高中數(shù)學平面向量知識點總結(jié)及常見題型

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上平面向量一.向量的基本概念與基本運算1向量的概念：向量：既有大小又有方向的量向量一般用來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：幾何表示法 ，；坐標表示法 向量的大小即向量的模（長度），記作|即向量的大小，記作 向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量0 由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問題中務必看清楚是否有“非零向量”這個條件（注意與0的區(qū)別）單位向量：模為1個單位長度的向量向量為單位向量1平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平行向量都可

2、以移到同一直線上方向相同或相反的向量，稱為平行向量記作由于向量可以進行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量相等向量：長度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為大小相等，方向相同2向量加法求兩個向量和的運算叫做向量的加法設，則+=（1）；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：（1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量（2） 三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量

3、的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連接時，用三角形法則向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：，但這時必須“首尾相連”3向量的減法 相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量記作,零向量的相反向量仍是零向量關(guān)于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互為相反向量，則=,=,+=向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，記作：求兩個向量差的運算，叫做向量的減法作圖法：可以表示為從的終點指向的終點的向量（、有共同起點）4實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，

4、記作，它的長度與方向規(guī)定如下：（）；（）當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，方向是任意的數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律5兩個向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個實數(shù)，使得=6平面向量的基本定理：如果是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底7 特別注意:（1）向量的加法與減法是互逆運算（2）相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件（3）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況（4）向量的坐標與表示該向量的有向

5、線條的始點、終點的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)二.平面向量的坐標表示1平面向量的坐標表示：在直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量可表示成，由于與數(shù)對(x,y)是一一對應的，因此把(x,y)叫做向量的坐標，記作=(x,y)，其中x叫作在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標(1)相等的向量坐標相同，坐標相同的向量是相等的向量(2)向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)2平面向量的坐標運算：(1) 若，則(2) 若，則(3) 若=(x,y)，則=(x, y)(4) 若，則(5) 若，則若，則

6、3向量的運算向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量（內(nèi)積）及其各運算的坐標表示和性質(zhì) 運算類型幾何方法坐標方法運算性質(zhì)向量的加法1平行四邊形法則2三角形法則向量的減法三角形法則向量的乘法是一個向量,滿足:>0時,與同向;<0時,與異向;=0時, =向量的數(shù)量積是一個數(shù)或時,=0且時,三平面向量的數(shù)量積1兩個向量的數(shù)量積：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則·=·cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積） 規(guī)定2向量的投影：cos=R，稱為向量在方向上的投影投影的絕對值稱為射影3數(shù)量積的幾何意義：·等于的長度與在方向上的投影的乘積4向量的模與平方的關(guān)系：5乘法公式

7、成立： ；6平面向量數(shù)量積的運算律：交換律成立：對實數(shù)的結(jié)合律成立：分配律成立：特別注意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7兩個向量的數(shù)量積的坐標運算：已知兩個向量，則·=8向量的夾角：已知兩個非零向量與，作=, =,則AOB= （）叫做向量與的夾角cos=當且僅當兩個非零向量與同方向時，=00，當且僅當與反方向時=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題9垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作10兩個非零向量垂直的充要條件：·O平面向量數(shù)量積的性質(zhì)題型1.基本概念判斷正誤：（1）共線向量就是在同一條直線上的向量.（2

8、）若兩個向量不相等，則它們的終點不可能是同一點.（3）與已知向量共線的單位向量是唯一的.（4）四邊形ABCD是平行四邊形的條件是.（5）若，則A、B、C、D四點構(gòu)成平行四邊形.（6）因為向量就是有向線段，所以數(shù)軸是向量.（7）若與共線， 與共線，則與共線.（8）若，則.（9）若，則.（10）若與不共線，則與都不是零向量.（11）若，則.（12）若，則.題型2.向量的加減運算1.設表示“向東走8km”, 表示“向北走6km”,則 .2.化簡 .3.已知,則的最大值和最小值分別為 、 .4.已知的和向量，且，則 ， .5.已知點C在線段AB上，且,則 ， .題型3.向量的數(shù)乘運算1.計算：（1）

9、（2）2.已知，則 .題型4.作圖法球向量的和已知向量，如下圖，請做出向量和. 題型5.根據(jù)圖形由已知向量求未知向量1.已知在中，是的中點，請用向量表示.2.在平行四邊形中，已知，求.題型6.向量的坐標運算1.已知，則點的坐標是 .2.已知，則點的坐標是 .3.若物體受三個力,則合力的坐標為 .4.已知，求，.5.已知,向量與相等，求的值.6.已知，則 .7.已知是坐標原點，且，求的坐標.題型7.判斷兩個向量能否作為一組基底1.已知是平面內(nèi)的一組基底，判斷下列每組向量是否能構(gòu)成一組基底：A. B. C. D.2.已知，能與構(gòu)成基底的是（ ）A. B. C. D.題型8.結(jié)合三角函數(shù)求向量坐標1

10、.已知是坐標原點，點在第二象限，求的坐標.2.已知是原點，點在第一象限，求的坐標.題型9.求數(shù)量積1.已知，且與的夾角為，求（1），（2），（3），（4）.2.已知，求（1），（2），（3），（4）.題型10.求向量的夾角1.已知，求與的夾角.2.已知，求與的夾角.3.已知，求.題型11.求向量的模1.已知，且與的夾角為，求（1），（2）.2.已知，求（1），（5），（6）.3.已知，求.題型12.求單位向量 【與平行的單位向量：】1.與平行的單位向量是 .2.與平行的單位向量是 .題型13.向量的平行與垂直1.已知，當為何值時，（1）？（2）？2.已知，（1）為何值時，向量與垂直？（2）為何

11、值時，向量與平行？3.已知是非零向量，且，求證：.題型14.三點共線問題1.已知，求證：三點共線.2.設，求證：三點共線.3.已知，則一定共線的三點是 .4.已知，若點在直線上，求的值.5.已知四個點的坐標，是否存在常數(shù)，使成立？題型15.判斷多邊形的形狀1.若，且,則四邊形的形狀是 .2.已知，證明四邊形是梯形.3.已知，求證：是直角三角形.4.在平面直角坐標系內(nèi)，,求證：是等腰直角三角形.題型16.平面向量的綜合應用1.已知，當為何值時，向量與平行？2.已知，且，求的坐標.3.已知同向，則，求的坐標.3.已知，則 .4.已知，請將用向量表示向量.5.已知，（1）若與的夾角為鈍角，求的范圍；（2）若與的夾角為銳角，求的范圍.6.已知，當為何值時，（1）與的夾角為鈍角？（2）與的夾角為銳角？7.已知梯形的頂點坐標分別為，且，求點的坐標.8.已知平行四邊形的三個頂點的坐標分別為，求第四個頂點的坐標.9.一航船以5km/h的速度向垂直于對岸方向行駛，航船實際航行方向與水流方向成角，求水流速度與船的實際速度.10.已知三個頂點的坐標分別為，（1）若，求的值；（2）若，求的值.【備