矢量張量公式及推導(dǎo)

1、矢量及張量1. 協(xié)變基矢量：， 稱(chēng)為逆變基分量，是協(xié)變基矢量。2. 逆變基矢量：， 稱(chēng)為協(xié)變基分量，是逆變基矢量。3. 愛(ài)因斯坦求和約定：省略求和符號(hào)，4. 逆變基于協(xié)變基的關(guān)系：5. 標(biāo)積：6. 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換系數(shù)：7. 轉(zhuǎn)換系數(shù)的性質(zhì)：，因?yàn)?. 張量：分量滿足坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系的量，比如矢量9. 置換張量：，其中，同理有由行列式的性質(zhì)及線性，因此是張量分量。定義置換張量：10. 基的叉積：，所以，11. 叉積：，或?qū)懗蓪?shí)體形式，雙標(biāo)量積用前前后后規(guī)則完成。12. 混和積：13. ，有以上關(guān)系可得14. 重要關(guān)系：15. 反偶：反對(duì)稱(chēng)二階張量滿足，其中是一矢量，則稱(chēng)與互為反偶16. 反偶的性質(zhì)：17.

2、 證明：由于是反對(duì)稱(chēng)張量，上式得證同理18. 另外同樣可以證明兩對(duì)反偶有：幾個(gè)矢量公式及其證明：1.證明：分量m有2.證明：另一半同理可得。3.證明：度量張量：1. 定義為度量張量的分量，顯然2. ：設(shè)，所以，則3. 逆變張量的逆：4. 度量張量與張量分量：，原因克里斯托夫符號(hào)：1. 第二類(lèi)克里斯托夫符號(hào)：，稱(chēng)為第二類(lèi)克里斯托夫符號(hào)2. 第一類(lèi)克里斯托夫符號(hào)：，稱(chēng)為第一類(lèi)克里斯托夫符號(hào)3. 兩類(lèi)克里斯托夫符號(hào)的關(guān)系，由和定義可知4. 克里斯托夫符號(hào)不是張量，仿射坐標(biāo)中為0，曲坐標(biāo)中不為0，其分量不可能滿足坐標(biāo)變換關(guān)系。 5. 逆變基導(dǎo)數(shù)：，因?yàn)椋?. 第一類(lèi)克里斯托夫符號(hào)對(duì)稱(chēng)性：因7. 第二類(lèi)

3、的對(duì)稱(chēng)性：由于，可知8. 第二類(lèi)克里斯托夫的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式：證明：9. 與克里斯托夫符號(hào)的一個(gè)關(guān)系：證明：張量對(duì)坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)：分量表現(xiàn)形式的導(dǎo)數(shù)，協(xié)變導(dǎo)數(shù)：1. 由張量的導(dǎo)數(shù)，定義張量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)：2. 由張量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)和克里斯托夫的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式可以證明協(xié)變導(dǎo)數(shù)是張量的分量。 3. 為了證明這點(diǎn)，先注意證明： 兩邊同乘并遍歷k求和，得：，代入式得：即：4. 由于協(xié)變導(dǎo)數(shù)是張量分量，所以5. 同樣可由導(dǎo)出，稱(chēng)為逆變導(dǎo)數(shù)6. 逆變導(dǎo)數(shù)及協(xié)變導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的張量實(shí)體：梯度散度和旋度：1. 梯度：2. 散度：3. 旋度：幾個(gè)協(xié)變導(dǎo)數(shù)：由于張量實(shí)體不因坐標(biāo)變化而變化，如果某張量的各分量在直角坐標(biāo)系下為0，則該張量為0。容易知道在任意標(biāo)系下有，由于協(xié)變導(dǎo)數(shù)是張量分量，在任意坐標(biāo)系下上三式成立。幾個(gè)微分向量公式：1.2.3.4.5.6.7.張量的積分定理：1. 對(duì)封閉曲面a有，由于對(duì)任意常矢量有由的任意性可知2.3. ，證明：4. 列出類(lèi)似關(guān)系式：和和和5. 斯托克斯公式和證明：三角區(qū)域，邊上的張量取邊