求數(shù)列前N項和的七種方法(含例題和答案)

1、求數(shù)列前N項和的七種方法1.公式法等差數(shù)列前n項和：s"aian)=nand22特別的，當前n項的個數(shù)為奇數(shù)時，82k書=(2k+1)|_ak+1,即前n項和為中間項乘以項數(shù)。這個公式在很多時候可以簡化運算。等比數(shù)列前n項和：q=1時，Sn=na1ai1-qnq#1,8n=，特別要注意對公比的討論。1-q其他公式：-n1-n211、Sn="k=n(n1)2、Sn="k=-n(n1)(2n1)=261o3、&="k3=n(n1)2k二2-1例1已知log3x=,求x+x+x+x+的刖n項和.log23例2設(shè)Sn=1+2+3+-+n,nCN,求f(n

2、)=-的最大值.(n32)&.12.錯位相減法這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項和，其中an、bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例3求和:Sn=1+3x+5x2+7x3+(2n-1)xn，例4求數(shù)列,-2,3,11,5n，前n項的和.練習：求：Sn=1+5x+9x2+(4n-3)xn-13.分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可一111例5求數(shù)列的前n項和：1+1,+4,+7,，,二+3n2,aaa例6求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前

3、n項和.解：設(shè)ak=k(k1)(2k1)=2k33k2knn32Sn=£k(k+1)(2k+1)=£(2k+3k+k)kWk=1將其每一項拆開再重新組合得nnnSn=2£k3+3Zk2+£kk1k1k(分組)=2(1323-n3)3(1222n2)(12n)n2(n1)2n(n1)(2n1)n(n1)=222(分組求和)2_n(n1)(n2)1.1.1,1、練習：求數(shù)歹U12，24,38，*,*（n+2n的前n項和。4.裂項法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項,最終達到求

4、和的目的.通項分解（裂項）如:(1)an=f(n1)-f(n)(2)sin1cosncos(n1)-=tan(n1)-tann(3)(5)an(6)n(n1)(4)an二(2n)2(2n-1)(2n1)22n-12n1n(n-1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)an12(n1)-n1n(n1)2nn(n1)2nn-1nn2(n1)2WSn=1-(n1)2n111例7111求數(shù)列t一=,=,，的前n項和.12.2,3.n,n112n.2例8在數(shù)列an中，an=+，又bn=n1n1n1anan1n項的和.,求數(shù)列bn的前5.合并法求和針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，

5、和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn.例9求cos1°+cos2°+cos3°+cos178°+cos179°的值.解：設(shè)Sn=cos1+cos2°+cos3°+cos178°+cos179°cosn=-cos(180'-n)因此，在求數(shù)列的(找特殊性質(zhì)項)Sn=(cos1°+cos179°)+(cos2°+cos178°)+(cos3°+cos177°)+(cos89°+cos91°)+cos90°

6、(合并求和）例 10解:數(shù)列an：ai=1,a2=3,a3=2,an|2=anan,求S2002.S2002a1a2.a3'''a2002a11,a23,a32,an書=an4一an可得殊性質(zhì)項）a4-1,a5-3,a6-2,a7-1,a8-3,a6k1-1,a6k2a6k1,a6k2（合并求和）a9-2,a10-1,a11-3,-3,a6k:：；3-2,a6k4=-1,a6k3'a6k4'a6k5'a6k6S2002a12-2a6k5-3,a6k6-2二0（找特al.a2a3.一a2002(a1 a2 , a3 - a6). (a7a8,&qu

7、ot;a12),(a6k1a6k2.a6k6)'(a1993'a1994.''''a1998)'a1999-a2000'a2001'a2002=a1999'a2000'a2001'a2002=a6k1'a6k2'a6k3'a6k4例11在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a6=9,求10g3a1+10g3a2十一,+10g3a10的值.6.利用數(shù)列的通項求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進行分析，找出數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項和，是一個重要的方法

8、.例12求1+11+111+11工二1之和.n個11解：由于 111 1 = 9999V C ' *k個19 k個1(10k 一1)9（找通項及特征)1111111111n個11191Q1.(101-1)(102-1)(103-1)(10n一1)9999（分組求和）1123=-(1010109。110n)(111，1)9n個1=110(10n1)_n910-19=(10n1-10-9n)81例13已知數(shù)列an： an(n 1)(n 3)，求E （n +1）（an an由）的值.解:(n 1)(an-*) =8(n 1)1(n 1)(n 3)1(n 2)(n 4)（找通項及特征）11十(n2)(n4)(n3)(n4)(設(shè)制分組)4 (n4)18(n-3(裂項)% (n 1)(an -an i) = 4% (土)(分組、裂項求和)_133練習：求5,55,555,，的前n項和。解：日=9(10n-1)95595.5n.S=-9(10-1)+豆(10-1)+-9(10-1)+豆(10-1)=-5(10+102+10