高等數(shù)學教學 第三節(jié) 函數(shù)的極限

1、, ) (xfy 對對一、函數(shù)極限的定義一、函數(shù)極限的定義二、函數(shù)極限的性質二、函數(shù)極限的性質三、小三、小 結結 2/24一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的極限 0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx) 4(x) 5 (x)6(自變量變化過程的六種形式:二、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限二、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限本節(jié)內容本節(jié)內容 :3/24一、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限一、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限;)()(任任意意小小表表示示 AxfAxf .000的的過過程程表表示示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0鄰鄰域域的的去去心心點點

2、 x,0鄰鄰域域的的去去心心點點 x.0程程度度接接近近體體現(xiàn)現(xiàn)xx 問題問題: 如何用數(shù)學語言刻劃函數(shù)如何用數(shù)學語言刻劃函數(shù)“無限接近無限接近”.4/24定定義義 Axfxx )(lim0.)(,0, 0, 00 Axfxxst恒恒有有時時1、定義：、定義：)( xfy5/242、幾何解釋、幾何解釋:AAA0 x0 x0 xxxyo.2,)(,0的的帶帶形形區(qū)區(qū)域域內內寬寬為為為為中中心心線線線線圖圖形形完完全全落落在在以以直直函函數(shù)數(shù)域域時時鄰鄰的的去去心心在在當當 Ayxfyxx;) (. 10是是否否有有定定義義無無關關在在點點函函數(shù)數(shù)極極限限與與x x f注意：注意：.2有有關關與與

3、任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) .,越小越好越小越好后后找到一個找到一個顯然顯然 ).(,lim0為為常常數(shù)數(shù)證證明明CCCxx 6/24例例2Axf )(證證CC ,成成立立 , 0 任任給給0 .lim0CCxx , 0 任任取取,00時時當當 xx.lim00 xxxx 證證明明例例3,)(0 xxAxf為為了了證證, 只只要要取取0 ,00時時當當 xx0)(xxAxf .lim00 xxxx , 0 任任給給. 211lim21 xxx證證明明7/24例例4211)(2 xxAxf為為了了證證, 只只要要取取0 1x.lim00 xxxx 證證明明函數(shù)在點函數(shù)在點x=1處沒有定義處沒有

4、定義.,)( Axf要要使使,2112 xx就就有有. 211lim21 xxx.1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx證證明明設設8/24(one-sided limit):例如例如,兩兩種種情情況況分分別別討討論論和和分分00 xx,0 xx 從從左左側側無無限限趨趨近近;0 xx記記作作,0 xx 從從右右側側無無限限趨趨近近;0 xx記記作作xo.2,)(,0的的帶帶形形區(qū)區(qū)域域內內寬寬為為為為中中心心線線線線圖圖形形完完全全落落在在以以直直函函數(shù)數(shù)域域時時鄰鄰的的去去心心在在當當 Ayxfyxx1xy 112 xy.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時時使使當

5、當9/24左極限左極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時時使使當當右極限右極限 000 :000 xxxxxxxxx注注意意.)()(lim00AxfAxfxx 或或記記作作.)()(lim00AxfAxfxx 或或記記作作.)()()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理(left-hand limit)(right-hand limit)10/24.lim0不不存存在在驗驗證證xxxy111 xxxxxx 00limlim.2,)(,0的的帶帶形形區(qū)區(qū)域域內內寬寬為為為為中中心心線線線線圖圖形形完完全全落落在在以以直直函函數(shù)數(shù)域域時時鄰鄰的的去去心心在在當當 Ayxfy

6、xx.)(lim0不不存存在在xfx左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,1)1(lim0 x例例5證證xxxxxx 00limlim11lim0 x).(lim,0, 10,1) (02xfxxxxxfx 求求設設11/24例例6 6兩兩個個單單側側極極限限為為是是函函數(shù)數(shù)的的分分段段點點,0 xo.2,)(,0的的帶帶形形區(qū)區(qū)域域內內寬寬為為為為中中心心線線線線圖圖形形完完全全落落在在以以直直函函數(shù)數(shù)域域時時鄰鄰的的去去心心在在當當 Ayxfyxx1xy 112 xy.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時時使使當當解解)1(lim)(lim00 xxfxx ,1 ) 1( li

7、m) (lim200 xx fxx.1)(lim0 xfx故故) 1( lim) (lim200 xx fxx左右極限存在且相等左右極限存在且相等,12/24.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx問問 題題 : : 函函 數(shù)數(shù))( xfy 在在 x的的 過過 程程 中中 , 對對 應應函函 數(shù)數(shù) 值值)( xf無無 限限 趨趨 近近 于于 確確 定定 值值 A.播放播放二、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限二、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限13/24;)()(任任意意小小表表示示 AxfAxf .的的過過程程表表示示 xXx. 0sin)(,無無限限接接近近于于無無限限增增大大時

8、時當當xxxfx 通過上面演示實驗的觀察通過上面演示實驗的觀察:14/24定定義義 X .) (, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時時使使當當 Axfx)(lim:.10情情形形 x1、定義：、定義：15/24.) (, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時時使使當當:.20情情形形 xAxfx )(lim.) (, 0, 0 Ax fXxX恒恒有有時時使使當當Axfx )(lim Axfx)(lim:定定理理2、另兩種情形、另兩種情形:.)(lim)(limAxfAxfxx 且且16/24xxysin 3、幾何解釋、幾何解釋: X X.2,) (,的的帶帶形形區(qū)區(qū)域域內內寬寬為為為為中中心心線線

9、直直線線圖圖形形完完全全落落在在以以函函數(shù)數(shù)時時或或當當 Ayx f yXx XxA17/24. 0sinlim xxx證證明明 例例7xxxxsin0sin 為為了了證證x1 X1 , , 0 ,1 X取取時時恒恒有有則則當當Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故.) (,) (lim:的的圖圖形形的的水水平平漸漸近近線線是是函函數(shù)數(shù)則則直直線線如如果果定定義義xfycycxfx 定定 理理 若若 在在 某某 個個 過過 程程 下下 , ,)( xf有有 極極 限限 , , 則則 存存 在在過過 程程 的的 一一 個個 時時 刻刻 , , 在在 此此 時時 刻刻 以以 后后)(

10、 xf有有 界界 . .18/24三、函數(shù)極限的性質三、函數(shù)極限的性質1. （局部）（局部）有界性有界性).0)(0)(,)(,0),0(0,)(lim00 xfxfxUxAAAxfxx或或時時當當則則或或且且若若。 19/24).0( 0),0)( 0)(,)(, 0,)(lim00 AAxfxfxUxAxfxx或或則則或或時時當當且且若若。 3.3.定理定理( (局部保號性局部保號性) ) .)(),(,),(),(,)(.),(),(21000時時的的子子列列當當為為函函數(shù)數(shù)即即則則稱稱數(shù)數(shù)列列時時使使得得有有數(shù)數(shù)列列中中或或可可以以是是設設在在過過程程axxfxfxfxfxfaxnax

11、xxxaaxnnnn 推論推論20/24(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系).)(lim,)()(,)(limAxfaxxfxfAxfnnnax 則則有有時時的的一一個個子子列列當當是是數(shù)數(shù)列列若若定義定義定理定理21/24例如例如,1sinlim0 xxx , 11sinlim nnn, 11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在限都存在, ,且相等且相等. .22/24xy1sin .1sinlim0不不存存在在證證明明xx

12、 例例8 ,1 nxn取取證：證：, 0lim nnx; 0 nx且且 ,2141 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 nxnnnsinlim1sinlim 而而23/24 214sinlim1sinlim nxnnn而而) 1( lim) (lim200 xx fxx1lim n.1sinlim0不不存存在在故故xx 二者不相等二者不相等,0 ;) (lim Anfn 24/24四、小結四、小結函數(shù)極限的統(tǒng)一定義函數(shù)極限的統(tǒng)一定義;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(,

13、 0)(lim AxfAxf恒恒有有從從此此時時刻刻以以后后時時刻刻業(yè)業(yè)作作(見下表見下表)用時用時2課時課時) 3)(1 (538 P n25/24過過 程程時時 刻刻從此時刻以后從此時刻以后 x x xNNn Nx Nx Nx )( xf Axf )(0 xx 00 xx,0鄰鄰域域的的去去心心點點 x 0 xx 0 xx 00 xx00 xx2-131習習題題P過過 程程時時 刻刻從此時刻以后從此時刻以后 Axf )(0 xx26/24)(, )(, . 6212 kaxkaxxkkn若若對對于于數(shù)數(shù)列列).( naxn證證明明：證證明明：, )(12 kaxk)(2 kaxk又又.,

14、0, 01211 axKkstKk有有.,0,0222 axKkstKk有有對對上上述述., 2,221上上兩兩個個不不等等式式均均成成立立取取NnstKKmaxN .成成立立即即 axn.limaxnn 故故.lim00 xxxx 27/24例例50)(xxAxf 證：證：,min00 xx 保保證證，故故可可取取0 00 xxxx .lim00 xxxx 證證明明,0 xx就就有有,2112 xx就就有有,00 xxx 00000. 0 x x xxxxx x 可可用用而而且且只只要要 .lim,0:000 xxxxx 時時當當證證明明34P xy . 1 28/24xay . 2xey

15、. 3xaylog.4 xy ln. 5 xyxycos. 7sin. 6 xyxycot. 9tan. 8 xyxycsc.11sec.10 xyxyarccos.13arcsin.12 xarcyxycot.15arctan.14 )(是是常常數(shù)數(shù)Rxy 29/241、冪函數(shù)冪函數(shù)oy0 x) 1 , 1 (2xy xy 1xy 1xy xy1 xy ) 1, 0( aaayx30/242、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)xay xay)1( ) 1( a)1 ,0( xey ，特特別別地地1, 0(log aaxya31/243、對數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)xyalog xya1log )0,1()1 ,0()

16、,時時，記記為為當當 e a xey xyln 32/24xy sin 4、三角函數(shù)、三角函數(shù)xysin Sine-正弦正弦函數(shù)正弦函數(shù)33/24xy cos xycos cosine-余弦余弦函數(shù)余弦函數(shù)34/24xy tan xytan xycot tangent-正切，切線正切函數(shù)正切函數(shù)35/24xy cot cotangent-余切余切函數(shù)余切函數(shù)36/24xxycos1sec xy sec secant-正割正割函數(shù)正割函數(shù)37/24xxysin1csc xy csc Cosecant-余割余割函數(shù)余割函數(shù)38/24xy arcsin 5、反三角函數(shù)、反三角函數(shù)arcsin是整體記

17、號xyarcsin 反反正正弦弦函函數(shù)數(shù)39/24xyarccos arccos是整體記號xy arccos 反反余余弦弦函函數(shù)數(shù)40/24xyarctan xy arctan 反反正正切切函函數(shù)數(shù)同上41/24xy cot 冪函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)基本初等函數(shù).arcxy cot 反反余余切切函函數(shù)數(shù)同上試試問問函函數(shù)數(shù) 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x處處的的左左、右右極極限限是是否否存存在在？當當0 x時時，)(xf的的極極限限是是否否存存在在？xy cot 反反余余切切函

18、函數(shù)數(shù)42/24思考題思考題 )(lim0 xfx43/24思考題解答思考題解答, 5)5 (lim20 xx )(lim0 xfx左極限存在左極限存在, 01sinlim0 xxx )(lim0 xfx右極限存在右極限存在,)(lim0 xfx )(lim0 xfx.01. 01_131222 yzxzxxyx，必必有有時時，只只要要取取，問問當當時時，、當當不存在不存在.44/24.001. 0420_4212 yxxyx，必必有有只只要要時時，取取，問問當當時時，、當當 證證明明：二二、用用函函數(shù)數(shù)極極限限的的定定義義0sinlim221241lim1221 xxxxxx、一、填空題一、

19、填空題:.) (:0極極限限各各自自存存在在并并且且相相等等必必要要條條件件是是左左極極限限、右右時時極極限限存存在在的的充充分分當當函函數(shù)數(shù)三三、試試證證xxx f 練練 習習 題題45/24?0)(存存在在時時的的極極限限是是否否在在四四、討討論論：函函數(shù)數(shù) xxxx 一一、1 1、0 0. .0 00 00 02 2； 2 2、397. .四四、不不存存在在. .46/24練習題答案練習題答案47/24.sin時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx問問 題題 : : 函函 數(shù)數(shù))( xfy 在在 x的的 過過 程程 中中 , 對對 應應函函 數(shù)數(shù) 值值)( xf無無 限限

20、趨趨 近近 于于 確確 定定 值值 A.一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限48/24問問 題題 : : 函函 數(shù)數(shù))( xfy 在在 x的的 過過 程程 中中 , 對對 應應函函 數(shù)數(shù) 值值)( xf無無 限限 趨趨 近近 于于 確確 定定 值值 A.一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限49/24問問 題題 : : 函函 數(shù)數(shù))( xfy 在在 x的的 過過 程程 中中 , 對對 應應函函 數(shù)數(shù) 值值)( xf無無 限限 趨趨 近近 于于 確確 定定 值值 A.一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限50/24問問 題題 : : 函函 數(shù)數(shù))( xfy 在在 x的的 過過 程程 中中 , 對對 應應函函 數(shù)數(shù) 值值)( xf無無 限