高等數(shù)學(xué)：11-3 冪 級 數(shù)

1、1冪級數(shù)的運(yùn)算冪級數(shù)的運(yùn)算小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)power series第三節(jié)第三節(jié) 冪冪 級級 數(shù)數(shù)冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其收斂性函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念 第十一章第十一章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)21. .定義定義 0nnx級數(shù)級數(shù) )(1xunn如如)(,)(),(21xuxuxun設(shè)設(shè)則則函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù). . )()()(21xuxuxun 21xx定義定義1 1冪冪 級級 數(shù)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念為定義在為定義在(a, b)內(nèi)內(nèi)的函數(shù)序列的函數(shù)序列,稱為定義在稱為定義在(a, b)內(nèi)的內(nèi)的32. .收斂點(diǎn)與收斂域收斂點(diǎn)與收斂域),(0bax 設(shè)設(shè)

2、若數(shù)項(xiàng)級數(shù)若數(shù)項(xiàng)級數(shù)0 x收斂收斂(或發(fā)散或發(fā)散) 則稱則稱x0為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)為函數(shù)項(xiàng)級數(shù))(1xunn 的收斂點(diǎn)的收斂點(diǎn)(或發(fā)散點(diǎn)或發(fā)散點(diǎn)). 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的的)(1xunn 所有所有收斂點(diǎn)收斂點(diǎn)(或發(fā)散點(diǎn)或發(fā)散點(diǎn)) 稱為其稱為其收斂域收斂域 (或發(fā)或發(fā))(1 nnu定義定義2 2散域散域).冪冪 級級 數(shù)數(shù)43. .和函數(shù)和函數(shù)定義定義3 3)(xsn設(shè)設(shè)為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)),()(limxsxsnn則則s(x)稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)和函數(shù)和函數(shù). .)(1xunn 的前的前n項(xiàng)和序列項(xiàng)和序列, 若極限若極限),(bax 存在存在,的的)(1xunn 冪冪 級級 數(shù)數(shù)如如

3、, , 201xxxnn它的收斂域?yàn)樗氖諗坑驗(yàn)? 1| x發(fā)散域?yàn)榘l(fā)散域?yàn)? 1| x等比級數(shù)等比級數(shù)在在收斂域內(nèi)收斂域內(nèi)和函數(shù)和函數(shù)是是,11x 即有即有,111xxnn ).1 , 1( x5)()(limxsxsnn 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的部分和函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的部分和余項(xiàng)余項(xiàng))()()(xsxsxrnn (x在收斂域上在收斂域上)0)(lim xrnn注注函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在某點(diǎn)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在某點(diǎn)x的收斂問題的收斂問題,實(shí)質(zhì)上是實(shí)質(zhì)上是 )(xs定義域定義域),(xsn顯然顯然s(x) 的的定義域定義域就是就是,)1 , 1(上上 D 201xxxnn), 1()1 ,( )()()(21xuxuxun級數(shù)的

4、級數(shù)的收斂域收斂域.數(shù)項(xiàng)級數(shù)數(shù)項(xiàng)級數(shù) 的收斂問題的收斂問題.冪冪 級級 數(shù)數(shù)一般考慮函數(shù)一般考慮函數(shù),11時(shí)時(shí)x 它的定義域是它的定義域是但只有在但只有在它才是它才是的和函數(shù)的和函數(shù).6例例nxnnn311)1( 解解 由由比值比值(達(dá)朗貝爾達(dá)朗貝爾)判別法判別法nnnuu1lim 3x 31limxnnn(1) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),1 x原級數(shù)原級數(shù)(2) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),1 x原級數(shù)原級數(shù)nxnxnnn3331lim 絕對收斂絕對收斂;發(fā)散發(fā)散.求函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的求函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域收斂域.冪冪 級級 數(shù)數(shù)7級數(shù)為級數(shù)為,1)1(11nnn 條件收斂條件收斂級數(shù)為級數(shù)為,11 nn發(fā)散發(fā)散總之總之,所討論

5、的級數(shù)的所討論的級數(shù)的收斂域收斂域?yàn)閰^(qū)間為區(qū)間 把函數(shù)項(xiàng)級數(shù)中的變量把函數(shù)項(xiàng)級數(shù)中的變量x視為參數(shù)視為參數(shù),時(shí)時(shí)，即即1, 1 xx時(shí)時(shí)，1 x時(shí)時(shí)，1 x(3) 1 x當(dāng)當(dāng)通過常數(shù)通過常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性判別法項(xiàng)級數(shù)的斂散性判別法,哪些哪些 x 值發(fā)散值發(fā)散,些些 x 值收斂值收斂,來判定函數(shù)項(xiàng)級數(shù)對哪來判定函數(shù)項(xiàng)級數(shù)對哪這是確定函數(shù)項(xiàng)級數(shù)這是確定函數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂域的基本方法收斂域的基本方法.nxnnn311)1( .1 , 1( 冪冪 級級 數(shù)數(shù)81.1.定義定義,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,0nnnxa 如下形式的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)如下形式的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)nnnxxa)(00 稱為稱為的的冪級數(shù)冪級數(shù). .為常數(shù)

6、為常數(shù)其中其中na的的冪級數(shù)冪級數(shù). .定義定義)(0 xx nnnxxa)(00 稱為稱為x nnxxaxxaa)()(0010冪冪 級級 數(shù)數(shù)二、二、冪級數(shù)及冪級數(shù)及其收斂性其收斂性92. .收斂半徑和收斂域收斂半徑和收斂域 201xxxnn,1|時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,1|時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x級數(shù)級數(shù));1 , 1( )., 11,( 冪冪 級級 數(shù)數(shù)收斂收斂;發(fā)散發(fā)散;收斂域收斂域發(fā)散域發(fā)散域10證證0lim0 nnnxa收斂收斂 00)1(nnnxa阿貝爾阿貝爾 (Abel)(挪威挪威) 18021829nnnxa 0nnnxa 0|0 xx 定理定理1 1 (阿貝爾阿貝爾(Abel)定理定理)0(0

7、0 xxx在在|0 xx 處處在在0 xx 則它在滿足則它在滿足不等式不等式絕對收斂絕對收斂;發(fā)散發(fā)散.收斂收斂,發(fā)散發(fā)散,冪冪 級級 數(shù)數(shù)如果級數(shù)如果級數(shù)則它在滿足不等式則它在滿足不等式的一切的一切x處處如果級數(shù)如果級數(shù)的一切的一切x處處從而數(shù)列從而數(shù)列0nnxa有界有界, 即有常數(shù)即有常數(shù) M 0,使得使得0|(0,1,2,)nna xMn11nnxannnxxxa00 nxxM0 ,10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx,00收收斂斂等等比比級級數(shù)數(shù)nnxxM ,0收收斂斂 nnnxa 0nnnxa即即級級數(shù)數(shù)nnnnxxxa00 |0 xx ;|)|(|0絕絕對對收收斂斂xx 冪冪 級級 數(shù)數(shù)0(2),x

8、x定理所設(shè)當(dāng)時(shí)發(fā)散由由(1)結(jié)論結(jié)論,這與定理所設(shè)矛盾這與定理所設(shè)矛盾.使級數(shù)收斂使級數(shù)收斂,則級數(shù)則級數(shù)時(shí)應(yīng)收斂時(shí)應(yīng)收斂,0 xx 當(dāng)當(dāng)(反證反證)假設(shè)有一點(diǎn)假設(shè)有一點(diǎn)x1適合適合|01xx |0 xx 0|(0,1,2,)nna xMn12Ox 推論推論nnnxa 1也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂,則必有一個(gè)完全確則必有一個(gè)完全確冪級數(shù)冪級數(shù) 絕對收斂絕對收斂;,|時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Rx ,|時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Rx 冪級數(shù)冪級數(shù) 發(fā)散發(fā)散.冪級數(shù)冪級數(shù),時(shí)時(shí)與與當(dāng)當(dāng)RxRx 可能收斂也可能發(fā)散可能收斂也可能發(fā)散. .冪冪 級級 數(shù)數(shù)幾何說明幾何說明R R收斂區(qū)域收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)

9、域發(fā)散區(qū)域如果冪級數(shù)如果冪級數(shù)不是僅在不是僅在x = 0一點(diǎn)收斂一點(diǎn)收斂,定的正數(shù)定的正數(shù)R存在存在,它具有下列性質(zhì)它具有下列性質(zhì):13正數(shù)正數(shù)R稱為冪級數(shù)的稱為冪級數(shù)的冪級數(shù)的冪級數(shù)的收斂域的開區(qū)間收斂域的開區(qū)間稱為冪級數(shù)的稱為冪級數(shù)的),RR ,(RR .,RR 規(guī)定規(guī)定, R問問: :如何求冪級數(shù)的收斂半徑如何求冪級數(shù)的收斂半徑?),(RR 定義定義收斂半徑收斂半徑. .收斂區(qū)間收斂區(qū)間. .冪冪 級級 數(shù)數(shù)(1)冪級數(shù)只冪級數(shù)只在在x = 0處收斂處收斂, 0 R無收斂區(qū)間，收斂域?yàn)闊o收斂區(qū)間，收斂域?yàn)? 0 x(2)冪級數(shù)對一切冪級數(shù)對一切 x 都都收斂收斂,收斂區(qū)間收斂區(qū)間).,(

10、 而一般冪級數(shù)的而一般冪級數(shù)的收斂域可能為下列區(qū)間之一：收斂域可能為下列區(qū)間之一：14證證,0 nnnxa對對級級數(shù)數(shù)nnnnnxaxa11lim xaannn1lim x 設(shè)設(shè),0)1(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,0)2(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,)3(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ;1 R; R. 0 R定理定理2 2nnnxa 0如果冪級數(shù)如果冪級數(shù)的所有系數(shù)的所有系數(shù)0 nannnaa1lim ）或或 nnalim(n冪冪 級級 數(shù)數(shù)由由比值審斂法比值審斂法,15,)0(lim)1(1存在存在如果如果 nnnaa,1|時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x 0|nnnxa級級數(shù)數(shù) 0nnnxa,1|時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x 0|nnnxa級級數(shù)數(shù)|,|11nnnnxaxa

11、 0nnnxa|lim1xaannn 1 R收斂半徑收斂半徑0|nnxa冪冪 級級 數(shù)數(shù)收斂收斂,從而級數(shù)從而級數(shù)絕對收斂絕對收斂.發(fā)散發(fā)散,并且從某個(gè)并且從某個(gè)n開始開始從而級數(shù)從而級數(shù)發(fā)散發(fā)散. 比值審斂法比值審斂法16, 0)2( 如果如果, 0 x),(011 nxaxannnn有有 0|nnnxa級級數(shù)數(shù) 0nnnxa; R,)3( 如果如果, 0 x 0nnnxa級級數(shù)數(shù))|00收收斂斂使使 nnnxax. 0 R定理證畢定理證畢.|lim1xaannn 冪冪 級級 數(shù)數(shù)收斂收斂,從而級數(shù)從而級數(shù)絕對收斂絕對收斂.收斂半徑收斂半徑必發(fā)散必發(fā)散.(否則由定理否則由定理1知將有點(diǎn)知將有

12、點(diǎn)收斂半徑收斂半徑17例例 求下列冪級數(shù)的求下列冪級數(shù)的收斂半徑收斂半徑與與收斂域收斂域:解解)1(nnnnn 21)1(21lim12 R 1)()2(nnnx 12)!2() !()3(nnxnnnnnnxn)21(2)1()4(1 12)1(nnnnx21 nnnaa1lim )1(2lim nnn 1 R冪冪 級級 數(shù)數(shù)18,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,)1(1 nnn級級數(shù)數(shù)為為,11 nn級級數(shù)數(shù)為為是收斂的交錯(cuò)級數(shù)是收斂的交錯(cuò)級數(shù). 是調(diào)和是調(diào)和級數(shù)級數(shù),發(fā)散發(fā)散.故收斂域?yàn)楣适諗坑驗(yàn)?.2 , 2 , 級級數(shù)數(shù)只只在在0 x處處收收斂斂.0 R 1)()2(nnnx解解nn

13、 lim 12)1(nnnnxnna limn 冪冪 級級 數(shù)數(shù)19nnnaa1lim 12)!2() !()3(nnxnn)22)(12()1(lim2 nnnn )!2() !(!)1(2!)1(lim22nnnnn 41 4 R解解 1 R冪冪 級級 數(shù)數(shù)20級數(shù)為正項(xiàng)級數(shù)級數(shù)為正項(xiàng)級數(shù) 124)!2() !(nnnn因?yàn)橐驗(yàn)?12221 nnuunn所以所以,0lim nnu故級數(shù)故級數(shù) 發(fā)散發(fā)散. 124)!2() !(nnnn對應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)級數(shù)也對應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)級數(shù)也發(fā)散發(fā)散.當(dāng)當(dāng) x = 4 時(shí)時(shí),4時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x).4, 4( 12)!2() !()3(nnxnn故收斂域?yàn)楣适諗坑驗(yàn)閮?/p>

14、冪 級級 數(shù)數(shù)212121| xt)1 , 0( xnnnnxn)21(2)1()4(1 ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x 11nn級數(shù)為級數(shù)為,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x 1)1(nnn級數(shù)為級數(shù)為發(fā)散發(fā)散收斂收斂故收斂域?yàn)楣适諗坑驗(yàn)?R21 ,21 xt令令nnnntn2)1(1 解解還有別的方法嗎還有別的方法嗎 1limnnnaannn21lim (0,1.即即收斂收斂即即收斂收斂冪冪 級級 數(shù)數(shù)22解解是是缺偶次冪缺偶次冪的冪級數(shù)的冪級數(shù).)()(lim1xuxunnn 例例 求函數(shù)項(xiàng)級數(shù)求函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 的收斂區(qū)間的收斂區(qū)間.)!12() 1(ln120 nxxnnn去掉第一項(xiàng)去掉第一項(xiàng),1232|)!12()!3

15、2(|lim nnnxnnx)32)(22(|lim2 nnxn所以所以,去掉第一項(xiàng)去掉第一項(xiàng),級數(shù)處處收斂級數(shù)處處收斂.定義域?yàn)槎x域?yàn)? 因?yàn)榈谝豁?xiàng)因?yàn)榈谝豁?xiàng)lnx的的所以所以,原級數(shù)的原級數(shù)的收斂區(qū)間收斂區(qū)間是是冪冪 級級 數(shù)數(shù), 0 x)., 0( 比值審斂法比值審斂法23 2002年研究生考題年研究生考題,選擇選擇(3分分)例例nnnxa 1設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù)nnnxb 1與與的的收斂半徑分別為收斂半徑分別為,3135與與則冪級數(shù)則冪級數(shù)nnnnxba 122的的收斂半徑為收斂半徑為( )5)(A35)(B31)(C51)(DA分析分析22nnnbac 設(shè)設(shè) 1nncc 212122n

16、nnnabba2121 nnnnaabb535322 冪冪 級級 數(shù)數(shù)注：選擇填空題可以加強(qiáng)條件做！24討論冪級數(shù)討論冪級數(shù) 的收斂域的收斂域.13)1(201 nnnnx解解 此級數(shù)是缺項(xiàng)的冪級數(shù)此級數(shù)是缺項(xiàng)的冪級數(shù),作變換作變換,令令,2xy 級數(shù)變?yōu)榧墧?shù)變?yōu)?3)1(01 nnnny因?yàn)橐驗(yàn)?31131lim1 nnnyR3 當(dāng)當(dāng) y = 3時(shí)時(shí), 級數(shù)為級數(shù)為,133)1(01 nnnn由于由于133lim nnn所以此級數(shù)發(fā)散所以此級數(shù)發(fā)散.不滿足定理不滿足定理2的條件的條件., 01 冪冪 級級 數(shù)數(shù)25故故 y(0)的冪級數(shù)收斂域是的冪級數(shù)收斂域是因此因此,原冪級數(shù)收斂域是原冪級

17、數(shù)收斂域是.33 x收斂半徑收斂半徑.3 R即為即為:. 30 y, 302 x冪冪 級級 數(shù)數(shù)26確定函數(shù)項(xiàng)級數(shù)確定函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 的收斂域的收斂域. 1)(nxnnnxn解解 對任意固定的對任意固定的x,xnnnnxnxu )()(nxnnxnxu 11)(0 即即用用比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式:)(limxunn 而級數(shù)而級數(shù) 是是p = x的的p 級數(shù)級數(shù), 11nxn所以所以, 當(dāng)當(dāng)n充分大時(shí)充分大時(shí),有有nnnx 1limxe xn1發(fā)散發(fā)散.故級數(shù)的收斂域?yàn)楣始墧?shù)的收斂域?yàn)? 1 x,),(充充分分大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)任任意意nx 可視為可視為.正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù)冪冪 級級 數(shù)數(shù)

18、時(shí)時(shí)1 x收斂收斂.時(shí)時(shí)1 x27 1988年研究生考題年研究生考題,計(jì)算計(jì)算,5分分.)3(311的收斂域的收斂域求冪級數(shù)求冪級數(shù)nnnxn 解解,)3(31)(nnnxnxu 由由nnnnnxnxn)3(31)3(3)1(1lim11 |3|)1(3lim xnnn|3|31 x, 1|3|31 x令令)6 , 0( x即即)()(lim1xuxunnn 得得冪冪 級級 數(shù)數(shù)28內(nèi)內(nèi)在開區(qū)間在開區(qū)間)6 , 0()3(311nnnxn ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,6時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x的收斂域?yàn)榈氖諗坑驗(yàn)橐蚨蚨鴑nnxn)3(311 ).6, 0nnn1)1(1 11nn冪冪 級級 數(shù)數(shù)處處收斂處處收斂.

19、收斂收斂發(fā)散發(fā)散291. 代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)(1) 加減法加減法 00nnnnnnxbxa 0nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac ),(RRx 00nnnnnnxbxa和和設(shè)設(shè)冪冪 級級 數(shù)數(shù)三、冪級數(shù)的性質(zhì)三、冪級數(shù)的性質(zhì)的收斂半徑各為的收斂半徑各為R1和和R2 ,30(2) 乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa 0nnnxc),(RRx (其中其中)0110bababacnnnn (3) 除法除法 00nnnnnnxbxa 0nnnxc)0(0 nnnxb收斂域內(nèi)收斂域內(nèi)(相除后的收斂區(qū)間比原來相除后的收斂區(qū)間比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多兩級數(shù)的收斂區(qū)間小

20、得多)冪冪 級級 數(shù)數(shù)312. .和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)),0()1(0 RRxannn的收斂半徑為的收斂半徑為冪級數(shù)冪級數(shù),),()(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間和和函函數(shù)數(shù)RRxs ),0()2(0 RRxannn的收斂半徑為的收斂半徑為冪級數(shù)冪級數(shù),),()(內(nèi)內(nèi)是是可可積積的的在在區(qū)區(qū)間間和和函函數(shù)數(shù)RRxs 可逐項(xiàng)積分可逐項(xiàng)積分. .),(RRx 且對且對則其則其在端點(diǎn)收斂在端點(diǎn)收斂, ,則則在端點(diǎn)單側(cè)連續(xù)在端點(diǎn)單側(cè)連續(xù). .則其則其冪冪 級級 數(shù)數(shù)32 xxsd)(即即 00dnxnnxxa101 nnnxna(收斂半徑不變收斂半徑不變) xnnnxxa00d)( 0

21、nnnxa，內(nèi)是可導(dǎo)的內(nèi)是可導(dǎo)的在區(qū)間在區(qū)間和函數(shù)和函數(shù)),()(RRxs )(xs 即即 0)(nnnxa 1nnxna(收斂半徑不變收斂半徑不變) 0)(nnnxa0 x逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次. .并可并可則其則其1 n冪冪 級級 數(shù)數(shù)(3) 冪級數(shù)冪級數(shù)的收斂半徑為的收斂半徑為R (R 0),33解解.1的和函數(shù)的和函數(shù)求冪級數(shù)求冪級數(shù) nnnx(1)求收斂區(qū)間求收斂區(qū)間1lim nnnaaR)1(11lim nnn時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 x,11 nn級數(shù)為級數(shù)為發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 x,)1(1 nnn級數(shù)為級數(shù)為1 收斂收斂故級數(shù)的求收斂區(qū)間為故級數(shù)的求收斂區(qū)間為).1 , 1 容易求

22、和函數(shù)的冪級數(shù)是幾何級數(shù)容易求和函數(shù)的冪級數(shù)是幾何級數(shù),分析分析設(shè)法設(shè)法用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分的方法把通項(xiàng)變形用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分的方法把通項(xiàng)變形.例例冪冪 級級 數(shù)數(shù)34),1ln()(xxs 即即 xxsd)( 1)(nnnxxs,11x )11( x)(xs由牛由牛萊公式得萊公式得)1ln(x xxx0d11利用性質(zhì)利用性質(zhì)3,逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo) 11nnx)11( x,1處處在在 x,)(連續(xù)連續(xù)xs,)1ln(也連續(xù)也連續(xù)x 因因此此.1)(處也成立處也成立在在 xxs(2)求求和函數(shù)和函數(shù)s(x),)(1 nnnxxs設(shè)和函數(shù)設(shè)和函數(shù). 0)0( s ,)1 , 1)(連連續(xù)續(xù)在在則則

23、 xs2ln)1( s得得0 x)0( s 冪冪 級級 數(shù)數(shù)35例例 求冪級數(shù)求冪級數(shù) 的和函數(shù)的和函數(shù).1121 nnnxn解解 (1)求收斂域求收斂域1lim nnnaaR,211 nn級數(shù)為級數(shù)為發(fā)散發(fā)散,21)1(11 nnn級數(shù)為級數(shù)為收斂收斂12)1(121lim nnnnn2 故級數(shù)的故級數(shù)的收斂域收斂域).2 , 2 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x冪冪 級級 數(shù)數(shù)36(2)求求和函數(shù)和函數(shù)s(x) 設(shè)所求和函數(shù)為設(shè)所求和函數(shù)為s(x),21)(11 nnnxnxs有有 11nn逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo)21121x )( xxs 112nnx21x 21即即)2 , 2 x)(xsxx

24、 nnnxn 1211121 nnnxnnx 2冪冪 級級 數(shù)數(shù)37由牛由牛 萊公式得萊公式得:)0(0)(sxxs xx0)2ln( xxxxs0d )(xxxd210 )2ln(x 21lnx2ln 因此因此,)2 , 0()0 , 221ln1)( xxxxs當(dāng)當(dāng)x = 0時(shí)時(shí),顯然有顯然有)0( s總之有總之有 1121nnnxn,21ln1 xx,21)2 , 0()0 , 2 x,21 0 x 冪冪 級級 數(shù)數(shù)xxxs 21 )(38 1996年研究生考題年研究生考題,計(jì)算計(jì)算,7分分.2)1(122的和的和求級數(shù)求級數(shù) nnn解解 222)1(1nnn,11)(22nnxnxs

25、可設(shè)可設(shè)1 R收收斂斂半半徑徑nnxnnxs 111121)(2nnn 211122nnxnn 2111121,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x例例冪冪 級級 數(shù)數(shù)39121121 nnxnx121121 nnxnx nxnx12x 11逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo)),1ln(x nxnx1211 n3 nnnxnxg 11)(設(shè)設(shè) 11)(nnxxg則則積分積分0)0( g得得)(xg)1ln(x 冪冪 級級 數(shù)數(shù)0( )(0)( )dxg xgg xx40知知由由)1ln()(xxg 2)(123xxxgxnnn 2)1ln(2xxx )(xs代入代入211( )ln(1)ln(1)222xs xxxxxx 得得 nx

26、nx12 nxnx1211 n3 n得得令令,21 x 212)1(122snnn. 2ln4385 冪冪 級級 數(shù)數(shù)41解解收斂收斂區(qū)間為區(qū)間為1lim nnnaaR 11nnnxxxnnnnxd)1(10 11nnnx(1)求收斂區(qū)間求收斂區(qū)間(2)求和函數(shù)求和函數(shù)s(x)利用性質(zhì)利用性質(zhì)2,逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分 1)1()(nnnxs設(shè)和函數(shù)設(shè)和函數(shù))2)(1()1(lim nnnnn1 ).1 , 1( 2x例例.2)1(1 nnnn的和的和求求xd0 x0 x 1)1()(nnxnnxs)(xgnx冪冪 級級 數(shù)數(shù) xd 數(shù)項(xiàng)級數(shù)間接求和法數(shù)項(xiàng)級數(shù)間接求和法42 12)1(nnnn故故8 3)1(2xx xxnnxnxxxg0011dd)( 1nnxxx 1即即 101dnxnxnx又設(shè)又設(shè),)(11 nnnxxg則則利用性質(zhì)利用性質(zhì)2,逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分(3)求函數(shù)求函數(shù)s(x)在在 的值的值21 x2)1(1x xxxs0d)(22)1(xx xxxg1)()(d)(20 xgxxxsx 22)1()(xxxs)(xs 1)1(nnxnnn 21 21冪冪 級級 數(shù)數(shù)43 12)1()1(nnnnx求求 的收斂域與和