第三章 疑難規(guī)律方法

1、1實(shí)數(shù)大小比較的方法知多少實(shí)數(shù)比較大小是一種常見題型，解題思路較多，靈活多變，下面結(jié)合例子介紹幾種比較大小的方法供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.1.利用作差法比較實(shí)數(shù)大小方法鏈接：作差比較法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小，步驟可按如下四步進(jìn)行，作差變形判斷差的符號(hào)得出結(jié)論.比較法的關(guān)鍵在于變形，變形過程中，常用的方法為因式分解法和配方法.例1已知abc，試比較a2bb2cc2a與ab2bc2ca2的大小.解a2bb2cc2a(ab2bc2ca2)(a2bab2)(b2cbc2)(c2aca2)ab(ab)bc(bc)ca(ca)ab(ab)bc(ba)(ac)ca(ca)ab(ab)bc(ba)bc(ac)ca(ca)

2、b(ab)(ac)c(ac)(ba)(ab)(ac)(bc).abc，ab0，ac0，bc0，(ab)(ac)(bc)0.a2bb2cc2ab1；abb1.a1；ab1.作商比較法的基本步驟：作商；變形；與1比較大??；下結(jié)論.例2設(shè)a0，b0，且ab，試比較aabb，abba，(ab)三者的大小.解abab.當(dāng)ab0時(shí)，1，ab0，0，01，aabb(ab).當(dāng)0ab時(shí)，01，ab0，01，aabb(ab).不論ab0還是0a(ab).同理：(ab)abba.綜上所述，aabb(ab)abba.3.構(gòu)造中間值比較實(shí)數(shù)大小方法鏈接：由傳遞性知ab，bcac，所以當(dāng)兩個(gè)數(shù)直接比較不容易時(shí)，我們可以

3、找一個(gè)適當(dāng)?shù)闹虚g值為媒介來間接地比較.例3設(shè)alog3，blog2，clog3，則()A.abc B.acbC.bac D.bca解析alog3log331，a1，blog2log23log241，b1，clog3log32b，ac.又blog2log23，bc，abc.答案A4.特殊值法比較實(shí)數(shù)大小方法鏈接：一些比較實(shí)數(shù)大小的客觀性題目，先通過恰當(dāng)?shù)剡x取符合題目要求的一組特例，從而確定出問題的答案.這種取特殊值法往往能避重就輕，避繁從簡(jiǎn)，快速獲得問題的解.一些解答題，也可以先通過特例為解答論證提供方向.例4若0a1a2,0b1，最大的數(shù)應(yīng)是a1b1a2b2.(注：本題還可以利用作差法比較大小

4、，此答從略)答案A5.利用函數(shù)單調(diào)性比較實(shí)數(shù)大小方法鏈接：有些代數(shù)式的大小比較很難直接利用不等式性質(zhì)完成，可以考慮構(gòu)建函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性加以判斷.例5當(dāng)0ab(1a)b B.(1a)a(1b)bC.(1a)b(1a) D.(1a)a(1b)b解析對(duì)于A，0abb，(1a)(1a)b，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)y(1a)x為R上的增函數(shù)，(1a)a(1a)b，又函數(shù)yxb在(0，)上單調(diào)遞增，(1a)b(1b)b，從而(1a)a，(1a)b(1a)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)y(1a)x為R上的減函數(shù)，且a(1a)b，又函數(shù)yxb為(0，)上的增函數(shù)，且1a1b0，從而(1a)b(1b)b，所以(1a)

5、a(1b)b，D正確，故選D.答案D6.借助函數(shù)的圖象比較實(shí)數(shù)大小方法鏈接：借助函數(shù)的圖象比較實(shí)數(shù)大小，要從題目的條件與結(jié)論出發(fā)，著重分析其幾何含義，善于構(gòu)造函數(shù)圖象，從圖象上找出問題的結(jié)論.例6設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且2aloga，blogb，clog2c，則()A.abc B.cbaC.cab D.bac解析由函數(shù)y2x，yx，ylog2x，ylogx的圖象(如圖所示)知0ab10的等價(jià)條件是或例1已知不等式2對(duì)任意xR恒成立，求k的取值范圍.解x2x220.原不等式等價(jià)于kx2kx62x22x4，即(k2)x2(k2)x20.當(dāng)k2時(shí)，20，結(jié)論顯然成立；當(dāng)k2時(shí)，k滿足不等式組解得2k

6、10.綜上所述，k的取值范圍是2k0對(duì)一切xR恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解設(shè)f(x)sin2x2asin xa22a2，則f(x)(sin xa)222a.當(dāng)a0顯然成立，a0，解得a1，1a1，1a1時(shí)，f(x)在sin x1處取到最小值，且f(x)mina24a3，由a24a30，解得a3，a1，a3.綜上所述，a的取值范圍為a3.3.利用直線型函數(shù)圖象的保號(hào)性求解函數(shù)f(x)kxb，x，的圖象是一條線段，此線段恒在x軸上方的等價(jià)條件是此線段恒在x軸下方的等價(jià)條件是此線段與x軸有交點(diǎn)的等價(jià)條件是f()f()0.例3已知當(dāng)x0,1時(shí)，不等式2m10，x0,1恒成立ma恒成立，求a的取值范圍

7、.解不等式f(x)ax2ax3ax23a(1x)，x1,1.1x1，01x2.當(dāng)x1時(shí)，1x0，x23a(1x)對(duì)一切aR恒成立；當(dāng)x1時(shí)，01x2，則a.(1x)2222.當(dāng)且僅當(dāng)1x，即x1時(shí)，取到等號(hào).min2.從而a0，a1)的圖象過區(qū)域M的a的取值范圍是()A.(1,3 B.2，C.2,9 D.，9解析作二元一次不等式組的可行域如圖所示，由題意得A(1,9)，C(3,8).當(dāng)yax過A(1,9)時(shí)，a取最大值，此時(shí)a9；當(dāng)yax過C(3,8)時(shí)，a取最小值，此時(shí)a2，2a9.答案C點(diǎn)評(píng)準(zhǔn)確作出可行域，熟知指數(shù)函數(shù)yax的圖象特征是解決本題的關(guān)鍵.2.線性規(guī)劃與概率交匯例2兩人約定下午

8、4點(diǎn)到5點(diǎn)在某一公園見面，他們事先約定先到者等候另一個(gè)人20分鐘，過時(shí)就離去.請(qǐng)問這兩個(gè)人能見面的概率有多大？解用x，y分別表示兩人到公園的時(shí)間，若兩人能見面，則有|xy|20，又0x60,0y60，即有作出點(diǎn)(x，y)的可行域如圖陰影部分所示，由圖知，兩人能見面的概率為陰影部分的面積比上大正方形的面積，故所求概率為P.點(diǎn)評(píng)這是一道幾何概型的題目，關(guān)鍵在于確定兩人能見面的時(shí)間區(qū)域，利用線性規(guī)劃的思想簡(jiǎn)潔、直觀、明了.3.線性規(guī)劃與一元二次方程交匯例3已知方程x2(2a)x1ab0的兩根為x1，x2，且0x11x2，則的取值范圍是_.解析令f(x)x2(2a)x1ab，并且0x11x2，則由題意

9、知函數(shù)f(x)在(0,1)及(1，)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，得即作出可行域，如圖所示.而令k，則表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率.設(shè)M(x0，y0)，則由得M(3,2)，kOM，結(jié)合圖可知2k0)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解設(shè)A，B(x，y)|x2y2m2 (m0)，則集合A表示的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，集合B表示以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，m為半徑的圓及其內(nèi)部，由AB得，m|PO|，由解得即P(3,4)，|PO|5，即m5.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是5，).點(diǎn)評(píng)集合(x，y)|x2y2m2 (m0)的幾何含義是以(0,0)為圓心，m為半徑的圓及其內(nèi)部區(qū)域.5.線性規(guī)劃與平面向量交匯例5已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)A(3,4)，動(dòng)

10、點(diǎn)P(x，y)滿足約束條件則向量在上的投影的取值范圍是()A. B.C. D.解析畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示，向量在向量上的投影為|cosAOP|，令z3x4y，易知直線3x4yz過點(diǎn)G(1,0)時(shí)，zmin3；直線3x4yz過點(diǎn)N(1,2)時(shí)，zmax11.min，max.故選D.答案D點(diǎn)評(píng)向量在上的投影：|cos，|，清楚這一點(diǎn)對(duì)解答本題至關(guān)重要.5運(yùn)用基本不等式求最值的7種常見技巧在利用基本不等式求最大值或最小值時(shí)，為滿足“一正、二定、三相等”的條件，需要做一些適當(dāng)?shù)淖冃?，用到一些變換的技巧，下面舉例說明.1.湊和為定值例1若a，b，c0，且2abc，則a(abc)bc的最大

11、值為()A. B. C. D.2分析注意a(abc)bc(ab)(ac)，而2abc(ab)(ac)，從而溝通了問題與已知的聯(lián)系，然后利用基本不等式求最值.解析a(abc)bca2abacbc(a2ac)(abbc)a(ac)b(ac)(ab)(ac)222.當(dāng)且僅當(dāng)abac，即bc時(shí)，取“”，a(abc)bc的最大值為.故選C.答案C2.湊積為定值例2設(shè)abc0，則2a210ac25c2的最小值是()A.2 B.4 C.2 D.5分析注意到2a210ac25c2a2ababa210ac25c2(a5c)2，然后分別利用基本不等式和平方數(shù)的性質(zhì)求最值.由于代數(shù)式比較復(fù)雜，要注意等號(hào)取到的條件.

12、解析abc0，原式a210ac25c2a2a2abab(a5c)2(a5c)22204，當(dāng)且僅當(dāng)a(ab)1，ab1，a5c0時(shí)取等號(hào).即當(dāng)a，b，c時(shí)，所求代數(shù)式的最小值為4.答案B3.化負(fù)為正例3已知x，求函數(shù)y4x2的最大值.分析因?yàn)?x50，所以要先“調(diào)整”符號(hào)，又(4x2)不是常數(shù)，所以對(duì)4x2要添項(xiàng)“配湊”.解x0，y4x23231，當(dāng)且僅當(dāng)54x，即x1時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)x1時(shí)，ymax1.4.和積互“化”例4若正實(shí)數(shù)x，y滿足2xy6xy，則2xy的最小值是_.分析可以利用基本不等式的變形形式ab2進(jìn)行和或積的代換，這種代換目的是消除等式兩端的差異，屬于不等量代換，帶有放縮

13、的性質(zhì).解析方法一x0，y0，xy(2x)y2，2xy6(2xy)6(2xy)2，(2xy)28(2xy)480，令2xyt，t0，則t28t480，(t12)(t4)0，t12，即2xy12.方法二由x0，y0,2xy6xy，得xy26(當(dāng)且僅當(dāng)2xy時(shí)，取“”)，即()2260，(3)()0.又0，3，即xy18.xy的最小值為18，2xyxy6，2xy的最小值為12.答案125.消元法例5若正實(shí)數(shù)a，b滿足abab3，則ab的最小值為_.分析從abab3中解出b，即用a的代數(shù)式表示b，則ab可以用a來表示，再求關(guān)于a的代數(shù)式的最值即可.解析abab3，(a1)ba3.a0，b0，a10，

14、即a1，b，aba(a1)5.a1，a124，當(dāng)且僅當(dāng)a1，即a3時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)b3，ab9.ab的最小值為9.答案96.平方法例6若x0，y0，且2x28，求x的最大值.分析仔細(xì)觀察題目已知式中x與y都是二次的，而所求式中x是一次的，而且還帶根號(hào)，初看讓人感覺無(wú)處著手，但是如果把x平方，則豁然開朗，思路就在眼前了.解(x)2x2(62y2)32x23232.當(dāng)2x21，即x，y時(shí)，等號(hào)成立.故x的最大值為.7.換元法例7某商品進(jìn)貨價(jià)每件50元，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)銷售價(jià)格(每件x元)為50x80時(shí)，每天售出的件數(shù)為P，若要使每天獲得的利潤(rùn)最多，銷售價(jià)格每件應(yīng)定為多少元？解設(shè)銷售價(jià)格為每件x元(500對(duì)xR恒成立.即a1.錯(cuò)解2函數(shù)ylg(ax22xa)的值域?yàn)镽.代數(shù)式ax22xa能取到一切正值.44a20，1a1.點(diǎn)撥上述解法1把值域?yàn)镽誤解為定義域?yàn)镽；解法2雖然理解題意，解題方向正確，但是忽略了a0時(shí)，代數(shù)式ax22xa不可能取到所有正數(shù)，從而也是錯(cuò)誤的.正解當(dāng)a0時(shí)，ylg(2x)值域?yàn)镽，a0適合.當(dāng)a0時(shí)，ax22x