電動力學郭碩鴻第三版

1、第二章 靜 電 場靜電場：靜止電荷或電荷分布不隨時間變化產(chǎn)生的電場一主要內(nèi)容：應用電磁場基本理論解決最簡單的問題：電荷靜止或電荷分布不隨時間變化，產(chǎn)生的場不隨時間變化的靜電場問題。本章研究的主要問題是：在給定自由電荷分布及介質和導體分布的情況下如何求解靜電場。由于靜電場的基本方程是矢量方程，求解很難，并不直接求解靜電場的場強，而是通過靜電場的標勢來求解。首先根據(jù)靜電場滿足的麥克斯韋方程，引入標勢，討論其滿足的微分方程和邊值關系。在后面幾節(jié)中陸續(xù)研究求解：分離變量法、鏡像法和格林函數(shù)法。最后討論局部范圍內(nèi)的電荷分布所激發(fā)的電勢在遠處的展開式。知 識 體 系：引入電勢：1.靜電場的微分方程： 邊值

2、關系： 靜電場的能量： 微分方程2.靜電邊值問題的構成：邊界條件(由唯一性定理給出)邊值關系 3靜電邊值問題的基本解法：（1）鏡像法（2）分離變量法條件：電勢滿足拉普拉斯方程：（3）電多極矩(4) 格林函數(shù)法二內(nèi)容提要：1靜電場的電勢及其微分方程：（1）電勢和電勢梯度因為靜電場為無旋場,即，所以可以引入標量函數(shù)，引入后 電勢差：空間某點電勢無物理意義，但兩點間電勢差有意義選空間有限兩點 參考點：（1）電荷分布在有限區(qū)域，通常選無窮遠為電勢參考點 （2）電荷分布在無限區(qū)域不能選無窮遠點作參考點，否則積分將無窮大。電荷分布在有限區(qū)域時的幾種情況的電勢（1） 真空中點電荷 無限大均勻線性介質中點電荷

3、 ： （2） 電荷組 ： （3） 連續(xù)分布電荷：無窮遠處為參考點 （2）電勢滿足的微分方程和邊值關系泊松方程： 其中僅為自由電荷分布，適用于均勻各向同性線性介質。對的區(qū)域：電勢滿足拉普拉斯方程：邊值關系A.兩介質界面上邊值關系 （S為分界面）（ 由12） B.導體與介質界面上的邊值關系C.導體與導體界面上的邊值關系其中是導體的電導率（3）靜電場的能量用電勢表示： 注意：不是靜電場的能量密度; 是自由電荷密度,而則是空間所有電荷的電勢 只適用于靜電場。2唯一性定理：A均勻單一介質當區(qū)域V內(nèi)自由電荷分布已知，滿足，若V邊界上已知，或V邊界上已知，則V內(nèi)場（靜電場）唯一確定。B. 均勻單一介質中有導

4、體當區(qū)域V內(nèi)有導體存在，給定導體之外的電荷分布，當或已知，每個導體電勢或帶電量，則內(nèi)電場唯一確定。微分方程靜電邊值問題的構成：邊值關系邊界條件 3靜電邊值問題的基本解法：（1）鏡像法： 理論依據(jù)：唯一性定理，采用試探解的方法。1 鏡像法概念、條件l 鏡像法：用假想點電荷來等效地代替導體或介質邊界面上的面電荷分布，然后用空間點電荷和等效點電荷迭加給出空間電勢分布。l 條件：所求區(qū)域內(nèi)只能有少許幾個點電荷（只有點電荷產(chǎn)生的感應電荷才能用點電荷代替。）或是簡單的連續(xù)分布。導體邊界面形狀規(guī)則，具有一定對稱性。給定邊界條件。l 要求：做替代時，不能改變原有電荷分布（即自由點電荷位置、Q大小不能變）。泊松

5、方程不能改變。所以假想電荷必須放在所求區(qū)域之外。不能改變原有邊界條件，通過邊界條件確定假想電荷的大小和位置。一旦用了假想等效電荷，不能再考慮邊界面上的電荷分布。坐標系根據(jù)邊界形狀來選擇。（2）分離變量法：l 條件：電勢滿足拉普拉斯方程：A.空間處處，自由電荷只分布在某些介質（如導體）表面上，將這些表面視為區(qū)域邊界，可以用拉普拉斯方程。B.在所求區(qū)域介質中有自由電荷分布，若這個自由電荷分布在真空中，產(chǎn)生的勢為已知，則區(qū)域V中電勢可表示為兩部分的和 不滿足，但表面上的電荷產(chǎn)生的電勢使?jié)M足，仍可用拉普拉斯方程求解。注意：邊值關系還要用而不能用。l 拉普拉斯方程的通解：軸對稱通解： 為勒讓德函數(shù)， 球

6、對稱通解：若與均無關，即具有球對稱性，則通解為：l 解題步驟1 選擇坐標系和電勢參考點坐標系選擇主要根據(jù)區(qū)域中分界面形狀參考點主要根據(jù)電荷分布是有限還是無限2 分析對稱性，分區(qū)域寫出拉普拉斯方程在所選坐標系中的通解3 根據(jù)具體條件確定常數(shù)（1） 外邊界條件： 電荷分布有限 導體邊界可視為外邊界，給定，或給定總電荷Q，或給定（接地 ）電荷分布無限，一般在均勻場中， （直角坐標或柱坐標）（2） 內(nèi)部邊值關系：介質分界面上 表面無自由電荷4 電多極矩討論電荷分布在小區(qū)域內(nèi),而場點又距電荷分布區(qū)較遠,即 l<<r電（1）電勢的多極展開：（2）小區(qū)域電荷體系在外電場中的相互作用能其中是點電荷在外電場中的相互作用能是電偶極子在外電場中的相互作用能是電四極子