函數奇偶性的性質應用

1、函數奇偶性的應用一、利用函數的奇偶性判斷函數的單調性1 奇函數在關于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調性一致，偶函數在關于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調性相反2 奇函數、偶函數的單調性的對稱規(guī)律在不同區(qū)間內的自變量對應的函數值比較大小中作用很大對于偶函數，如果兩個自變量在關于原點對稱的兩個不同的單調區(qū)間上，即自變量的正負不統(tǒng)一，應利用圖象的對稱性將自變量化歸到同一個單調區(qū)間，然后再根據單調性判斷例假設奇函數f(x)在a，b上是增函數，且有最大值M，那么f(x)在b，a上是增函數，且有最小值M.例假設偶函數f(x)在(，0)上是減函數，那么f(x)在(0，)上是增函數例 如果f(x)是R上的奇函數，且在3,

2、6上有最大值4，最小值2，那么函數f(x)在6，3上的最大值和最小值各是多少？提示：奇函數的圖象關于原點對稱，聯(lián)想圖象可知函數f(x)在6，3上的最大值為2，最小值為4.例假設函數yf(x)(xR)是奇函數，且f(1)<f(2)，那么必有()Af(1)<f(2) Bf(1)>f(2)Cf(1)f(1) Df(2)f(1)解析：f(1)<f(2)，f(1)>f(2)又f(x)是奇函數，f(1)>f(2)答案：B例 函數yf(x)(xR)是奇函數，圖象必過點A a, f(a) B-a, f(a) Ca, f(a)D-a, f(a)例設f(x)是R上的偶函數，且在

3、0，)上單調遞增，那么f(2)，f()，f(3)的大小順序是_解析：f(x)是R上的偶函數，f(2)f(2)，f()f()，又f(x)在0，)上遞增，而2<3<，f()>f(3)>f(2)，即f()>f(3)>f(2)答案：f()>f(3)>f(2)例函數f(x)是R上的偶函數，且在0，)上單調遞增，那么以下各式成立的是()Af(2)>f(0)>f(1)Bf(2)>f(1)>f(0)Cf(1)>f(0)>f(2)Df(1)>f(2)>f(0)解析：f(x)是R上的偶函數，f(2)f(2)，又f(x)

4、在0，)上遞增，f(2)>f(1)>f(0)答案：B例函數f(x)在區(qū)間5,5上是奇函數，在區(qū)間0,5上是單調函數，且f(3)<f(1)，那么()Af(1)<f(3)Bf(0)>f(1)Cf(1)<f(1) Df(3)>f(5)思路分析：要比較各函數值的大小，需判斷函數在區(qū)間5,5上的單調性，根據題意，應首先判斷函數在區(qū)間0,5上的單調性解析：函數f(x)在區(qū)間0,5上是單調函數，又3>1，且f(3)<f(1)，故此函數在區(qū)間0,5上是減函數由條件及奇函數性質，知函數f(x)在區(qū)間5,5上是減函數選項A中，3<1，故f(3)>f

5、(1)選項B中，0>1，故f(0)<f(1)同理選項C中f(1)>f(1)，選項D中f(3)<f(5)答案：A例設f(x)是定義在R上單調遞減的奇函數假設x1x2>0，x2x3>0，x3x1>0，那么()Af(x1)f(x2)f(x3)>0Bf(x1)f(x2)f(x3)<0Cf(x1)f(x2)f(x3)0Df(x1)f(x2)>f(x3)解析：利用減函數和奇函數的性質判斷x1x2>0，x1>x2.又f(x)是定義在R上單調遞減的奇函數，f(x1)<f(x2)f(x1)f(x2)<0.同理，可得f(x2)f(

6、x3)<0，f(x1)f(x2)<0.2f(x1)2f(x2)2f(x3)<0.f(x1)f(x2)f(x3)<0.答案：B例2021年陜西文科卷定義在R上的偶函數滿足：對任意的，有那么 A 答案：A例定義在R上的偶函數f(x)滿足：對任意的x1，x2(，0(x1x2)，有(x2x1)·f(x2)f(x1)>0.那么當nN時，有()Af(n)<f(n1)<f(n1)Bf(n1)<f(n)<f(n1)Cf(n1)<f(n)<f(n1) Df(n1)<f(n1)<f(n)思路分析：先判斷出函數f(x)的單調性，

7、再轉化為同一單調區(qū)間內判斷函數值的大小關系解析：由(x2x1)f(x2)f(x1)>0得f(x)在x(，0為增函數又f(x)為偶函數，所以f(x)在x0，)為減函數又f(n)f(n)且0n1<n<n1，f(n1)<f(n)<f(n1)，即f(n1)<f(n)<f(n1)答案：C例假設y(a1)x22ax3為偶函數，那么在(，3內函數的單調區(qū)間為_解析：a0，yx23結合二次函數的單調性知答案：增區(qū)間(，0)，減區(qū)間0,3例 定義在區(qū)間(，)上的奇函數為增函數，偶函數在區(qū)間0，)上的圖象與的圖象重合，設0，給出以下不等式： 1f()f()g()g()；

8、2f()f()g()g()； 3f()f()g()g()； 4f()f()g()g() 其中成立的是 A (1)與(4) B (2)與(3) C (1)與(3) D (2)與(4) 解析：根據函數、的奇偶性將四個不等式化簡，得： 1f()f()g()g()； 2f()f()g()g()； 3f()f()g()g()； 4f()f()g()g() 再由題義，有 顯然1、3正確，應選C【技巧提示】具有奇偶性的函數可以根據某個區(qū)間的單調性判定其對稱的區(qū)間內的單調性，因而往往與不等式聯(lián)系緊密二. 求函數的函數值和函數解析式此類問題的一般解法是：(1)“求誰那么設誰，即在哪個區(qū)間求解析式，x就設在哪個區(qū)

9、間內(2)要利用區(qū)間的解析式進行代入(3)利用f(x)的奇偶性寫出f(x)或f(x)，從而解出f(x)例函數yf(x)是偶函數，其圖象與x軸有四個交點，那么方程f(x)0的所有實根之和是()A4B2C1D0思路分析：以偶函數的圖象特征進行判斷解析：偶函數yf(x)的圖象關于y軸對稱，f(x)與x軸的四個交點也關于y軸對稱因此，假設一根為x1，那么它關于y軸對稱的根為x1；假設一根為x2，那么它關于y軸對稱的根為x2，故f(x)0的四根之和為x1(x1)x2(x2)0.應選D.例是偶函數，且定義域為，那么例.函數，假設為奇函數，那么_。 例. 設其中a,b,c為常數，且，試求f(2)的值。 解：

10、設，易證g(x)是奇函數，故 于是 兩式相加得：，即例：且，那么例.f(x)是偶函數，且當x>0時，f(x)x32x3，求f(x)在x<0時的解析式解：f(x)是偶函數，f(x)f(x)，x<0，x>0，f(x)(x)32(x)3x32x3.f(x)x32x3(x<0)例.函數f(x)在0,+上的解析式是f(x)=2x+1，根據以下條件求函數在-，0上的解析式.1f(x)是偶函數；2f(x)是奇函數. 例 設f(x)是定義在R上的奇函數，當x>0時，。試求此函數的解析式。 解：1當x0時，于是； 2當x<0時，那么，由于f(x)是定義在R上的奇函數，那

11、么 此函數的解析式為 例f(x)是R上的奇函數，且當x>0時，f(x)x22x2.(1)求f(x)的解析式；(2)畫出f(x)的圖象，并指出f(x)的單調區(qū)間解(2)先畫出yf(x)(x>0)的圖象，利用奇函數的對稱性可得到相應yf(x)(x<0)的圖象，其圖象如以下列圖所示由圖可知，其增區(qū)間為1,0)及(0,1，減區(qū)間為(，1及1，)例f(x)是奇函數，且當x>0時，f(x)x|x2|，求x<0時，f(x)的表達式解：x<0，那么x>0，f(x)(x)|(x)2|.又f(x)為奇函數，f(x)f(x)(x)|(x)2|x|x2|.故當x<0時，

12、f(x)x|x2|. 于原點對稱，f(a)求f(a)，可嘗試利用函數的奇偶性 f(x)u(x)1，f(x)u(x)1， f(x)f(x)u(x)u(x)2 u(x)是奇函數，u(x)u(x)0， f(x)f(x)2，那么 例. 設，f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，求f(x)的表示式。 解：f(x)是奇函數，有；g(x)是偶函數，有，那么 即 兩式相減得例 設x(1，1)，f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，且f(x)g(x)2lg(1x)，求10f(x)和10g(x)的表達式 解：法一：與上例同法二：x(1，1)關于原點對稱，又f(x)是偶函數f(x)f(x)，g(x)是奇函數g(x)g(

13、x)，設f(x)g(x)2lg(1x)F(x)，那么F(x)2lg(1x)，而F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)， 2f(x)F(x)F(x) 2lg(1x)lg(1x) 2lg(1x2) 又2g(x)F(x)F(x) 2lg(1x)lg(1x)三. 解不等式例假設函數f(x)滿足f(x)f(x)，又在(0，)上單調遞增，且f(3)0，那么不等式x·f(x)<0的解集是_解析：f(x)f(x)，f(x)為奇函數，那么f(x)的簡圖如右圖所示當x<0時，f(x)>0，那么x(3,0)；當x>0時，f(x)<0，那么x(0,3)答案：(3,0)(0,3

14、) 例. 2004年上海卷設奇函數f(x)的定義域是-5，5。當時，f(x)的圖象如圖1，那么不等式f(x)<0的解是_。圖1 解：根據奇函數圖象關于原點成中心對稱的性質，畫出函數在區(qū)間-5，5上的圖象如圖2，易知不等式的解是。圖2四. 函數的奇偶性的綜合應用題 解決有關函數的奇偶性、單調性以及求字母取值范圍的綜合問題時，一般先利用奇偶性得出區(qū)間上的單調性，再利用單調性脫去函數的符號“f，轉化為解不等式(組)的問題需要注意的是：在轉化時，自變量必須在同一單調區(qū)間上；當不等式一邊沒有符號“f時，需轉化為含符號“f的形式例函數f(x)是定義域為實數集R的偶函數，且在區(qū)間0，)上是增函數，假設

15、f(m)f(2)，求實數m的取值范圍解：函數f(x)是實數集R上的偶函數，且在0，)上是增函數，所以f(x)在(，0)上是減函數當m<0時，由f(m)f(2)，知m2；當m0時，由f(m)f(2)，f(2)f(2)，可得f(m)f(2)，知m2.故所求的m的取值范圍為(，22，)例 函數f(x)是奇函數x 0，當x 0，+時是增函數，假設=0，求不等式0的解集。思路分析：由f(x)的奇偶性及函數在(0，)上的單調性，不難得出f(x)在(，0)上的單調性再將不等式兩邊化為函數值的形式，利用單調性便可脫去函數記號“f，于是問題轉化為解不等式答案 例 偶函數在定義域為R，且在，0上單調遞減，求

16、滿足 的的集合解析：偶函數在，0上單調遞減，在0，上單調遞增根據圖象的對稱性，等價于解之，滿足條件的的集合為1，例 yf(x)是定義在(1，1)上的偶函數，且f(x)在(0，1)上是增函數，假設f(a2)f(4a2)0，試確定a的取值范圍 解 因f(x)是定義在(1，1)上的偶函數，故它在關于原點對稱的兩個區(qū)間(0，1)和(1，0)上具有相反的單調性而f(x)在(0，1)上是增函數，于是f(x)在(1，0)上為減函數，且f(4a2)f(a24) 根據f(a2)f(4a2)f(a24)，考慮幾種情況： (1)當a2和a24都在(0，1)上時，有 (2)當a2和a24都在(1，0)上時，有 (3)當a2和a24分別在(1，0)、(0，1)或(0，1)、(1，0)時，相應的不等式組無解例 f(x)是定義在1,1上的奇函數，對任意a、b1,1，當ab0時，都有>0.(1)假設a>b，試比較f(a)與f(b)的大?。?2)解不等式f(x)<f(2x)解：(1)假設a>b，那么ab>0，依題意有>0成立，f(a)f(b)>0.又f(x)是奇函數，f(a)f(b)>0，即f(a)>f(b)(2)由(1)可知f(x)在1,1上是增函