彈性力學(xué)有限元第五章 變分法解平面問題

1、河海大學(xué)河海大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院 力學(xué)教研室力學(xué)教研室第五章第五章 變分法解平面問題變分法解平面問題第五章變分法解平面問題第五章變分法解平面問題第五章第五章 變分法解平面問題變分法解平面問題5-1 變分法簡介變分法簡介函數(shù)的變分函數(shù)的變分函數(shù) y的微分： xyy xxyydd假想函數(shù) y(x)的形式發(fā)生改變成為新函數(shù)Y(x), 如果對應(yīng)于x的一個(gè)定值，y具有微小的增量： xyxYy則稱 y為函數(shù) y(x)的變分變分,如圖所示。假定AB 表示某梁的一段撓曲線，而y是梁截面的真實(shí)位移，則CD可表示該梁發(fā)生虛位移以后的撓曲線，而虛位移 y就是真實(shí)位移y(x)的變分。第五章第五章 變分法解平

2、面問題變分法解平面問題5-1 變分法簡介變分法簡介函數(shù)的變分函數(shù)的變分函數(shù) y的導(dǎo)數(shù) y的變分：函數(shù) y的變分的導(dǎo)數(shù)： xyxYy導(dǎo)數(shù)的變分等于變分的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的變分等于變分的導(dǎo)數(shù)因此總有關(guān)系式 xyxYxyxYy)( )(yy)(ddddyxxy第五章第五章 變分法解平面問題變分法解平面問題5-1 變分法簡介變分法簡介泛函及其變分泛函及其變分如果對于某一類函數(shù) y(x)中的每一個(gè)函數(shù)y(x)，變量I 有一個(gè)值和它對應(yīng)，則變量I稱為依賴于函數(shù)y(x)的泛函，泛函，簡單的說，泛函就是函數(shù)的函數(shù)函數(shù)的函數(shù)。例如：曲線AB的長度可寫為：長度L是依賴于函數(shù) y(x)的泛函。 baxxyLd12一般情況下

3、，泛函具有如下的形式： baxyyxfxyId,其中被積函數(shù)：yyxf,也是 y(x)的泛函。第五章第五章 變分法解平面問題變分法解平面問題5-1 變分法簡介變分法簡介泛函及其變分泛函及其變分泛函 f 的變分表示為：yOyOyyfyyfyyxfyyyyxf,高階項(xiàng)泛函 f 的變分yyfyyff當(dāng)函數(shù)y(x)具有變分 y，導(dǎo)數(shù)具有變分 y。對泛函 進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，并求其增量：yyxf,第五章第五章 變分法解平面問題變分法解平面問題5-1 變分法簡介變分法簡介泛函及其變分泛函及其變分考察泛函 baxyyxfxyId,babaxyyxfxyyyyxfd,d,baxyyxfyyyyxfd,baxyO

4、yOfd增量的主要部分定義為泛函的變分，則baxfId代入 f，則baxyyfyyfId顯然，存在關(guān)系式：xfxfbabadd只要積分的上下限不變，變分的運(yùn)算和定積分運(yùn)算可以交換次序只要積分的上下限不變，變分的運(yùn)算和定積分運(yùn)算可以交換次序第五章第五章 變分法解平面問題變分法解平面問題5-1 變分法簡介變分法簡介泛函的極值問題泛函的極值問題變分問題變分問題函數(shù) y(x)在 x =x0取極值的條件是 00 xxxy0d y對于泛函I y(x)，如果在 y =y0(x)的鄰近任意一根曲線上的值都不大于或都不小于I y0(x)，也就是： 000orxyIxyII則稱泛函I y(x) 在曲線y =y0(

5、x) 上達(dá)到極大值或極小值：泛函達(dá)到極值的必要條件是：0I曲線y =y0(x) 稱為泛函I y(x) 的極值曲線。第五章第五章 變分法解平面問題變分法解平面問題5-1 變分法簡介變分法簡介泛函的極值問題泛函的極值問題變分問題變分問題設(shè)圖中 y = y(x)所示曲線通過A,B兩點(diǎn)， y(x)具有邊界條件： nbymay由泛函 I 的極值條件求出函數(shù)y(x)，其中解：首先導(dǎo)出 I的具體形式xyyxfIbad,考慮其第二部分，baxyyfyyfIdbabaxyxyfxyyfdddd對其進(jìn)行分部積分第五章第五章 變分法解平面問題變分法解平面問題5-1 變分法簡介變分法簡介泛函的極值問題泛函的極值問題變

6、分問題變分問題bababaxyfxyyyfxyxyfdddddd代入式按照邊界條件，x =a,x=b, y不變，因此:0,bxaxy則有：babaxyfxyxyxyfddddddbaxyyfyyfId得到：babaxyfxyfyxyfxyyyfIdddddd第五章第五章 變分法解平面問題變分法解平面問題5-1 變分法簡介變分法簡介泛函的極值問題泛函的極值問題變分問題變分問題根據(jù) y的任意性,由 I =0 得出極值條件：0ddyfxyf由此得出函數(shù) y(x)的微分方程，該微分方程的解答給出函數(shù) y(x) 的表達(dá)式。第五章第五章 變分法解平面問題變分法解平面問題5-1 變分法簡介變分法簡介泛函的極

7、值問題泛函的極值問題變分問題變分問題例：求圖中AB曲線為最短時(shí)的函數(shù) y(x)0ddyfxyf解： baxxyLId12 21xyf由極值條件 ： 01dd02yyx Cyy21解此方程，1Cy 因此函數(shù)： 21CxCxyy直線。第五章第五章 變分法解平面問題變分法解平面問題5-2 彈性體的形變勢能彈性體的形變勢能按照材料力學(xué)知識，彈性體只在某一方向上具有均勻的正應(yīng)力sx和相應(yīng)的正應(yīng)變ex，其變形能密度(比能)為: 2/xxes彈性體只在某兩個(gè)正交方向受有均勻的切應(yīng)力txy和相應(yīng)的切應(yīng)變gxy，則其比能為：如果彈性體受到全部六個(gè)應(yīng)力分量, sx, sy, sz, tyz, tzx, txy2/

8、xyxygt彈性體的全部比能為：xyxyzxzxyzyzzzyyxxUgtgtgteseses211平面問題考慮到tyz, tzx為0，平面應(yīng)力問題有sz =0 ，平面應(yīng)變問題有ez =0，則必能簡化為：xyxyyyxxUgteses211第五章第五章 變分法解平面問題變分法解平面問題5-2 彈性體的形變勢能彈性體的形變勢能取z方向?yàn)閱挝婚L度，考慮到應(yīng)力應(yīng)變是坐標(biāo)的函數(shù)，則形變勢能為比能在彈性體內(nèi)的積分：yxzyxUUxyxyyyxxdd21ddd1gteses引入物理方程(平面應(yīng)力)：xyxyxyyyxxEEEgteesees121122代入比能U1的表達(dá)式，得：2222121212xyyx

9、yxEUgeeee對ex, ey, gxy求導(dǎo)：xyxyyyxxUUUtgsese111第五章第五章 變分法解平面問題變分法解平面問題5-2 彈性體的形變勢能彈性體的形變勢能彈性體每單位體積中的形變勢能對于任一形變分量的改變率等于彈性體每單位體積中的形變勢能對于任一形變分量的改變率等于相應(yīng)的應(yīng)力分量：相應(yīng)的應(yīng)力分量：xyxyyyxxUUUtgsese111考慮幾何方程，則比能可用位移分量來表示。2222121212xvyuyvxuyvxuEU積分可得形變勢能。平面應(yīng)變問題作彈性常數(shù)的替換。第五章第五章 變分法解平面問題變分法解平面問題5-3 位移變分方程位移變分方程設(shè)有平面問題中的任一單位厚度

10、的彈性體，在外力作用下平衡。u,v為其實(shí)際位移分量，假設(shè)這些位移分量發(fā)生了位移變分(虛位移) u, v，成為：vvvuuu考察其能量方面的變化。假設(shè)彈性體在虛位移過程中沒有熱能或動能的改變，則形變勢能形變勢能的增加等于外力勢能的減少，即外力所做的功，就是所謂的虛功的增加等于外力勢能的減少，即外力所做的功，就是所謂的虛功。外力包括體力和面力。形變勢能的變分寫為：vsfusfvyxfuyxfUyxyxddddddsvfufyxvfufyxyxddd位移變分方程(拉格朗日變分方程)第五章第五章 變分法解平面問題變分法解平面問題5-3 位移變分方程位移變分方程由于虛位移微小，因此在虛位移過程中，外力大

11、小方向可認(rèn)為保持不變，僅作用點(diǎn)發(fā)生改變，則由位移變分方程：svfufyxvfufUyxyxddd0dddsvfufyxvfufUyxyx0dddsvfufyxvfufUyxyx用V表示外力的勢能(以u,v=0的自然狀態(tài)下的勢能為0)，它等于外力在實(shí)際位移上所做的功冠以負(fù)號，則：svfufyxvfufVyxyxddd代入上式，即得 0VU第五章第五章 變分法解平面問題變分法解平面問題5-3 位移變分方程位移變分方程U+V是形變勢能和外力勢能的總和，可以看出，在給定的外力作用下，實(shí)際存在的位移應(yīng)使總勢能的變分成為零。最小勢能原理最小勢能原理0VU 在給定的外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各組位

12、移中間，實(shí)際存在的一組應(yīng)使總勢能成為極值。第五章第五章 變分法解平面問題變分法解平面問題5-3 位移變分方程位移變分方程應(yīng)用位移變分方程可導(dǎo)出虛功方程。yxUUdd1yxxyxyyyxxddgtesesyxUUUxyxyyyxxdd111ggeeee虛功方程：方程右邊各項(xiàng)稱為應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功。如果在虛位移發(fā)生之前，彈性體是出于平衡狀態(tài)，那么在虛位移過如果在虛位移發(fā)生之前，彈性體是出于平衡狀態(tài)，那么在虛位移過程中，外力在虛位移上所做的虛功等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。程中，外力在虛位移上所做的虛功等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。svfufyxvfufyxyxdddyxUUUsvfufyxvfu

13、fxyxyyyxxyxyxddddd111ggeeee第五章第五章 變分法解平面問題變分法解平面問題5-3 位移變分方程位移變分方程位移變分方程，極小勢能原理表達(dá)式和虛功方程在本質(zhì)上是一樣的，它們都是彈性體從實(shí)際平衡狀態(tài)發(fā)生虛位移時(shí)，能量守恒原理的具體應(yīng)用。實(shí)際存在的位移，除了滿足位移邊界條件以外，還應(yīng)當(dāng)滿足用位移表示的平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件；或者說，實(shí)際存在的位移，除了滿足位移邊界條件以外，還應(yīng)當(dāng)滿足位移變分方程。通過運(yùn)算，還可以從位移變分方程中導(dǎo)出平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件，于是可見，位移變分方程(極小勢能原理，或虛功方程)，可以代替平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。第五章第五章 變分法解平

14、面問題變分法解平面問題5-4 位移變分法位移變分法位移變分方程，給彈性力學(xué)提供了一種近似解法：設(shè)定位移分量的表達(dá)式，使其滿足位移邊界條件，但其中包含若干個(gè)待定系數(shù)，然后利用位移變分方程決定這些系數(shù)。設(shè)位移分量的表達(dá)式：mmmmmmvBvvuAuu00,u0,v0為關(guān)于坐標(biāo)的函數(shù)，且在邊界上等于已知位移um,vm為關(guān)于坐標(biāo)的函數(shù)，且在邊界上等于0如此無論取何種系數(shù)，u,v總能滿足位移邊界條件Am, Bm為互不依賴的2m個(gè)系數(shù)；位移的變分只是由Am, Bm的變分來實(shí)現(xiàn)，而各個(gè)設(shè)定函數(shù)的值，只和坐標(biāo)有關(guān)，與位移的變分無關(guān)。第五章第五章 變分法解平面問題變分法解平面問題5-4 位移變分法位移變分法位移

15、分量：mmmmmmvBvvuAuu00,變分：mmmmmmBvvAuu,形變勢能的變分：mmmmmmmBBUAAUBAU,參考本章第一節(jié)代入位移變分方程經(jīng)整理后得：mmmmymmxmmymmxmmmmmsBufAufyxBufAufBBUAAUddd移項(xiàng)，系數(shù)的變分合并：mmmymymmmmxmxmBsvfyxvfBUAsufyxufAU0dddddd第五章第五章 變分法解平面問題變分法解平面問題5-4 位移變分法位移變分法mmmymymmmmxmxmBsvfyxvfBUAsufyxufAU0dddddd變分Am, Bm是任意的，所以有： svfyxvfBUsufyxufAUmymymmxmx

16、mdddddd由形變勢能的表達(dá)式和位移分量的表達(dá)式可知，上述方程是各系數(shù)的一次方程(U是系數(shù)Am,Bm的二次式)。系數(shù)互不依賴，可由次方程求得各系數(shù)，然后得到位移分量的表達(dá)式。該方法稱為瑞次法瑞次法。求出位移后，通過幾何方程求形變，再通過物理方程求應(yīng)力。取不多的系數(shù)可以得到較為精確的位移，然而位移求導(dǎo)得到形變再得出的應(yīng)力精度卻不高，所以盡量取較多的系數(shù)。第五章第五章 變分法解平面問題變分法解平面問題5-5 位移變分法例題位移變分法例題 設(shè)有寬度a,高度 b的矩形薄板，如果所示在左邊和下邊有連桿支承，右邊和上邊分別收到均布壓力q1,q2，不計(jì)入體力，求薄板的位移。例例1第五章第五章 變分法解平面

17、問題變分法解平面問題5-5 位移變分法例題位移變分法例題參照前一節(jié)，位移變量設(shè)定為：例例1解解yBxBByvyAxAAxu321321 不論上式中各系數(shù)取值如何，均能滿足位移邊界條件： 0000yxvu僅取A1,B1兩個(gè)系數(shù)：yBvBvxAuAu1111111100ByvxvyuAxu2222121212xvyuyvxuyvxuEU代入：第五章第五章 變分法解平面問題變分法解平面問題5-5 位移變分法例題位移變分法例題例例1解解考慮：11212121212BABAEU不計(jì)體力，故fx, fy=01121212001121212212dd212BABAEabyxBABAEUab svfyxvfB

18、UsufyxufAUmymymmxmxmddddddsufxd1svfyd1第五章第五章 變分法解平面問題變分法解平面問題5-5 位移變分法例題位移變分法例題例例1解解薄板右邊：ysaxuqfxdd11abqyaqsufbx1011dd薄板上邊：xsbyvqfydd12abqxbqsvfay2021dd其余邊界上，要么面力為零，要么位移為零，因此積分值均為0。abqsufAUmx11dabqsvfBUy211d第五章第五章 變分法解平面問題變分法解平面問題5-5 位移變分法例題位移變分法例題例例1解解abqABEabBU211212212abqBAEabAU1112122121121212212BABAEabU求解A1,B1EqqBEqqA121211得到位移分量：yEqqvxEqqu1221如果取A2,B2,.得進(jìn)行與上相似的計(jì)算后，這些系數(shù)均為0 （同學(xué)們可計(jì)算驗(yàn)證）第五章第五章 變分法解平面問題變分法解平面問題5-5 位移變分法例題位移變分法例題 設(shè)有寬度2a,高度 b的矩形薄板，如圖所示，其左邊，右邊和下邊均固定，上邊具有給定的位移：例例22210axvu 不計(jì)體力，求薄板的位移。第五章第五章 變分法解平面問題變分法解平面問題5-5 位移變分法例題位移變分法例題例例2解解bybyaxaxAu11221按照mmmmmmvBvvuAuu00,取 m = 1, 設(shè)位移分量