第19講銳角三角函數(shù)

1、.第19講銳角三角函數(shù)命題點(diǎn)解直角三角形12019·承德模擬如圖，在RtABC中，C90°，BC8，tanB，點(diǎn)D在BC上，且BDAD，求AC的長(zhǎng)和cosADC的值解：在RtABC中，BC8，tanB，ACBC·tanB4.設(shè)ADx，那么BDx，CD8x，在RtADC中，8x242x2，解得x5.AD5，CD853，cosADC.22019·河北模擬如圖，AD是ABC的中線，tanB，cosC，AC.求：1BC的長(zhǎng)；2sinADC的值解：1過點(diǎn)A作AEBC于點(diǎn)E.cosC，C45°.在RtACE中，CEAC·cosC1，AECE1.在

2、RtABE中，tanB，即，BE3AE3.BCBECE4.2AD是ABC的中線，CDBC2.DECDCE1.AEBC，DEAE，ADC45°.sinADC.重難點(diǎn)1解直角三角形2019·河北模擬，在ABC中，ACB90°，tanB，AB5，D在AB上1求BC的長(zhǎng)；2如圖1，假設(shè)CDBB，求sinDCB的值；3如圖2，過點(diǎn)B作BECD所在的直線，垂足為E，BE的延長(zhǎng)線交直線AC于點(diǎn)F.當(dāng)tanBCD2時(shí)，求SCBF；當(dāng)AF時(shí)，求線段AD的長(zhǎng)【思路點(diǎn)撥】1由正切的定義可知ABC是一個(gè)勾3，股4，弦5的直角三角形；2可通過過點(diǎn)D作DEBC，利用tanB找到DE，BE的數(shù)

3、量關(guān)系，再解直角DCE，求得sinDCB的值；3因?yàn)锽CDCFB：利用tanCFB的值，求CF，進(jìn)而求SCBF；可通過過點(diǎn)A作BC的平行線交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，先求AG，再利用相似求AD的長(zhǎng)【自主解答】解：1在ABC中，ACB90°，tanB，tanB，ACBC.AC2BC2AB2，BC2BC252，BC3.2過點(diǎn)D作DEBC，那么tanB，BEDE，CEBCBE3DE.CDBB，CDCB3.CD2CE2DE2，32DE23DE2，解得DE.sinDCB.3BCDFCE90°，CFBFCE90°，BCDCFB.tanBCDtanCFB2.tanCFB2，BC3，CF

4、.SCBF.當(dāng)點(diǎn)F在線段AC上時(shí)，如圖3，過點(diǎn)A作AGBC交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，tanACGtanCBF，AC4，AG.AGBC，.，AD.圖3圖4當(dāng)點(diǎn)F在線段CA的延長(zhǎng)線上，如圖4，過點(diǎn)A作AGBC交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.tanACGtanCBF，AC4，AG7.AGBC，.AD.1解直角三角形，需知除直角以外的兩個(gè)條件一邊和一角或兩邊，可求得其余的邊或角2在求解時(shí)，一般選取既含未知邊角又含有邊或角的直角三角形，通過銳角三角函數(shù)的定義或勾股定理，建構(gòu)或未知之間的橋梁；從而實(shí)現(xiàn)求解3假設(shè)所求的線段或角不能直接求解，可以通過作出點(diǎn)到直線的間隔 或三角形高線，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成直角三角形求解4解直角三角形和相似

5、三角形的性質(zhì)，是幾何求解中的重要工具,【變式訓(xùn)練1】如圖是由一個(gè)角為60°且邊長(zhǎng)為1的菱形組成的網(wǎng)格，每個(gè)菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，那么tanBAC【變式訓(xùn)練2】2019·上海如圖，在ABC中，ABBC5，tanABC.1求邊AC的長(zhǎng)；2設(shè)邊BC的垂直平分線與邊AB的交點(diǎn)為D，求的值解：1過點(diǎn)A作AEBC，在RtABE中，tanABC，AB5，AE3，BE4.CEBCBE541.在RtAEC中，根據(jù)勾股定理，得AC.2如圖，DF垂直平分BC，BDCD，BFCF.tanDBF，DF.在RtBFD中，根據(jù)勾股定理，得BD，AD5，那么.重難點(diǎn)2解直角三角形的應(yīng)

6、用1如圖1，為了游客的平安，某景點(diǎn)將原坡角為60°的斜坡AB改為坡度為1的斜坡AC，AB100米，BC在同一程度線上，求改造后斜坡的坡腳向前挪動(dòng)間隔 BC的長(zhǎng)；22019·郴州小亮在某橋附近試飛無人機(jī)，如圖2，為了測(cè)量無人機(jī)飛行的高度AD，小亮通過操控器指令無人機(jī)測(cè)得橋頭B，C的俯角分別為EAB60°，EAC30°，且D，B，C在同一程度線上橋BC30米，求無人機(jī)飛行的高度AD；準(zhǔn)確到0.01米，參考數(shù)據(jù)：1.414，1.73232019·湘西如圖3，某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路l經(jīng)過A，B兩個(gè)景點(diǎn)，景區(qū)管委會(huì)又開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn)C.經(jīng)測(cè)量，

7、C位于A的北偏東60°的方向上，C位于B的北偏東30°的方向上，且AB10 km.求景點(diǎn)B與C的間隔 ；為了方便游客到景點(diǎn)C玩耍，景區(qū)管委會(huì)準(zhǔn)備由景點(diǎn)C向公路l修一條間隔 最短的公路，不考慮其他因素，求出這條最短公路的長(zhǎng)結(jié)果保存根號(hào)【思路點(diǎn)撥】這三個(gè)問題均可以通過過點(diǎn)A作直線BC的垂線，垂足為D，再利用解直角三角形ABD和直角三角形ACD來解決【自主解答】解：1過點(diǎn)A作ADBC于點(diǎn)D，在RtABD中，ABD60°，BDAB·cosABD100×cos60°50米，ADAB·sinABD50米AC的坡度為1，ADCD1.CD1

8、50，BCCDBD15050100米改造后斜坡的坡腳向前挪動(dòng)間隔 BC的長(zhǎng)是100 m.2由題意，得EAC30°，EAB60°，AEBC，EACACB30°，EABABD60°.ABDACBBAC，BACACB30°.ABBC30.在RtABD中，ADAB·sinABD1525.98米3由題意，得CAB30°，ABC90°30°120°，C180°CABABC30°.CABC30°.BCAB10 km，即景點(diǎn)B，C的間隔 為10 km.過點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D，BC1

9、0 km，C位于B的北偏東30°的方向上，CBD60°，在RtCBD中，CDBC5 km.【變式訓(xùn)練3】2019·常州京杭大運(yùn)河是世界文化遺產(chǎn)綜合理論活動(dòng)小組為了測(cè)出某段運(yùn)河的河寬岸沿是平行的，如圖，在岸邊分別選定了點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D，先用卷尺量得AB160 m，CD40 m，再用測(cè)角儀測(cè)得CAB30°，DBA60°，求該段運(yùn)河的河寬即CH的長(zhǎng)解：過點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E，可得四邊形CHED為矩形，HECD40 m.設(shè)CHDEx m，在RtBDE中，DBA60°，BEx.在RtACH中，BAC30°，AHx.由AHHEEBAB

10、160 m，得x40x160，解得x30，即CH30 m.答：該段運(yùn)河的河寬為30 m1對(duì)于解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用題，要靈敏運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，通常是根據(jù)以下方法和步驟解決：1有圖的要先將題干中的量在圖中表示出來，找到與量和未知量相關(guān)聯(lián)的三角形，畫出平面幾何圖形，弄清條件中各量之間的關(guān)系；2假設(shè)三角形是直角三角形，根據(jù)邊角關(guān)系進(jìn)展計(jì)算；假設(shè)三角形不是直角三角形，可通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形來解決，其中作某邊上的高是常用的輔助線總的來說，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用問題，關(guān)鍵是要根據(jù)實(shí)際情況建立數(shù)學(xué)模型，正確畫出圖形或作出輔助線并找準(zhǔn)直角三角形,模型建立此題的三個(gè)題均可以抽象出如以下圖形：另外實(shí)際問題還可

11、以抽象的幾何圖形為：12019·孝感如圖，在RtABC中，C90°，AB10，AC8，那么sinA等于AA. B. C. D.22019·保定模擬在ABC中，A，B均為銳角，且tanB2sinA0，那么ABC一定是DA等腰三角形B等邊三角形C直角三角形D有一個(gè)角是60°的三角形32019·唐山豐南區(qū)模擬在ABC中，ABAC13，BC24，那么tanB等于BA. B. C. D.42019·貴陽如圖，A，B，C是小正方形的頂點(diǎn)，且每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，那么tanBAC的值為BA. B1 C. D.52019·河北模擬如圖，A

12、BC在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的方格紙中，它的頂點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)位置假如ABC的面積為10，且sinA，那么點(diǎn)C的位置可以在DA點(diǎn)C1處 B點(diǎn)C2處 C點(diǎn)C3處 D點(diǎn)C4處6如圖是一輛小汽車與墻平行停放的平面示意圖，汽車靠墻一側(cè)OB與墻MN平行且間隔 為0.8米，一輛小汽車車門寬AO為1.2米，當(dāng)車門翻開角度AOB為40°時(shí)，車門是否會(huì)碰到墻？否；填“是或“否請(qǐng)簡(jiǎn)述你的理由點(diǎn)A到OB的間隔 小于OB與墻MN平行的間隔 參考數(shù)據(jù)：sin40°0.64，cos40°0.77，tan40°0.847【分類討論思想】2019·無錫在ABC中，AB10，AC

13、2，B30°，那么ABC的面積等于15或10.82019·貴陽如圖1，在RtABC中，以下是小亮探究與之間關(guān)系的方法：sinA，sinB，c，c.，根據(jù)你掌握的三角函數(shù)知識(shí)在圖2的銳角ABC中，探究，之間的關(guān)系，并寫出探究過程解：.理由：過點(diǎn)A作ADBC，過點(diǎn)B作BEAC，在RtABD中，sinB，即ADc·sinB，在RtADC中，sinC，即ADb·sinC，c·sinBb·sinC，即.同理可得，那么.92019·衡陽一名徒步愛好者來衡陽旅行，他從賓館C出發(fā)，沿北偏東30°的方向行走2 000米到達(dá)石鼓書院A

14、處，參觀后又從A處沿正南方向行走一段間隔 ，到達(dá)位于賓館南偏東45°方向的雁峰公園B處，如下圖1求這名徒步愛好者從石鼓書院走到雁峰公園的途中與賓館之間的最短間隔 ；2假設(shè)這名徒步愛好者以100米/分的速度從雁峰公園返回賓館，那么他在15分鐘內(nèi)能否到達(dá)賓館？解：1過點(diǎn)C作CPAB于點(diǎn)P，由題意，得A30°，AP2 000米，那么CPAC1 000米2在RtPBC中，PC1 000，PBCBCP45°，BCPC1 000米這名徒步愛好者以100米/分的速度從雁峰公園返回賓館，他到達(dá)賓館需要的時(shí)間為1015.他在15分鐘內(nèi)能到達(dá)賓館10如圖，在四邊形ABCD中，AB8，

15、BC1，DAB30°，ABC60°，那么四邊形ABCD的面積為5，AD的長(zhǎng)是2提示：延長(zhǎng)AD，BC相交于點(diǎn)E，可得ABE為直角三角形112019·眉山如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB，CD相交于點(diǎn)O，那么tanAOD2提示：連接BE，構(gòu)造RtBOF，根據(jù)AOCBOK可得OK與CK的數(shù)量關(guān)系，求出OF與BF的數(shù)量關(guān)系即可12如圖，在ABC中，ABAC2，sinB，D為邊BC的中點(diǎn)，E為邊BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CEBC.連接AE，F(xiàn)為線段AE的中點(diǎn)求：1線段DE的長(zhǎng)；2CAE的正切值解：1連接AD.ABAC，D為BC的中點(diǎn)，ADBC，即ADB90°.ABAC2，sinB，.AD4.由勾股定理，得BD2，DCBD2，BC4.CEBC，CE4.DEDCCE246.2過點(diǎn)C作CMAE于點(diǎn)M, 那么CMACME90°.在RtADE中，由勾股定理，得AE2.CM2AC2AM2CE2EM2，22AM2422AM2，解得