知識(shí)講解萬(wàn)有引力理論的成就提高

1、萬(wàn)有引力理論的成就【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1了解萬(wàn)有引力定律在天文學(xué)上的重要應(yīng)用2會(huì)用萬(wàn)有引力定律計(jì)算天體的質(zhì)量3理解并運(yùn)用萬(wàn)有引力定律處理天體問(wèn)題的思路、方法【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、萬(wàn)有引力與重力要點(diǎn)詮釋：地球?qū)ξ矬w的引力是物體受到重力的根本原因，但重力又不完全等于引力這是因?yàn)榈厍蛟诓煌５刈赞D(zhuǎn)，地球上的一切物體都隨著地球的自轉(zhuǎn)而繞地軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這就需要向心力這個(gè)向心力的方向是垂直指向地軸的，它的大小是，式中的r是物體與地軸的距離，是地球自轉(zhuǎn)的角速度這個(gè)向心力來(lái)自哪里?只能來(lái)自地球?qū)ξ矬w的引力F，它是引力F的一個(gè)分力，如圖所示，引力F的另一個(gè)分力才是物體的重力mg 在不同緯度的地方，物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的

2、角速度相同，而圓周的半徑r不同，這個(gè)半徑在赤道處最大，在兩極最小(等于零)緯度為處的物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力(R為地球半徑)由公式可見(jiàn)，隨著緯度的升高，向心力將減小，作為引力的另一個(gè)分量，重力則隨緯度的升高而增大，在兩極處rRcos90°0，所以在兩極，引力等于重力在赤道上，物體的重力、引力和向心力在一條直線上，方向相同，此時(shí)重力等于引力與向心力之差，即此時(shí)重力最小從圖中還可以看出重力mg一般并不指向地心，只有在南北兩極和赤道上重力mg才指向地心 (1)重力是由萬(wàn)有引力產(chǎn)生的，重力實(shí)際上是萬(wàn)有引力的一個(gè)分力，物體的重力隨其緯度的增大而增大，并且除兩極和赤道上外，重力并不指向地心 (

3、2)物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力一般很小，物體的重力隨緯度的變化很小，因此在一般粗略計(jì)算中，可以認(rèn)為物體所受的重力等于物體所受地球的萬(wàn)有引力，即要點(diǎn)二、天體質(zhì)量計(jì)算的幾種方法要點(diǎn)詮釋： 萬(wàn)有引力定律從動(dòng)力學(xué)角度解決了天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題天體運(yùn)動(dòng)遵循與地面上物體相同的動(dòng)力學(xué)規(guī)律行星(或衛(wèi)星)的運(yùn)動(dòng)可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由恒星對(duì)其行星(或行星對(duì)其衛(wèi)星)的萬(wàn)有引力提供向心力 運(yùn)用萬(wàn)有引力定律，不僅可以計(jì)算太陽(yáng)的質(zhì)量，還可以計(jì)算其他天體的質(zhì)量下面以地球質(zhì)量的計(jì)算為例，介紹幾種計(jì)算天體質(zhì)量的方法 (1)若已知月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，半徑為r，根據(jù)萬(wàn)有引力等于向心力，即，可求得地球的質(zhì)量 (2)若已知月球

4、繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r和月球運(yùn)行的線速度v，由于地球?qū)υ虑虻囊Φ扔谠虑蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)的向心力，得 可得地球的質(zhì)量為 (3)若已知月球運(yùn)行的線速度v和運(yùn)行周期T，由于地球?qū)υ虑虻囊Φ扔谠虑蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)的向心力，得 以上兩式消去r，解得 (4)若已知地球的半徑R和地球表面的重力加速度g，根據(jù)物體的重力近似等于地球?qū)ξ矬w的引力，得 ，解得地球的質(zhì)量為要點(diǎn)三、天體密度的計(jì)算要點(diǎn)詮釋： (1)利用天體表面的重力加速度來(lái)求天體的自身密度 由和， 得 其中g(shù)為天體表面的重力加速度，R為天體半徑 (2)利用天體的衛(wèi)星來(lái)求天體的密度 設(shè)衛(wèi)星繞天體運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，周期為T(mén)，天體半徑為R，則可列出方

5、程： 得 當(dāng)天體的衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)，其軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度為要點(diǎn)四、發(fā)現(xiàn)未知天體要點(diǎn)詮釋： 發(fā)現(xiàn)海王星 天王星的“出軌”現(xiàn)象，激發(fā)了法國(guó)青年天文學(xué)家勒維耶和英國(guó)劍橋大學(xué)學(xué)生亞當(dāng)斯的濃厚興趣勒維耶經(jīng)常到巴黎天文臺(tái)去查閱天王星觀察資料，并把這些資料跟自己理論計(jì)算的結(jié)果對(duì)比亞當(dāng)斯也不斷到劍橋大學(xué)天文臺(tái)去，他還得到一份英國(guó)皇家格林尼治天文臺(tái)的資料，這使他的理論計(jì)算能及時(shí)跟觀察資料比較他們兩人根據(jù)自己的計(jì)算結(jié)果，各自獨(dú)立地得出結(jié)論：在天王星的附近，還有一顆新的行星！ 1846年9月23日晚，德國(guó)的伽勒在勒維耶預(yù)言的位置附近發(fā)現(xiàn)了這顆行星，人們稱其為“筆尖下發(fā)現(xiàn)的行星”這就是海王星

6、憑借著萬(wàn)有引力定律，通過(guò)計(jì)算，在筆尖下發(fā)現(xiàn)了新的天體，這充分地顯示了科學(xué)理論的威力要點(diǎn)五、解決天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的基本思路要點(diǎn)詮釋： (1)將行星繞恒星的運(yùn)動(dòng)、衛(wèi)星繞行星的運(yùn)動(dòng)均視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所需向心力是由萬(wàn)有引力提供的根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)和牛頓第二定律列式求解有關(guān)天體運(yùn)動(dòng)的一些物理量，有如下關(guān)系： 若已知環(huán)繞中心天體運(yùn)動(dòng)的行星(或衛(wèi)星)繞恒星(或行星)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，半徑為r，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力可知：，得恒星或行星的質(zhì)量 此種方法只能求解中心天體的質(zhì)量，而不能求出做圓周運(yùn)動(dòng)的行星或衛(wèi)星的質(zhì)量 (2)若已知星球表面的重力加速度g和星球的半徑，忽略星球自轉(zhuǎn)的影響，則星球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力

7、等于物體的重力，有，所以 其中是在有關(guān)計(jì)算中常用到的一個(gè)替換關(guān)系，被稱為“黃金代換”【典型例題】類型一、萬(wàn)有引力的計(jì)算例1、已知地球的質(zhì)量大約是M6.0×1024kg，地球的平均半徑為R6370 km，地球表面的重力加速度g取9.8 m/s2求： (1)地球表面一質(zhì)量為10 kg的物體受到的萬(wàn)有引力； (2)該物體受到的重力； (3)比較說(shuō)明為什么通常情況下重力可以認(rèn)為等于萬(wàn)有引力【思路點(diǎn)撥】明白重力與萬(wàn)有引力的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵?！窘馕觥?1)由萬(wàn)有引力定律得：，代入數(shù)據(jù)得：F98.6 N (2)該物體受到的重力為mg98N (3)比較結(jié)果萬(wàn)有引力比重力大原因是在地球表面上的物體

8、所受萬(wàn)有引力可分解為重力和隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力但計(jì)算結(jié)果表明物體隨地球自轉(zhuǎn)所需向心力遠(yuǎn)小于它受到的萬(wàn)有引力，所以通常情況下可認(rèn)為重力等于萬(wàn)有引力 【點(diǎn)評(píng)】重力是由萬(wàn)有引力產(chǎn)生的，它與萬(wàn)有引力能不能視為相等，關(guān)鍵要看題目的條件舉一反三【變式】?jī)伤逸喆?，質(zhì)量都是1.0×104 t，相距10 km，它們之間的引力是多大?這個(gè)力與輪船所受重力的比值是多少? 【解析】輪船之間的引力 輪船的重力Gmg1.0×107×10 N1.0×108 N 兩輪船間的引力與輪船重力的比值為 【點(diǎn)評(píng)】從計(jì)算結(jié)果看，平常分析輪船的受力根本不用考慮船與船間的萬(wàn)有引力，因其遠(yuǎn)小于重力類

9、型二、補(bǔ)償法計(jì)算萬(wàn)有引力例2、如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為M的勻質(zhì)實(shí)心球，半徑為R如果從球上挖去一個(gè)直徑為R的球，放在相距為d的地方求下列兩種情況下，兩球之間的引力分別是多大? (1)從球的正中心挖去； (2)從與球面相切處挖去； 并指出在什么條件下，兩種計(jì)算結(jié)果相同?【思路點(diǎn)撥】所求萬(wàn)有引力可由均質(zhì)實(shí)心球與m間的萬(wàn)有引力減去所挖去的小球與m間萬(wàn)有引力求得?！窘馕觥扛鶕?jù)勻質(zhì)球的質(zhì)量與其半徑的關(guān)系，兩部分的質(zhì)量分別為 (1)如圖甲所示，根據(jù)萬(wàn)有引力定律，這時(shí)兩球之間的引力為 (2)如圖乙所示，在這種情況下，不能直接用萬(wàn)有引力公式計(jì)算為此，可利用等效割補(bǔ)法，先將M轉(zhuǎn)化為理想模型，即用同樣的材料將其填補(bǔ)為實(shí)

10、心球M，這時(shí)，兩者之間的引力為 由于填補(bǔ)空心球而增加的引力為 所以，這時(shí)M與m之間的引力為 當(dāng)時(shí)，M可以視為質(zhì)點(diǎn)這時(shí)，引力變?yōu)榧催@時(shí)兩種計(jì)算結(jié)果相同 【點(diǎn)評(píng)】萬(wàn)有引力定律表達(dá)式只適用于計(jì)算質(zhì)點(diǎn)間變力，在高中階段常見(jiàn)的質(zhì)點(diǎn)模型是質(zhì)量分布均勻的球體，因而利用“割補(bǔ)法”構(gòu)成質(zhì)點(diǎn)模型，再利用萬(wàn)有引力定律與力的合成知識(shí)可求“缺失”球間的引力類型三、天體表面重力加速度問(wèn)題例3、宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過(guò)時(shí)間t小球落回原處；若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過(guò)時(shí)間5t小球落回原處(取地球表面重力加速度g10m/s2，空氣阻力不計(jì)) (1)求該星球表面附近的重力加速度g

11、； (2)已知該星球的半徑與地球半徑之比:1:4，求該星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比:【思路點(diǎn)撥】本題是平拋運(yùn)動(dòng)與萬(wàn)有引力知識(shí)的綜合題目?！窘馕觥?1)依據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，地面上豎直上拋物體落回原地經(jīng)歷的時(shí)間為：， 在該星球表面上豎直上拋的物體落回原地所用時(shí)間為： ，所以 (2)星球表面物體所受的重力等于其所受星球的萬(wàn)有引力，則有， 所以，可解得:1:80 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查學(xué)生的類比遷移能力、對(duì)物理過(guò)程的分析能力以及運(yùn)用所學(xué)知識(shí)處理問(wèn)題的實(shí)踐應(yīng)用能力把豎直上拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律遷移到星球上運(yùn)用舉一反三【變式1】如果地球表面的重力加速度為g，物體在距地面3倍的地球半徑時(shí)的重力加速度為g'。則

12、二者加速度之比是 。A、1：91 B、9：1 C、1：16 D、16：1【答案】D【解析】距地面的高度為3R，則距地心為4R，根據(jù)萬(wàn)有引力公式有：解上述方程得類型四、天體質(zhì)量、密度的計(jì)算例5. 1976年10月，劍橋大學(xué)研究生貝爾偶然發(fā)現(xiàn)一個(gè)奇怪的放射電源，它每隔1.337s發(fā)出一個(gè)脈沖訊號(hào)貝爾和他的導(dǎo)師曾認(rèn)為他們和外星人接上了頭，后來(lái)大家認(rèn)識(shí)到，事情沒(méi)有這么浪漫，這類天體被定名為“脈沖星”，“脈沖星”的特點(diǎn)是脈沖周期短，且周期高度穩(wěn)定，這意味著脈沖星一定進(jìn)行準(zhǔn)確的周期運(yùn)動(dòng)，自轉(zhuǎn)就是一種很準(zhǔn)確的周期運(yùn)動(dòng) (1)已知蟹狀星云的中心星PSO53l是一顆脈沖星，其周期為0.331 s，PSO531的

13、脈沖現(xiàn)象來(lái)自自轉(zhuǎn)，設(shè)阻止該星離心瓦解的力是萬(wàn)有引力，試估算PSO531的最小密度 (2)如果PSO531的質(zhì)量等于太陽(yáng)的質(zhì)量，該星的可能半徑最大是多少?(太陽(yáng)的質(zhì)量是M2×1030 kg)【思路點(diǎn)撥】本題中，脈沖星脈沖周期即為其自轉(zhuǎn)周期，星體上質(zhì)點(diǎn)隨其高速自轉(zhuǎn)的向心力是萬(wàn)有引力，星體不離散的條件是萬(wàn)有引力大于或等于向心力，這是關(guān)鍵信息在此基礎(chǔ)上可取星體表面一物體為研究對(duì)象，建立勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型，列出方程，再與一些輔助方程聯(lián)立即可求解【解析】脈沖星周期即為自轉(zhuǎn)周期脈沖星高速自轉(zhuǎn)不瓦解的臨界條件為：該星球表面的某物體m所受星體的萬(wàn)有引力恰等于向心力 (1)設(shè)PSO531脈沖星的質(zhì)量為M，

14、半徑為R，最小密度為，體積為V， 則 ， 又 ， 而 ， 解得 1.3×1012 kg/m3 (2)由 ， 得 7.16×105 m 【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于信息題，不少學(xué)生解題時(shí)往往大致看一下題目后，覺(jué)得這種題從沒(méi)見(jiàn)過(guò)就喪失信心，自動(dòng)放棄，不愿仔細(xì)閱讀、認(rèn)真分析，或者在沒(méi)有明確題意的情況下，草率完成題目其實(shí)這類題完全是“大帽子”嚇人帽子底下仍是同學(xué)們熟悉的老面孔解答信息題的正確方法是：仔細(xì)閱讀，明確題意，弄清原理，善于提取題中的有用信息 舉一反三【高清課程：萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用 例1】【變式1】一宇航員為了估測(cè)一星球的質(zhì)量，他在該星球的表面做自由落體實(shí)驗(yàn)：讓小球在離地面h高處自由下落，

15、他測(cè)出經(jīng)時(shí)間t小球落地，又已知該星球的半徑為R，試估算該星球的質(zhì)量。【答案】【變式2】設(shè)地球繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為R，速率為v，則太陽(yáng)的質(zhì)量可用v、R和引力常量G表示為_(kāi)太陽(yáng)圍繞銀河系中心的運(yùn)動(dòng)可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)速率約為地球公轉(zhuǎn)速率的7倍，軌道半徑約為地球公轉(zhuǎn)軌道半徑的2×109倍為了粗略估算銀河系中恒星的數(shù)目，可認(rèn)為銀河系中所有恒星的質(zhì)量都集中在銀河系中心，且銀河系中恒星的平均質(zhì)量約等于太陽(yáng)的質(zhì)量，則銀河系中恒星的數(shù)目約為_(kāi) 【答案】 1011 【解析】地球圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)，而兩者間的萬(wàn)有引力是其做勻速圓廚運(yùn)動(dòng)的向心力，則由，可得設(shè)太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)速率為v，則v7v軌道半徑r2

16、×109 R，則，所以，又因?yàn)?，故個(gè) 類型五、雙星問(wèn)題 例6、天文學(xué)家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運(yùn)行的兩顆恒星稱為雙星。雙星系統(tǒng)在銀河系中很普遍利用雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的運(yùn)動(dòng)特征可推算出它們的總質(zhì)量已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期均為T(mén)，兩顆恒星之間的距離為r，試推算這個(gè)雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量(引力常量為G)【思路點(diǎn)撥】 雙星之間的作用力是兩星之間的萬(wàn)有引力，要做穩(wěn)定的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，只有依靠萬(wàn)有引力提供向心力，又因以兩者連線上某點(diǎn)為圓心，所以半徑之和不變，故運(yùn)動(dòng)過(guò)程中角速度不變，再由萬(wàn)有引力定律可以解得。【解析】設(shè)兩顆恒星的質(zhì)量分別為m1、m2

17、，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為r1、r2，角速度分別為1、2根據(jù)題意有 12 r1+r2r 根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律，有 聯(lián)立式解得 根據(jù)角速度與周期的關(guān)系知 聯(lián)立式解得【點(diǎn)評(píng)】由于雙星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相等，其軌道半徑和線速度均與雙星的質(zhì)量成反比舉一反三【變式1】神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測(cè)雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。天文學(xué)家觀測(cè)河外星系大麥哲倫云時(shí)，發(fā)現(xiàn)了LMCX-3雙星系統(tǒng)，它由可見(jiàn)星A和不可見(jiàn)的暗星B構(gòu)成。兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其他天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的距離保持不變，如圖所示。引力常量為G，由觀測(cè)能夠得到可見(jiàn)星A的速率和運(yùn)行周期T。（1）可見(jiàn)星A所受暗星B的引力可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為的星體（視為質(zhì)點(diǎn)）對(duì)它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為，試求（用表示）（2）求暗星B的質(zhì)量與可見(jiàn)星A的速率、運(yùn)行周期T、和質(zhì)量之間的關(guān)系式?！窘馕觥浚?）設(shè)A、B的圓軌道半徑分別為，由題意知，A、B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相同，設(shè)其為。由牛頓運(yùn)動(dòng)定律