第2章---信號

1、2022-3-71現(xiàn)代通信原理第二章第二章 信號信號2022-3-72基本要求1.1.掌握掌握描述隨機過程特別是平穩(wěn)過程的數(shù)字特征描述隨機過程特別是平穩(wěn)過程的數(shù)字特征（統(tǒng)計均值、方差、相關(guān)函數(shù)）的計算方法（統(tǒng)計均值、方差、相關(guān)函數(shù)）的計算方法2.2.掌握掌握平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)后的自相關(guān)、功率譜平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)后的自相關(guān)、功率譜的計算；的計算；3.3.掌握掌握正態(tài)分布密度函數(shù)和窄帶噪聲的特征、分析正態(tài)分布密度函數(shù)和窄帶噪聲的特征、分析方法及計算；方法及計算；4.4.了解了解隨機過程的一般概念及描述方法，白噪聲的隨機過程的一般概念及描述方法，白噪聲的分析方法分析方法 ，窄帶噪聲迭加信號的分析

2、方法，窄帶噪聲迭加信號的分析方法 。2022-3-73重點和難點重點和難點1. 1. 重點：重點： 掌握描述隨機過程特別是平穩(wěn)過程掌握描述隨機過程特別是平穩(wěn)過程的數(shù)字特征（統(tǒng)計均值、方差、相關(guān)函的數(shù)字特征（統(tǒng)計均值、方差、相關(guān)函數(shù)）的計算方法；掌握平穩(wěn)過程通過線數(shù)）的計算方法；掌握平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)后的自相關(guān)、功率譜的計算。性系統(tǒng)后的自相關(guān)、功率譜的計算。 2. 2. 難點：難點： 正態(tài)分布密度函數(shù)和窄帶噪聲的特正態(tài)分布密度函數(shù)和窄帶噪聲的特征、分析方法及計算。征、分析方法及計算。 2022-3-74u 信號的類型信號的類型u 確知信號的性質(zhì)確知信號的性質(zhì)u 隨機信號的性質(zhì)隨機信號的性質(zhì)u

3、隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征u 隨機過程隨機過程u 高斯過程高斯過程u 窄帶隨機過程窄帶隨機過程u 正弦波加窄帶高斯過程正弦波加窄帶高斯過程u 信號通過線性系統(tǒng)信號通過線性系統(tǒng)第第2章章 信號信號2022-3-75信號的類型信號的類型l確知信號和隨機信號確知信號和隨機信號（信號的確定性）（信號的確定性）l能量信號和功率信號能量信號和功率信號 （信號的強度）（信號的強度）20(t)dtEs /22/21( )limTTTPs t dtT2022-3-76信號的類型信號的類型l能量信號和功率信號能量信號和功率信號2022-3-77確知信號的性質(zhì)確知信號的性質(zhì)u 頻域性質(zhì)頻域性質(zhì)頻譜頻譜頻譜

4、密度頻譜密度能量譜密度能量譜密度功率譜密度功率譜密度u 時域性質(zhì)時域性質(zhì)自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)2022-3-78n功率信號的頻譜功率信號的頻譜u設(shè)設(shè)s(t)為周期性功率信號，為周期性功率信號，T0為周期，則有為周期，則有 u式中，式中， 0 = 2 / T0 = 2 f0 C(jn 0)是復(fù)數(shù)，是復(fù)數(shù)， C(jn 0) = |Cn|e j n 式中，式中，|Cn| 頻率為頻率為nf0的分量的振幅；的分量的振幅； n 頻率為頻率為nf0的分量的相位的分量的相位u信號信號s(t)的傅里葉級數(shù)表示法：的傅里葉級數(shù)表示法：頻域性質(zhì)頻域性質(zhì)2/T2/Ttjn00000dte) t (

5、sT1)jn(Cntjn00e)jn(C) t ( s2022-3-79n功率信號的頻譜功率信號的頻譜【例2.1】 試求周期性方波的頻譜。解：設(shè)一周期性方波的周期為T，寬度為，幅度為V求頻譜：t)Tt ( f) t ( f) 2/T(t2/02/t2/V) t ( f2nsinTnV2jneeTVejnVT1dtVeT1)jn(C0002/jn2/jn2/2/2/2/tjn0tjn00000頻域性質(zhì)頻域性質(zhì)2022-3-71010頻譜圖頻譜圖頻域性質(zhì)頻域性質(zhì)2022-3-711解：設(shè)此信號的表示式為求頻譜：信號的傅里葉級數(shù)表示式：ttftftttf)1()(10)sin()(10222/2/0

6、0) 14(2)sin()(1)(000ndtetdtetsTjnCntjTTtjn1f(t)tnntjentf221412)(頻域性質(zhì)頻域性質(zhì)2022-3-712設(shè)一能量信號為設(shè)一能量信號為s(t)，則其頻譜密度為：，則其頻譜密度為：S( )的逆變換為原信號：的逆變換為原信號：【例例2.3】試求一個矩形脈沖的頻譜密度。試求一個矩形脈沖的頻譜密度。 解：設(shè)此矩形脈沖的表示式為解：設(shè)此矩形脈沖的表示式為則它的頻譜密度就是它的傅里葉變換：則它的頻譜密度就是它的傅里葉變換：dtetsStj)()(deStstj)()(2/02/1)(tttg2/) 2/sin()(1)(2/2/2/2/jjtjee

7、jdteG頻域性質(zhì)頻域性質(zhì)2022-3-713解：抽樣函數(shù)的定義是 而Sa(t)的頻譜密度為：和上例比較可知，Sa(t)的波形和上例中的G()曲線相同，而Sa(t)的頻譜密度Sa()的曲線和上例中的g(t)波形相同。 解：單位沖激函數(shù)常簡稱為函數(shù)，其定義是： (t)的頻譜密度：ttsin) t (Sa其他處011sin)(dtettSatj00)(1)(ttdtt1)(1)()(dttdtetftj (t)的頻譜密度：的頻譜密度：頻域性質(zhì)頻域性質(zhì)2022-3-714u 函數(shù)及其頻譜密度的曲線：函數(shù)及其頻譜密度的曲線：u 函數(shù)的物理意義：函數(shù)的物理意義： 高度為無窮大，寬度為無窮小，面積為高度為

8、無窮大，寬度為無窮小，面積為1 1的脈沖。的脈沖。u用抽樣函數(shù)用抽樣函數(shù)Sa(t)表示表示 函數(shù)：函數(shù)：Sa(t)Sa(t)有如下性質(zhì)有如下性質(zhì)當當 k k 時，振幅時，振幅 ， 波形的零點間隔波形的零點間隔 0 0，故有故有 1)(dtktSakttt)(lim)(ktSaktkf(f)10t(t)0頻域性質(zhì)頻域性質(zhì)2022-3-715u 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)p對對f(t)的抽樣：的抽樣：p 函數(shù)是偶函數(shù)：函數(shù)是偶函數(shù)：p 函數(shù)是單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：函數(shù)是單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：u能量信號的頻譜密度能量信號的頻譜密度S(f)和周期性功率信號的頻譜和周期性功率信號的頻譜C(jn 0)的區(qū)別的區(qū)別:

9、pS(f ) 連續(xù)譜；連續(xù)譜； C(jn 0) 離散譜離散譜pS(f )的單位：的單位：V/Hz； C(jn 0) 的單位：的單位：VpS(f )在一頻率點上的幅度無窮小。在一頻率點上的幅度無窮小。u (t) = (t) dt)tt () t (f)t (f00dttttftf)()()(00) t() t (0, 1, 0, 0)(tttu當當t10圖2.2.6 單位階躍函數(shù)頻域性質(zhì)頻域性質(zhì)2022-3-716解：設(shè)一個余弦波的表示式為f (t) = cos0t，則其頻譜密度F()按式(2.2-10)計算，可以寫為參照式(2.2-19)，上式可以改寫為u引入引入 (t)，就能將頻譜密度概念推

10、廣到功率信號上。，就能將頻譜密度概念推廣到功率信號上。2)(2)(2lim2/)(2/)sin(2/)(2/)sin(2limcoslim)(0000002/2/0SaSadtteFtj)()()(00Ft000(b) 頻譜密度(a) 波形頻域性質(zhì)頻域性質(zhì)2022-3-717設(shè)一個能量信號s(t)的能量為E，則其能量由下式?jīng)Q定：若此信號的頻譜密度，為S(f )，則由巴塞伐爾定理得知：上式中|S(f )|2稱為能量譜密度，也可以看作是單位頻帶內(nèi)的信號能量。上式可以改寫為：式中，G(f )|S(f)|2 （J / Hz） 為能量譜密度。uG(f )的性質(zhì)：因的性質(zhì)：因s(t)是實函數(shù)，故是實函數(shù)，

11、故|S(f )|2 是偶函數(shù)，是偶函數(shù)，dttsE)(2dffSdttsE22)()(dffGE)(0)(2dffGE頻域性質(zhì)頻域性質(zhì)2022-3-718令s(t)的截短信號為sT(t)，-T/2 t T/2，則有定義功率譜密度為：得到信號功率： 若功率信號具有周期性，則用傅里葉級數(shù)來代替傅里葉變換，求出信號頻譜。dffSdttsETTTT22/2/2)()(2)(1lim)(fSTfPTTdffPdffSTPTTTT)()(1lim2/2/2頻域性質(zhì)頻域性質(zhì)2022-3-719dttstsR)()()(2/2/)()(1lim)(TTTdttstsTR時域性質(zhì)時域性質(zhì)2022-3-720令令

12、x = t + ，則，則 ,)()()(2112dttstsR2/2/2112,)()(1lim)(TTTdttstsTR)()(1221 RR)()()()()()()()(1221121221RdxxsxsdxxsxsdttstsR時域性質(zhì)時域性質(zhì)2022-3-721隨機信號的性質(zhì)隨機信號的性質(zhì)u 隨機變量的概率分布隨機變量的概率分布隨機變量隨機變量隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的分布函數(shù)u 隨機變量的概率密度隨機變量的概率密度u 常見隨機變量舉例常見隨機變量舉例2022-3-722n隨機變量隨機變量n若某種試驗若某種試驗A的隨機結(jié)果用的隨機結(jié)果用X表示，則稱此表示，則稱此X為一個隨機變量，為

13、一個隨機變量，并設(shè)它的取值為并設(shè)它的取值為x。 例如，在一定時間內(nèi)電話交換臺收到的呼叫次數(shù)是一例如，在一定時間內(nèi)電話交換臺收到的呼叫次數(shù)是一個隨機變量。個隨機變量。n隨機變量的分布函數(shù)：隨機變量的分布函數(shù)：u定義：定義：FX(x) = P(X x)u性質(zhì)：性質(zhì)： P(a X b) + P(X a) = P(X b),P(a X b) = P(X b) P(X a)， P(a X b) = FX(b) FX(a)X可為連續(xù)隨機變量，也可為離散隨機變量?？蔀檫B續(xù)隨機變量，也可為離散隨機變量。 隨機變量的概率分布隨機變量的概率分布2022-3-723u離散隨機變量的分布函數(shù)：離散隨機變量的分布函數(shù)：

14、p設(shè)設(shè)X的取值為：的取值為：x1 x2 xi xn，其取值的概率分別，其取值的概率分別為為p1, p2, , pi, , pn，則有，則有P (X x1) = 0,P(X xn) = 1P(X xi) = P(X = x1) + P(X = x2) + + P(X = xi),p性質(zhì)：性質(zhì)： FX(- ) = 0 FX(+ ) = 1 若若x1 x2，則有，則有: FX(x1) FX(x2) ，為單調(diào)增函數(shù)。，為單調(diào)增函數(shù)。nikikXxxxxxpxxxF10)(1111隨機變量的概率分布隨機變量的概率分布2022-3-724u連續(xù)隨機變量的分布函數(shù)：連續(xù)隨機變量的分布函數(shù)：當x連續(xù)時，由定義

15、分布函數(shù)定義 FX(x) = P(X x)可知， FX(x) 為一連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)：隨機變量的概率分布隨機變量的概率分布2022-3-725n連續(xù)隨機變量的概率密度連續(xù)隨機變量的概率密度pX (x)upX (x)的定義：的定義：upX (x)的意義：的意義：ppX (x)是是FX (x)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，是FX (x)曲線的斜率曲線的斜率p能夠從能夠從pX (x)求出求出P(a 0，為常數(shù)。，為常數(shù)。u概率密度曲線：概率密度曲線：0)exp(2)(2xaxaxxpX常見隨機變量舉例常見隨機變量舉例2022-3-730隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征u 數(shù)學期望數(shù)學期望u 方差方差u 矩矩2

16、022-3-731若若X和和Y互相獨立，且互相獨立，且E(X)和和E(Y)存在。存在。dxxxpXEX)()(CCE)()()()(YEXEYXE)()()()(2121nnXEXEXEXXXE)()(XECXCE)()()(YEXEXYE CE(X)E(CX)期望期望2022-3-732n定義：定義：式中，式中，u方差的改寫：方差的改寫：證：證：u對于離散隨機變量，對于離散隨機變量，u對于連續(xù)隨機變量，對于連續(xù)隨機變量，n性質(zhì)：性質(zhì)：uD( C ) = 0uD(X+C)=D(X)，D(CX)=C2D(X)uD(X+Y)=D(X)+D(Y)uD(X1 + X2 + + Xn)=D(X1) +

17、D(X2) + + D(Xn)()(22XXEXDX的數(shù)學期望標準偏差，XXX22)(XXXD2222222222)(XXXXXXXXXEXXEiiipXxXD2)()(dxxpXxXDX)()()(2方差方差2022-3-733dxxpaxaXEXkk)()()(dxxpxXmXkk)()(Xa dxxpXxXMXkk)()()()()(1XEXm22)()(XXDXM矩矩2022-3-734隨機過程隨機過程u 隨機過程的基本概念隨機過程的基本概念u 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程u 各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性u 平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)和功率平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度譜密度自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)自

18、相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)功率譜密度的性質(zhì)功率譜密度的性質(zhì)2022-3-735nX(A, t) 事件事件A的全部可能的全部可能“實現(xiàn)實現(xiàn)”的總體；的總體；nX(Ai, t) 事件事件A的一個實現(xiàn)，為確定的時間函數(shù)；的一個實現(xiàn)，為確定的時間函數(shù)；nX(A, tk) 在給定時刻在給定時刻tk上的函數(shù)值。上的函數(shù)值。u簡記：簡記： X(A, t) X(t) X(Ai, t) Xi (t)n例：接收機噪聲例：接收機噪聲n隨機過程的數(shù)字特征：隨機過程的數(shù)字特征：u統(tǒng)計平均值：統(tǒng)計平均值：u方差：方差：u自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)：)()()(iXXitmdxxxptXEi2)()()(iiitXEtXEtXD)()(),

19、(2121tXtXEttRX隨機過程的基本概念隨機過程的基本概念2022-3-736n平穩(wěn)隨機過程的定義：平穩(wěn)隨機過程的定義：統(tǒng)計特性與時間起點無關(guān)的隨機過程。統(tǒng)計特性與時間起點無關(guān)的隨機過程。（又稱嚴格平穩(wěn)隨機過程）（又稱嚴格平穩(wěn)隨機過程）n廣義平穩(wěn)隨機過程的定義：廣義平穩(wěn)隨機過程的定義：平均值、方差和自相關(guān)函數(shù)等與時間起點無關(guān)的隨機過程。平均值、方差和自相關(guān)函數(shù)等與時間起點無關(guān)的隨機過程。n廣義平穩(wěn)隨機過程的性質(zhì)：廣義平穩(wěn)隨機過程的性質(zhì)：u u u n嚴格平穩(wěn)隨機過程一定也是廣義平穩(wěn)隨機過程。但是，廣義嚴格平穩(wěn)隨機過程一定也是廣義平穩(wěn)隨機過程。但是，廣義平穩(wěn)隨機過程就不一定是嚴格平穩(wěn)隨機過

20、程。平穩(wěn)隨機過程就不一定是嚴格平穩(wěn)隨機過程。n一般認為隨機信號與噪聲是廣義平穩(wěn)的。一般認為隨機信號與噪聲是廣義平穩(wěn)的。常數(shù)Xm EX(t) 常數(shù)22X)t (XE) t (XE)t (XD21tt)(R )t -(tR )t ,(tRX21X21X平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程2022-3-737u各態(tài)歷經(jīng)過程的統(tǒng)計平均值各態(tài)歷經(jīng)過程的統(tǒng)計平均值mX：u各態(tài)歷經(jīng)過程的自相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)過程的自相關(guān)函數(shù)RX( ):u一個隨機過程若具有各態(tài)歷經(jīng)性，則它必定是嚴格平穩(wěn)隨一個隨機過程若具有各態(tài)歷經(jīng)性，則它必定是嚴格平穩(wěn)隨機過程。但是，嚴格平穩(wěn)隨機過程就不一定具有各態(tài)歷經(jīng)機過程。但是，嚴格平穩(wěn)隨機過程就不一定

21、具有各態(tài)歷經(jīng)性。性。2/2/)(1limTTiTXdttXTm2/2/)()(1lim)(TTiiTXdttXtXTR各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性2022-3-738n穩(wěn)態(tài)通信系統(tǒng)的各態(tài)歷經(jīng)性：穩(wěn)態(tài)通信系統(tǒng)的各態(tài)歷經(jīng)性： 假設(shè)信號和噪聲都是各態(tài)歷經(jīng)的。假設(shè)信號和噪聲都是各態(tài)歷經(jīng)的。u一階原點矩一階原點矩mX = EX(t) 是信號的直流分量；是信號的直流分量；階原點矩的平方階原點矩的平方mX 2 是信號直流分量的歸一化功率；是信號直流分量的歸一化功率；u二階原點矩二階原點矩E X 2( t ) 是信號歸一化平均功率；是信號歸一化平均功率；u二階原點矩的平方根二階原點矩的平方根E X 2(t)1/2 是

22、信號電流或電壓的是信號電流或電壓的均方根值（有效值）；均方根值（有效值）；u二階中心矩二階中心矩 X2 是信號交流分量的歸一化平均功率是信號交流分量的歸一化平均功率;u若若mX = mX 2 = 0，則，則 X2 = E X 2( t ) ；u標準偏差標準偏差 X 是信號交流分量的均方根值；是信號交流分量的均方根值； u若若mX = 0，則，則 X就是信號的均方根值就是信號的均方根值各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性2022-3-739n功率頻譜密度的性質(zhì)功率頻譜密度的性質(zhì) u復(fù)習：確知信號的功率譜密度：復(fù)習：確知信號的功率譜密度：u類似地，平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度為：類似地，平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度為：p

23、平均功率：平均功率：XPtXER)()0(2)()( RR)0()(RR)()(2tXER2)()0(XRRTfSfPTT2)(lim)(TfSEfPEfPTTX2)(lim)()(dfTfSEdffPPTTXX)(lim)(2平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度2022-3-740 =t t，k =t + t，則上式可以化簡成，則上式可以化簡成于是有于是有2T/2T/2TjtjtTTT/2T/2T/2T/2jtjtT/2T/2T/2T/2j(tt)T/2T/2E S (f ) 1Es (t)edts (t )edt TT1Es(t)edts(t )edt

24、T1R(tt )edt dtT)()()(tstsEttRTTjTdeRTTfSE)(1)(2deRdeRTTfSEfPjTTjTTTX)()(1lim)(lim)(2平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度2022-3-741上式表明，上式表明，PX(f )和和R( )是一對傅里葉變換：是一對傅里葉變換：nPX(f )的性質(zhì)：的性質(zhì)：uPX(f ) 0, 并且并且PX(f )是實函數(shù)。是實函數(shù)。PX(f ) PX(-f )，即，即PX(f )是偶函數(shù)。是偶函數(shù)。 deRfPjX)()(dfefPRjX)()(平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度平穩(wěn)隨機過程的自

25、相關(guān)函數(shù)和功率譜密度2022-3-742n【例例2.7】設(shè)有一個二進制數(shù)字信號設(shè)有一個二進制數(shù)字信號x(t)，如圖所示，如圖所示，其振幅為其振幅為+a或或-a；在時間；在時間 T 內(nèi)其符號改變的次數(shù)內(nèi)其符號改變的次數(shù)k服服從泊松分布從泊松分布 式中，式中， 是單位時間內(nèi)振幅的是單位時間內(nèi)振幅的符號改變的平均次數(shù)。符號改變的平均次數(shù)。試求其相關(guān)函數(shù)試求其相關(guān)函數(shù)R( )和功率譜密度和功率譜密度P(f)。0,!)()(kkeTkPTk+a-ax(t)tt0t-平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度2022-3-743解：由圖可以看出，乘積x(t)x(t-)只有兩種

26、可能取值：a2, 或 -a2。因此，式可以化簡為： R() = a2 a2出現(xiàn)的概率 + (-a2) (-a2)出現(xiàn)的概率式中，“出現(xiàn)的概率”可以按上述泊松分布 P(k)計算。若在 秒內(nèi)x(t)的符號有偶數(shù)次變化，則出現(xiàn) + a2;若在 秒內(nèi)x(t)的符號有奇數(shù)次變化，則出現(xiàn) - a2。因此，用 代替泊松分布式中的T，得到)t ( x )t ( xE)(R) 5 () 3 () 1 () 4() 2() 0()()()(22PPPaPPPatxtxER222322! 3)(!2)(! 11 )(eaeeaeaR平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度2022-3

27、-744由于在泊松分布中 是時間間隔，所以它應(yīng)該是非負數(shù)。所以，在上式中當 取負值時，上式應(yīng)當改寫成 將上兩式合并，最后得到：其功率譜密度P( f )可以由其自相關(guān)函數(shù)R( )的傅里葉變換求出：P( f )和R()的曲線：22)(eaR22)(eaR4)()(22202202222adeeadeeadeeadeRfPjjjj平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度2022-3-745【例2.8】設(shè)一隨機過程的功率譜密度P( f )如圖所示。試求其自相關(guān)函數(shù)R()。解：功率譜密度P( f )已知，u自相關(guān)函數(shù)曲線：自相關(guān)函數(shù)曲線：0022cos22sin42cos

28、22cos)(2)()(21ffffAdffAdfffPdfefPRfffj2,212012ffffff平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度2022-3-746【例2.9】試求白噪聲的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。 解：白噪聲是指具有均勻功率譜密度Pn( f )的噪聲，即Pn( f ) n0/2式中，n0為單邊功率譜密度（W/Hz） 白噪聲的自相關(guān)函數(shù)可以從它的功率譜密度求得 由上式看出，白噪聲的任何兩個相鄰時間（即 0時）的抽樣值都是不相關(guān)的。 白噪聲的平均功率 : 上式表明，白噪聲的平均功率為無窮大。 )(22)()(00ndfendfefPRjjX)0(2)

29、0(0nRPn(f)n0/20fRn()n0/20平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度2022-3-747n帶限白噪聲的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)帶限白噪聲的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)u帶限白噪聲：帶限白噪聲：帶寬受到限制的白噪聲帶寬受到限制的白噪聲u帶限白噪聲的功率譜密度：帶限白噪聲的功率譜密度：設(shè)白噪聲的頻帶限制在設(shè)白噪聲的頻帶限制在(-fH, fH)之間，則有之間，則有 Pn(f) = n0 / 2,-fH f fH= 0,其他處其他處其自相關(guān)函數(shù)為：其自相關(guān)函數(shù)為：u曲線：曲線：HHHffjfffndfenRHH22sin22)(00n0/2Pn(f)0f-

30、fHfHRn()01/2fH-1/2fH平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度2022-3-748高斯過程高斯過程u 高斯過程的定義高斯過程的定義u 正態(tài)分布的概率密度的性質(zhì)正態(tài)分布的概率密度的性質(zhì)u 正態(tài)分布函數(shù)正態(tài)分布函數(shù)u 用誤差函數(shù)表示正態(tài)分布用誤差函數(shù)表示正態(tài)分布2022-3-749u一維高斯過程的概率密度：一維高斯過程的概率密度：式中，式中，a = EX(t) 為均值為均值 2 = EX(t) - a2 為方差為方差 為標準偏差為標準偏差u高斯過程是平穩(wěn)過程高斯過程是平穩(wěn)過程，故，故其概率密度其概率密度pX (x, t1)與與t1無關(guān)，無關(guān)，即，即

31、， pX (x, t1) pX (x)upX (x)的曲線：的曲線：2212exp21),(axtxpX高斯過程的定義高斯過程的定義2022-3-750u高斯過程的嚴格定義高斯過程的嚴格定義：任意：任意n維聯(lián)合概率密度滿足：維聯(lián)合概率密度滿足：式中，式中，ak為為xk的數(shù)學期望（統(tǒng)計平均值）；的數(shù)學期望（統(tǒng)計平均值）； k為為xk的標準偏差；的標準偏差； |B|為歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即為歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即|B|jk為行列式為行列式|B|中元素中元素bjk的代數(shù)余因子的代數(shù)余因子； bjk為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即njnkkkkjjjjknnnnXaxaxBBB

32、tttxxxp112/1212/212121exp)2(1),;,(11121221112nnnnbbbbbbB kjkkjjjkaxaxEb高斯過程的定義高斯過程的定義2022-3-751upX (x1, x2, , xn; t1, t2, , tn)僅由各個隨機變量的數(shù)學期望僅由各個隨機變量的數(shù)學期望ai、標準偏、標準偏差差 i和歸一化協(xié)方差和歸一化協(xié)方差bjk決定，因此它是一個廣義平穩(wěn)隨機過程決定，因此它是一個廣義平穩(wěn)隨機過程u若若x1, x2, , xn等兩兩之間互不相關(guān)等兩兩之間互不相關(guān) ，則有當，則有當 j k 時，時，bjk = 0。這時，。這時，即，此即，此n維聯(lián)合概率密度等于

33、各個一維概率密度的乘積。維聯(lián)合概率密度等于各個一維概率密度的乘積。u若兩個隨機變量的互相關(guān)函數(shù)等于零，則稱為兩者互不相關(guān)；若兩個若兩個隨機變量的互相關(guān)函數(shù)等于零，則稱為兩者互不相關(guān)；若兩個隨機變量的二維聯(lián)合概率密度等于其一維概率密度之積，則稱為兩者隨機變量的二維聯(lián)合概率密度等于其一維概率密度之積，則稱為兩者互相獨立。互不相關(guān)的兩個隨機變量不一定互相獨立?；ハ嗒毩⒌膬苫ハ嗒毩?。互不相關(guān)的兩個隨機變量不一定互相獨立?；ハ嗒毩⒌膬蓚€隨機變量則一定互不相關(guān)。個隨機變量則一定互不相關(guān)。u高斯過程的隨機變量之間既互不相關(guān)，又互相獨立。高斯過程的隨機變量之間既互不相關(guān)，又互相獨立。),(),(),(2exp

34、21),;,(22112212121nnXXXkkknkknnXtxptxptxpaxtttxxxp高斯過程的定義高斯過程的定義2022-3-752up(x)對稱于直線對稱于直線 x = a，即有：，即有：up(x)在區(qū)間在區(qū)間(- , a)內(nèi)單調(diào)上升，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)上升，在區(qū)間(a, )內(nèi)單調(diào)下降，內(nèi)單調(diào)下降，并且在點并且在點a處達到其極大值處達到其極大值當當x - 或或 x + 時，時，p(x) 0。u u若若a = 0, = 1，則稱這種分布為標準化正態(tài)分布：，則稱這種分布為標準化正態(tài)分布：)()(xapxap)2/(11)(dxxpaadxxpdxxp2/1)()(2exp21)(2xx

35、p正態(tài)分布的概率密度的性質(zhì)正態(tài)分布的概率密度的性質(zhì)2022-3-753u將正態(tài)概率密度函數(shù)的積分定義為正態(tài)分布函數(shù)將正態(tài)概率密度函數(shù)的積分定義為正態(tài)分布函數(shù)此積分不易計算，通常用查表方法計算。此積分不易計算，通常用查表方法計算。 axdzazdzazxFxx22222)(exp212)(exp21)(dzzxx2exp21)(2正態(tài)分布函數(shù)正態(tài)分布函數(shù)2022-3-754u誤差函數(shù)定義：誤差函數(shù)定義：u補誤差函數(shù)定義：補誤差函數(shù)定義：正態(tài)分布表示法：正態(tài)分布表示法：dzexerfxz022)(dzedzexerfxerfcxzxz22221)(1)(0axaxerfcaxaxerfxF,221

36、1,22121)(用誤差函數(shù)表示正態(tài)分布用誤差函數(shù)表示正態(tài)分布2022-3-755窄帶隨機過程窄帶隨機過程u 窄帶隨機過程的基本概念窄帶隨機過程的基本概念u 窄帶隨機過程的性質(zhì)窄帶隨機過程的性質(zhì)2022-3-756頻率近似為fc隨機過程的頻帶寬度為隨機過程的頻帶寬度為 f，中心頻率為，中心頻率為fc。若。若 f fc，則稱此隨機過程為窄帶隨機過程。則稱此隨機過程為窄帶隨機過程。 u波形和頻譜：波形和頻譜：窄帶隨機過程的基本概念窄帶隨機過程的基本概念2022-3-757u表示式表示式式中，式中，aX(t) 窄帶隨機過程的隨機包絡(luò)；窄帶隨機過程的隨機包絡(luò)； X(t) 窄帶隨機過程的隨機相位；窄帶隨

37、機過程的隨機相位； 0 正弦波的角頻率。正弦波的角頻率。上式可以改寫為：上式可以改寫為：式中，式中， X (t)的同相分量的同相分量 X (t)的正交分量的正交分量00)t (a),t (tcos)t (a)t (XXXXtsin)t (Xtcos)t (X)t (Xsc00)(cos)()(ttatXXXc)(sin)()(ttatXXXs窄帶隨機過程的基本概念窄帶隨機過程的基本概念2022-3-758nXc(t)和和Xs(t)的統(tǒng)計特性：的統(tǒng)計特性：設(shè)設(shè)X(t)是一個均值為是一個均值為0的平穩(wěn)窄帶高斯過程，則的平穩(wěn)窄帶高斯過程，則Xc(t)和和Xs(t)也是高斯過程；也是高斯過程；u Xc

38、(t)和和Xs(t) 的方差相同，且等于的方差相同，且等于X(t)的方差的方差u在同一時刻上得到的在同一時刻上得到的Xc和和Xs是不相關(guān)的和統(tǒng)計獨立的。是不相關(guān)的和統(tǒng)計獨立的。naX(t)和和 X(t)的統(tǒng)計特性：的統(tǒng)計特性：u窄帶平穩(wěn)隨機過程包絡(luò)窄帶平穩(wěn)隨機過程包絡(luò)aX(t)的概率密度等于：的概率密度等于：u窄帶平穩(wěn)隨機過程相位窄帶平穩(wěn)隨機過程相位 X(t)的概率密度等于：的概率密度等于：02exp)(222XXXXXXaaaap2021)(XXp窄帶隨機過程的性質(zhì)窄帶隨機過程的性質(zhì)2022-3-759式中， 2 n(t)的方差； I0() 零階修正貝塞爾函數(shù)。lpr(x) 稱為廣義瑞利分布

39、，或稱萊斯(Rice)分布。pr(x) 變成瑞利概率密度。)()cos()(0tntAtr0,21exp)(222202xAxAxIxxpr正弦波加窄帶高斯過程正弦波加窄帶高斯過程2022-3-760式中， r( t )的相位，包括正弦波的相位 和噪聲的相位 pr( / ) 給定 的條件下， r( t )的相位的條件概率密度n當當 = 0時，時，式中，式中，2/12222/1222cos1sin2exp22cos22/exp)/(AerfAAApr dppprrr/)(2020exp)(1 12exp21)0/(222GGerfGApr2cosAG GtdteGerf022)(正弦波加窄帶高斯

40、過程正弦波加窄帶高斯過程2022-3-761瑞利分布r概率密度包絡(luò)r(a) 萊斯分布包絡(luò)的概率密度均勻相位相 位概率密度(b) 萊斯分布相位的概率密度n當當A/ = 0時，時，包絡(luò)包絡(luò)瑞利分布瑞利分布相位相位均勻分布均勻分布n當當A/ 很大時，很大時，包絡(luò)包絡(luò)正態(tài)分布正態(tài)分布相位相位沖激函數(shù)沖激函數(shù)正弦波加窄帶高斯過程正弦波加窄帶高斯過程2022-3-762信號通過線性系統(tǒng)信號通過線性系統(tǒng)u 線性系統(tǒng)的基本概念線性系統(tǒng)的基本概念u 確知信號通過線性系統(tǒng)確知信號通過線性系統(tǒng)時域分析法時域分析法頻域分析法頻域分析法無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件u隨機信號通過線性系統(tǒng)隨機信號通過線性系統(tǒng)輸出隨機過

41、程的數(shù)學期望輸出隨機過程的數(shù)學期望輸出隨機過程的自相關(guān)函數(shù)輸出隨機過程的自相關(guān)函數(shù)輸出隨機過程的功率譜密度輸出隨機過程的功率譜密度輸出隨機過程的概率分布輸出隨機過程的概率分布2022-3-763為為xi(t)時，輸出為時，輸出為yi(t)，則當輸入為，則當輸入為 時，輸出為：時，輸出為：式中，式中，a1和和a2均為任意常數(shù)。均為任意常數(shù)。)()()(2211txatxatx)()()(2211tyatyaty線性系統(tǒng)的基本概念線性系統(tǒng)的基本概念2022-3-764線性系統(tǒng)輸入輸出x(t)y(t)X(f)Y(f)h(t)H(f)圖2.10.1 線性系統(tǒng)示意圖t(t)h(t)t00線性系統(tǒng)的基本概

42、念線性系統(tǒng)的基本概念2022-3-765h(t) 系統(tǒng)的沖激響應(yīng)系統(tǒng)的沖激響應(yīng) x(t) 輸入信號波形輸入信號波形 y(t) 輸出信號波形輸出信號波形則有：則有：dhtxdthxthtxty)()()()()()()(dtthtth)(0,0)(對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)：對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)：確知信號通過線性系統(tǒng)確知信號通過線性系統(tǒng)2022-3-766u設(shè)：輸入為能量信號，令設(shè)：輸入為能量信號，令 x( t ) 輸入能量信號輸入能量信號H( f ) h( t )的傅里葉變換的傅里葉變換 X( f ) x( t )的傅里葉變換 y( t ) 輸出信號則此系統(tǒng)的輸出信號則此系統(tǒng)的輸出信號y( t )的頻譜

43、密度的頻譜密度Y( f )為：為：p由由Y( f )的逆傅里葉變換可以求出的逆傅里葉變換可以求出y( t )：)()()(fHfXfYdfefYtytj)()(確知信號通過線性系統(tǒng)確知信號通過線性系統(tǒng)2022-3-767u設(shè)：輸入設(shè)：輸入x( t )為周期性功率信號，則有為周期性功率信號，則有 式中，式中， 輸出為：輸出為：u設(shè)：輸入設(shè)：輸入x( t )為非周期性功率信號，則當作隨機信號處理為非周期性功率信號，則當作隨機信號處理ntjnejnCtx0)()(02/2/00000)(1)(TTtjndtetxTjnC0 = 2/T0T0 信號的周期 f0 = 0 / 2是信號的基頻ntjnenH

44、jnCty0)()()(00確知信號通過線性系統(tǒng)確知信號通過線性系統(tǒng)2022-3-768u【例例2.10】若有一個若有一個RC低通濾波器，如圖低通濾波器，如圖2.10.4所示。試所示。試求出其沖激響應(yīng)，以及當有按指數(shù)衰減的輸入時其輸出信求出其沖激響應(yīng)，以及當有按指數(shù)衰減的輸入時其輸出信號表示式。號表示式。 解解:設(shè)設(shè) x(t) 輸入能量信號輸入能量信號 y(t) 輸出能量信號輸出能量信號 X(f) x(t)的頻譜密度的頻譜密度 Y(f) y(t)的頻譜密度的頻譜密度則此電路的傳輸函數(shù)為：則此電路的傳輸函數(shù)為： 此濾波器的沖激響應(yīng)此濾波器的沖激響應(yīng)h(t)：圖2.10.4 RC濾波器RCx(t)

45、y(t)RCjCjRCjfH11)/1 (/1)(RCttjtjeRCdfeRCjdfefHth/111)()(確知信號通過線性系統(tǒng)確知信號通過線性系統(tǒng)2022-3-769濾波器輸出和輸入之間的關(guān)系：假設(shè)輸入x(t)等于：則此濾波器的輸出為：dexRCdthxthtxtyRCt/ )()(1)()()()()(0, 00,)(ttetxataRCeeaRCeRCedeeRCtyRCtattaRCRCttRCta1/11)(/0)/1 (/0/ )(確知信號通過線性系統(tǒng)確知信號通過線性系統(tǒng)2022-3-770設(shè)：系統(tǒng)是無失真的線性傳輸系統(tǒng)，輸入為一能量信號設(shè)：系統(tǒng)是無失真的線性傳輸系統(tǒng)，輸入為一能量信號x(t) ，