基于頻譜分析的慣性元件標(biāo)度因數(shù)測(cè)量研究與實(shí)現(xiàn)

1、基于頻譜分析的慣性元件標(biāo)度因數(shù)測(cè)量研究與實(shí)現(xiàn)        摘要：在慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中，慣性元件的標(biāo)度因數(shù)誤差對(duì)系統(tǒng)的誤差產(chǎn)生了極大的影響。本文介紹了一種利用舒勒回路的特性測(cè)定慣性元件標(biāo)度因數(shù)的方法。它可以用于船用慣導(dǎo)系統(tǒng)在系泊或航行過程中更換慣性元件時(shí)對(duì)其標(biāo)度因數(shù)的測(cè)定。不同于以往的測(cè)量方法，這里充分利用了舒勒回路的周期特性，采用了頻譜分析估算振蕩周期的方法。文中講述了它的基本原理和具體算法，并進(jìn)行了計(jì)算機(jī)仿真和工程試驗(yàn)。仿真和試驗(yàn)結(jié)果表明：該方法能準(zhǔn)確的測(cè)量慣性元件的標(biāo)度因數(shù)。關(guān)鍵字：頻譜分析；慣性導(dǎo)航；慣性元件；

2、標(biāo)度因數(shù) 一、引言 陀螺儀和加速度計(jì)是慣性導(dǎo)航系統(tǒng)最主要的兩個(gè)慣性元件。陀螺儀具有定軸性和進(jìn)動(dòng)性，能夠?yàn)閼T導(dǎo)系統(tǒng)提供精確的測(cè)量基準(zhǔn)。而影響陀螺儀精度的主要因素就是陀螺漂移和標(biāo)度因數(shù)誤差。慣導(dǎo)中的加速度計(jì)是用來(lái)測(cè)量運(yùn)載體的加速度，從而積分得到速度和位置信息，它的精度直接影響慣導(dǎo)的輸出結(jié)果。決定加速度計(jì)精度的是它的零位偏差和標(biāo)度因數(shù)誤差，如何準(zhǔn)確的測(cè)量這兩個(gè)參數(shù)一直是人們所關(guān)注的。 傳統(tǒng)的陀螺儀標(biāo)度因數(shù)的測(cè)定是在固定基座的情況下引入適當(dāng)精度的方位基準(zhǔn)信息，通過采用四位置法獲得的。加速度計(jì)標(biāo)度因數(shù)則是在靜基座水平狀態(tài)下，利用感受到的重力加速度來(lái)估算出的?？梢钥闯?，傳統(tǒng)的測(cè)量方法具有較多的使用前提，因

3、此它的使用范圍受到了限制。 陀螺儀或加速度計(jì)如果在使用過程中受到了損害，在更換新的元件后就需要測(cè)定新元件的標(biāo)度因數(shù)了。此時(shí)，運(yùn)載體的狀況可能無(wú)法滿足傳統(tǒng)標(biāo)度因數(shù)測(cè)定的前提條件，我們就迫切的需要一種新的測(cè)定方法。這時(shí)可以考慮它們所在的水平回路，假定陀螺儀或者是加速度計(jì)的標(biāo)度因數(shù)已經(jīng)準(zhǔn)確的測(cè)出了，此時(shí)測(cè)量出水平回路中的舒勒周期，與標(biāo)準(zhǔn)舒勒周期進(jìn)行比較計(jì)算即可獲得另一個(gè)慣性元件的標(biāo)度因數(shù)。 二、測(cè)定的基本原理 平臺(tái)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)工作在無(wú)阻尼工作狀態(tài)時(shí)，水平回路中會(huì)產(chǎn)生舒勒周期振蕩和傅科周期振蕩，為了更清楚的描述這兩種振蕩，我們給出慣導(dǎo)無(wú)阻尼工作狀態(tài)的誤差方塊圖，如圖1所示。 分析包含北向加速度計(jì)和東

4、向陀螺儀的北向水平回路，為了能使采集到的速度信息能夠準(zhǔn)確的體現(xiàn)系統(tǒng)中的實(shí)際舒勒周期，把系統(tǒng)中的傅科周期回路斷開。我們可以得出速度誤差的時(shí)間函數(shù)： (1) 式中，cs系統(tǒng)舒勒頻率, (2) Vy(t)北向速度誤差；Ay北向加速度計(jì)零位誤差； Kcy北向加速度計(jì)標(biāo)度因數(shù)； Kgx東向陀螺儀標(biāo)度因數(shù)。 則系統(tǒng)的實(shí)際舒勒周期為 ： (3)而系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)舒勒周期為： (4) 由式(3)和(4)可得到： (5) 假如東向陀螺儀的標(biāo)度因數(shù)已經(jīng)準(zhǔn)確的測(cè)出，那么在式（5）中，我們只要準(zhǔn)確的測(cè)量出系統(tǒng)的實(shí)際舒勒周期Tcs就可以得到北向加速度計(jì)的實(shí)際標(biāo)度因數(shù)了。同樣，如果這里的加速度計(jì)的標(biāo)度因數(shù)已經(jīng)測(cè)出，我們也可以通

5、過舒勒周期計(jì)算出陀螺儀的標(biāo)度因數(shù)。 三、系統(tǒng)實(shí)際舒勒周期Tcs的測(cè)量方法 這里采用了信號(hào)周期圖譜分析的方法。當(dāng)我們從實(shí)際系統(tǒng)中采集到了幾個(gè)舒勒周期的速度數(shù)據(jù)后，我們就可以在計(jì)算機(jī)中進(jìn)行分析了。為了使數(shù)據(jù)準(zhǔn)確的反映舒勒周期振蕩，可以通過改變系統(tǒng)水平回路的結(jié)構(gòu)組成使水平回路中調(diào)制舒勒周期振蕩的傅科周期振蕩消除，這樣速度數(shù)據(jù)就完全反映了回路中的舒勒周期了。 1、頻譜校正原理周期圖譜分析的方法雖然在科研、工程和生產(chǎn)中應(yīng)用十分廣泛，但是這種方法也存在局限：  計(jì)算機(jī)只能對(duì)有限樣本進(jìn)行處理，F(xiàn)FT（快速傅立葉變換）譜分析也只能在有限區(qū)間內(nèi)進(jìn)行。由于時(shí)域截?cái)喈a(chǎn)生的能量泄漏，造成譜峰值變小

6、，精度降低；  采樣頻率不可能是信號(hào)頻率的整數(shù)倍，而FFT的頻譜是離散的，若信號(hào)頻率在兩條譜線之間，這時(shí)由峰值譜線反映的頻率、幅值和相位就存在較大誤差。例如，當(dāng)加矩形窗且非整周期采樣時(shí)，頻譜分析的幅值誤差最大達(dá)36.4%，頻率誤差最大為0.5f（f為頻率分辨率）。為此，為了提高FFT的頻率分辨率，我們這里采用了頻譜細(xì)化的方法。  常規(guī)的細(xì)化方法是以增加采樣數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為前提，這樣總采樣時(shí)間變長(zhǎng)，運(yùn)算量也要增大。此外，當(dāng)采樣數(shù)據(jù)恒定或分析瞬態(tài)信號(hào)時(shí)也無(wú)法使用。FFT-FT方法是先用FFT作全景譜，再對(duì)要細(xì)化的部分用DFT分析，最終得到精確的頻譜。雖然對(duì)指定譜區(qū)間細(xì)化，但不增加采樣

7、長(zhǎng)度，仍采用原來(lái)的采樣數(shù)據(jù)，其目的是將離散傅立葉變換的頻域曲線變成連續(xù)的曲線。這樣離散譜就變成了連續(xù)譜，就可以克服頻率分辨率的限制。 2、具體算法過程 (1)用FFT作全景譜 取水平回路中的幾個(gè)舒勒周期的速度數(shù)據(jù)，看作有限長(zhǎng)的時(shí)間序列xk，設(shè)采樣頻率為fs，采樣點(diǎn)數(shù)為N，采樣間隔為t=1/fs，其N點(diǎn)的傅立葉變換為: n=0，1，2，···，N-1 (6) 其中， (7) 以上變換的頻率分辨率為fs/N，和采樣點(diǎn)數(shù)成反比。而fs不變且N為一定時(shí)，分辨率無(wú)法提高。當(dāng)從幅頻特性曲線中找出幅值最大的一條時(shí)，受頻率分辨率的限制，它不能準(zhǔn)確的代表速度數(shù)據(jù)的頻率。因此必須繼續(xù)

8、進(jìn)行下面的細(xì)化操作，以進(jìn)一步提高頻率分辨率。 (2)指定譜區(qū)間細(xì)化 FFT-FT算法是把頻譜曲線看成是連續(xù)的，在單位圓上的指定細(xì)化區(qū)f1ff2內(nèi)進(jìn)行N點(diǎn)的線性調(diào)頻變換，設(shè)f=f1+n(f2-f1)/N，則有： n=0，1，···，N-1 (8) 令； ， 因?yàn)?，則上式變?yōu)椋?n=0，1，···，N-1 (9) 令 ， ，則上式可寫為： n=0，1，···，N-1 (10) 上面運(yùn)算的關(guān)鍵就是實(shí)現(xiàn)g(n)和h(n)的線性卷積，g(n)是N點(diǎn)序列，而h(n)=W-n2/2是一無(wú)窮長(zhǎng)的序列，且是以n=0為偶對(duì)

9、稱的。為了充分利用已有的算法，我們利用FFT實(shí)現(xiàn)該卷積。因?yàn)镕FT的乘積是對(duì)應(yīng)著循環(huán)卷積，所以需要對(duì)這兩個(gè)數(shù)列的長(zhǎng)度進(jìn)行處理，得到2N長(zhǎng)度的序列g(shù)(n)和h(n)，分別對(duì)它們作2N點(diǎn)的FFT運(yùn)算得到G(k)和H(k)，然后對(duì)它們的乘積進(jìn)行反變換就得到了g(n)和h(n)的線性卷積。將卷積結(jié)果的前N個(gè)值與Wn2/2相乘，其乘積就是N點(diǎn)的調(diào)頻變換結(jié)果。此時(shí)的頻率分辯率得到了接近平方倍的提高，從幅頻圖譜上找出幅值最大的頻率，即可較為準(zhǔn)確的得到速度數(shù)據(jù)的周期。 (3) 算法復(fù)雜度計(jì)算 離散傅立葉變換（DFT）在諸如線性濾波、相關(guān)分析和譜分析之類的各式各樣的數(shù)字信號(hào)處理中得到了廣泛的應(yīng)用，但是其計(jì)算復(fù)雜

10、性一直受到人們的關(guān)注?？紤]長(zhǎng)度為N的數(shù)據(jù)序列xk，它的DFT定義為： n=0，1，···，N-1 (11) 我們注意到，對(duì)n的每一個(gè)取值，直接計(jì)算Xn涉及到N次復(fù)數(shù)乘法（4N次實(shí)數(shù)乘法）和N-1次復(fù)數(shù)加法（4N-2次實(shí)數(shù)加法）。因此計(jì)算DFT的所有N個(gè)值總共需要N2次復(fù)數(shù)乘法和N2-N次復(fù)數(shù)加法。這里我們利用了快速傅立葉變換（FFT）算法。對(duì)于長(zhǎng)度N為2的冪的FFT算法，要進(jìn)行(N/2)log2N次復(fù)數(shù)乘法和Nlog2N次復(fù)數(shù)加法?？梢钥闯鯢FT的計(jì)算速度比直接計(jì)算快很多。 線性調(diào)頻變換算法中的線性卷積的實(shí)現(xiàn)也可以用上面的FFT算法實(shí)現(xiàn)，這樣就充分利用了已有的算法

11、，減少了程序代碼的長(zhǎng)度，減少了程序的占用空間，提高了程序的執(zhí)行速度。 在我們這個(gè)實(shí)際系統(tǒng)中，速度數(shù)據(jù)序列是實(shí)數(shù)序列，因此可以采用特殊的方法使計(jì)算量又減少一半。在具體編程過程中又可以有很多的方法可選擇，因此可以將程序的計(jì)算量和所用存儲(chǔ)器數(shù)量做到最少。 (4)程序流程圖 計(jì)算機(jī)仿真的程序流程圖如圖2所示。 (5)應(yīng)當(dāng)注意的幾個(gè)問題 在產(chǎn)生速度數(shù)據(jù)序列之前，一定要注意把系統(tǒng)中的傅科周期回路從水平回路中斷開，否則所測(cè)的周期中將含有隨緯度變化的傅科周期。 由于處理的數(shù)據(jù)量很大，而且要進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算，因此在具體編程時(shí)要考慮運(yùn)用同址運(yùn)算，以減小代碼的占用空間，提高算法的執(zhí)行速度。 本文中，頻譜只作了一次細(xì)化，

12、如果精度達(dá)不到要求，可以再進(jìn)行幾次細(xì)化，進(jìn)一步提高頻率分辨率。 四、計(jì)算機(jī)仿真和工程試驗(yàn) 標(biāo)準(zhǔn)舒勒周期是84.4min，為了提高頻率分辨率，我們經(jīng)常需要采集五六個(gè)周期的數(shù)據(jù)，這樣整個(gè)采集過程就要達(dá)8個(gè)小時(shí)左右，耗時(shí)太長(zhǎng)，不利于在實(shí)際工程中使用。為了克服這個(gè)問題，我們可以在水平回路中加入一定的比例系數(shù)K，使舒勒周期減小，這樣就可以在同樣的采樣頻率下采集到較多的數(shù)據(jù)。 在不同的比例系數(shù)和不同的總采樣時(shí)間下，由計(jì)算機(jī)仿真可得到如表1所示結(jié)果。 從仿真結(jié)果可以看出，當(dāng)實(shí)際舒勒周期減少為標(biāo)準(zhǔn)的六分之一時(shí)，測(cè)定的誤差已經(jīng)減少到了0.006%，這已經(jīng)達(dá)到了較高的精度。 我們以N=1024為例，采樣間隔時(shí)間1

13、0s，比例系數(shù)設(shè)定為36，采集到一組速度數(shù)據(jù)，經(jīng)過N點(diǎn)的FFT變換后，得到如圖3所示的幅頻曲線。 從圖中可以看出離散傅立葉變換的幅頻曲線是對(duì)稱的，在選取最大幅值時(shí)只考慮前N/2個(gè)值的大小即可。程序運(yùn)算得出最大幅值處的n值為12，則測(cè)得舒勒周期為853.33s。 在最大幅值左右各取一個(gè)頻率小區(qū)間，作為指定的細(xì)化頻率區(qū)間，然后進(jìn)行N點(diǎn)的線性調(diào)頻變換。 得到細(xì)化后的幅頻曲線圖如圖4所示。 經(jīng)程序運(yùn)算可以得出最大幅值對(duì)應(yīng)的n值為569，計(jì)算得到舒勒周期為845.49s。明顯看出，細(xì)化后得到舒勒周期與實(shí)際的舒勒周期已經(jīng)十分接近了。 這種方法已經(jīng)應(yīng)用于船用平臺(tái)式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中，收到了良好的效果，因此完全可以替代傳統(tǒng)的慣性元件標(biāo)度因數(shù)的測(cè)定方法。 五、結(jié)論 用頻譜細(xì)化的方法獲取舒勒周期，從而用舒勒周期回路特性來(lái)測(cè)定慣性元件的標(biāo)度因數(shù)，這一思路經(jīng)過