開題報(bào)告書-金融畸形波的數(shù)學(xué)模型及求解-改

1、.題 目：金融畸形波的數(shù)學(xué)模型與求解學(xué)院： 理學(xué)院 專業(yè)： 信息與計(jì)算科學(xué) 學(xué)生XX： 訾垚垚 學(xué)號(hào)：12274060文獻(xiàn)綜述：一 孤立波的概念和研究歷史1834年英國(guó)工程師J.S.Russell騎馬在愛丁堡附近的一條運(yùn)河旁看見兩匹馬拉著一條船在運(yùn)河中快速行駛著,當(dāng)這條船突然停頓時(shí),河道中因船前進(jìn)所推動(dòng)的水團(tuán)并沒有停頓，而是在船頭附近產(chǎn)生了一個(gè)光滑的、像小山包一樣的水波。這個(gè)水波最初大約30英尺長(zhǎng)，1至1.5英尺高，離開船頭后以每小時(shí)8-9英里的速度向前運(yùn)動(dòng),并且它的形狀和速度保持不變。他騎馬追出了1-2英里后才看到這個(gè)水波的高度逐漸減少, 最后在運(yùn)河的一個(gè)拐彎處消失掉。1844年9月他在英國(guó)

2、科學(xué)促進(jìn)會(huì)第14次會(huì)議上作了"Report on waves"的報(bào)告,生動(dòng)形象地描述了他所觀察到的現(xiàn)象1.之后他在實(shí)驗(yàn)室里進(jìn)展了許多實(shí)驗(yàn),也觀察到了這樣的水波,并稱之為孤立波(Solitary waves).這是公認(rèn)的有關(guān)孤立波的首次報(bào)道。從那以后，許多人都嘗試通過建立其數(shù)學(xué)模型從理論上來解釋這種現(xiàn)象，但一直末獲成功。直到1895年,荷蘭阿姆斯特丹大學(xué)的著名教授Korteweg和他的學(xué)生de Vries2仔細(xì)研究了淺水波運(yùn)動(dòng),在長(zhǎng)波近似和小振幅假定下建立了單向運(yùn)動(dòng)的淺水波運(yùn)動(dòng)方程,才解決了這個(gè)問題。但當(dāng)時(shí)對(duì)孤立波的認(rèn)識(shí)還不夠全面，有許多問題仍無法答復(fù)。如孤立波是否穩(wěn)定;兩個(gè)

3、孤立波碰撞后波速和波形是否改變;孤立波是否存在于流體以外的其他領(lǐng)域.20世紀(jì)50年代,Fermi,Pasta和Ulam提出了著名的FPu問題.1965年,美國(guó)Princeton大學(xué)的應(yīng)用數(shù)學(xué)家Martin D.Kruskal和NormanJ.Zabusky3從連續(xù)統(tǒng)一體的觀點(diǎn)出發(fā)解釋了FPu間題中的現(xiàn)象.在連續(xù)的情況下,FPu間題近似地可用KdV方程來描述.他們對(duì)KdV方程兩個(gè)波速不同的孤波解進(jìn)展數(shù)學(xué)模擬,他們發(fā)現(xiàn)兩個(gè)孤立波碰撞后,不改變波形和傳播速度。由于這兩個(gè)孤立波的碰撞是彈性碰撞,又類似于粒子,因此他們稱之為孤立子.孤立子有時(shí)也稱為孤立波,它是指一大類非線性偏微分方程的許多具有特殊性質(zhì)的

4、解,以及與之相應(yīng)的物理現(xiàn)象。具體來說，孤立波解只存在于非線性色散方程之中，亦即非線性與色散是孤立波存在的必要條件。色散是指波的傳播速度與波的頻率和波長(zhǎng)有關(guān)，它導(dǎo)致波包散開，而非線性卻導(dǎo)致波陣面卷縮，兩者共同作用的結(jié)果便形成穩(wěn)定的波包，即孤立波。這些波具有的物理性質(zhì)是(l)能量比擬集中于狹小的區(qū)域;(2)兩個(gè)孤立子相互作用時(shí)出現(xiàn)彈性散射現(xiàn)象,即波形和波速能恢復(fù)到最初。這準(zhǔn)確地提醒了孤立波的本質(zhì).。之后,很多領(lǐng)域的科研工作者都開場(chǎng)對(duì)孤立子進(jìn)展研究,許多關(guān)于孤立子的專著也相繼問世。現(xiàn)在孤立子理論的研究已經(jīng)滲透到了很多領(lǐng)域,如物理學(xué)的許多分支(根本粒子，凝聚態(tài)物理，流體物理，等離子物理，超導(dǎo)物理，激光

5、物理，生物物理，大氣物理等)，生物學(xué)，天文學(xué)，化學(xué)，天文學(xué)，光學(xué)，海洋學(xué)等等。二 畸形波簡(jiǎn)介畸形波rogue wave又被稱作奇異波(freak wave)，巨型波(giant wave)，怪物波(monster wave)或者殺手波killer wave等。這種波是由于在傳播過程中其非線性和色散的相互作用而產(chǎn)生的?，F(xiàn)在，畸形波還沒有唯一的定義，但是一種波被稱作畸形波意味著這種波的高度H即波峰到波谷的距離或者波峰高度c從海平面到波峰的距離超過了某一確定閥值，這一值與海洋類型有關(guān)。大體而言，巨型波的通用標(biāo)準(zhǔn)是H > 2Hs 或 c > 1.5Hs，這里Hs指有效波的高度。英國(guó)科學(xué)家D

6、raper4于1965年首次在科學(xué)文獻(xiàn)中提出畸形波freak rouge waves的概念之后，這一現(xiàn)象引起了非線性科學(xué)領(lǐng)域的研究者的關(guān)注，例如海洋學(xué)，非線性光學(xué)，BoseEinstein凝聚，大氣學(xué)，甚至金融領(lǐng)域。自20世紀(jì)六七十年代起，海洋學(xué)家便開場(chǎng)相信怪波的存在?？茖W(xué)家們與歐洲航天局，德國(guó)航空航天中心以及其他幾個(gè)歐洲的研究機(jī)構(gòu)合作，在1991年和1995年發(fā)射雷達(dá)衛(wèi)星用于測(cè)量波高。1995年元旦，XX中某一石油平臺(tái)承當(dāng)了激光測(cè)量波浪高度的任務(wù)，并成功記錄了一個(gè)波高約26米的巨波，這證明了怪波的存在。2000年，科學(xué)家們?cè)诓祭姿固鼐蹠?huì)，制定方案在全球X圍內(nèi)追蹤怪波的現(xiàn)象，用雷達(dá)衛(wèi)星進(jìn)展怪波

7、探測(cè)，這一方案被稱作MaxWave。對(duì)于怪波，由于觀測(cè)條件的限制，人類至今還沒有完全了解這種現(xiàn)象，科學(xué)家們一直沒有對(duì)怪波事件達(dá)成共識(shí)，既不能給其下定義，也不能計(jì)算怪波發(fā)生的概率。目前對(duì)怪波的研究狀態(tài)根本上是初步的，并且是欠深入的。怪波可以被認(rèn)為是自孤子以后，在非線性科學(xué)領(lǐng)域掀起的又一場(chǎng)新的“非線性科學(xué)革命。2007年，Solli,Ropers,Koonath等人9在Nature期刊上發(fā)表了研究成果。在分析非線性光纖中超連續(xù)譜的產(chǎn)生過程時(shí)，在特定波長(zhǎng)處觀察到了某些幅度特別高的峰值，他們將其與海洋中的畸形波類比，稱之為“光學(xué)畸形波optical rogue waves.在非線性光學(xué)中，非線性薛定諤

8、方程可以很好的描述單模光纖中光孤子的傳播行為，而且可以傳播無限長(zhǎng)的距離而不會(huì)有信息失真和波形畸變，具有很高的傳輸碼率。光學(xué)畸形波與海洋畸形波在形態(tài)和成因方面均有一定的相似性，而光學(xué)領(lǐng)域的研究可以在更為便利的實(shí)驗(yàn)環(huán)境和條件下開展，其研究結(jié)果對(duì)海洋中的畸形波研究具有較高的參考價(jià)值 11 。三 金融畸形波介紹近年來的研究說明，畸形波現(xiàn)象在金融領(lǐng)域也存在。2021年，Yan 12首次給出了非線性期權(quán)定價(jià)模型的金融畸形波financial rouge wave解。這個(gè)模型可以代替非線性波的Black-Scholes 模型的期權(quán)定價(jià)模型。這些怪波解可以被用來描述金融市場(chǎng)及相關(guān)領(lǐng)域的怪波現(xiàn)象的物理機(jī)制。自從

9、期權(quán)交易產(chǎn)生以來，尤其是股票期權(quán)交易產(chǎn)生以來，學(xué)者們即一直致力于對(duì)期權(quán)定價(jià)問題的探討。1973年，美國(guó)芝加哥大學(xué)教授 Fischer Black和Myron Scholes發(fā)表"期權(quán)定價(jià)與公司負(fù)債"13一文，提出了著名的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型，在學(xué)術(shù)界和實(shí)務(wù)界引起強(qiáng)烈的反響。與此同時(shí)，MIT 的教授 Merton 也獨(dú)立地提出了一樣的模型。14這個(gè)模型已經(jīng)引起了廣泛關(guān)注并在金融數(shù)學(xué)和金融工程中開啟了一個(gè)新的研究領(lǐng)域。BlackScholes模型可以被廣泛用于歐式期權(quán)的定價(jià)，但是不能用在其他國(guó)家期權(quán)的定價(jià)，例如美式期權(quán)和亞洲期權(quán)，因?yàn)樗麩o法將這類期權(quán)的運(yùn)動(dòng)特征

10、或運(yùn)動(dòng)軌跡的相關(guān)性涵蓋進(jìn)來。B-L公式告訴我們，期權(quán)價(jià)格是時(shí)間，股票價(jià)格和波動(dòng)的函數(shù)，經(jīng)歷主義的研究說明公式計(jì)算得出的價(jià)格與觀察價(jià)格非常接近。然而，也有證據(jù)說明，基于波動(dòng)是常量這一假設(shè)的B-L模型，無法解釋波動(dòng)率偏離現(xiàn)象。為了更準(zhǔn)確的給衍生品定價(jià)，一些研究人員宣稱，根據(jù)長(zhǎng)期的數(shù)據(jù)觀察，波動(dòng)會(huì)隨著執(zhí)行價(jià)格和時(shí)間而變化。如果假定波動(dòng)是一個(gè)隨機(jī)過程而非固定值，他們建立一個(gè)包含二維擴(kuò)散過程，波動(dòng)以及期權(quán)價(jià)格的新模型，并且更能解釋經(jīng)歷主義觀察結(jié)果。不過，這個(gè)新模型距離代表復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)金融市場(chǎng)還很遠(yuǎn)，并且當(dāng)在市場(chǎng)受到一些沖擊時(shí)，無法很好的預(yù)測(cè)期權(quán)價(jià)格。為了使B-L期權(quán)定價(jià)公式能更有效地適應(yīng)于不同的金融市場(chǎng)，

11、人們對(duì)它進(jìn)展了很多方面的開展。 基于現(xiàn)代適應(yīng)性市場(chǎng)假設(shè)、 Elliott 波市場(chǎng)理論和量子神經(jīng)系統(tǒng)計(jì)算等理論，2021 年，澳大利亞學(xué)者 Ivancevic 提出用非線性的期權(quán)定價(jià)模型，即非線性 Schrodinger 方程來描述金融市場(chǎng)波動(dòng)性的變化規(guī)律。為了滿足有效行為市場(chǎng)和他們必要的非線性復(fù)雜性，這里( S , t )表示期權(quán)價(jià)格波動(dòng)函數(shù)，分布頻率系數(shù)是波動(dòng)的(他是常量或者隨機(jī)過程)，Landau系數(shù)=(r,w)代表自適應(yīng)市場(chǎng)的潛在需求量。15四 研究?jī)?nèi)容及價(jià)值論文中我們分析了耦合非線性波動(dòng)，并研究了Ivancevic近期提出的期權(quán)定價(jià)模型。得出的結(jié)論是，股票波動(dòng)和股票收益存在負(fù)相關(guān)性，并

12、且股票波動(dòng)可以被當(dāng)做一種耦合非線性波動(dòng)用于替代BlackScholes期權(quán)定價(jià)模型。我們用解析的方法分析了耦合非線性波動(dòng)的矢量金融畸形波和不含w-learning 的期權(quán)定價(jià)公式。此外，我們通過選取不同的參數(shù)展示了他們的動(dòng)態(tài)行為。研究的結(jié)果可能在解釋一些實(shí)際的金融風(fēng)暴中起到重要作用例如1997亞洲金融危機(jī)和現(xiàn)在的全球金融危機(jī)。此外，這些結(jié)果可能會(huì)進(jìn)一步刺激相關(guān)研究，在金融市場(chǎng)和其他相關(guān)的非線性科學(xué)領(lǐng)域，矢量金融畸形波現(xiàn)象也有潛在的應(yīng)用價(jià)值研究方案：本論文主要基于非線性偏微分方程求解方法，探討金融畸形波的數(shù)學(xué)模型與求解。通過閱讀相關(guān)文獻(xiàn)，運(yùn)用所學(xué)的微分方程根底知識(shí)，完成金融畸形波數(shù)學(xué)模型的研究，

13、設(shè)計(jì)求解算法并對(duì)畸形波進(jìn)展模擬。首先，我們會(huì)總結(jié)有關(guān)文獻(xiàn)，對(duì)金融畸形波產(chǎn)生的背景，原理進(jìn)展介紹；然后，針對(duì)金融市場(chǎng)中的價(jià)格問題，我們會(huì)給出具體的數(shù)學(xué)模型來描述金融畸形波，最后求解該模型并用計(jì)算機(jī)進(jìn)展模擬。該論文會(huì)在金融畸形波的數(shù)學(xué)建模上進(jìn)展詳細(xì)的分析，能推導(dǎo)具體求解過程，對(duì)方程解給出對(duì)應(yīng)金融解釋，最后進(jìn)展計(jì)算機(jī)模擬，并通過選取不同的參數(shù)展示他們的動(dòng)態(tài)行為。主要參考文獻(xiàn)：1Russell J S. Report on waves. Report of the 14th Meeting of the British Association for the Advancement of Scienc

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