二次函數與冪函數-高考數學知識點總結-高考數學真題復習

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上§2.4二次函數與冪函數2014高考會這樣考1.求二次函數的解析式；2.求二次函數的值域或最值，和一元二次方程、一元二次不等式進行綜合應用；3利用冪函數的圖象、性質解決有關問題復習備考要這樣做1.理解二次函數三種解析式的特征及應用；2.分析二次函數要抓住幾個關鍵環(huán)節(jié)：開口方向、對稱軸、頂點，函數的定義域；3.充分應用數形結合思想把握二次函數、冪函數的性質1 二次函數的定義與解析式(1)二次函數的定義形如：f(x)ax2bxc_(a0)的函數叫做二次函數(2)二次函數解析式的三種形式一般式：f(x)ax2bxc_(a0)頂點式：f(x)a(xm)2n(a0)零

2、點式：f(x)a(xx1)(xx2)_(a0)2 二次函數的圖象和性質解析式f(x)ax2bxc(a>0)f(x)ax2bxc(a<0)圖象定義域(，)(，)值域單調性在x上單調遞減；在x上單調遞增在x上單調遞增；在x上單調遞減奇偶性當b0時為偶函數，b0時為非奇非偶函數頂點對稱性圖象關于直線x成軸對稱圖形3. 冪函數形如yx (R)的函數稱為冪函數，其中x是自變量，是常數4 冪函數的圖象及性質(1)冪函數的圖象比較(2)冪函數的性質比較難點正本疑點清源1 二次函數的三種形式(1)已知三個點的坐標時，宜用一般式(2)已知二次函數的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大(小)值有關時，常使用

3、頂點式(3)已知二次函數與x軸有兩個交點，且橫坐標已知時，選用零點式求f(x)更方便2 冪函數的圖象(1)在(0,1)上，冪函數中指數越大，函數圖象越靠近x軸，在(1，)上冪函數中指數越大，函數圖象越遠離x軸(2)函數yx，yx2，yx3，yx，yx1可做為研究和學習冪函數圖象和性質的代表1 已知函數f(x)x22(a1)x2在區(qū)間(，3上是減函數，則實數a的取值范圍為_答案(，2解析f(x)的圖象的對稱軸為x1a且開口向上，1a3，即a2.2已知函數yx22x3在閉區(qū)間0，m上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍為_答案1,2解析yx22x3的對稱軸為x1.當m<1時，yf(x)在0，

4、m上為減函數ymaxf(0)3，yminf(m)m22m32.m1，無解當1m2時，yminf(1)122×132，ymaxf(0)3.當m>2時，ymaxf(m)m22m33，m0，m2，無解1m2.3 若冪函數y(m23m3)xm2m2的圖象不經過原點，則實數m的值為_答案1或2解析由，解得m1或2.經檢驗m1或2都適合4 (人教A版教材例題改編)如圖中曲線是冪函數yxn在第一象限的圖象已知n取±2，±四個值，則相應于曲線C1，C2，C3，C4的n值依次為_答案2，2解析可以根據函數圖象是否過原點判斷n的符號，然后根據函數凸凹性確定n的值5 函數f(x)

5、x2mx1的圖象關于直線x1對稱的充要條件是 ()Am2 Bm2Cm1 Dm1答案A解析函數f(x)x2mx1的圖象的對稱軸為x，且只有一條對稱軸，所以1，即m2.題型一求二次函數的解析式例1已知二次函數f(x)滿足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數思維啟迪：確定二次函數采用待定系數法，有三種形式，可根據條件靈活運用解方法一設f(x)ax2bxc (a0)，依題意有解之，得所求二次函數解析式為f(x)4x24x7.方法二設f(x)a(xm)2n，a0.f(2)f(1)，拋物線對稱軸為x.m.又根據題意函數有最大值為n8，yf(x)a28.f(2)1，a281，解之

6、，得a4.f(x)4284x24x7.方法三依題意知，f(x)10的兩根為x12，x21，故可設f(x)1a(x2)(x1)，a0.即f(x)ax2ax2a1.又函數有最大值ymax8，即8，解之，得a4或a0(舍去)函數解析式為f(x)4x24x7.探究提高二次函數有三種形式的解析式，要根據具體情況選用：如和對稱性、最值有關，可選用頂點式；和二次函數的零點有關，可選用零點式；一般式可作為二次函數的最終結果 已知二次函數f(x)同時滿足條件：(1)f(1x)f(1x)；(2)f(x)的最大值為15；(3)f(x)0的兩根立方和等于17.求f(x)的解析式解依條件，設f(x)a(x1)215 (

7、a<0)，即f(x)ax22axa15.令f(x)0，即ax22axa150，x1x22，x1x21.而xx(x1x2)33x1x2(x1x2)233×2×2，217，則a6.f(x)6x212x9.題型二二次函數的圖象與性質例2已知函數f(x)x22ax3，x4,6(1)當a2時，求f(x)的最值；(2)求實數a的取值范圍，使yf(x)在區(qū)間4,6上是單調函數；(3)當a1時，求f(|x|)的單調區(qū)間思維啟迪：對于(1)和(2)可根據對稱軸與區(qū)間的關系直接求解，對于(3)，應先將函數化為分段函數，再求單調區(qū)間，注意函數定義域的限制作用解(1)當a2時，f(x)x24

8、x3(x2)21，由于x4,6，f(x)在4,2上單調遞減，在2,6上單調遞增，f(x)的最小值是f(2)1，又f(4)35，f(6)15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函數f(x)的圖象開口向上，對稱軸是xa，所以要使f(x)在4,6上是單調函數，應有a4或a6，即a6或a4.(3)當a1時，f(x)x22x3，f(|x|)x22|x|3，此時定義域為x6,6，且f(x)，f(|x|)的單調遞增區(qū)間是(0,6，單調遞減區(qū)間是6,0探究提高(1)二次函數在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動，不論哪種類型，解決的關鍵是考查對稱軸與區(qū)間的關系，當含有參數時，要依

9、據對稱軸與區(qū)間的關系進行分類討論；(2)二次函數的單調性問題則主要依據二次函數圖象的對稱軸進行分析討論求解 若函數f(x)2x2mx1在區(qū)間1，)上遞增，則f(1)的取值范圍是_答案(，3解析拋物線開口向上，對稱軸為x，1，m4.又f(1)1m3，f(1)(，3題型三二次函數的綜合應用例3(2012·淮安模擬)若二次函數f(x)ax2bxc (a0)滿足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在區(qū)間1,1上，不等式f(x)>2xm恒成立，求實數m的取值范圍思維啟迪：對于(1)，由f(0)1可得c，利用f(x1)f(x)2x恒成立，可求出a，b，進

10、而確定f(x)的解析式對于(2)，可利用函數思想求得解(1)由f(0)1得，c1.f(x)ax2bx1.又f(x1)f(x)2x，a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即2axab2x，因此，f(x)x2x1.(2)f(x)>2xm等價于x2x1>2xm，即x23x1m>0，要使此不等式在1,1上恒成立，只需使函數g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上單調遞減，g(x)ming(1)m1，由m1>0得，m<1.因此滿足條件的實數m的取值范圍是(，1)探究提高二次函數、二次方程與二次不等式統稱“三個二次”，它們常結合在

11、一起，而二次函數又是“三個二次”的核心，通過二次函數的圖象貫穿為一體因此，有關二次函數的問題，數形結合，密切聯系圖象是探求解題思路的有效方法用函數思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)問題是高考命題的熱點 (2012·蘇州模擬)已知函數f(x)x2mxn的圖象過點(1,3)，且f(1x)f(1x)對任意實數都成立，函數yg(x)與yf(x)的圖象關于原點對稱(1)求f(x)與g(x)的解析式；(2)若F(x)g(x)f(x)在(1,1上是增函數，求實數的取值范圍解(1)f(x)x2mxn，f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxnmx2(m2)xnm1，f(1x)(1x)2m(1

12、x)nx22x1mxmnx2(2m)xnm1.又f(1x)f(1x)，m22m，即m2.又f(x)的圖象過點(1,3)，312mn，即mn2，n0，f(x)x22x，又yg(x)與yf(x)的圖象關于原點對稱，g(x)(x)22×(x)，g(x)x22x.(2)F(x)g(x)f(x)(1)x2(22)x，當10時，F(x)的對稱軸為x，又F(x)在(1,1上是增函數或.<1或1<0.當10，即1時，F(x)4x顯然在(1,1上是增函數綜上所述，的取值范圍為(，0題型四冪函數的圖象和性質例4已知冪函數f(x)xm22m3 (mN*)的圖象關于y軸對稱，且在(0，)上是減函

13、數，求滿足(a1)<(32a)的a的取值范圍思維啟迪：由冪函數的性質可得到冪指數m22m3<0，再結合m是整數，及冪函數是偶函數可得m的值解函數在(0，)上遞減，m22m3<0，解得1<m<3.mN*，m1,2.又函數的圖象關于y軸對稱，m22m3是偶數，而222×233為奇數，122×134為偶數，m1.而f(x)x在(，0)，(0，)上均為減函數，(a1)<(32a)等價于a1>32a>0或0>a1>32a或a1<0<32a.解得a<1或<a<.故a的取值范圍為.探究提高(1)冪函

14、數解析式一定要設為yx (為常數的形式)；(2)可以借助冪函數的圖象理解函數的對稱性、單調性 (2012·聊城模擬)已知冪函數f(x)x(m2m)1(mN*)(1)試確定該函數的定義域，并指明該函數在其定義域上的單調性；(2)若該函數還經過點(2，)，試確定m的值，并求滿足條件f(2a)>f(a1)的實數a的取值范圍解(1)m2mm(m1)，mN*，而m與m1中必有一個為偶數，m(m1)為偶數函數f(x)x(m2m)1(mN*)的定義域為0，)，并且在定義域上為增函數(2)函數f(x)經過點(2，)，2(m2m)1，即22(m2m)1.m2m2.解得m1或m2.又mN*，m1.

15、由f(2a)>f(a1)得解得1a<.a的取值范圍為1，)2.分類討論思想在二次函數中的應用典例：(14分)設a為實數，函數f(x)2x2(xa)|xa|.(1)若f(0)1，求a的取值范圍；(2)求f(x)的最小值；(3)設函數h(x)f(x)，x(a，)，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式h(x)1的解集審題視角(1)求a的取值范圍，是尋求關于a的不等式，解不等式即可；(2)求f(x)的最小值，由于f(x)可化為分段函數，分段函數的最值分段求，然后綜合在一起；(3)對a討論時，要找到恰當的分類標準規(guī)范解答解(1)因為f(0)a|a|1，所以a>0，即a<0，由a21

16、知a1，因此，a的取值范圍為(，13分(2)記f(x)的最小值為g(a)，則有f(x)2x2(xa)|xa|5分()當a0時，f(a)2a2，由知f(x)2a2，此時g(a)2a2.7分()當a<0時，fa2，若x>a，則由知f(x)a2.若xa，由知f(x)2a2>a2.此時g(a)a2，綜上，得g(a).10分(3)()當a時，解集為(a，)；()當a時，解集為；()當a時，解集為.14分溫馨提醒分類討論的思想是高考重點考查的數學思想方法之一本題充分體現了分類討論的思想方法在解答本題時有兩點容易造成失分：一是求實數a的值時，討論的過程中沒注意a自身的取值范圍，易出錯；二是

17、求函數最值時，分類討論的結果不能寫在一起，不能得出最后的結論除此外，解決函數問題時，以下幾點容易造成失分：1含絕對值的問題，去絕對值符號，易出現計算錯誤；2分段函數求最值時要分段求，最后寫在一起時，沒有比較大小或不會比較大小；3解一元二次不等式時，不能與一元二次函數、一元二次方程聯系在一起，思路受阻.方法與技巧1 二次函數、二次方程、二次不等式間相互轉化的一般規(guī)律(1)在研究一元二次方程根的分布問題時，常借助于二次函數的圖象數形結合來解，一般從開口方向；對稱軸位置；判別式；端點函數值符號四個方面分析(2)在研究一元二次不等式的有關問題時，一般需借助于二次函數的圖象、性質求解2 與二次函數有關的

18、不等式恒成立問題(1)ax2bxc>0，a0恒成立的充要條件是.(2)ax2bxc<0，a0恒成立的充要條件是.3 冪函數yx(R)，其中為常數，其本質特征是以冪的底x為自變量，指數為常數失誤與防范1 對于函數yax2bxc，要認為它是二次函數，就必須滿足a0，當題目條件中未說明a0時，就要討論a0和a0兩種情況2 冪函數的圖象一定會出現在第一象限內，一定不會出現在第四象限，至于是否出現在第二、三象限內，要看函數的奇偶性；冪函數的圖象最多只能同時出現在兩個象限內；如果冪函數圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點(時間：60分鐘)A組專項基礎訓練一、選擇題(每小題5分，共20分)1 (2

19、011·浙江)設函數f(x)若f()4，則實數等于()A4或2 B4或2C2或4 D2或2答案B解析當0時，f()4，得4；當>0時，f()24，得2.4或2.2 已知函數f(x)x22x2的定義域和值域均為1，b，則b等于 ()A3 B2或3 C2 D1或2答案C解析函數f(x)x22x2在1，b上遞增，由已知條件即解得b2.3 設abc>0，二次函數f(x)ax2bxc的圖象可能是 ()答案D解析由A，C，D知，f(0)c<0.abc>0，ab<0，對稱軸x>0，知A，C錯誤，D符合要求由B知f(0)c>0，ab>0，x<0，

20、B錯誤4 設二次函數f(x)ax22axc在區(qū)間0,1上單調遞減，且f(m)f(0)，則實數m的取值范圍是 ()A(，0 B2，)C(，02，) D0,2答案D解析二次函數f(x)ax22axc在區(qū)間0,1上單調遞減，則a0，f(x)2a(x1)<0，x0,1，所以a>0，即函數圖象的開口向上，對稱軸是直線x1.所以f(0)f(2)，則當f(m)f(0)時，有0m2.二、填空題(每小題5分，共15分)5 二次函數的圖象過點(0,1)，對稱軸為x2，最小值為1，則它的解析式為_答案y(x2)216 已知函數f(x)x22(a1)x2在區(qū)間(，3上是減函數，則實數a的取值范圍為_答案(

21、，2解析f(x)的圖象的對稱軸為x1a且開口向上，1a3，即a2.7 當時，冪函數yx的圖象不可能經過第_象限答案二、四解析當1、1、3時，yx的圖象經過第一、三象限；當時，yx的圖象經過第一象限三、解答題(共25分)8 (12分)已知二次函數f(x)的二次項系數為a，且f(x)>2x的解集為x|1<x<3，方程f(x)6a0有兩相等實根，求f(x)的解析式解設f(x)2xa(x1)(x3) (a<0)，則f(x)ax24ax3a2x，f(x)6aax2(4a2)x9a，(4a2)236a20,16a216a436a20，20a216a40,5a24a10，(5a1)(

22、a1)0，解得a或a1(舍去)因此f(x)的解析式為f(x)(x1)(x3)9 (13分)(2012·玉林調研)是否存在實數a，使函數f(x)x22axa的定義域為1,1時，值域為2,2？若存在，求a的值；若不存在，說明理由解f(x)(xa)2aa2.當a<1時，f(x)在1,1上為增函數，a1(舍去)；當1a0時，a1；當0<a1時，a不存在；當a>1時，f(x)在1,1上為減函數，a不存在綜上可得a1.B組專項能力提升一、選擇題(每小題5分，共15分)1 (2012·合肥調研)已知冪函數f(x)x的圖象經過點，則f(4)的值等于()A16 B.C2 D.答案D解析將點代入得：2，所以，故f(4).2 (2012·溫州十校聯考)已知函數f(x)2mx22(4m)x1，g(x)mx，若對于任一實數x，f(x)與g(x)的值至少有一個為正數，則實數m的取值范圍是 ()A(