提出問題引入課題

1、提出問題提出問題 引入課題引入課題向量共線定理向量共線定理 如果一個向量如果一個向量b與一個非零向量與一個非零向量a共線時，共線時，那么向量那么向量b就可以用向量就可以用向量a唯一線性表示，即唯一線性表示，即存在唯一一個實數(shù)存在唯一一個實數(shù)，使得，使得 b=a .問題問題 如果向量如果向量c與向量與向量a不共線時，那么向量不共線時，那么向量c還能用向量還能用向量a表示嗎？表示嗎？ 說明了在平面中以向量說明了在平面中以向量a為基準，凡是與為基準，凡是與向量向量a共線的向量都可以用共線的向量都可以用a來線性表示，而來線性表示，而且這種表示法唯一。且這種表示法唯一。 2.3.12.3.1平面向量基本

2、定理實驗感知實驗感知 形成定理形成定理 1.觀察實驗觀察實驗 如圖：如圖：我們先來看一看一個物理實驗，用一個力我們先來看一看一個物理實驗，用一個力F F將將物體拉到斜面頂端上去，力物體拉到斜面頂端上去，力F F是怎樣作用于物體的呢？是怎樣作用于物體的呢？FF1F2這就是說這就是說向量向量F F與向量與向量F F1 1，F(xiàn) F2 2不共線時它既不能用不共線時它既不能用F F1 1單單獨表示也不能用獨表示也不能用F F2 2單獨表示而只能由單獨表示而只能由F F1 1與與F F2 2共同表示。共同表示。已知向量已知向量e1與與e2不共線，作向量不共線，作向量a=3 e1+2 e2 e1e2力力F

3、F被分解為水平方向與豎直方向兩個力，也就是被分解為水平方向與豎直方向兩個力，也就是說說 F=FF=F1 1+F+F2 22.動手操作動手操作也就是說向量也就是說向量e1與與e2的系數(shù)是確定的，這種表示的系數(shù)是確定的，這種表示法的唯一性就是有序數(shù)對（法的唯一性就是有序數(shù)對（6，4）的確定性?。┑拇_定性！ 有且只有有且只有“只有只有”即這種表示法唯一。即這種表示法唯一。 這一種表示方法；這一種表示方法；（1 1）這個同學(xué)作法為以）這個同學(xué)作法為以 ，根據(jù)平行四，根據(jù)平行四邊形法則得到邊形法則得到 = 3e1+2e2。即向量即向量 可以用可以用e1與與e2線性表示；線性表示；21,eOBeOAOCO

4、C這就是說如果選定了這就是說如果選定了 這兩個不共線的向量為基這兩個不共線的向量為基準，那么向量準，那么向量OBOA,OC“有有”即向量即向量 能夠用能夠用 線性表示，線性表示，OCOBOA,OAMBNCD延長延長OC到點到點D，使得，使得CD=OC，向量向量 可以用可以用e1與與e2線性表示嗎？線性表示嗎？ODOACBC圖圖1 OAB圖圖2 圖圖3 圖圖4 圖圖5 OABC圖圖6 OABCOABC（2）剛才同學(xué)們作的這個向量）剛才同學(xué)們作的這個向量 正好在正好在 內(nèi)，內(nèi)，如果在如果在 外呢？外呢？ AOBAOBOC想一想，會有哪些情況？想一想，會有哪些情況？ 綜合起來向量與向量的位置關(guān)系共有

5、綜合起來向量與向量的位置關(guān)系共有6種。如下圖種。如下圖 OANBCMA圖圖2 作作 的相反向量的相反向量 ，過點，過點C作平行于直線作平行于直線OB的直線，與直線的直線，與直線OA交于點交于點M；過點；過點C作平行于作平行于OA的直線，與直線的直線，與直線OB交于點交于點N。由向量的線性運算性。由向量的線性運算性質(zhì)可知，存在實數(shù)質(zhì)可知，存在實數(shù)m,n使得使得 令令 由于由于 ，所以，所以a= 。OA/OA,)(211neONmeemOMnm21,ONOMOC2211ee每一種情況向量每一種情況向量a都能夠用都能夠用e1與與e2線性表示嗎線性表示嗎 當任意向量當任意向量 在角在角 外，不妨設(shè)為圖

6、外，不妨設(shè)為圖2這種情這種情形形 OCAOBOABC 還是構(gòu)造平行四邊形，用加法的平行四還是構(gòu)造平行四邊形，用加法的平行四邊形法則來求。那么邊形法則來求。那么3，4這兩種情形呢？這兩種情形呢？ 還有還有5與與6這兩種共線的情況呢？這兩種共線的情況呢？ 零向量也能用零向量也能用e1與與e2線性表示嗎？怎么表線性表示嗎？怎么表示？示？ （3）這么說在以向量）這么說在以向量 所確定的平面中任意所確定的平面中任意一個向量都能夠用一個向量都能夠用 唯一地線性表示唯一地線性表示 OBOA,OBOA, 如果如果e1與與e2是是同一平面內(nèi)同一平面內(nèi)的的兩個不兩個不共線共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的的向量，那

7、么對于這一平面內(nèi)的任任意向量意向量 a 有且只有一對有且只有一對有序有序 實數(shù)實數(shù)1、2，使得使得 a=1e1+2e2平面向量基本定理：平面向量基本定理： 開放探究開放探究 深化認知深化認知 1.從文字上來看有哪些關(guān)鍵字和詞要注意？從文字上來看有哪些關(guān)鍵字和詞要注意？e1與與e2在在同一平面同一平面內(nèi)內(nèi) e1與與e2不共線不共線 向量向量a是是“任意的任意的” 這里向量這里向量a的任意性其實質(zhì)體現(xiàn)了一種化歸的思的任意性其實質(zhì)體現(xiàn)了一種化歸的思想和方法，它說明了我們可以把對平面中所有向想和方法，它說明了我們可以把對平面中所有向量的研究都轉(zhuǎn)化為與基底有關(guān)的問題來研究。量的研究都轉(zhuǎn)化為與基底有關(guān)的問

8、題來研究。2.在字符表示的式子中，有哪些量？向量在字符表示的式子中，有哪些量？向量e1與與e2具有怎樣的位置關(guān)系？具有怎樣的位置關(guān)系？ 向量向量e1與與e2不共線不共線 如圖，把它們平移到同一起點后會形成一個如圖，把它們平移到同一起點后會形成一個角，這個角對我們今后的研究有很多幫助，所以角，這個角對我們今后的研究有很多幫助，所以這里我們給它取個名字叫向量這里我們給它取個名字叫向量e e1 1與與e e2 2的夾角。即：的夾角。即： 兩個非零向量兩個非零向量 和和 ,作作 ， ,則則ab AOBO Aa O Bb 叫做向量叫做向量 和和 的的夾角夾角abOABba注意注意:兩向量必須是兩向量必須

9、是同起點同起點的的夾角的范圍：夾角的范圍：180 與與 反向反向abOABab記作記作ab90 與與 垂直，垂直，abOAB ab0 與與 同向同向abOABab特別的：特別的：00(0180 )AOB有時，向量有時，向量e1與與e2的夾角就用符號的夾角就用符號表示表示 想一想想一想，向量的夾角的范圍是多少？，向量的夾角的范圍是多少？ ABC【例【例1】如圖，在】如圖，在Rt 中中, ， 分分別求向量別求向量 的夾角的夾角ABC090A,500BBAACBCAC,與向量與向量與BCABD040,CADADACBCAC0130,BADADABBCAB090,CAEAEACBAACE3.向量向量e

10、1與與e2的作用是什么？的作用是什么？ （1）確定了一個平面）確定了一個平面 （2）平面中的其它向量都以它）平面中的其它向量都以它們?yōu)榛鶞蕚優(yōu)榛鶞?我們把不共線的向量我們把不共線的向量e1、e2叫叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底基底 基底的兩個特征：基底的兩個特征：非零及不共線非零及不共線 想一想想一想平面上任一向量的基底有多少組？平面上任一向量的基底有多少組？ 當基底確定后向量的表示是否唯一？當基底確定后向量的表示是否唯一？ 同一個向量在不同的基底下其表示方法同一個向量在不同的基底下其表示方法是否一樣？是否一樣？ （1）設(shè)）設(shè) ， =a則表示方法的唯一性則表

11、示方法的唯一性體現(xiàn)了有序數(shù)對的唯一性即：體現(xiàn)了有序數(shù)對的唯一性即：21,eOBeOAOC，（2）根據(jù)以上分析可以看出平面向量基本定理提）根據(jù)以上分析可以看出平面向量基本定理提供了向量由形向數(shù)轉(zhuǎn)化的理論依據(jù)，為向量的研究供了向量由形向數(shù)轉(zhuǎn)化的理論依據(jù)，為向量的研究提供了更廣闊的背景。正是這一點我們才有理由叫提供了更廣闊的背景。正是這一點我們才有理由叫它為平面向量的基本定理。它為平面向量的基本定理。向向 量量 有序數(shù)對有序數(shù)對（1，2）一一對應(yīng)一一對應(yīng)在在 基基 底底 ， 下下 OAOBOC4如何確定如何確定1與與2的值？的值？前面我們討論了與前面我們討論了與0向量對應(yīng)的一對有向量對應(yīng)的一對有序?qū)?/p>

12、數(shù)為（序?qū)崝?shù)為（0，0）那么非零向量呢？）那么非零向量呢？ 【例【例2】如圖，已知向量】如圖，已知向量 與向量與向量 ， 的夾角的夾角分別為分別為 且且 10， 6， 4 .試求試求1，2使使得得 = + 。OCOAOB,300060OCOAOBOC1OA2OB解析：解析：因為因為OA與與OB垂直，所以過垂直，所以過C作作OA的垂線，垂的垂線，垂足為足為M，由，由 COM= 及及 10得到得到 10cos =5 , 5, = ， 0， = ，同理可得同理可得 ，即，即 = + 。OCOM0303MCOM1OA11635OAOM452OBMCOC63545030OAOBMCBAO3060 試用試

13、用 ， 表示表示 和和 。abBFDE = + = + = + = - = - BFBCCFAD21CDAD21BAAD21ABb21a DEDCCEAB21CBAB21DAAB21ADa21b = + = + = + = - = -課堂演練課堂演練, , 應(yīng)用新知應(yīng)用新知【例【例3】如圖，在平行四邊形】如圖，在平行四邊形ABCD中，中，E、F分別分別是是BC、DC的中點，的中點， 。bADaAB ,DFCABE本題歸納小結(jié)：本題歸納小結(jié)：1此類題目的關(guān)鍵是找所求向量與基底間此類題目的關(guān)鍵是找所求向量與基底間的關(guān)系，常通過觀察圖形，運用向量加減的關(guān)系，常通過觀察圖形，運用向量加減法的平行四邊形法則和三角形法則來尋求。法的平行四邊形法則和三角形法則來尋求。2.如果出現(xiàn)中點或線段比要充分利用中位線如果出現(xiàn)中點或線段比要充分利用中位線定理或相似比來求并且常常要應(yīng)用運算法則定理或相似比來求并且常常要應(yīng)用運算法則來重新組合。來重新組合。課堂小結(jié)課堂小結(jié), , 鞏固新知鞏固新知 主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：一個定理（平面向量基本定理）；一個定理（平面向量基本定理）； 其一，將一般向量化為特殊的基向量來處理；其一，將一般向量化為特殊的基向量