數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)報(bào)告

1、爭(zhēng)辯性學(xué)習(xí)報(bào)告 探究勾股定理一、 什么是勾股定理。在我國古代，把直角三角形叫做勾股形。如圖： 圖1 圖 2如圖1，我國古代一般都把直角三角形中，短的一條直角邊叫做“勾”，長(zhǎng)的一條直角邊叫做“股”，斜邊叫做“弦”。所以，我國古代把直角邊與斜邊關(guān)系所形成的定理，叫做勾股定理（a2+b2=c2）圖（2）中的直角三角形ABC中，設(shè) 勾AB=3，股BC=4，弦AC=5。依據(jù)勾股定理，三條邊的關(guān)系為：3242=52所以假如把一個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別記為a、b，把斜邊記為c，那么它們之間的關(guān)系式是：a2+b2=c2即在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊的平方之和肯定等于斜邊的平方。 這就是我國最古老的數(shù)

2、學(xué)書籍周髀算經(jīng)（約成書于公元前一世紀(jì)左右）一開頭就指出的：“勾三、股四、弦五”。這是直角三角形的三條邊長(zhǎng)都是整數(shù)時(shí)的例證。古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯也證明白這個(gè)定理。所以在國外，常把這個(gè)定理稱為畢達(dá)哥拉斯定理。勾股定理在中國又稱為"商高定理"，在外國稱為"畢達(dá)哥拉斯定理"。為什么一個(gè)定理有這么多名稱呢？商高是公元前十一世紀(jì)的中國人。當(dāng)時(shí)中國的朝代是西周，是奴隸社會(huì)時(shí)期。在中國古代大約是戰(zhàn)國時(shí)期西漢的數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)中記錄著商高同周公的一段對(duì)話。商高說："故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五。"什么是"勾、股"呢？在中國古代，

3、人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為"勾"，由于勾股定理的內(nèi)容最早見于商高的話中，所以人們就把這個(gè)定理叫作"商高定理"。畢達(dá)哥拉斯是古希臘數(shù)學(xué)家，他是公元前五世紀(jì)的人，比商高晚誕生五百多年。希臘另一位數(shù)學(xué)家歐幾里德（Euclid，是公元前三百年左右）在編著幾何原本時(shí)，認(rèn)為這個(gè)定理是畢達(dá)哥達(dá)斯最早發(fā)覺的，所以他就把這個(gè)定理稱為"畢達(dá)哥拉斯定理"，以后就流傳開了。 勾股定理的應(yīng)用格外廣泛。我國戰(zhàn)國時(shí)期另一部古籍路史后記十二注中就有這樣的記載："禹治洪水決流江河，望山川之形，定高下之勢(shì)，除滔天之災(zāi)，使注東海，無漫溺之患，此勾股之所

4、系生也。"這段話的意思是說：大禹為了治理洪水，使不決流江河，依據(jù)地勢(shì)凹凸，打算水流走向，因勢(shì)利導(dǎo)，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的災(zāi)難，是應(yīng)用勾股定理的結(jié)果。 二、勾股定理的驗(yàn)證。1. 我國歷代數(shù)學(xué)家關(guān)于勾股定理的論證。我國歷代數(shù)學(xué)家關(guān)于勾股定理的論證方法有多種，為勾股定理作的圖注也不少，其中較早的是趙爽（即趙君卿）在他附于周髀算經(jīng)之中的論文勾股圓方圖注中的證明。接受的是割補(bǔ)法： 將四個(gè)直角三角形涂上朱色，把中間小正方形涂上黃色，叫做中黃實(shí)，以弦為邊的正方形稱為弦實(shí)，然后經(jīng)過拼補(bǔ)搭配，“令出入相補(bǔ)，各從其類”，他確定了勾股弦三者的關(guān)系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之為弦實(shí)，開方

5、除之，即弦也”。 趙爽對(duì)勾股定理的證明，顯示了我國數(shù)學(xué)家超群的證題思想，較為簡(jiǎn)明、直觀。 2.利用現(xiàn)在的方法也能證明勾股定理。 如圖(3)：延長(zhǎng)CB到H,使CH=AB, 以C為頂點(diǎn)，CH為一邊，作GCH=CAB,且使CG=AC,以AC,CG為兩邊， 過G做GDAC, 過A做ADCG，再過D點(diǎn)作DEAB于E, 過G做GFDE與FGCH=CAB，ABC=90CAB+ACB=90GCHACB=90既：ACG=90又GDAC，ADCG，且CG=AC四邊形ACGD為正方形.AC=CG=GD=AD, ACG=CGD=ADG= CAD. DEAB，B=90,DECH,CHGF于HHGC+HCG=90ACB+

6、HCG=90HGC=ACB.可得：ABCCHG同理可證得：ABCCHGGFDDEACH=GF=DE=AB, DF=AE=BC=GHEF=FH=HB=EB四邊形EFHB為菱形又GFDE四邊形EFHB為正方形設(shè)CH=GF=DE=AB=a, DF=AE=BC=GH=b, AC=CG=GD=AD=cS正方形EFHB =(ab)2=S正方形ACGD4•SACB =c22ab整理：a22ab+b2=c22aba2+b2=c2既AB2+BC2=AC2 三、 名人與勾股定理。畢達(dá)哥拉斯在古希臘早期的數(shù)學(xué)家中，畢達(dá)哥拉斯的影響是最大的。他那傳奇般的一生給后代留下了眾多奇特的傳奇。畢達(dá)哥拉斯生

7、于薩摩斯(今希臘東部小島)，卒于他林敦(今意大利南部塔蘭托)。他既是哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家，又是天文學(xué)家。他在年輕時(shí)，依據(jù)當(dāng)時(shí)富家子弟的慣例，他曾到巴比倫和埃及去游學(xué)，因而直接受到東方文明的熏陶?；貒?，畢達(dá)哥拉斯創(chuàng)建了政治、宗教、數(shù)學(xué)合一的隱秘學(xué)術(shù)團(tuán)體，這個(gè)團(tuán)體被后人稱為畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。這個(gè)學(xué)派的活動(dòng)都是隱秘的，掩蓋著一種不行思議的奇特氣氛。據(jù)說，每個(gè)新入學(xué)的同學(xué)都得宣誓嚴(yán)守隱秘，并終身只加入這一學(xué)派。該學(xué)派還有一種習(xí)慣，就是將一切創(chuàng)造都?xì)w之于學(xué)派的領(lǐng)袖，而且秘而不宣，以致后人不知是何人在何時(shí)所創(chuàng)造的。畢達(dá)哥拉斯定理(即勾股定理)是畢達(dá)哥拉斯的另一貢獻(xiàn)，他的一個(gè)同學(xué)希帕索斯通過勾股定理發(fā)覺了無理數(shù)，

8、雖然這一發(fā)覺打破了畢達(dá)哥拉斯宇宙萬物皆為整數(shù)與整數(shù)之比的信條，并導(dǎo)致希帕索斯凄慘地死去，但該定理對(duì)數(shù)學(xué)的進(jìn)展起到了巨大的促進(jìn)作用。此外，畢達(dá)哥拉斯在音樂、天文、哲學(xué)方面也做出了肯定貢獻(xiàn)，首創(chuàng)地圓說，認(rèn)為日、月、五星都是球體，浮懸在太空之中。小故事: 西方的勾股定理之父畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯有次應(yīng)邀參與一位富有政要的餐會(huì)，這位仆人豪華宮殿般的餐廳鋪著是正方形秀麗的大理石地磚，由于大餐遲遲不上桌，這些饑腸轆轆的貴賓頗有怨言；但這位擅長(zhǎng)觀看和理解的數(shù)學(xué)家卻凝視腳下這些排列規(guī)章、秀麗的方形磁磚，但畢達(dá)哥拉斯不只是觀賞磁磚的秀麗，而是想到它們和數(shù)之間的關(guān)系，于是 拿了畫筆并且蹲在地板上，選了一塊磁磚以它的

9、對(duì)角線 AB為邊畫一個(gè)正方形，他發(fā)覺這個(gè)正方形面積恰好等于兩塊磁磚的面積和。他很古怪，于是再以兩塊磁磚拼成的矩形之對(duì)角線作另一個(gè)正方形，他發(fā)覺這個(gè)正方形之面積等于5塊磁磚的面積，也就是以兩股為邊作正方形面積之和。至此畢達(dá)哥拉斯作了大膽的假設(shè)： 任何直角三角形，其斜邊的平方恰好等于另兩邊平方之和。那一頓飯，這位古希臘數(shù)學(xué)大師，視線都始終沒有離開地面。趙爽與勾股圓方圖中國古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)覺并應(yīng)用勾股定理，而且很早就嘗試對(duì)勾股定理作理論的證明。最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的，是三國時(shí)期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的具體證明。在這幅“勾股圓方圖

10、”中，以弦為邊長(zhǎng)得到正方形ABDE是由4個(gè)相等的直角三角形再加上中間的那個(gè)小正方形組成的。每個(gè)直角三角形的面積為ab/2；中間懂得小正方形邊長(zhǎng)為b-a，則面積為（b-a）2.則可得4×（ab/2）+（b-a）2=c2 化簡(jiǎn)后便可得： a2+b2=c2 即c= a2+b2 趙爽的這個(gè)證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識(shí)。他用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴(yán)密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不行分的獨(dú)特風(fēng)格樹立了一個(gè)典范。以后的數(shù)學(xué)家大多繼承了這一風(fēng)格并且代有進(jìn)展。例如稍后一點(diǎn)的劉徽在證明勾股定理時(shí)也是用的以形證數(shù)的方法，只是具體圖形的分合移補(bǔ)略有不同而已。中國古代數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)覺和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位。尤其是其中體