角平分線模型的構造

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第二章 角平分線模型的構造技巧提煉：與角平分線有關的常用輔助線作業(yè)，即角平分線的四大基本模型。已知P是MON平分線上一點，（1） 若PAOM于點A，如圖a，可以過P點作PBON于點B，則PB=PA?？捎洖椤皥D中有角平分線，可向兩邊作垂線”。（2） 若點A是射線OM上任意一點，如圖b，可以在ON上截取OB=OA，連接PB，構造OPBOPA?？捎洖椤皥D中有角平分線，可以將圖形對折看，對稱以后關系現(xiàn)”。（3） 若APOP于點P，如圖c，可延長AP交ON于點B，構造AOB是等腰三角形，P是底邊AB的中點，可記為“角平分線加垂線，三線合一試試看”。（4） 若過P點作PQON交O

2、M于點Q，如圖d，可以構造POQ是等腰三角形，可記為“角平分線+平行線，等腰三角形必呈現(xiàn)”。例題精講例1 （1）如圖a，在ABC中，C=90°,AD平分CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么點D到直線AB的距離是 cm。 （2）如圖b，已知：1=2，3=4，求證：AP平分BAC。例2 如圖a在RtABC中，ACB=90°，CDAB，垂足為D，AF平分CAB，交CD于點E，交CB于點F， （1）求證：CE=CF。 （2）將圖a中的ADE沿AB向右平移到ADE的位置，使點E落在BC邊上，其他條件不變，如圖b，試猜想:BE與CF有怎樣的數(shù)量有關系？請證明你的結(jié)論。例3 閱讀下列

3、學習材料：如圖a，OP平分MON，A為OM上一點，C為OP上一點，連接AC，在射線ON上截取OB=OA，連接BC，易證AOCOBC。請根據(jù)上面的學習材料，解答下列各題：（1） 如圖c，在ABC中，AD中BAC的外角平分線，P是AD上異于A點的任意一點，試比較PB+PC與AB+AC的大小，并說明理由。（2） 如圖d，AD中BAC的內(nèi)角平分線，其他條件不變，試比較PC-PB與AC-AB的大小，并說明理由。例4 如圖，已知等腰直角ABC中，A=90°,AB=AC，BD平分ABC，CEBD，垂足為點E，求證：BD=2CE。例5 （1）如圖a，BD、CE分別是ABC的外角平分線，過點A作ADB

4、D、AECE，垂足分別為D、E，連接DE，求證DEBC，DE=；（2） 如圖b，BD、CE分別是ABC的內(nèi)角平分線，其他條件不變；（3） 如圖c，BD為ABC的內(nèi)角平分線，CE為ABC的外角平分線，其他條件不變，則在圖b，圖c兩種情況下，DE與BC還平行嗎？它與ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜測，并對其中的一種情況進行證明。變式練習：如圖，在ABC中，AB=3AC，BAC的平分線交BC于點D，過點B作BEAD，垂足為E，求證：AD=DE。例6 如圖a，AB=AC，BD、CD分別平分ABC、ACB，問：（1） 圖a中有幾個等腰三角形？（2） 過點D點作EFBC，如圖b，交AB于點E，交

5、AC于點F，圖中又增加了幾個等腰三角形？（3） 如圖c，若將題中的ABC改為不等邊三角形，其他條件不變，圖中有幾個等腰三角形？直接寫出線段EF與BE、CF有什么關系？（4） 如圖d,BD平分ABC，CD平分外角ACG，DEBC交AB于點E，交AC于點F，線段EF與BE、CF有什么關系？并說明理由。（5） 如圖e，BD、CD為外角CBM、BCN的平分線，DEBC交AB延長線于點E，交AC延長線于點F，直接寫出線段EF與BE、CF有什么關系？例7 如圖，已知在ABC中，AC=BC，C=90°,AD平分CAB，求證：AB=AC+CD。變式練習：1、已知ABC中，AC=AC，A=108

6、76;,BD平分ABC，求證：BC=AB+CD。2、已知ABC中，AC=AC，A=100°,BD平分ABC，求證：BC=BD+AD。例8 如圖a，OP是MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考上圖構造全等三角形的方法，解答下列問題：（1） 如圖b，在ABC中，ACB是直角，B=60°,AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點F，請你判斷寫出FE與FD之間的數(shù)量關系；（2） 如圖c，在ABC中，ACB不是直角，而（1）中的其他條件不變，請問，你在（1）中所得出結(jié)論是否依然成立？若成立請證明，若不成立，請說明理由。牛刀小

7、試1、 （1）如圖a，在ABC中，ABC與ACB的角平分線相交于點F，過點F作DEBC，交AB于點D，交AC于點E，若BD+CE=9，則線段DE之長為 。（2） 如圖b，在ABC中，BD、CD分別平分ABC和ACB，DEAB，F(xiàn)DAC，如果BC=6，求DEF的周長。2、已知：BAD=CAD，AB>AC，CDAD于點D，H是BC的中點。求證：。3、已知：四邊形ABCD中，B+D=180°,BC=CD。求證：AC平分BAD。4、 ABC的外角ACD的平分線CP與內(nèi)角ABC的平分線BP交于點P，連接AP、CP，若BPC=40°,求CAP的度數(shù)。5、在四邊形中，BC>A

8、B，AD=CD，BD平分ABC，求證：A+C=180°。6、 如圖a，BP平分MBN，點D在射線BP上，ADC的兩邊分別交射線BM、BN于A、C兩點，且ADC+MBN=180°。（1） 猜想AD與DC之間的數(shù)量關系，直接寫出你的結(jié)論。（2） 圖b是ADC繞點D旋轉(zhuǎn)一定角度得到的，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，說明理由。 a b 7、 （1）如圖a，在RtABC中，C=90°,B=45°，AD是ABC的角平分線，則AC、CD、AB三條線段之間的數(shù)量關系為 。（2） 如圖b，若將（1）中條件“在RtABC中，C=90°,B=45

9、°”改為“在ABC中，C=2B”請問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？證明你的猜想。8、在平行四邊形ABCD中，BAD的平分線交直線BC于點E，交直線DC于點F。（1）在圖a中證明CE=CF；（2）若ABC=90°,G是EF的中點(如圖b)，直接寫出BDG的度數(shù)；（3）若ABC=120°，F(xiàn)GCE，F(xiàn)G=CE，分別連接DB、DG（如圖c）,求BDG的度數(shù)。 9、 已知，在ODC中，D=90°，EC是DCO的角平分線，且OECE，過點E作EFOC交OC于點F，猜想：線段EF與OD之間的數(shù)量關系，并證明。10、在四邊形ABDE中，C是BD邊的中點。（1）如圖a，若AC平分BAE，ACE=90°，則線段AE、AB、DE的長度滿足的數(shù)量關系為 ；（直接寫出答案）（