路燈更換策略模型

1、“大班上課、小班討論”論文報(bào)告2014-2015 第二學(xué)期數(shù)學(xué)建模2016年4月9日一4月12日題目路燈更換策略模型專(zhuān)業(yè)信算信算信算信算班級(jí)14信算114信算114信算114信算1姓名蘆新宇岳昊地常巨野王嘉琦學(xué)號(hào)02051723成績(jī)路燈更換策略一、問(wèn)題的提出某路政部門(mén)負(fù)責(zé)城市某條道路的路燈維護(hù)。更換路燈時(shí)，需要專(zhuān)用云梯車(chē)進(jìn) 行線路檢測(cè)和更換燈泡，向相應(yīng)的管理部門(mén)提出電力使用和道路管制申請(qǐng)，還要 向雇用的各類(lèi)人員支付報(bào)酬等，這些工作需要的費(fèi)用往往比燈泡本身的費(fèi)用更 高，燈泡壞1個(gè)換1個(gè)的辦法是不可取的。上級(jí)管理部門(mén)通過(guò)監(jiān)察燈泡是否正常 工作對(duì)路政部門(mén)進(jìn)行管理，一旦出現(xiàn)1個(gè)燈泡不鳧，管理部門(mén)就會(huì)按

2、照折合計(jì)時(shí) 對(duì)他們進(jìn)行罰款。根據(jù)多年的經(jīng)驗(yàn)，他們采取整批更換的策略，即到一定的時(shí)間, 所有燈泡無(wú)論好與壞全部更換。如何確定整批更換的時(shí)間周期，要考慮每個(gè)燈泡的更換價(jià)格（包括燈泡的成 本和安裝時(shí)分?jǐn)偟矫總€(gè)燈泡的費(fèi)用）以及管理部門(mén)對(duì)每個(gè)不鳧的燈泡制定的懲罰費(fèi)用，使得單位時(shí)間內(nèi)的費(fèi)用最少，此時(shí)所對(duì)應(yīng)的周期即為整批更換的最佳周期。二、問(wèn)題的分析其中總費(fèi)用分為兩部分：每個(gè)燈泡的更換價(jià)格（包括燈泡的成本和安裝時(shí)分 攤到每個(gè)燈泡的費(fèi)用）以及管理部門(mén)對(duì)每個(gè)不克的燈泡制定的懲罰費(fèi)用。根據(jù)常 識(shí),燈泡的壽命是隨機(jī)的,在平均值附近有較大的波動(dòng)，需要通過(guò)分析確定燈泡壽 命的分布規(guī)律。針對(duì)問(wèn)題一，將總的燈泡成本和更換安

3、裝所需要的費(fèi)用作為總的安裝費(fèi)用， 再根據(jù)燈泡壽命的分布規(guī)律，列出需要承擔(dān)的懲罰費(fèi)用與整批更換周期的關(guān)系， 從而得出總費(fèi)用與整批更換周期的關(guān)系式，解出更換周期的表達(dá)式。針對(duì)問(wèn)題二，根據(jù)抽查的200個(gè)燈泡壽命，統(tǒng)計(jì)分析出燈泡壽命大概的分布 規(guī)律，將題中所給數(shù)據(jù)：每個(gè)燈泡的更換價(jià)格（包括燈泡的成本和安裝時(shí)分?jǐn)偟?每個(gè)燈泡的費(fèi)用）為80元，管理部門(mén)對(duì)每個(gè)不鳧的燈泡制定的懲罰費(fèi)用為元/小 時(shí)，代入更換周期表達(dá)式，通過(guò)求導(dǎo)計(jì)算出日均總費(fèi)用最小時(shí)，對(duì)應(yīng)的整批更換 周期。針對(duì)問(wèn)題三，在未壞燈泡可以回收的條件下，總費(fèi)用應(yīng)為：總的安裝費(fèi)用（總 的燈泡成本+更換安裝所需要的費(fèi)用）+總的懲罰費(fèi)用-未壞燈泡回收收益；再

4、次 列出總費(fèi)用與整批更換周期的關(guān)系式，解出更換周期的表達(dá)式，通過(guò)求導(dǎo)計(jì)算出 日均總費(fèi)用最小時(shí)，對(duì)應(yīng)的整批更換周期。三、模型的假設(shè)1、假定沒(méi)有人為的破壞燈泡的行為且燈泡均為合格的產(chǎn)品;2、假設(shè)懲罰費(fèi)用從燈泡壞的那一刻開(kāi)始計(jì)算;3、假設(shè)該品牌燈泡的壽命滿(mǎn)足隨機(jī)正態(tài)分布;4、假設(shè)已壞的燈泡無(wú)任何回收價(jià)值；5、假設(shè)外界環(huán)境因素不會(huì)改變燈泡壽命：6、假設(shè)所給200組數(shù)據(jù)是有代表性的,可以體現(xiàn)一般的規(guī)律;四、符號(hào)說(shuō)明h整體更換燈泡時(shí)單位時(shí)間每個(gè)燈泡所承受的罰款費(fèi)用B 整體更換燈泡時(shí)所承受的罰款總費(fèi)用A 整體更換燈泡時(shí)燈泡的總更換費(fèi)用 通過(guò)隨機(jī)抽取的測(cè)試獲得燈泡的期望壽命J 通過(guò)隨機(jī)抽取的測(cè)試獲得燈泡壽命的

5、標(biāo)準(zhǔn)差T 整批更換的周期W一個(gè)周期內(nèi)的總費(fèi)用卬 平均每天的總費(fèi)用s燈泡的壽命。每個(gè)未壞燈泡的回收價(jià)格p(f)壽命t的概率密度函數(shù)即：=一=!°邛(-二4匚)J2/F »2-N 燈泡的個(gè)數(shù)f(t)壽命為t的燈泡在一個(gè)周期內(nèi)的總罰款函數(shù)g。）燈泡在一個(gè)周期后的售出價(jià)格函數(shù)五、模型的建立問(wèn)題一：查閱資料可知，燈泡壽命的分布為正態(tài)分布。由此，我們先對(duì)題目所給的200 個(gè)數(shù)據(jù)利用SPSS進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)。先做出燈泡壽命的頻率直方圖與擬合的正態(tài)分布曲線：根據(jù)圖像可以大致看出，燈泡的壽命是正態(tài)分布的，于是有壽命t的概率密度函 數(shù)為對(duì)于燈泡的懲罰費(fèi)用有b(TT) 0(r<n(r>

6、n于是，得出在周期為T(mén)的情況下，所要承受的罰款為B = Nb1 (T-i)pQ)出 (3)則需要的總費(fèi)用為 W = A + B = A + Nb (T-t)ptdt (4)為尋求最佳的更換周期，我們將單位時(shí)間內(nèi)支出的費(fèi)用最小作為評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)，即: 單位時(shí)間內(nèi)的費(fèi)用越小該整體更換周期越優(yōu)，單位時(shí)間內(nèi)支出的費(fèi)用可表示為w = (5)T當(dāng)卬最小時(shí)，有-=0 (6)dT"A化簡(jiǎn)后可得f = (7)川Nb其中P"片卷3"（與等）模型分析：有積分的性質(zhì)可以知道積分表示的是圖形的面積，而且被積函數(shù)是大于零 的,T為積分上限，所以T越大,積分值越高,即:T與總更換費(fèi)用和總懲罰費(fèi)用的

7、比 值成正比關(guān)系，當(dāng)更換的費(fèi)用越少，懲罰的費(fèi)用越高時(shí)，更換的周期應(yīng)該是越小的, 這與實(shí)際情況是完全吻合的。六、模型的求解問(wèn)題二：根據(jù)問(wèn)題二所給的條件，每個(gè)燈泡的更換價(jià)格(包括燈泡的成本和安裝時(shí)分?jǐn)偟?每個(gè)燈泡的費(fèi)用)為80元，管理部門(mén)對(duì)每個(gè)不克的燈泡制定的懲罰費(fèi)用為元/小 時(shí)可知71 = 200x80 = 16000N = 200； b = 0.02士A 160004“八則有=4000Nb 200x0.02代入(7)式則有 Z= 4000Jo (8)編寫(xiě)MATLAB代碼，并求解可得近似解為T(mén)=4314 (h)結(jié)論：整體更換周期為4314小時(shí)，即每過(guò)4314小時(shí)進(jìn)行一次燈泡的全部 更換的條件下，

8、路政部門(mén)平均每天所花的費(fèi)用最少。問(wèn)題三：根據(jù)題意可在問(wèn)題二的模型基礎(chǔ)上再考慮未壞燈泡的回收燈泡的回收價(jià)格函數(shù)為a(t > T)g。)= <IO(t<T) (9)則考慮未壞燈泡的回收，需要總費(fèi)用變?yōu)?10)W = A + B = A + Nb (T-(/)，為尋求最佳的更換周期，我們同樣將單位時(shí)間內(nèi)支出的費(fèi)用最小作為評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn), 將(10)式代入(5) (6)兩式后可得(11)市=£jpQ)df 一 可：P(t)dt + aTp(T)同樣根據(jù)問(wèn)題三所給的條件，該品牌每個(gè)未壞燈泡的回收價(jià)格為5元，并結(jié)合問(wèn) 題二已知條件，有A = 200x80 = 16000N = 20

9、0； b = 0.02； a = 5代入(11)式，并編寫(xiě)代碼，用MATLAB近似求解得T=3932 (h)結(jié)論：在未壞燈泡可以回收的情況下，整體更換周期為3932小時(shí)，即每過(guò)3932 小時(shí)進(jìn)行一次燈泡的全部更換的條件下，路政部門(mén)平均每天所花的費(fèi)用最少。七、模型的檢驗(yàn)根據(jù)所求得的更換周期的表達(dá)式，T與總更換費(fèi)用和總懲罰費(fèi)用的比值成正 比關(guān)系，當(dāng)更換的費(fèi)用越少，懲罰的費(fèi)用越高時(shí)，更換的周期應(yīng)該是越小的，這與 實(shí)際情況是完全吻合的。另外，當(dāng)未壞的燈泡可以回收時(shí)，所對(duì)應(yīng)的最佳整體更換周期縮短，這與實(shí) 際情況也是非常吻合的。八、模型的評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn):1、模型層層深入，不斷實(shí)際化，具體化，與生活中實(shí)際情況較為

10、接近，具有很好的實(shí)用價(jià)值；2、模型利用MATLAB求解，減少了很大的計(jì)算量和出錯(cuò)的可能。缺點(diǎn)：1、模型中將燈泡的壽命看做正態(tài)分布，具有一定的誤差，對(duì)結(jié)果周期的大 小有一定的影響；2、模型沒(méi)有將人為因素和意外情況考慮在內(nèi)，在特殊情況發(fā)生時(shí)，模型就 不在適用了。九、模型的推廣該模型適用的對(duì)象與我們的生活密切相關(guān)，除了燈泡的更換之外，比如學(xué) 校機(jī)房的電腦更換，餐廳桌椅的更換等等都能用此模型來(lái)研究更換的周期，其最 佳整體更換周期對(duì)學(xué)校、餐廳等具有重要意義。十、參考文獻(xiàn)1的詩(shī)松，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程第二版，高等教育出版社，20112姜啟源，數(shù)學(xué)建模，高等教育出版社，2003 3華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析（下），高等教育出版社，2010附錄第二問(wèn)MATLAB代碼 syms xT二3700;while(1)f二normpdf (x, *x; %在t出返回正態(tài)分布函數(shù)值V =int (f, x, 0, T) ;%在0, t作積分if (double(V)>=4000)break;endT=T+l;End第三問(wèn)MATLAB代碼 syms xT=