二、空間曲線的切線與法平面

1、目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、空間曲線的切線與法平面二、空間曲線的切線與法平面 第六節(jié)一、一元向量值函數(shù)及其導數(shù)一、一元向量值函數(shù)及其導數(shù) 三、曲面的切平面與法線三、曲面的切平面與法線 多元函數(shù)微分學的幾何應用 第九章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、一、一元向量值函數(shù)及其導數(shù)一元向量值函數(shù)及其導數(shù)引例引例: 已知空間曲線 的參數(shù)方程:,)()()(ttztytx)(),(),()(),(ttttfzyxr記 的向量方程,),(ttfrMrxzyO 對 上的動點M ,即 是此方程確定映射3R, :f,稱此映射為一元向量 ，顯然OMr r的終點M 的軌跡 , 此軌跡稱為向量值函數(shù)的終端曲線

2、 .值函數(shù). 要用向量值函數(shù)研究曲線的連續(xù)性連續(xù)性和光滑性光滑性，就需要引進向量值函數(shù)的極限、連續(xù)和導數(shù)的概念.目錄 上頁 下頁 返回 結束 定義定義: 給定數(shù)集 D R , 稱映射nDfR:為一元向量值函數(shù)（簡稱向量值函數(shù)）, 記為Dttfr),(定義域自變量因變量向量值函數(shù)的極限、連續(xù)和導數(shù)都與各分量的極限、連續(xù)和導數(shù)密切相關,進行討論.123( )( ),( ),( ),f tf tf tf ttD設則極限極限：連續(xù)連續(xù)：導數(shù)導數(shù)：嚴格定義見P93)(lim),(lim),(lim()(lim3210000tftftftftttttttt)()(lim00tftftt)(),(),()(

3、321tftftftfttfttftftt)()(lim)(0000因此下面僅以 n = 3 的情形為代表目錄 上頁 下頁 返回 結束 向量值函數(shù)的導數(shù)運算法則向量值函數(shù)的導數(shù)運算法則: (P94-95)設vu,是可導向量值函數(shù), )(t是可導函數(shù), 則OCtdd) 1 ()()()2(ddtuctuct)()()()()3(ddtvtutvtut)()()()()()()4(ddtuttuttutt)()()()()()()5(ddtvtutvtutvtut)()()()()()()6(ddtvtutvtutvtutC 是常向量, c 是任一常數(shù),)()()()7(ddtuttut目錄 上頁

4、 下頁 返回 結束 向量值函數(shù)導數(shù)的幾何意義向量值函數(shù)導數(shù)的幾何意義:在 R3中, 設Dttfr),(的終端曲線為 , MxzyOr)(0tf tr)(),(00ttfONtfOMN)()(00tfttfr)(lim00tftrtt表示終端曲線在t0處的 切向量,其指向與t 的增長方向一致.)(0tf , 則0)(0 tf設r目錄 上頁 下頁 返回 結束 向量值函數(shù)導數(shù)的物理意義向量值函數(shù)導數(shù)的物理意義:設)(tfr 表示質(zhì)點沿光滑曲線運動的位置向量, 則有 )()(tftv)(tva)(tf ).(lim,)(sin)(cos)(4tfktjtittft求例例1. 設速度向量：加速度向量：解

5、：解：ktjtittftttt4444lim)sinlim()coslim()(limkji42222)(4f目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 設空間曲線 的向量方程為 求曲線 上對應于解解:20t)62, 34, 1()(22tttttfrR,ttttf)6442()(的點處的單位切向量.R,t故所求單位切向量為)31,32,32()2()2(ff)2, 4, 4()2( f222)2(44)2( f其方向與 t 的增長方向一致另一與 t 的增長方向相反的單位切向量為)31,32,32(= 6目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3. 一人懸掛在滑翔機上, 受快速上升氣流影響作螺求旋式上升

6、, 其位置向量為),sin3,cos3(2tttr (1) 滑翔機在任意時刻 t 的速度向量與加速度向量;(2) 滑翔機在任意時刻 t 的速率;(3) 滑翔機的加速度與速度正交的時刻.解解: (1)2,sin3,cos3(ttva)2,cos3,3sin()(ttttrv222)2()cos3()sin3()()2(ttttr249t0av(3) 由即, 04sincos9cossin9ttttt,0t得即僅在開始時刻滑翔機的加速度與速度正交.目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、二、空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面過點 M 與切線垂直的平面稱為曲線在該點的法平面法平面.TM置.空間光

7、滑曲線在點 M 處的切線切線為此點處割線的極限位)(),(),()(ttttf：給定光滑曲線 在)(),(),()(ttttf點法式可建立曲線的法平面方程利用時，不同時為，則當0點M (x, y, z) 處的切向量及法平面的法向量均為點向式可建立曲線的切線方程目錄 上頁 下頁 返回 結束 1. 曲線方程為參數(shù)方程的情況曲線方程為參數(shù)方程的情況,),(, )(, )(ttztytx：因此曲線 在點 M 處的000zzyyxx)(0t)(0t)(0t,),(0000ttzyxM對應上的點設則 在點M 的導向量為)(00 xxt)( )(00yyt0)(00zzt法平面方程法平面方程 )(),(),

8、()(0000ttttfM)(0tf 不全)(),(),(000ttt給定光滑曲線為0, 切線方程切線方程目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 求曲線32,tztytx在點 M (1, 1, 1) 處的切線 方程與法平面方程. ,3,2, 12tztyx解：解：, 10t點(1, 1, 1) 對應于故點M 處的切向量為)3, 2, 1 (T因此所求切線方程為 111zyx123法平面方程為) 1( x) 1(2y0) 1( 3z即632zyx)()(:xzxy思考思考: 光滑曲線的切向量有何特點?), 1(T答答:)()(:xzxyxx切向量目錄 上頁 下頁 返回 結束 時，當0),(),(

9、zyGFJ2. 曲線為一般式的情況曲線為一般式的情況光滑曲線0),(0),(:zyxGzyxF)()(xzxyxydd曲線上一點),(000zyxMxyz, 且有xzdd,),(),(1xzGFJ ,),(),(1yxGFJ 可表示為處的切向量為 MMyxGFJxzGFJ),(),(1,),(),(1,1)(, )(, 100 xxT目錄 上頁 下頁 返回 結束 000zzyyxxMzyGF),(),(則在點),(000zyxM切線方程切線方程法平面方程法平面方程有MzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),()(0 xx MyxGF),(),(MxzGF),(),()(0

10、yy 0)(0 zz或MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(目錄 上頁 下頁 返回 結束 0)()()()()()(000MGMGMGMFMFMFzzyyxxzyxzyx也可表為)(),(),()(),(),(00yyMxzGFxxMzyGF法平面方程法平面方程0)(),(),(0zzMyxGF目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例5. 求曲線0,6222zyxzyx在點M ( 1,2, 1) 處的切線方程與法平面方程. MzyGF),(),(切線方程121zyx解法解法1 令, 6222zyxGzyxF則即0202yzx切向量;0),(),(MxzGFMzy11

11、22Mzy)(2;606xyz66),(),(MyxGF)6,0, 6(T目錄 上頁 下頁 返回 結束 06222zyxzyx法平面方程0) 1(6)2(0) 1(6zyx即0 zxxxzzxyydddd解法解法2 方程組兩邊對 x 求導, 得1ddddxzxy1111ddzyxyxz11ddzyxy曲線在點 M(1,2, 1) 處有:切向量解得11zx,zyxzzyyx)1,0, 1 (MMxzxyTdd,dd,1目錄 上頁 下頁 返回 結束 切線方程121zyx即0202yzx法平面方程0) 1() 1()2(0) 1(1zyx即0 zx點 M (1,2, 1) 處的切向量011)1,0,

12、 1(T目錄 上頁 下頁 返回 結束 0),(:zyxF三、三、曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線 設 有光滑曲面通過其上定點),(000zyxM0tt 設對應點 M,)(, )(, )(000ttt切線方程為)()()(000000tzztyytxx不全為0 . 則 在, )(, )(, )(:tztytx且點 M 的切向量切向量為任意引一條光滑曲線下面證明:此平面稱為 在該點的切平面切平面. 上過點 M 的任何曲線在該點的切線都在同一平面上. )(, )(, )(000tttTMT目錄 上頁 下頁 返回 結束 MT證證:在 上,)(, )(, )(:tztytx0) )(, )(, )(

13、tttF,0處求導兩邊在tt ,0Mtt對應點注意 )(0t0),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz)(0t)(0t得)(, )(, )(000tttT),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令nT 切向量由于曲線 的任意性 , 表明這些切線都在以為法向量n的平面上 , 從而切平面存在 .n目錄 上頁 下頁 返回 結束 )( ),(0000 xxzyxFx曲面 在點 M 的法向量法向量: 法線方程法線方程 000zzyyxx)( ),(0000yyzyxFy0)(,(0000zzzyxFz 切平面方程切平面方程),(000zyxF

14、x),(000zyxFy),(000zyxFz),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 過M點且垂直于切平面的直線 稱為曲面 在點 M 的法線法線. MTn目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(,(000 xxyxfx曲面時, ),(yxfz zyxfzyxF),(),(則在點),(zyx故當函數(shù) ),(yxf),(00yx1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法線方程法線方程,yyfF 1zF令有在點),(000zyx特別特別, 當光滑曲面 的方程為顯式 在點有連續(xù)偏導數(shù)時, )( ),(000yyyxfy0zz,xxfF 切平面方程切平面方

15、程法向量法向量) 1),(),(0000yxfyxfnyx目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面上點的切平面上點的豎坐標的增量豎坐標的增量因為曲面在因為曲面在M M處的切平面方程為處的切平面方程為的全微分的全微分在點在點函數(shù)函數(shù)),(),(00yxyxfz .),(),(,),(),(00000增量增量切平面上點的豎坐標的切平面上點的豎坐標的處的處的，在點在點曲面曲面表示表示的全微分的全微分在點在點zyxyxfzyxyxfz 全微分的幾何意義全微分的幾何意義設空間曲面方程為設空間曲面方程為),(yxfz 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,

16、法向量法向量用2211cosyxff將),(, ),(0000yxfyxfyx,yxff法向量的法向量的方向余弦：方向余弦：表示法向量的方向角, 并假定法向量方向.為銳角則分別記為則,1cos,1cos2222yxyyxxffffff向上,) 1, ),(, ),(0000yxfyxfnyx復習 目錄 上頁 下頁 返回 結束 若曲面方程為參數(shù)方程形式若曲面方程為參數(shù)方程形式( , ):( , )( , )xx u vyy u vzz u v 00000000(,)(,)(,)(,)( , )( , )( , )(,)( , )( , )( , )uuuvvvu vu vu vu vijknxy

17、zxyyy zz xx yu vu vu v 000000000(,),(,),(,)xx u vyy u vzz u v 則曲面在點則曲面在點 處的處的法向量法向量為為000(,)M xyz00(,)( , )0( , )u vx yu v 若若目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例6. 求球面14222zyx在點(1 , 2 , 3) 處的切平面及法線方程. 解解: 令14),(222zyxzyxF所以球面在點 (1 , 2 , 3) 處有:切平面方程切平面方程 ) 1(2x01432zyx即法線方程法線方程321zyx)2(4y0)3(6z123法向量)2,2,2(zyxn )6,4,2()

18、3, 2, 1(n即321zyx(可見法線經(jīng)過原點，即球心)目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例7. 確定正數(shù) 使曲面zyx222zyx在點),(000zyxM解解: 二曲面在 M 點的法向量分別為二曲面在點 M 相切, 故000000000zyxyzxxzy0 x202020zyx又點 M 在球面上,32202020azyx故于是有000zyx2a相切.333a與球面, ),(0000001yxzxzyn ),(0002zyxn 21/nn, 因此有20y20z2目錄 上頁 下頁 返回 結束 備用題備用題1. 證明曲面0),(ynzymxF與定直線平行,.),(可微其中vuF證證: 曲面上任一

19、點的法向量,1F, )()(21nFmF )2F取定直線的方向向量為,m,1)n則(定向量)故結論成立 .的所有切平面恒(n(l,0nl目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 求曲線0453203222zyxxzyx在點(1,1,1) 的切線解解: 點 (1,1,1) 處兩曲面的法向量為)2,2, 1(因此切線的方向向量為)1,9,16(由此得切線:111zyx1691法平面:0) 1() 1(9) 1(16zyx024916zyx即與法平面.) 1 , 1 , 1 (1)2,2,32(zyxn)5,3,2(2n21nnl目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考與練習思考與練習1. 如果平面01633z

20、yx與橢球面相切,提示提示: 設切點為, ),(000zyxM則223yx .求000226zyx3301633000zyx163202020zyx2162 z(二法向量平行) (切點在平面上)(切點在橢球面上)目錄 上頁 下頁 返回 結束 證明 曲面)(xyfxz 上任一點處的切平面都通過原點.提示提示: 在曲面上任意取一點, ),(000zyxM則通過此0zz)(0 xxxzM)(0yyyzM2. 設 f ( u ) 可微,第七節(jié) 證明原點坐標滿足上述方程 .點的切平面為目錄 上頁 下頁 返回 結束 1. 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面 切線方程 000zzyyxx法平面方程)(00 xxt1) 參數(shù)式情況.)()()(:tztytx空間光滑曲線切向量內(nèi)容小結內(nèi)容小結)(0t)(0t)(0t)( )(00yyt0)(00z