2016年江蘇省南通市高考數(shù)學(xué)一模試卷(解析版)

1、2021年省市高考數(shù)學(xué)一模試卷一、填空題：本大題共14小題，每題5分，共計(jì)70分.1. 集合 A=x| - 1 v xv 2 , B= - 1, 0, 1, A AB=.2. 假設(shè)復(fù)數(shù)z=a+2i i為虛數(shù)單位，a R滿足| z| =3，那么a的值為.3從1, 2, 3, 4這四個(gè)數(shù)中依次隨機(jī)地取2個(gè)數(shù)，那么所取2個(gè)數(shù)的乘積為偶數(shù)的概率是.4根據(jù)如下列圖的偽代碼，可知輸出的結(jié)果S為廠；:$40:tIf:White 510: £ :：/<-/ + !I:EcdWlilc!:L丿5. 為了了解居民家庭網(wǎng)上購物消費(fèi)情況，某地區(qū)調(diào)查了 10000戶家庭的月消費(fèi)金額單位：元，所有數(shù)據(jù)均在

2、區(qū)間0, 4500上，其頻率分布直方圖如下列圖，那么被調(diào)查的 10000戶家 庭中，有戶月消費(fèi)額在1000元以下消費(fèi)元6. 設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.假設(shè)S2=3, S4=15，那么S6=.7. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，雙曲線b>0過點(diǎn)p 1, 1，其一條 漸近線方程為宀宀,那么該雙曲線的方程為.8正方體ABCD - A1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)E是棱B1B的中點(diǎn)，那么三棱錐 B1 - ADE的 體積為.9假設(shè)函數(shù)Xax (x+2) ( rCOa, b R為奇函數(shù)，那么f a+b的值為.10.塚口廿尋今，那么程丄工二一的值是.11. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點(diǎn)A 1, 0

3、B4, 0假設(shè)直線x- y+m=0上存在點(diǎn)P 使得pa=PB,那么實(shí)數(shù) m的取值圍是.2* 1 » - 1 »» f12. 邊長為6的正三角形 ABC , BDpBC，他虬,AD與BE交點(diǎn)P,那么尸滬FD的 值為.13. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線1與曲線y=x2x> 0和y=x3x> 0均相切，切點(diǎn)貨1分別為AX1, y1和BX2, y2，那么 的值為.14. 函數(shù) f x=2ax2+3b a, b R，假設(shè)對于任意 x - 1, 1，都有 | f x| < 1 成立， 那么ab的最大值是.二、解答題：本大題共 6小題，共計(jì)90分.請作答

4、，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或 演算步驟.15. 在 ABC 中，角 A , B , C 所對的邊分別為 a, b, c, a+b - ca+b+c=ab.1求角C的大??；2丨假設(shè)c=2acosB, b=2，求 ABC的面積.16. 如圖，在直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，點(diǎn)E是A1C1的中點(diǎn).求 證：1BE 丄 AC ;2BE /平面 ACD 1.2 217. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓青+寧過點(diǎn)A 2, 1離心率q. b1求橢圓的方程；2假設(shè)直線l: y=kx +m kz 0與橢圓相交于 B , C兩點(diǎn)異于點(diǎn)A線段BC被y軸 平分，且AB丄AC

5、 ,求直線l的方程.y14;18如圖，陰影局部為古建筑物保護(hù)群所在地，其形狀是以01為圓心，半徑為1km的半圓面公路I經(jīng)過點(diǎn)0,且與直徑 0A垂直，現(xiàn)方案修建一條與半圓相切的公路 PQ點(diǎn)P在 直徑0A的延長線上，點(diǎn) Q在公路I上，T為切點(diǎn).1按以下要求建立函數(shù)關(guān)系： 設(shè)/ 0PQ= a rad,將厶0PQ的面積S表示為a的函數(shù)； 設(shè)OQ=t km，將厶OPQ的面積S表示為t的函數(shù).2請你選用1中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系，求 OPQ的面積S的最小值.19. 函數(shù) f x=a+. _Jnx a R.1求fx的單調(diào)區(qū)間；2試求fx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.20. 假設(shè)數(shù)列an中存在三項(xiàng)，按一定次序排列構(gòu)成等

6、比數(shù)列，那么稱 an為 等比源數(shù)列 1數(shù)列an中，a1=2, an+1=2an - 1. 求an的通項(xiàng)公式； 試判斷an是否為 等比源數(shù)列"，并證明你的結(jié)論.2數(shù)列an為等差數(shù)列，且 a1工0, an Z n N*，求證：an為 等比源數(shù)列"10分，共計(jì)20分.解答時(shí)應(yīng)【選做題】在21、22、23、24四小題中只能選做兩題，每題寫出文字說明、證明過程或演算步驟.選修4&shy;1 :幾何證明選講21. 如圖，圓 O的直徑AB=10 , C為圓上一點(diǎn),BC=6 .過C作圓O的切線I , AD丄I于點(diǎn)D，且交圓O于點(diǎn)E,求DE長.22.矩陣，求逆矩陣M選修4&s

7、hy;2 :矩陣與變換的特征值.選修4&shy;4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程23.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)AC的極坐標(biāo)方程.A2, ,圓C的方程為P二詬曲口可圓心為點(diǎn)C，求直線選修4&shy;5 :不等式選講24. a>0, b>0,求證：a6+b6> aba4+b4.【必做題】第25題、第26題，每題10分，共計(jì)20分解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過 程或演算步驟.25. 如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，SA丄平面ABCD , AB=1 , AD=AS=2 ,P是棱SD上一點(diǎn)，且'?.1求直線AB與CP所成角的余弦值；2求二面角 A - PC- D的

8、余弦值.n N*.26. 函數(shù) fo x=x sinx+cosx，設(shè) fn x 丨是 fn x 丨的導(dǎo)數(shù),1求f1 X，f2 X的表達(dá)式;2寫出fnx的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.2021年省市高考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、填空題：本大題共 14小題，每題5分，共計(jì)70分.1. 集合 A=x| - 1 vxv 2 , B= - 1, 0, 1, A AB=0, 1.【考點(diǎn)】交集與其運(yùn)算.【分析】直接根據(jù)交集的定義即可求出.【解答】解：集合 A=x| - 1 v xv 2, B= - 1, 0, 1,那么 A nB=0, 1,故答案為：0, 1.3從1, 2, 3, 4這四個(gè)數(shù)中依次隨機(jī)

9、地取 2個(gè)數(shù)，那么所取2個(gè)數(shù)的乘積為偶數(shù)的概率是 虧.【考點(diǎn)】 古典概型與其概率計(jì)算公式.【分析】列舉可得共6種情形，其中滿足所取2個(gè)數(shù)的乘積為偶數(shù)的有 5種情形，由概率公 式可得.【解答】 解：從1, 2，3，4這4個(gè)數(shù)中依次隨機(jī)地取 2個(gè)數(shù)有1，2， 1，3， 1，4， 2，3， 2，4， 3，4共 6 種情形，其中滿足所取2個(gè)數(shù)的乘積為偶數(shù)的有1，2， 1，4， 2，3， 2,4， 3，4，共5種情形，所求概率二，故答案為：O4根據(jù)如下列圖的偽代碼，可知輸出的結(jié)果S為14:WOI*II;:Whilej1!I JU；:Eod WhikI；Pnnt5:LJ【考點(diǎn)】偽代碼.一直求出不滿足【分析

10、】根據(jù)偽代碼所示的順序，逐框分析程序中各變量、各語句的作用, 循環(huán)條件時(shí)s的值.【解答】解：模擬執(zhí)行程序，可得S=0, I=1 ,S=1, I=2 ,S=1+22=5, I=3,S=1+22+32=14, I=4滿足條件sw 10,執(zhí)行循環(huán), 滿足條件Sw 10,執(zhí)行循環(huán), 滿足條件Sw 10,執(zhí)行循環(huán),不滿足條件SW 10,退出循環(huán)，輸出 S的值為14.故答案為：14.5.為了了解居民家庭網(wǎng)上購物消費(fèi)情況， 某地區(qū)調(diào)查了 10000戶家庭的月消費(fèi)金額 單位： 元，所有數(shù)據(jù)均在區(qū)間0, 4500上,其頻率分布直方圖如下列圖，那么被調(diào)查的 10000戶家 庭中，有 750戶月消費(fèi)額在1000元以

11、下【考點(diǎn)】頻率分布直方圖.【分析】 直方圖中小矩形的面積表示頻率，即可求出答案.【解答】 解：由直方圖可得 1000元以下共有10000X 0.00005+0.0001X 500=750戶, 故答案為：750.6.設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.假設(shè)S2=3, S4=15，那么S6= 63【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.【分析】直接利用等比數(shù)列的性質(zhì)，求解即可.【解答】解：等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.假設(shè)S2=3, S4=15 , 所以 S2,S4-S2,S6 - S4,也是等比數(shù)列，S4 -S22=S2? S6- S4，即 122=3? S6 - 15，解得S6=63故答案為：

12、63.7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線2 2青備G>o,社>0過點(diǎn)p 1, a b1,其一條漸近線方程為廣2 ,那么該雙曲線的方程為2x2- y2=1 .【考點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【分析】 根據(jù)題意和雙曲線的漸近線方程列出方程組，求出a2和b2的值，即可求出雙曲線的方程.【解答】解：由題意可得,解得丄,b2=1,所以雙曲線的方程為 2x2-y2=1,故答案為：2x2 - y2=1 .8正方體ABCD - A1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)E是棱B1B的中點(diǎn)，那么三棱錐 B1 - ADE的 體積為了二.【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積.【分析】由題意，三棱錐 Bl- ADE的體積=三棱

13、錐D - BiAE的體積，即可得出結(jié)論. 【解答】 解：由題意，三棱錐 Bi - ADE的體積=三棱錐D - BiAE的體積12故答案為9假設(shè)函數(shù)a, b R為奇函數(shù),那么f a+b的值為 -1【考點(diǎn)】函數(shù)的值；分段函數(shù)的應(yīng)用.【分析】由中函數(shù)fx為奇函數(shù)，f- x= - fx恒成立，可得a, b的值，進(jìn)而可得f a+b的值.【解答】解：函數(shù)為奇函數(shù),X故f- x= - f x恒成立,x2 -工0-fX=一 乂亠 一xVOfa+b=f 1=1 - 2= - 1,故答案為：-1.t z . 1廠 5 兀 >*2 /510.鳳口兀十肓予，那么Bini孟十和口 - 的值是吞.【考點(diǎn)】兩角和與差

14、的正弦函數(shù)；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用.【分析】由條件利用誘導(dǎo)公式，同角三角的根本關(guān)系，化簡要求的式子可得結(jié)果.,Y 1. fz JT 、兀【解答】 解：|1-，那么'-=-sinx+f 一 cin v+-兀+1 -=1+1 -15011 1 k X 1&+1SID二-)：39g故答案為：旦911.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點(diǎn)A 1, 0B4, 0假設(shè)直線x- y+m=0上存在點(diǎn)P 使得paJ-PB,那么實(shí)數(shù)m的取值圍是2 【考點(diǎn)】兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用.【分析】設(shè)Px, x+m，由PA今PB,可得4|PA|2=| PB|2,禾U用兩點(diǎn)之間的距離公式化為：x+m2=4 - x2,

15、可得：m= - x土 Jg十疋2 , x - 2, 2.通過三角函數(shù)代換即可得出.【解答】 解：設(shè) Px, x+m，/ PAj-PB,A 4| PA| 2=| PB|2,4x - 12+4x+m2=x-42+x+m2,化為x+m2=4 - x2,.4 - x2>0，解得 x - 2, 2,.m= - x 土！/-,令 x=2cos 0, 0 0, n ,m= - 2cos 0± 2sin 0jr=± 2血皿6 士 -、2近,實(shí)數(shù)m的取值圍是'1. 2 .,故答案為：12.邊長為6的正三角形 ABC ,AD與BE交點(diǎn)P,那么一的值為 3【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)

16、算.【分析】由題意作圖輔助，從而可得點(diǎn)P是正三角形ABC的中心，從而可求平面向量的數(shù)量積.D , E分別為線段BC , AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是正三角形 ABC的中心，* 22 V5.話丨廿|= 一？|BE|=？ 一 ?|AB|=2 :;,111-1=.且/ BPD=故覓 帀同西11 73 cop6xl =3,故答案為：3.13. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線1與曲線y=x2x> 0和y=x3x> 0均相切，切點(diǎn) 廠 4分別為Axi, yi和BX2, y2，那么的值為3"【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì).【分析】 求出導(dǎo)數(shù)得出切線方程，即可得出結(jié)論.【解答】解：由y=x2,得y=2

17、x，切線方程為y- x/=2xi x- xj,即y=2x ix - xi2, 由 y=x3,得 y'=3x2,切線方程為 y-X23=3x 22x-X2，即 y=3x 22x- 2x23, 2xi=3x22, xi2=2x23,Kl| 4|兩式相除，可得一一=亠.4故答案為：g.14. 函數(shù) f x=2ax2+3b a, b R，假設(shè)對于任意 x - 1, 1，都有 |f x| < 1 成立, 那么ab的最大值是【考點(diǎn)】函數(shù)的值；二次函數(shù)的性質(zhì).【分析】由對于任意x - 1, 1，都有|fx| w 1成立，可得a, b對應(yīng)的可行域， 進(jìn)而根據(jù)根本不等式得到ab的最大值.【解答】

18、解：函數(shù)f x=2ax2+3b圖象的頂點(diǎn)為0, 3b，假設(shè)假設(shè)對于任意 x - 1, 1，都有|fx| w 1成立，那么-L<2a+3b<l其對應(yīng)的平面區(qū)域如以下列圖所示:令Z=ab，那么在第一，三象限a, b同號(hào)時(shí)ab取最大值,由 2a+3b=1，a> 0, b >0 得:ab<24124故答案為:二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分請作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15. 在 ABC 中，角 A , B , C 所對的邊分別為 a, b, c, a+b - ca+b+c=ab.1求角C的大??；2丨假設(shè)c=2acosB, b=2，求 ABC的面

19、積.【考點(diǎn)】 余弦定理.【分析】1利用余弦定理表示出 cosC,把等式整理后代入計(jì)算求出cosC的值，即可確定出C的度數(shù).2由正弦定理可得 sinA+B=2sinAcosB，由兩角和的正弦公式可求得sin A - B=0,根據(jù)-nV A - B V n,可求A - B=0，可得a=b=2，利用三角形面積公式即可計(jì)算得解.【解答】 解：1在厶 ABC 中， a+b - c a+b+c=ab, a+b2 - c?=ab,l卩 a2+b2- c2 = ab,. cosC=12ab2，/ C為三角形角，2兀二 c=3 .2. c=2acosB,由正弦定理可得sin A+B=2sinAcosB，由兩角和

20、的正弦公式可得 sinAcosB +cosAsinB=2sinAcosB , sin A - B=0，又-nV A - B V n, A - B=0，可得：a=b=2, ABC =-absi nC4L'=16. 如圖，在直四棱柱 ABCD - AlBlClDl中，底面ABCD是菱形，點(diǎn)E是AiCi的中點(diǎn).求 證：1BE 丄 AC ;2BE /平面 ACD i.【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的性質(zhì).【分析】1推導(dǎo)出BAi=BCi，點(diǎn)E是AiCi的中點(diǎn)，從而BE丄AiCi，由此能證明BE丄 AC .2連結(jié)BiDi,交AiCi于點(diǎn)E，連結(jié)AC,BD，交于點(diǎn)0 ,連結(jié)ODi,推導(dǎo)

21、出四邊形BEDiO 是平行四邊形，由此能證明 BE /平面ACDi.【解答】 證明：i：在直四棱柱 ABCD - AiBiCiDi中，底面ABCD是菱形， BAi=BCi,點(diǎn)E是AiCi的中點(diǎn)，- BE 丄AiCi,/ AC / AiCi,二 BE 丄 AC .2連結(jié)BiDi，交AiCi于點(diǎn)E，連結(jié)AC , BD，交于點(diǎn)O,連結(jié)ODi,在直四棱柱 ABCD - AiBiCiDi中，底面ABCD是菱形，- DieEbO,.四邊形BEDiO是平行四邊形，I 3 BE / ODi,ODi?平面 ACD i, BE?平面 ACDi, BE /平面 ACD i.i7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓

22、過點(diǎn)A 2, i，離心率i求橢圓的方程;BC被y軸2假設(shè)直線I: y=kx+m心0與橢圓相交于 B , C兩點(diǎn)異于點(diǎn) A，線段 平分，且AB丄AC ,求直線I的方程.b2=a2 - c2,與點(diǎn)A2, 1，聯(lián)立即可求得a, b 與 c的值，即可求得橢圓方程；2將直線方程代入橢圓方程，求得關(guān)于X的一元二次方程，利用韋達(dá)定理求得xb+xc=-,根據(jù)線段BC被y軸平分，即xb+xc=0,即可求得m的值，根據(jù)向量的坐標(biāo)表示求得-匕1=0，即可求得k的值，將點(diǎn)A代入直線方程，當(dāng)【解答】解：1由條件知橢圓2 2-：'- 離線率a b，不滿足，故求得k的值.，將點(diǎn)A 2,.b2=a21，代入橢圓方程得

23、p*二解得弋2 2故橢圓方程為：二2將直線 I: y=kx +m k 豐 0代入橢圓方程，x2+4 kx+m2 - 8=0 , 整理得：1+4k2x2+8mkx+4m2-8=0 ,線段BC被y平分得：xb+xc=-石=0!+4k2，kz 0, m=0 ,.B , C 關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè) Bx, kx，C- x, - kx,x2=0,又 AB 丄 AC , A2, 1，* * o*_?£= X- 2- x- 2+ kx - 1- kx - 1=5 - 1+k2解得k= ± 1 ,由k=亠，直線y=1過點(diǎn)A2, 1丨故k=_不符合題意,所以，此時(shí)直線I的直線方程y= -7,-x.

24、18如圖，陰影局部為古建筑物保護(hù)群所在地，其形狀是以01為圓心，半徑為1km的半圓面公路I經(jīng)過點(diǎn)0,且與直徑 0A垂直，現(xiàn)方案修建一條與半圓相切的公路 PQ點(diǎn)P在 直徑0A的延長線上，點(diǎn) Q在公路I上，T為切點(diǎn).1按以下要求建立函數(shù)關(guān)系： 設(shè)/ 0PQ= a rad,將厶0PQ的面積S表示為a的函數(shù)； 設(shè)OQ=t km，將厶OPQ的面積S表示為t的函數(shù).2請你選用1中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系，求 OPQ的面積S的最小值.那么sin aS；3=x - x3,PO=1OQ=OP?tan a= 1+ 廣11 I OPQ 的面積 S=OP?OQ=r? 1 +?tana;IsinQI1+<-:?tana=：

25、 ?_1 /t:- J ?tan a； sintL【考點(diǎn)】弧度制的應(yīng)用；函數(shù)解析式的求解與常用方法；三角函數(shù)的最值.【分析】1結(jié)合圖形，用sin a求出PO1、0P以與0Q的值，計(jì)算 OPQ的面積S即 可；1J .,1二 i匚：,°P=",，設(shè) OQ=t km，/ OQP=2 0,那么tanOP=OQ?tan2 0=2t OPQ的面積 S=OP?OQ=？.23 |t2-l?t=亙2用1中函數(shù)關(guān)系，S=設(shè) x=>0,函數(shù) fx=x-那么 f' x=1 - 3x2,v;令 f' x=0,解得 x=x3,x>0; x 0,丨時(shí)，f'x 0, f

26、x是增函數(shù),VI-,.當(dāng)x=二丄時(shí)，f X取得最大值是fx+s時(shí)，f'xv 0, fx是減函數(shù);2V39 OPQ的面積S的最小值是19. 函數(shù) f x=a+ .lnx a R.1求fx的單調(diào)區(qū)間；2試求fx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理.【分析】1求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;2求出函數(shù)的最小值，通過討論 a的圍，從而求出函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可.0, +7【解答】 解：1函數(shù)f X的定義域是r-r 1f'x=.一Inx+ .一?一= -0 v xv e令 f' x 0,解得：xe-2，令 f

27、'xv 0，解得: -fx在0, e-2遞減，在e-2, +8遞增；2由1得：fxmin=fe-2=a-二，顯然a> -時(shí)，fx> 0，無零點(diǎn),2時(shí)，fx=0，有1個(gè)零點(diǎn)，eav 一時(shí)，fxv 0,有2個(gè)零點(diǎn).e20. 假設(shè)數(shù)列 an中存在二項(xiàng)，按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列，那么稱 an為 等比源數(shù)列1數(shù)列an中，ai=2，an+i=2an- 1. 求an的通項(xiàng)公式； 試判斷an是否為 等比源數(shù)列"，并證明你的結(jié)論.2數(shù)列an為等差數(shù)列，且 ai豐0,舛 Z n N*，求證：an為 等比源數(shù)列"【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用.【分析】1由an+i=2an- 1，可得a

28、n+1-仁2an-1，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得 出.假設(shè) an為等比源數(shù)列"，那么此數(shù)列中存在三項(xiàng)：ak v amv an, kv mv n.滿足_ =akan, 代入化為：2m-k+1 2m2+1=2n-1+2n-k+1，利用數(shù)的奇偶性即可得出.2設(shè)等差數(shù)列 an的公差為d,假設(shè)存在三項(xiàng)使得 且二帆皿，kv nv m.展開：2a1n - 1+ n- 12d=a1k - 1+ m- 1+ k 1 m- 1d，當(dāng) n - 1 既是k - 1 與m- 1的等比中項(xiàng)，又是k - 1與m- 1的等差中項(xiàng)時(shí)，原命題成立.【解答】解：1 tan+1=2an- 1 , an+1 -仁2an-

29、1，數(shù)列an- 1是等比數(shù)列，首項(xiàng)為 1,公比為2.二an-仁2n-1, an=2n 1+1.假設(shè)an為等比源數(shù)列"，那么此數(shù)列中存在三項(xiàng)：akv amv an，kv mv n.2m-2+1=2n-滿足也-=akan， 2化為：m-1+1 2= 2k-1+1 2n-1+1 ，22m- 2+2m=2 k+n - 2+? n_ 1 +2kT.-k+1可知：左邊為偶數(shù)，而右邊為奇數(shù)，因此不可能成立. 故an不是 等比源數(shù)列".2設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，那么 an=a1+n- 1d，a1*0，an Zn N*，假設(shè)存在三項(xiàng)使得，kv nv m.吐；：丄，-=a1+ k- 1d m

30、 - 1d，展開：2a1n- 1+n- 12d=a1 k- 1+ m - 1+k - 1m - 1d，當(dāng)n - 1既是k - 1與m - 1的等比中項(xiàng)，又是k- 1與m - 1的等差中項(xiàng)時(shí)，原命題 成立.【選做題】在21、22、23、24四小題中只能選做兩題，每題10分，共計(jì)20分解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.選修4&shy;1 :幾何證明選講21 如圖，圓0的直徑AB=10，C為圓上一點(diǎn)，BC=6 .過C作圓0的切線I , AD丄I于點(diǎn) D，且交圓0于點(diǎn)E,求DE長.【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段.【分析】 由題意AC丄BC , AC=yi y -弋=8，由得Rt ACD s

31、 Rt ABC，從而AD=6.4 , 利用切割線定理、勾股定理，由此能求出DE的長.【解答】解：由題意AC丄BC AC=COD- 3£=8,過C作圓的切線I，過A作I的垂線AD，垂足為D , AD交圓與E,/ ACD= / ABC , Rt ACD s Rt ABC ,AC_AEAB_ AD=又 DC2=DE?6.4, DC2+6.42=64, 解得 DE=3.6 選修4&shy;2 :矩陣與變換22 矩陣，求逆矩陣M的特征值.【考點(diǎn)】【分析】IMI逆變換與逆矩陣.M -1的特征多項(xiàng)式等于 0,即先求矩陣M的行列式，進(jìn)而可求其逆矩陣，令矩陣 可求得矩陣M1的特征值.【解答】

32、解：矩陣M的行列式為=1 X 2 - 2X 0=2,1矩陣M的逆矩陣M -丄-1丄,ymm.矩陣M -1的特征多項(xiàng)式為f入=L *入-1=0國令f入=0可得X= Q或=即矩陣M -1的特征值為1或1選修4&shy;4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程23 在極坐標(biāo)系中，點(diǎn) 扎 ),圓C的方程為p=4V2sin0| C圓心為點(diǎn)C，求直線 AC的極坐標(biāo)方程.【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程.【分析】先求出直線AC的直角坐標(biāo)方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.【解答】解：點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為AUl，J1.圓C的普通方程為x2+y2- 4二y=0，即x2+ y - 2乙2=8.圓C的圓心為C0, 2.直線AC的方程為即 x+

33、y - 2 *=0.直線AC的極坐標(biāo)方程為pcos知pin 0- 應(yīng)二0.選修4&shy;5 :不等式選講24. a>0, b>0,求證：a6+b6> aba4+b4.【考點(diǎn)】 不等式的證明.【分析】利用作差法，通過分類討論判斷即可.【解答】 證明：a6+b6 - ab a4+b4= a- b a5 - b5,當(dāng) a>b>0 時(shí)，a5>b5, a- b>0, a5- b5>0,可得a- ba5 - b5?0.所以 a6+b6>ab a4+b4.當(dāng) 0w av b 時(shí)，a5v b5, a- bv 0, a5- b5v 0,可得a- b

34、a5 - b5> 0.所以 a6+b6>aba4+b4.綜上 a> 0, b>0, a6+b6>ab a4+b4.【必做題】第25題、第26題，每題10分，共計(jì)20分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過 程或演算步驟.25 .如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，SA丄平面ABCD , AB=1 , AD=AS=2 , P是棱SD上一點(diǎn)，且二:一1求直線AB與CP所成角的余弦值；【考點(diǎn)】 二面角的平面角與求法；異面直線與其所成的角.【分析】1以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利 用向量法能求出直線 AB與CP所成角的余弦值.2求出平面 APC的法向量和平面 PCD的法向量，利用向量法能求出二面角A - PC- D的余弦值.【解答】解：1以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，A0，0，0，B1, 0，0，C1，設(shè)直線AB與CP所成角為0，24- P 0，2- b，- c=-亙，1 -，COS 0=1 COSV