2）下列函數(shù)中，y 是 x 的反比例函數(shù)的是（ ） AB CD2圖象和性質(zhì)（1）已知函數(shù)是反比例函數(shù)，若它的圖象在第二、四象限內(nèi)，那么 k=_9 / 13若 y 隨 x 的增大而減小，那么 k=_（2）已知一次函數(shù) y=ax+b 的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則函數(shù)的圖象位于第_象限（3）若反比例函數(shù)經(jīng)過點（，2） ，則一次函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過第_象限（4）已知 ab0，點 P（a，b）在反比例函數(shù)的圖象上， 則直線不經(jīng)過的象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限（5）若 P（2，2

18、）和 Q（m，）是反比例函數(shù)圖象上的兩點，則一次函數(shù) y=kx+m 的圖象經(jīng)過（ ） A第一、二、三象限 B第一、二、四象限C第一、三、四象限 D第二、三、四象限（6）已知函數(shù)和（k0） ，它們在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是（ ） A B C D3函數(shù)的增減性（1）在反比例函數(shù)的圖象上有兩點，且，則的值為（ ） A正數(shù) B負(fù)數(shù) C非正數(shù) D非負(fù)數(shù)（2）在函數(shù)（a 為常數(shù)）的圖象上有三個點，則函數(shù)值、的大小關(guān)系是（ ） 10 / 13ABCD（3）下列四個函數(shù)中：； y 隨 x 的增大而減小的函數(shù)有（ ） A0 個 B1 個 C2 個 D3 個（4）已知反比例函數(shù)的圖象與直線 y=2x 和 y=x+

19、1 的圖象過同一點，則當(dāng) x0 時，這個反比例函數(shù)的函數(shù)值 y 隨 x 的增大而（填“增大”或“減小”） 4解析式的確定（1）若與成反比例，與成正比例，則 y 是 z 的（ ） A正比例函數(shù) B反比例函數(shù) C一次函數(shù) D不能確定（2）若正比例函數(shù) y=2x 與反比例函數(shù)的圖象有一個交點為 （2，m） ，則m=_，k=_，它們的另一個交點為_（3）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，求的值（4）已知一次函數(shù) y=x+m 與反比例函數(shù)（）的圖象在第一象限內(nèi)的交點為 P （x 0，3） 求 x 0的值；求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式5面積計算（1）如圖，在函數(shù)的圖象上有三個點

20、 A、B、C，過這三個點分別向 x 軸、y 軸作垂線，過每一點所作的兩條垂線段與 x 軸、y 軸圍成的矩形的面積分別為、，則（ ） ABCD11 / 13 第（1）題圖 第（2）題圖（2）如圖，A、B 是函數(shù)的圖象上關(guān)于原點 O 對稱的任意兩點，AC/y 軸，BC/x 軸，ABC的面積 S，則（ ） AS=1 B1S2 CS=2 DS2（3）如圖，RtAOB 的頂點 A 在雙曲線上，且 SAOB=3，求 m 的值 第（3）題圖 第（4）題圖（4）已知函數(shù)的圖象和兩條直線 y=x，y=2x 在第一象限內(nèi)分別相交于 P1 和 P2 兩點，過 P1分別作 x 軸、y 軸的垂線 P1Q1，P1R1，垂足分別為 Q1，R1，過 P2 分別作 x 軸、y 軸的垂線 P2 Q 2，P2 R 2，垂足分別為 Q 2，R 2，求矩形 O Q 1P1 R 1 和 O Q 2P2 R 2 的周長，并比較它們的大?。?）如圖，正比例函數(shù) y=kx（k0）和反