第一章索洛增長模型

1、第一章 索洛增長模型一、索洛模型的介紹與一些前提假設(shè)條件該模型是經(jīng)濟學(xué)家傳統(tǒng)上用于分析經(jīng)濟增長的主要模型。幾乎對于所有有關(guān)增長的分析而言，索洛模型是其起點。理解該模型實質(zhì)上便是理解增長理論。但該模型也存在缺陷：它不能解釋不同時間上人均產(chǎn)出的巨大增長，也無法解釋地域上不同人均產(chǎn)出的巨大差距。（按邊際產(chǎn)品取得收益的傳統(tǒng)途徑）。假設(shè)：（1）生產(chǎn)函數(shù)關(guān)于兩個自變量是規(guī)模報酬不變的，即資本與有效勞動是規(guī)模報酬不變的；（2）除資本、勞動與知識以外的其他投入是相對不重要的，特別地，模型忽略了土地與其他自然資源。規(guī)模報酬不變的假設(shè)可以讓我們利用緊湊形式的生產(chǎn)函數(shù)進行分析：當，其中，是單位有效勞動的資本量，是單

2、位有效勞動的產(chǎn)出。定義，及，即把單位有效勞動的產(chǎn)出寫成單位有效勞動的資本量的函數(shù)。人均收入：緊湊型生產(chǎn)函數(shù)假定滿足，。因為：，的假設(shè)意味著資本的邊際產(chǎn)品為正，但它隨每單位有效勞動的資本量的增加而下降。另被假設(shè)滿足稻田條件：，其意思是在資本存量充分小量資本的邊際產(chǎn)品是十分大的，而當資本存量變大時，資本的邊際產(chǎn)品變得十分小。，它是確保經(jīng)濟的路徑并不發(fā)散。（舉例柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)，說明滿足稻田條件的意義）二、生產(chǎn)投入的時間變化描述資本、勞動與知識的初始水平給定的，勞動與知識以不變的增長率增長：，（與是外生參數(shù)，而變量上的一點表示關(guān)于時間的一個導(dǎo)數(shù)，為變量的變化率。而變量的增長率指其變化的速率，它等

3、于其自然對數(shù)的變化率，如，。（同理可得出）假設(shè)產(chǎn)出僅在消費與投資之間分配，其中投入投資的產(chǎn)出份額是外生且不變的，投入投資的一單位產(chǎn)出可獲得一單位的新資本。現(xiàn)有資本以速率折舊，即有：（索洛模型簡化：只存在一種單一的產(chǎn)品，政府不存在，就業(yè)波動被忽視，生產(chǎn)正好可用于三種投入的總生產(chǎn)函數(shù)描述，并且儲蓄率（）、折舊（）、人口增長（）與技術(shù)進步（）不變。）三、模型的動態(tài)學(xué)解釋1、的動態(tài)學(xué)由于，求關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)，可得：它表示單位有效勞動的資本存量的變化率（）為如下兩項的差：第一項為每單位有效勞動的實際投資；第二項為持平投資，即為使保持在現(xiàn)有水平上所必須進行的投資量。理由是現(xiàn)有資本正在折舊及有效勞動量正在以（

4、）的速率增長。（1）實際與持平投資圖：實際投資持平投資（稻田條件保證了上圖的實際投資曲線先陡峭，后下降，且只有相交一個點）（2）相位圖：用相位圖說明作為的函數(shù)的的變化：如果初始小于，實際投資大于持平投資，因而為正，反之，如果大于，實際投資小于持平投資，因而為負，如果等于，則為零。因此，無論在哪里開始，它總會收斂于。0索洛模型中k的相圖（3）平衡增長路徑：當收斂于，則勞動與知識正分別以速率與增加。資本存量K等于ALk，由于在處不變，那么，K正以速度增長，在資本與有效勞動正以速率增長的條件下，規(guī)模報酬不變的假設(shè)意味著產(chǎn)出Y正以該速率增長。人均資本（K/L）及人均產(chǎn)出(Y/L)正以速率g增長。即意味

5、著，無論其起點在何處，經(jīng)濟總會收斂于一個平衡增長路徑，模型的每個變量正以一個不變的速率增長，人均產(chǎn)出增長率只由技術(shù)進步惟一地決定。四、儲蓄率變化的影響政策最有可能影響索洛模型有參數(shù)是儲蓄率。1、對產(chǎn)出的影響。的增加把實際投資線向上移動，因而上升，如圖： 用于投資的儲蓄率增加的效應(yīng)不會立即跳躍到的新值上。當初始等于的舊值，實際投資大于持平投資，為正。因此，開始上升，且持續(xù)上升，直到達到的新值才保持不變。如下圖所示：在這里，表示儲蓄率增加的時刻，依據(jù)假設(shè)，在時刻跳躍，并且在此后保持不變。由于的跳躍使實際投資以一個正的數(shù)量大于持平投資，由0跳躍到一個嚴格的正的數(shù)量上。逐漸由的舊值上升到其新值上，并且

6、逐漸地返回到零。此外，每個工人的平均產(chǎn)出Y/L等于。當不變時，Y/L以A的增長率（）增長。當正在增加時，Y/L的增長起因于A在增長，也起因于在增加。因而Y/L的增長率大于。然而，當達到新值時，只有A的增長對Y/L的增長產(chǎn)生作用。Y/L的增長率恢復(fù)到。因此，儲蓄率的永久性增加產(chǎn)生了每個工人的平均產(chǎn)出增長率的暫時性增加。此時的上升，最終會增加至新增儲蓄率被用于維持的高水平。每個工人的產(chǎn)出增長率初始為，在時刻向上跳躍，然后返回到其初始水平。因而每個工人的平均產(chǎn)出開始上升并且高于其處在平衡路徑上時的水平，并且接著逐漸返回到一個較高的路徑上，后者同第一個路徑平行。儲蓄率的變化具備水平效應(yīng)，但不具備增長效

7、應(yīng)，它改變了經(jīng)濟的平衡增長路徑，因而也改變了任何時點上每個工人的產(chǎn)出水平。但這并不影響平衡路徑上每個工人的平均產(chǎn)出增長率。在索洛模型中，只有技術(shù)進步的增長率的變化具有增長效應(yīng)，所有其他變化只會產(chǎn)生水平效應(yīng)。2、對消費的影響每單位有效勞動的消費等于每單位有效勞動的產(chǎn)出乘以該產(chǎn)出用于消費的份額。在時刻處呈非連續(xù)的變化每單位有效勞動的消費初始發(fā)生向下跳躍。隨著的上升與仍處在較高水平上，消費逐漸地上升。儲蓄對消費的影響分析：假設(shè)表示均衡增長路徑上單位有效勞動的消費。即。在平衡增長路徑上，實際投資等于持平投資。因此，其中，是由、與決定的。因此，可將表示為：。對上式求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，得：由于的增加會提高，即，

8、那么，的增加是否在長期內(nèi)提高或降低消費，這取決于資本邊際產(chǎn)品是否大于或小于。當?shù)纳仙?，每單位有效勞動的投資的增加必定會等于與的乘積，以便使增加可被維持。如果是小于，那么，由增加的資本所獲得的產(chǎn)出的增加并不足以把資本存量維持在較高水平上，消費必定下降以便保持較高的資本存量。如果是大于，那么，由必存在相當高的產(chǎn)出去保持處在較高水平上，消費上升。（的上升是否提高或降低消費取決于是處在的斜率的大小，如果大于持平投資的斜率，則的上升提高消費；小于持平投資的斜率，則的上升降低消費，等于持平投資的斜率平行，則的的邊際變動不會對消費產(chǎn)生影響，且在各種平衡增長路徑上，消費處在其最大的可能水平上。此時的值就是著名

9、的資本存量的黃金律水平。3、儲蓄在長期內(nèi)對產(chǎn)出的影響（定量分析）： （1）為求出，需先求出，我們知道，是由0的條件界定的，因此，滿足：對上式求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，則得出： （2）把（2）式代入（1）式得到： （3）將（3）兩邊同乘以轉(zhuǎn)變?yōu)閺椥?，另利用去替換，得到：由于是在處的產(chǎn)出關(guān)于資本的彈性。用表示這個彈性，即可獲得：如果市場是競爭性的，并且不存在外部性，資本獲得其邊際產(chǎn)品，那么，在平衡增長路徑上的每單位有效勞動的資本獲得的總產(chǎn)出量是。因而，如果資本獲得其邊際產(chǎn)品，平衡增長路徑上分配給資本的總收入份額是或。（儲蓄率的產(chǎn)出彈性，較小意味著實際投資曲線更彎曲。結(jié)果，曲線的向上移動只會把它與持平投資線的交

10、點向上移出一點；及的變化對產(chǎn)生較小的影響）。4、收斂速度怎樣快地趨向。我們知道是由決定的，因為。因此，可寫出。當趨于，趨于0。在附近，的一階泰勒展開式的近似值為：設(shè)表示，那么，上式可變?yōu)椋荷鲜奖硎?，在平衡增長路徑附近，大致同的距離成比例的速度趨向，即的增長率大致不變且等于，這意味著（微分方程解）：，其中是的初始值。要求出？，對求關(guān)于的微分，并且在處所形成的表達式取值，得到：因此，以速率收斂于其平衡增長路徑值。同樣以趨向的速率趨向，即。（假定，即，即用每個工人的平均產(chǎn)出的增長率，與每年走完其各自與的剩余距離的4%，且大致花18年的時間走完與其平衡增長路徑值的一半距離）索洛模型的核心結(jié)論是：如果在

11、市場中資本所要求的報酬是其對產(chǎn)出的貢獻，那么，物質(zhì)資本積累的變化并不能解釋世界范圍的經(jīng)濟增長的顯著部分或國家間的收入差別。例如，從直接方式看：如果兩個經(jīng)濟間每工人平均產(chǎn)出的差異為X倍，那么兩個經(jīng)濟間每工人平均產(chǎn)出對數(shù)的差為，由于每工人平均產(chǎn)出關(guān)于每工人平均資本的彈性是，每工人平均資本對數(shù)必須有數(shù)量為的差距。那么，每工人平均資本（）的差異為或由該式得到：，如果X10倍，那么，差異為1000倍，這是不現(xiàn)實的。從間接方式看，由于模型無法依據(jù)每工人平均資本的差異來解釋每工人平均產(chǎn)出的較大的變化，因此，考慮資本所需要的差額意味著資本報酬率的巨大差異（盧卡斯，1990）。如果市場是競爭性的，資本的報酬率等

12、于其邊際產(chǎn)品減去折舊。用柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)來說明這一點，即，產(chǎn)出關(guān)于資本的彈性為，資本的邊際產(chǎn)品為：，即資本的邊際產(chǎn)品關(guān)于產(chǎn)出的彈性為。如果，每個工人平均產(chǎn)出的10倍的差額來源于每個工人平均資本的差異，這意味著資本的邊際產(chǎn)品的100倍的差異（現(xiàn)實 并不存在這種報酬率差異的證據(jù)）。因此，每個工人平均實物資本的差異無法說明我們所觀察到的每個工人平均產(chǎn)出差異，或者我們所觀察到的每個工人平均產(chǎn)出差異能由每個工人平均實物資本的差異來解釋。當然，索洛模型中，將每個工人平均產(chǎn)出變化的其他潛在來源是勞動的有效性。但這變量是外生的。A是什么？是雜物袋。五、經(jīng)驗性應(yīng)用在索洛模型中，第個工人平均產(chǎn)出的長期增長只依

13、存于技術(shù)進步。但短期增長或者來源于技術(shù)進步或者來源于資本積累。1、增長因素分析法其中，R（t）是索洛剩余。上式是指每個工人平均產(chǎn)出的分解為每個工人平均資本的增長的貢獻與剩余項索洛殘值，它有時被解釋為對技術(shù)進步貢獻的度量。2、收斂性鮑默爾（1986）檢驗16個工業(yè)化國家間由18701978年的收斂性模型，如下：上式中，如果b為負，則存在收斂性，否則不存在收斂性。六、環(huán)境與經(jīng)濟增長1、自然資源與土地：一種基本情形：其中，R表示生產(chǎn)中可利用的資源，T表示土地數(shù)量同樣，。由于土地數(shù)量是固定的，則，資源稟固定及在生產(chǎn)中被利用，資源使用必定會最終下降，則，。由于在生產(chǎn)函數(shù)中資源與土地的出現(xiàn)意味著不會收斂于某一值?？紤]到資本運動方程：，意味著K的增長率為：，為使K的增長率不變，必定不變，那么，Y與K的增長率必定相等。對兩邊取對數(shù)，得到：給上式兩邊求時間的導(dǎo)數(shù)，得到：如果經(jīng)濟處在一個平衡路徑上，與一定相等，代入上式得：在平衡增長路徑上每個工人平均產(chǎn)出增長率為：上式表明，平衡增長路徑