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1、1- -1 彈塑性力學(xué)的研究對(duì)象和任務(wù)彈塑性力學(xué)的研究對(duì)象和任務(wù)1- -2 基本假定基本假定1- -3 彈性與塑性彈性與塑性12.1 彈性體的形變勢(shì)能 1.問(wèn)題的提出: (1)從前面已討論的問(wèn)題可以看出:求解偏微分方程的某種 邊值問(wèn)題。 空間問(wèn)題:泛定方程含有15個(gè)未知量,15個(gè)偏微分方程 平面問(wèn)題:泛定方程含有8個(gè)未知量,8個(gè)偏微分方程 給定邊界條件,求解這兩組方程在一般情況下是極其困難的 有時(shí)是不可能的 (2)考慮到求解偏微分方程的困難,另一個(gè)途徑則是通過(guò)積 分的形式來(lái)試圖解決問(wèn)題,這就是變分法的基本思想。體現(xiàn)在 彈塑性力學(xué)中,就稱之為能量法。即通過(guò)能量的概念將求解的 偏微分方程問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>
2、求解泛函數(shù)的極值問(wèn)題。(3)能量法是和彈性體的形變勢(shì)能密切相關(guān)的,因此在研究變分法之前先說(shuō)明彈性體的形變勢(shì)能與應(yīng)力,應(yīng)變,位移之間的關(guān)系,并導(dǎo)出相應(yīng)的計(jì)算公式(4)要注意各能量原理的應(yīng)用范圍2.形變過(guò)程的熱力學(xué)本質(zhì):(1)變形特點(diǎn):物體變形過(guò)程,其本質(zhì)是一個(gè)熱力學(xué)過(guò)程。 等溫過(guò)程: 絕熱過(guò)程:(2)熱力學(xué)第一定律:QAUK其中 K為t時(shí)間間隔內(nèi)物體變形的動(dòng)能變化 U 為t時(shí)間間隔內(nèi)物體變形的內(nèi)能變化 A為t時(shí)間間隔內(nèi)物體變形時(shí)外力功的變化 Q為t時(shí)間間隔內(nèi)物體變形時(shí)熱能的變化 設(shè)物體的體積為V,表面積為S,受外力Fi,面力為Ti,變形時(shí)其位移為Ui,,應(yīng)變?yōu)閕j,應(yīng)力為,ij則物體的動(dòng)能 Vi
3、idVuuK21其中tuuii為速度viidVuuk iiiiiiiiiuuttuutuuuuu )21(2外力功的變化SiiViidsuTdVuFA由外力邊界條件jijilT并利用高斯積分公式則面積分dsludsuldsuTjiijsijijsii)(VjiijVjijijVjiijsiidvudvudvudsuT,)(注意到ijijijjiijijijuuuuu)(21)(21,其中ij為應(yīng)變張量 ij為剛性位移轉(zhuǎn)動(dòng)張量 從而有vijijvijijsiidvdvudsuT,vijijivjijidvdvuFA)(,QdvdvuuFQKAUVvijijiiijij)(, QdvUvijijV
4、ijijdVU對(duì)子絕熱過(guò)程,有在平衡狀態(tài)下,k=0 有VijijdVAU即:在平衡狀態(tài)下,外力所做的功等于物體中應(yīng)變能有變化, 或者說(shuō):外力新做有功,全部轉(zhuǎn)化為物體的應(yīng)變能記單位體積的應(yīng)變能增量ijijU0即VdVUU0ijijijdU00ijijijdU00ijijijdU0*0應(yīng)變余能顯然有ijijdUU*00 xx記單位體積 的應(yīng)變能函數(shù)3.應(yīng)變能與應(yīng)變余能: 定義(單位體積)應(yīng)變能: 在線彈性狀態(tài)下,應(yīng)變比能(單位體積的應(yīng)變能)和應(yīng)變比余能)分別為:ijiju210ijiju21*0 xx4.應(yīng)變能的表達(dá)式:(1)應(yīng)變比能 (即單位體積的應(yīng)變能,也叫變形比能或形變勢(shì) 能密度)ijijd
5、u0在線彈性狀態(tài)下)(210zxzxyzyzxyxyzyyxxzzzzu利用廣義Hooke定律ijijijEvEv1或ijijije2期中zyxijzyxije代入得)(1 ( 2)(2)(212222220zxyzxyxzzyyxzyxzzzvvEu)(21)(21)1 ( 222222220zxyzxyzyxevvvEu或*以應(yīng)變分量表示應(yīng)變比能2220111121zxyzxyzzyyxxCCCGvvEvvEvvEU)(1 ( 2)(1 (2122222220zxyzxyzyxCCCvvVEU)(21)(21)1 ( 222222220zxyzxyzyxevvvEu)(1 ( 2)(1 (
6、 221)(1 ( 2)(2)(2122222222222220zxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzyxvvEvvEu*以變分量表示應(yīng)變比能)()(221)()2()2()2(2122222222220zxyzxyzyxzxyzxyzzyyxxeeeeu)(21)(21)1 ( 222222220zxyzxyzyxEvvvEu(2)變形能U0 a.U是位置坐標(biāo)的函數(shù): 在一般的情況下,彈性體受力并不均勻,各應(yīng)力分量ij和應(yīng)變 分量 ij 一般都是位置坐標(biāo)的函數(shù),因而比能 一般也是位置坐標(biāo)的函數(shù)),(zyxijij),(zyxijij),(00zyxuu dxdydzzuxwywzvxv
7、yuzwyvxuzwyvxuvvvEu)(21)(21)(21)()()()(21)1 ( 2222222(3)彈性體的比能U0對(duì)任一應(yīng)力分量的改變率,就等于相應(yīng)的應(yīng)變分量。彈性體的比能U0對(duì)任一應(yīng)變分量的改變率,就等于相應(yīng)的應(yīng)力分量考察xzyxzyxxvEvEu)(1)(22 2106.整個(gè)彈性體的變形能U:dxdydzevvvdxdydzvvEdxdydzdxdydzuuzxyzxyzyxzxyzvxyxzzyyxzyxzxzxyzyzxyxyzzyyvxxv)(21)(21)1 ( 21)(1 ( 2)(2)(21)(2122222222222220 xyxyxyxyxyGEvvEu1)
8、1 (22)1 (2210 xxxxeevvvEu2)2221()1 (20 xyxyxyxyxyGvEu)1 (20其中)21)(1 (vvve)1 (2vEG一般地,由虛應(yīng)變比能:ijiju0考慮)(00ijuu的全微分:ijijuu00故有ijiju0又由虛應(yīng)變比余能:ijiju*0考慮)(*0*0ijuu的變分ijijuu*0*0故有ijiju*0在彈性范圍內(nèi)*00uu 11.2位移變分方程:虛位移原理 1.位移變分虛位移設(shè)有任一彈性體,在一定的外力作用 下處于平衡狀態(tài)u,v,w為彈性體中實(shí)際產(chǎn)生的位移分量kwj vi uu位移u,v,w 滿足(1)有關(guān)的基本方程:用位移表示的平衡方程
9、 (2)有關(guān)的邊界條件:位移邊界條件 用位移表示的外力邊界條件 假想u,v,w發(fā)生了位移邊界條件新容許的微小變化,即所謂的位移變分或位移u, v, wuuu記為kwjvvi uu或uukwjviuuuuuvvvwww*微分與變分:坐標(biāo)x,函數(shù)u微分:x+dx u+du 函數(shù)U(x)變分:x u+u 泛函:I(u)由虛位移(或位移變分)引起的能量改變: 根據(jù)熱力學(xué)第一定律,在沒(méi)有溫度改變,即無(wú)熱能,動(dòng)能改變時(shí),依據(jù)能量守恒定律,形變能的改變也就等于外力所做的功。 因此,由虛位移(或位移變分)引起的能量改變也應(yīng)符合這一規(guī)律。外力在虛位移上所做的虛功:體力的虛功=dvuFdxdydzwZvYuXiv
10、i)(由虛位移引起的能量改變虛應(yīng)變能:面力的虛功=siisdsuTdswZvYuX)(dvdxdydzuvijijvzxzxyzyzxyxyzzyyxx)(虛功:siiviidsuTdvuFA*注意到:彈性變形產(chǎn)生時(shí),形變能增加,外力勢(shì)能減小 形變能減少,外力勢(shì)能增加2.虛歲位移原理:在外力作用下處于平衡狀態(tài)的變形體,當(dāng)給予物體微小虛位移時(shí)外力的總虛應(yīng)變能,即有:wu或tsiiviivijijdsuTdvuFdv虛位移原理的位移變分方程證明(1)必要性:由平衡方程0,ijijF給一虛位移ui,滿足邊界條件:在Su上,iiuu 0iu在 ST 上,jijilT其中 S=Su+ST, S為整個(gè)邊界
11、 Su為給定位移的邊界 ST為給定外力的邊界考察svjiijjiijvvjiijjiijvvijijiidvludsludvudvudvudvuF,)(由于在Su上0iu在ST上ijijTl 故ssiijiijTdsuTdslu考慮到i,j的變化,應(yīng)有ijjijiijuu,又jiij故有ijijijjiijijjijiijjiijuuuuu)(21)(21,*(或注意到ijijijjiijijijwuuuuu)(21)(21,則平衡時(shí)無(wú)剛性位移0ijw或應(yīng)力在剛性位移上不做功從而有ijijjiiju,)于是得到vvsiiiiijijTdsuTdvuFdv(2)充分性:由wu即vviiijijdvuFdv 簡(jiǎn)支梁支均布載荷作用設(shè)撓度曲線xexcwnnenmmmmnnneedxcmxmexmncxnexnEIdxwwEIdxwEIu0121201111121111112虛變性能:虛功emmmeedxcxeqxwdxqqwdxw000虛位移原理給出:dxxlqxdxcxmexmxnexnnmEIemnnmmenn0120121111, 2 , 1m 只取一項(xiàng):m=1,n=1, 有eedxxeqxdxcEI0
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