最新同濟(jì)大學(xué)---高數(shù)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)

1、精品文檔 高等數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)要點(diǎn)一、函數(shù)與極限(一)函數(shù)1、函數(shù)定義及性質(zhì)(有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性)；2、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、函數(shù)的運(yùn)算；3、初等函數(shù)：募函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)；4、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)；函數(shù) f(x)在 X0連續(xù)lim f(x)= f(x0)x. X0'第一類(lèi)：左右極限均存在.間斷點(diǎn)，可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)、第二類(lèi)：左右極限、至少有一個(gè)不存在. 無(wú)窮間斷點(diǎn)、振蕩間斷點(diǎn)5、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性與最大值最小值定理、零點(diǎn)定理、介值定 理及其推論.(二)極限1、 定義1) 數(shù)列極限limxn=au v®>0, bnn, v

2、n>N, xn-a<snT8 nn2) 函數(shù)極限lim f (x) = A= v > 0, 36 > 0, vx,當(dāng)0< x x0| < 6 時(shí)，f (x) A < 名 x xo左極限：f(x/)= lim_f (x)右極限：f(x：)= lim+f (x)x x0x > x0精品文檔精品文檔lim f (x) = A 存在 u f (x)= f (x0) x x x02、 極限存在準(zhǔn)則1) 夾逼準(zhǔn)則：1) yn w xn w Zn ( n 之 n0) ”> I A2) lim yn = lim zn = alim xn = an nn-J

3、n- oo2、 單調(diào)有界準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限.3、 無(wú)窮小(大)量1) 定義：若lim " = 0則稱(chēng)為無(wú)窮小量；若lim =°°則稱(chēng)為無(wú)窮大量2) 無(wú)窮小的階：高階無(wú)窮小、同階無(wú)窮小、等價(jià)無(wú)窮小、k階無(wú)窮小Th1 ： ： = ' = =0(：);Th2«“ ，PP lim存在，貝U a fPPlim = lim aa(無(wú)窮小代換)精品文檔4、 求極限的方法1) 單調(diào)有界準(zhǔn)則；2) 夾逼準(zhǔn)則；3) 極限運(yùn)算準(zhǔn)則及函數(shù)連續(xù)性;4) 兩個(gè)重要極限：a).sinx .lim = 1x >0 xb)1lim(1 x)xx 0=xlim：(1

4、卜 e5) 無(wú)窮小代換：(xt 0)a) x sin x tan x arcsinx arctanx12b) 1c0SX-Xc) ex -1 x ( ax - 1xln a)d) ln(1 x)xe) (1 x) -1 x(loga(1 x)xIn a)導(dǎo)數(shù)與微分（一）導(dǎo)數(shù)1、定義:f(x)- f(xo) f (x0) = lim x >x0x - x0左導(dǎo)數(shù)：f-(x0) = lim_ x >x0右導(dǎo)數(shù)：f （x0卜網(wǎng)x >x0f(x)- f(xo)x - Xof(x)- f(xo)x - Xo函數(shù)f （X）在Xo點(diǎn)可導(dǎo)仁f;（x0） = f；（x0）2、 幾何意義：f&#

5、39;（x0）為曲線(xiàn)y= f （X）在點(diǎn)（x。, f 。川處的切線(xiàn)的斜率.3、 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：4、 求導(dǎo)的方法1）導(dǎo)數(shù)定義；2）基本公式；3）四則運(yùn)算；4）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（鏈?zhǔn)椒▌t）；5）隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)；6）參數(shù)方程求導(dǎo)；7）對(duì)數(shù)求導(dǎo)法.5、 高階導(dǎo)數(shù)d2y = _d_ dy1) 7E 義：乂2dxldxjn(n)- ck (k) (n_k)2)Leibniz 公式:uv1 ="Cnuvk=0(二)微分1)定義：Ay = f (x。+ Ax)- f(x°)= Ax+ox),其中 A 與 Ax 無(wú)關(guān).2)可微與可導(dǎo)的關(guān)系：可微 u 可導(dǎo)，且dy= f'(x°

6、)Ax= f'(x°)dx三、微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(一)中值定理1、Rolle羅爾定理：若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足：1)f(x)wCa,b；2) f(x/D(a,b)；3)f(a)=f(b)；則仃 w (a,b),使f'd) = 0.2、Lagrange拉格朗日中值定理 文 :若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足:1)f(x/Ca,b；2)f(x/D(a,b)；則叫 w (a,b),使f(b)- f(a)= f,C)(b-a).3、Cauchy柯西 中值定理：若函數(shù)f(x),F(x)滿(mǎn)足：1)f(x),F(x)w Ca,b； 2)f(x),F(x)w D(a,b)；3)F'(x)，

7、0,x (a,b)則mw (a,b),使f(b)-f(a)F(b)-F(a)(二)洛必達(dá)法則(三)Taylor公式精品文檔(四)單調(diào)性及極值1、單調(diào)性判別法：f(x)wCa,b, f(x)w D(a,b),則若 f'(x)>0,則 f (x)單調(diào)增加；則若f '(x) < 0 ,則f (x)單調(diào)減少.2) 極值及其判定定理：a)必要條件：f(x)在X0可導(dǎo)，若X0為f(x)的極值點(diǎn)，則(心)=0.b)第一充分條件：f(x)在x。的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f'(x0) = 0,則若當(dāng)x< x。時(shí)，f'(x) >0,當(dāng)x> x°時(shí)，f&

8、#39;(x)M0,則x0為極大值點(diǎn)；若當(dāng)x<x° 時(shí)，f'(x)<0,當(dāng)xax0時(shí)，f'(x)A0,則x0為極小值點(diǎn)；若在x0的 兩側(cè)f '(x)不變號(hào)，則x0不是極值點(diǎn).c)第二充分條件：f(x)在5處二階可導(dǎo)，且f'(x0)=0,廣區(qū))¥0,則 若f "(x°) < 0 ,則x0為極大值點(diǎn)；若f "(x0) A 0 ,則x0為極小值點(diǎn).3) 凹凸性及其判斷，拐點(diǎn),x1 x2、 f (x1) f (x2)1) f(x)在區(qū)間 I 上連續(xù)，若 Vxi,x2 I, f(r2 I 2' 則

9、稱(chēng) f(x)在,x1 x2f (x1) f (x2)區(qū)間I上的圖形是凹的；若小上一，f('j2)>2 ，則稱(chēng)f(x)在區(qū)間I上的圖形是凸的.2)判定定理：f (x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上有一階、二階導(dǎo)數(shù)，則a)若“w (a,b), f "(x)>0,則f (x)在a,b上的圖形是凹的；b)若 (a,b), f ”(x)<0,則f(x)在a,b上的圖形是凸的.3)拐點(diǎn)：設(shè)y=f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，x0是f(x)的內(nèi)點(diǎn)，如果曲線(xiàn)y=f(x)經(jīng) 過(guò)點(diǎn)(x°, f (x°)時(shí)，曲線(xiàn)的凹凸性改變了，則稱(chēng)點(diǎn)(x°, f(x

10、6;)為曲線(xiàn)的拐點(diǎn). (五)不等式證明精品文檔精品文檔1、 利用微分中值定理；2、 利用函數(shù)單調(diào)性；3、 利用極值(最值).(六)方程根的討論1、 連續(xù)函數(shù)的介值定理；2、 Rolle 定理；3、 函數(shù)的單調(diào)性；4、 極值、最值；5、凹凸性.(七)漸近線(xiàn)1、鉛直漸近線(xiàn)：lim f(x)，則x = a為一條鉛直漸近線(xiàn)； x. a2、水平漸近線(xiàn)：limf(x) = b,則y=b為一條水平漸近線(xiàn)； X四、不定積分(一)概念和性質(zhì)1、原函數(shù)：在區(qū)間I上，若函數(shù)F(x)可導(dǎo)，且F'(x)= f(x),則F(x)稱(chēng)為f (x)的一個(gè)原函數(shù).2、 不定積分：在區(qū)間I上，函數(shù)f (x)的帶有任意常數(shù)的

11、原函數(shù)稱(chēng)為f (x)在區(qū)間I上的不定積分.3、 基本積分表(P188, 13個(gè)公式)；4、 性質(zhì)(線(xiàn)性性).(二)換元積分法1、第一類(lèi)換元法(湊微分)：/f(x)中'(x)dx =【J f (u)du1 u= (x)2、第二類(lèi)換元法(變量代換：三角代換、倒代換、根式代換等)：f(x)dx J f (t) (t)d”1t -(x)(三)分部積分法：udv= uv-vdu (反對(duì)哥指三，前u后V')(四)有理函數(shù)積分1、“拆”2、變量代換(三角代換、倒代換、根式代換等).五、定積分 (一)概念與性質(zhì)：b1、定義：faf(x)dx =2、 性質(zhì)：(7條)性質(zhì)7 (積分中值定理)n峭f

12、( i)為10 .函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則 wa,b,使bbf(x)dxf(x)dx= f("(b-a)(平均值：f(D = )ab - a(二)微積分基本公式(N L公式)x1、變上限積分：設(shè)(x) = la f (t)dt ,則(x) = f (x)推廣:d ：（x）菽丁出叫：（x）3小網(wǎng)（x）b2、N L公式：若F (x)為f (x)的一個(gè)原函數(shù)，則1a f (x)dx = F (b) - F (a)（三）換元法和分部積分b1、換元法：J f（x）dx=I f 用（t）”（t）dt a.二2、bb b3、分部積分法：udv =UV a - f Vduaa（四）（五）反常積分1、2、 無(wú)窮積分：tf （x）dx = lim f （x）dx at 1 - abb.f (x)dx = lim f (x)dx-t )- t,二0,