選修4-4坐標系與參數方程高考復習講義

1、選修 4-4 坐標系與參數方程高考復習講義河南省三門峽市盧氏縣第一高級中學山永峰本部分是人教版教材選修模塊內容，主要對極坐標的概念、點的極坐標及簡單曲線的極坐標方程進行考查。對于參數方程，主要考查直線、圓與圓錐曲線參數方程的應用。參數方程是解析幾何、平面向量、三角函數、圓錐曲線與方程等知識的綜合應用和進一步深化，是研究曲線的工具，特別值得關注。最重要的是它是新課標全國卷三個選考模塊中難度系數最高的， 明顯比另兩個模塊簡單。 估計在 2015年高考中仍是重點， 作為選考題一般難度不大， 屬于明顯的 “送分題” ！現整理如下，以期拋磚引玉！第一節(jié)坐標系基本知識點：基本知識點：1平面直角坐標系中的坐

2、標伸縮變換設點 P(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換：xx，0，yy，0的作用下，點 P(x，y)對應到點 P(x，y)，稱為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換2極坐標系與極坐標(1)極坐標系：如圖所示，在平面內取一個定點 O，叫做極點，自極點 O 引一條射線 Ox，叫做極軸；再選定一個長度單位， 一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系(2)極坐標：設 M 是平面內一點，極點 O 與點 M 的距離|OM|叫做點 M 的極徑，記為；以極軸 Ox 為始邊，射線 OM 為終邊的角 xOM叫做點 M 的極角，記為.有序數對(，)叫做點

3、M 的極坐標，記為M(，)不做特殊說明時，我們認為0，可取任意實數3極坐標與直角坐標的互化設 M 是坐標系平面內任意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標是(，)(0)，于是極坐標與直角坐標的互化公式如下表：點 M直角坐標(x，y)極坐標(，)互化公式xcos ysin 2x2y2tan yxx04.常見曲線的極坐標方程曲線圖形極坐標方程圓心在極點，半徑為 r 的圓r(02)圓心為(r,0)，半徑為 r 的圓2rcos_22圓心為r，2 ，半徑為 r 的圓2rsin_(0)過極點，傾斜角為的直線(1)(R)或(R)(2)(0)和(0)過點(a,0)，與極軸垂直的直線cos_a22過點a，2 ，

4、 與極軸平行的直線sin_a(0)必考知識點：1在將直角坐標化為極坐標求極角時，易忽視判斷點所在的象限(即角的終邊的位置)2在極坐標系下，點的極坐標不惟一性易忽視注意極坐標(，)(，2k)，(，2k)(kZ)表示同一點的坐標試一試：1點 P 的直角坐標為(1， 3)，則點 P 的極坐標為_2極坐標方程sin 2cos 能表示的曲線的直角坐標方程為_1確定極坐標方程的四要素極點、極軸、長度單位、角度單位及其正方向，四者缺一不可2直角坐標(x，y)化為極坐標(，)的步驟(1)運用 x2y2，tan yx(x0)(2)在0,2)內由 tan yx(x0)求時，由直角坐標的符號特征判斷點所在的象限練一

5、練：1在極坐標系中，圓心在( 2，)且過極點的圓的方程為_2已知直線的極坐標方程為sin (4)22，則極點到該直線的距離是_考點一：平面直角坐標系中的伸縮變換1.設平面上的伸縮變換的坐標表達式為x12x，y3y，則在這一坐標變換下正弦曲線 ysin x 的方程變?yōu)開2函數 ysin(2x4)經伸縮變換x2x，y12y后的解析式為_3雙曲線 C：x2y2641 經過：x3x，2yy變換后所得曲線 C的焦點坐標為_類題通法： 平面圖形的伸縮變換可以用坐標伸縮變換來表示 在伸縮變換xx，0yy，0下，直線仍然變成直線，拋物線仍然變成拋物線，雙曲線仍然變成雙曲線，圓可以變成橢圓，橢圓也可以變成圓考點

6、二：極坐標與直角坐標的互化典例1：(2013石家莊模擬)在平面直角坐標系 xOy 中，以坐標原點 O 為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 C1的極坐標方程為 3212cos 10(0)(1)求曲線 C1的直角坐標方程；(2)曲線 C2的方程為x216y241，設 P，Q 分別為曲線 C1與曲線C2上的任意一點，求|PQ|的最小值類題通法：直角坐標方程與極坐標方程的互化，關鍵掌握好互化公式，研究極坐標系下圖形的性質可轉化直角坐標系的情境進行針對訓練：(2013安徽模擬)在極坐標系中，直線cos sin 10 與圓2sin 的位置關系是_考點三：極坐標方程及應用典例2(2013鄭州模擬

7、)已知在直角坐標系 xOy 中， 曲線 C的參數方程為x22cos ，y2sin (為參數)，在極坐標系(與直角坐標系 xOy 取相同的長度單位，且以原點 O 為極點，以 x 軸正半軸為極軸)中，直線 l 的方程為sin(4)2 2.(1)求曲線 C 在極坐標系中的方程； (2)求直線 l 被曲線 C 截得的弦長變式： 在本例(1)的條件下， 求曲線 C 與曲線 C1： cos 3(0,0b0)xacos ybsin (為參數)1化參數方程為普通方程的方法消去參數方程中的參數，就可把參數方程化為普通方程，消去參數的常用方法有：代入消元法；加減消元法；乘除消元法；三角恒等式消元法2利用直線參數方

8、程中參數的幾何意義求解問題的方法經 過 點 P(x0， y0) ， 傾 斜 角 為 的 直 線 l 的 參 數 方 程 為xx0tcos ，yy0tsin (t 為參數)若 A，B 為直線 l 上兩點，其對應的參數分別為 t1，t2，線段 AB 的中點為 M，點 M 所對應的參數為 t0，則以下結論在解題中經常用到：(1)t0t1t22；(2)|PM|t0|t1t22； (3)|AB|t2t1|； (4)|PA|PB|t1t2|.練一練：1已知 P1，P2是直線x112t，y232t(t 為參數)上的兩點，它們所對應的參數分別為 t1，t2，則線段 P1P2的中點到點P(1，2)的距離是_2已

9、知直線x212t，y112t(t 為參數)與圓 x2y24 相交于 B，C兩點，則|BC|的值為_考點一：參數方程與普通方程的互化1.曲線x2 3cos y3 2sin (為參數)中兩焦點間的距離是_2(2014西安質檢)若直線 3x4ym0 與圓x1cos ，y2sin (為參數)相切，則實數 m 的值是_3(2014武漢調研)在直角坐標系 xOy 中，以原點 O 為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系已知直線xt，y 3t(t 為參數，tR)與曲線 C1：4sin 異于點 O 的交點為 A，與曲線 C2：2sin 異于點 O 的交點為 B，則|AB|_.類題通法:參數方程是以參變量為中介來

10、表示曲線上點的坐標的方程，是曲線在同一坐標系下的另一種表示形式，參數方程化為普通方程關鍵在于消參，消參時要注意參變量的范圍考點二：參數方程的應用典例1： (2013鄭州模擬)已知直線C1：x1tcos ，ytsin (t為參數)，曲線 C2：xcos ，ysin (為參數)(1)當3時，求 C1與 C2的交點坐標；(2)過坐標原點 O 作 C1的垂線，垂足為 A，P 為 OA 的中點，當變化時，求點 P 軌跡的參數方程，并指出它是什么曲線變式：在本例(1)條件下，若直線 C1：x1tcos ytsin ，(t 為參數)，與直線 C2xs，y1as(s 為參數)垂直，求 a.類題通法： 1 解決

11、直線與圓的參數方程的應用問題時一般是先化為普通方程再根據直線與圓的位置關系來解決問題2對于形如xx0at，yy0bt(t 為參數)當 a2b21 時，應先化為標準形式后才能利用 t 的幾何意義解題針對訓練：(2013新課標卷)已知動點 P，Q 在曲線 C：x2cos t，y2sin t(t 為參數)上，對應參數分別為 t與 t2為(02)，M 為 PQ 的中點(1)求 M 的軌跡的參數方程；(2)將 M 到坐標原點的距離 d 表示為的函數，并判斷 M 的軌跡是否過坐標原點考點三：極坐標、參數方程的綜合應用典例2： (2013福建高考)在平面直角坐標系中， 以坐標原點為極點，x 軸的非負半軸為極

12、軸建立極坐標系已知點 A 的極坐標為2，4 ，直線 l 的極坐標方程為cos4 a，且點 A 在直線 l 上(1)求 a 的值及直線 l 的直角坐標方程；(2)圓 C 的參數方程為x1cos ，ysin (為參數)，試判斷直線 l 與圓 C 的位置關系類題通法：涉及參數方程和極坐標方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解當然，還要結合題目本身特點，確定選擇何種方程針對訓練： (2013石家莊質檢)已知 P 為半圓 C：xcos ，ysin (為參數，0)上的點，點 A 的坐標為(1,0)，O 為坐標原點，點 M在射線 OP 上，線段 OM 與半圓 C 的弧AP的長度均

13、為3.(1)以 O 為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求點 M 的極坐標；(2)求直線 AM 的參數方程選修 4-4 坐標系與參數方程專題訓練12014天津卷 在以 O 為極點的極坐標系中，圓4sin和直線sina 相交于 A，B 兩點若AOB 是等邊三角形，則 a的值為_22014安徽卷 以平面直角坐標系的原點為極點，x 軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位已知直線 l 的參數方程是xt1，yt3(t 為參數)， 圓 C 的極坐標方程是4cos，則直線 l 被圓 C 截得的弦長為()A. 14B2 14C. 2D2 232014北京卷 曲線x1cos，y2si

14、n(為參數)的對稱中心()A在直線 y2x 上B在直線 y2x 上C在直線 yx1 上D在直線 yx1 上4 2014福建卷 ()選修 44：坐標系與參數方程已知直線 l 的參數方程為xa2t，y4t(t 為參數)，圓 C 的參數方程為x4cos，y4sin(為參數)(1)求直線 l 和圓 C 的普通方程；(2)若直線 l 與圓 C 有公共點，求實數 a 的取值范圍52014廣東卷 (坐標系與參數方程選做題)在極坐標系中，曲線 C1和 C2的方程分別為sin2cos和sin1.以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為 x 軸的正半軸，建立平面直角坐標系，則曲線 C1和 C2交點的直角坐標為_620

15、14湖北卷 (選修 44：坐標系與參數方程)已知曲線 C1的參數方程是x t，y3t3(t 為參數) 以坐標原點為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 C2的極坐標方程是2，則C1與 C2交點的直角坐標為_72014湖南卷 在平面直角坐標系中，傾斜角為4的直線 l 與曲線 C：x2cos，y1sin(為參數)交于 A，B 兩點，且|AB|2.以坐標原點 O 為極點，x 軸正半軸為極軸建立極坐標系，則直線 l 的極坐標方程是_82014江西卷 (2)(坐標系與參數方程選做題)若以直角坐標系的原點為極點，x 軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，則線段 y1x(0 x1)的極坐標方程為()A1c

16、ossin， 02B1cossin， 04Ccossin， 02Dcossin， 0492014遼寧卷 選修 44：坐標系與參數方程將圓 x2y21 上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼? 倍，得曲線 C.(1)寫出 C 的參數方程； (2)設直線 l：2xy20 與 C 的交點為 P1，P2，以坐標原點為極點，x 軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段 P1P2的中點且與 l 垂直的直線的極坐標方程102014新課標全國卷 選修 44：坐標系與參數方程已知曲線 C：x24y291，直線 l：x2t，y22t(t 為參數)(1)寫出曲線 C 的參數方程，直線 l 的普通方程；(2)過曲線

17、C 上任意一點 P 作與l 夾角為 30的直線， 交 l 于點 A，求|PA|的最大值與最小值112014新課標全國卷 選修 44：坐標系與參數方程在直角坐標系 xOy 中，以坐標原點為極點，x 軸正半軸為極軸建立極坐標系，半圓 C 的極坐標方程為2cos，0，2.(1)求 C 的參數方程；(2)設點 D 在 C 上，C 在 D 處的切線與直線 l：y 3x2 垂直，根據(1)中你得到的參數方程，確定 D 的坐標12 2014陜西卷 C(坐標系與參數方程選做題)在極坐標系中，點2，6 到直線sin6 1 的距離是_132014浙江卷 (1)在極坐標系 Ox 中，設集合 A(，)|04，0cos

18、，求集合 A 所表示區(qū)域的面積；(2)在直角坐標系 xOy 中，直線 l：x4tcos4，ytsin4(t 為參數)，曲線 C：xacos，y2sin(為參數)，其中 a0.若曲線 C 上所有點均在直線 l 的右下方，求 a 的取值范圍14 2014重慶卷 已知直線l的參數方程為x2t，y3t(t為參數)，以坐標原點為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 C 的極坐標方程為sin24cos0(0， 02)， 則直線 l 與曲線 C的公共點的極徑_2015 年高考預測題年高考預測題1 2014長沙模擬 已知點 P 所在曲線的極坐標方程為2cos，點 Q 所在曲線的參數方程為x1t，y42

19、t(t 為參數)，則|PQ|的最小值是()A2B.4551C1D.455122014株洲模擬 在直角坐標系 xOy 中，曲線 C1的參數方程為x2cos，y 3sin(為參數)在極坐標系(與直角坐標系 xOy 取相同的長度單位，且以原點 O 為極點，以 x 軸的正半軸為極軸)中，直線 C2的方程為(cossin)10，則曲線 C1與 C2的交點的個數為_32014湖南長郡中學月考 在極坐標系中，圓 C1的方程為42cos4 ，以極點為坐標原點，極軸為 x 軸的正半軸建立平面直角坐標系，已知圓 C2的參數方程為x1acos，y1asin(a0，為參數)若圓 C1與圓 C2外切，則實數 a_420

20、14衡陽模擬 已知曲線 C 的極坐標方程為4cos.若以極點為原點， 極軸為 x 軸的正半軸建立平面直角坐標系， 則曲線 C 的參數方程為_52014湖南雅禮中學月考 已知極坐標系下曲線4sin表示圓，則點 A4，6 到圓心的距離為_62014湖南十三校聯(lián)考 以直角坐標系的原點為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系已知直線 l 的參數方程為xt，yta(t 為參數)，圓 C 的極坐標方程為2cos，若直線 l 經過圓 C 的圓心，則常數 a 的值為_7 2014湖南師大附中月考 在極坐標系中， 已知點 A 的極坐標為(2，)，直線 l 的極坐標方程為sin4 2，則點 A 到直線 l的距離是

21、_第一節(jié)坐標系參考答案1.2，32.x2y22xy0練習 1：解析：如圖，O 為極點，OB 為直徑，A(，)，則ABO90，OB2 2sin90，化簡得2 2cos .2.22考點一：1.y3sin 2x2.y12sin(x4)3.x29y2161 為曲線 C的方程，焦點 F1(5,0)，F2(5,0)為所求考點二：例:1.(1)曲線 C1的方程 (x2)2y223.(2)|QC1|min2 63，所以|PQ|min63.練習：相交例 2：解(1)由已知得，曲線 C 的普通方程為(x2)2y24，即 x2y24x0，化為極坐標方程是4cos .(2) 由 題 意 知 ， 直 線 l 的 直 角

22、 坐 標 方 程 為 x y 4 0 ， 由x2y24x0，xy4，得直線 l 與曲線 C 的交點坐標為(2,2)，(4,0)，所以所求弦長為 2 2.變式：由曲線 C，C1極坐標方程聯(lián)立cos 3，4cos ，cos234，cos 32，又0，0，2)cos 32，6，2 3，故交點極坐標為2 3，6 .訓練： 6cos 在直角坐標系中表示圓心為(3,0)，半徑為 3的圓過圓心且垂直于x軸的直線方程為x3，其在極坐標系下的方程為cos 3.第二節(jié)參數方程與極坐標參考答案練習 1.D2.線段練習 1：由 t 的幾何意義可知，線段 P1P2的中點對應的參數為t1t22，P 對應的參數為 t0，線

23、段 P1P2的中點到點 P 的距離為|t1t2|2.2. 14考點一：1.2 62.0 或 103. 3例 1： (1) (1,0)，12，32 .(2)依題意， C1的普通方程為 xsinycos sin 0，則 A 點的坐標為(sin2，sin cos )，故當變化時，P 點軌跡的參數方程為x12sin2，y12sin cos (為參數)，點 P 軌跡的普通方程為(x14)2y2116.故點 P 的軌跡是圓心為(14，0)，半徑為14的圓變式：由(1)知 C1的普通方程為 y 3(x1)，C2的普通方程為 y1ax，由兩線垂直得a 31，故 a33.訓練：(1)依題意有 P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2), 因此M(cos cos2，sin sin2)M 的軌跡的參數方程為xcos cos 2，ysinsin 2(為參數，02)(2)M 點到坐標原點的距離 d x2y2 22cos (02)當時，d0，故 M 的軌跡過坐標原點例 2：(1)由點 A2，4 在直線cos4 a 上，可得 a 2.所以直線 l 的方程可化為cos sin 2，從而直線 l 的直角坐標方程為 xy20.(2)由已知得圓 C 的直角坐標方程為(x1)2y21，所以圓 C 的圓心為(1,0)， 半徑 r1， 因為圓心 C 到直線