線性代數(shù)習題冊答案

1、線性代數(shù)習題冊答案第一章 行列式練習 一班級 學號 姓名 1按自然數(shù)從小到大為標準次序，求下列各排列的逆序數(shù)：（1）(3421)= 5 ;（2）(135642)= 6 ;（3）(13(2n-1)(2n)42) = 2+4+6+（2 n-2）= n（n-1）.2由數(shù)字1到9組成的排列1274i56j9為偶排列，則i= 8 、j= 3 .3在四階行列式中，項的符號為 負 .4= 24 .5計算下列行列式：（1）= 1（8）（8）（4）（4）（4）= 5或 （2）= 11（）（）（）= 3+2=練習 二班級 學號 姓名 1已知3階行列式=1，則行列式= 1 . 2 = 2 .3已知D=,則= 1 .

2、用1，1，1，1替換第4行4 計算下列行列式：(1)= (2) (3) (4) 5計算下列n階行列式：(1) （每行都加到第一行，并提公因式。）(2) (3) 練習 三班級 學號 姓名 1設線性方程組有惟一解，則滿足的條件是什么？2. 求解線性方程組3.已知齊次線性方程組有非零解，求的值。4.求三次多項式，使得：。自測題1. n階行列式D=，則展開式中項的符號為.2.已知3階行列式=，則行列式=.3.方程的根為 1,2，-2 .4. 已知齊次線性方程組僅有零解，則的值應為.5.設，則D的展開式中的系數(shù)為 -1 .6. 計算下列行列式：（1）（2）第二章 矩陣及其運算練習 一班級 學號 姓名 1

3、.設求及。2.設A、B都是n階對稱矩陣，證明AB是對稱矩陣的充分必要條件是AB=BA。由題意，得：.3. 矩陣A和B滿足什么條件時，恒成立？恒成立的條件是：AB=BA.4.設求AB，BA及。5.設，求。練習 二班級 學號 姓名 1.求下列矩陣的逆矩陣：（1）（2）2.設方陣滿足，證明及都可逆，并求及。3.已知，求。4. 設n階矩陣的伴隨矩陣為，證明：（1）若，則； （2）。5. 設其中求。練習 三班級 學號 姓名 1.設，求及。2.求下列逆矩陣：（1）（2），其中n階矩陣及s階矩陣都可逆。自測題一填空題：1若那么=.2、為三階矩陣，則= 8 .3已知則=. 4若、均為n階矩陣，且，則= 3E

4、.5是三維列向量，則= 3 .二用初等變換法求的逆矩陣.三設矩陣，求.四證明：n階矩陣A對稱的充分必要條件是對稱。五、為三階可逆矩陣，若，求A.第三章 矩陣的初等變換與線性方程組練習 一班級 學號 姓名 1判斷題（正確打，錯誤打×）：1）某矩陣的行（列）階梯形矩陣是唯一的 （ × ）2）某矩陣的行（列）最簡形矩陣不是唯一的 （ × ）3）某矩陣的標準形矩陣不是唯一的 （ × ）4）矩陣的初等變換都有逆變換，且逆變換與原變換同屬一類 （ ）5）任何一個矩陣總能通過初等變換化為標準形 （ ）2已知線性方程組，寫出其增廣矩陣，并將增廣矩陣通過初等行變換化為階梯

5、形、行最簡形。3已知，將A化成標準形。并寫出P、Q，使A的標準形等于PAQ。4已知，利用矩陣的初等變換，求。5已知，求。練習 二班級 學號 姓名 1.選擇題：1）的行階梯形中只有前r（rm 且rn）行為非零行，則為 （ C ）（A）0； （B）m； （C）r； （D）n.2）非零矩陣（mn）中的所有的2階子式全為0，則A的標準形為 （ D ）（A）；（B）；（C）；（D）3）方陣的秩= n，則必定不滿足 （ D ）（A）可逆； （B）與E等價； （C）； （D）存在使4）為奇異矩陣，下列的錯誤的是 （ C ）（A）；（B）； （C）； （D）不與單位陣E等價2. 已知矩陣，求。=23.設，問為

6、何值時，可分別使（1）=1；（2）=2；（3）=3？4.已知n階方陣，使為不可逆矩陣，求證：不為零矩陣。練習 三班級 學號 姓名 1選擇題： 1）當（ D ）時，齊次線性方程組一定有非零解。（A）mn； （B）mn； （C）mn； （D）mn .2）設A為n（2）階方陣，且=n-1，是的兩個不同的解向量，為任意常數(shù)，則的通解為（ C ）（A）； （B）； （C）； （D）.2填空題: 1）設4階方陣，且，則方程組的一個解向量為。 2）設方程組有解，則其增廣矩陣的行列式= 0 。 3）若有解，則常數(shù)應滿足條件 。 4）已知方程組無解，則= -1 。3求齊次線性方程組的解。4解矩陣方程：5取何值時

7、，非齊次線性方程組（1）有唯一解；（2）無解；（3）有無窮多解？并在有解時，求解。解：（1）當時，有唯一解；（2）當時，無解；（3）當時，有無窮多解。，（其中是任意實數(shù)）自測題1選擇題： 1）設為n（2）階奇異方陣，中有一元素的代數(shù)余子式，則方程組 的基礎解系所含向量個數(shù)為（ B ） （A）i； （B）1； （C）j； （D）n.2）方程組的系數(shù)矩陣記為，若存在三階方陣，使得，則（ A ） （A），；（B），；（C），；（D），.3）設與是n階方陣，齊次線性方程組，有相同的基礎解系，則以下方程組以為基礎解系的是（ D ）（A）；（B）；（C）；（D）.2判斷題: 1）初等矩陣與初等變換是一一對

8、應的 （ ）2）任一秩為r的矩陣A必與等價 （ ）3）與為同解方程組 （ ）4）方程組有無窮多個解的充分必要條件是有兩個不同的解（ ）3設n階方陣的列向量為（i=1，2，3，n），n階方陣的列向量為，試問：當時，是否有非零解？試證明你的結論。4若齊次線性方程組的解均為齊次線性方程組的解，試證明。5求方程組與的非零公共解。解：非零公共解為（是任意實數(shù)）6設非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為r，是的一個基礎解系，是的一個解。證明：的任一解可表示為7設為四維列向量，已知的通解為，其中，為對應的齊次方程組的基礎解系，為任意常數(shù)，令，試求的通解。第四章 向量組的線性相關性練習 一班級 學號 姓名 1已知向

9、量，試求向量.解：2已知向量組證明組能由組線性表示，但組不能由組線性表示。解：，所以組能由組線性表示。，所以組不能由組線性表示。3設可由線性表示，但不能由線性表示，證明：可由線性表示，而不能由線性表示。 4已知，問：（1）取何值時，不能由線性表示？（2）取何值時，可由線性表示？并寫出此表達式。解：（1）當或時，不能由線性表示。（2）當時， ，可由線性表示，當時，可由線性表示。（）練習 二班級 學號 姓名 1判斷向量組的線性相關性。2討論向量組的線性相關性？即取何值時，向量組線性無關？又取何值時，向量組線性相關？3已知向量組線性無關，判斷的線性相關性。4如果向量可以用向量組線性表示，試證表示方法

10、是唯一的充要條件是線性無關。練習 三班級 學號 姓名 1已知向量組，求該向量組的秩。2求向量組的秩和最大無關組，并把其余向量用此最大無關組線性表示。3利用初等行變換求矩陣的列向量組的一個最大無關組，并把其余列向量用最大無關組線性表示。4設為階矩陣（2），為的伴隨矩陣，證明：練習 四班級 學號 姓名 1求齊次線性方程組的基礎解系。2求非齊次線性方程組的通解。3已知是四元非齊次線性方程組的解，且求該方程組的通解。4設是齊次線性方程組的一個解，是對應的齊次線性方程組的一個基礎解系，證明：（1）線行無關；（2）線行無關。練習 五班級 學號 姓名 1試判定集合是否構成向量空間？2求向量空間的基到基的過渡

11、矩陣和向量的坐標變換公式。自測題一、選擇題：1設向量組（1）：與向量組（2）：等價，則（ A ）。（A）向量組（1）線性相關； （B）向量組（2）線性無關；（C）向量組（1）線性無關； （D）向量組（2）線性相關。2設n維向量組線性無關，則（ B ）。（A）向量組中增加一個向量后仍線性無關； （B）向量組中去掉一個向量后仍線性無關；（C）向量組中每個向量都去掉第一個分量后仍線性無關；（D）向量組中每個向量都任意增加一個分量后仍線性無關。3設三階行列式，則（ A ）。（A）中至少有一行向量是其余行向量的線性組合；（B）中每一行向量都是其余行向量的線性組合；（C）中至少有兩行向量線性相關； （D）

12、中每一行向量都線性相關。4設是一組n維向量，且線性相關，則（ D ）。（A）A的秩等于4；（B）A的秩等于n；（C）A的秩等于1；（D）A的秩小于等于3。5設不能由非零向量線性表示，則（ D ）。（A）線性相關； （B）線性相關；（C）與某個線性相關； （D）與任一都線性無關。二、填空題：1設n維向量線性相關，則向量組的秩r= 0，1，2 。2 向量組線性相關的充分必要條件為 秩<3 。3設線性無關，而線性相關，則向量組的極大無關組為 。4已知線性相關，則k= 4 。5 已知向量組線性相關，而向量組線性無關，則向量組的秩為 2 。三、已知，證明與等價。四、設有向量組，又向量，試問當滿足什么條件時，則：（1）可由線性表示，且表示式唯一；（2）不能由線性表示；（3）可由線性表示，但不唯一，并求一般表達式。（1）（2）（3）五、已知及都是n維向量，且，證明向量組線性無關的充分必要條件是向量組線性無關。六、設n維向量組（1）：的秩為；