最新北師大版九年級(jí)上相似三角形(知識(shí)點(diǎn)+練習(xí)例題+答案)

1、【精品文檔】如有侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學(xué)習(xí)與交流最新北師大版九年級(jí)上相似三角形(知識(shí)點(diǎn)+練習(xí)例題+答案)學(xué)生姓名 授課教師輔導(dǎo)學(xué)科九年級(jí)數(shù)學(xué)教材版本上教課題名稱相似三角形課時(shí)進(jìn)度總第（ ）課時(shí)授課時(shí)間7月28日教學(xué)目標(biāo)掌握相似三角形的概念、性質(zhì)及判定方法，能夠靈活應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)和判定方法方法解決實(shí)際問(wèn)題。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：相似三角形的概念、判定定理和相似三角形的性質(zhì)難點(diǎn)：如何根據(jù)問(wèn)題的結(jié)論，在較復(fù)雜的圖形中找到所要證明的相似三角形同步教學(xué)內(nèi)容及授課步驟知識(shí)點(diǎn)歸納：1、三角形相似的判定方法（1）定義法：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似。（2）平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊

2、(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。（3）判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。（4）判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。（5）判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。（6）判定直角三角形相似的方法：以上各種判定均適用。如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊

3、對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似。#直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。 如圖，RtABC中，BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下： （1）（AD）2=BD·DC， （2）（AB）2=BD·BC ， （3）（AC）2=CD·BC 。注：由上述射影定理還可以證明勾股定理。即 （AB）2+（AC）2=（BC）2。典型例題：例1 如圖，已知等腰ABC中，ABAC，ADBC于D，CGAB，BG分別交AD，

4、AC于E、 F，求證：BE2EF·EG證明：如圖，連結(jié)EC，ABAC，ADBC，ABCACB，AD垂直平分BCBEEC，12，ABC-1ACB-2，即34，又CGAB，G3，4G又CEGCEF，CEFGEC，=EC2EG· EF，故EB2=EF·EG【解題技巧點(diǎn)撥】本題必須綜合運(yùn)用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)和相似三角形的基本圖形來(lái)得到證明而其中利用線段的垂直平分線的性質(zhì)得到BE=EC，把原來(lái)處在同一條直線上的三條線段BE，EF，EC轉(zhuǎn)換到相似三角形的基本圖形中是證明本題的關(guān)鍵。例2 已知：如圖，AD是RtABC斜BC上的高，E是AC的中點(diǎn)，

5、ED與AB的延長(zhǎng)線相交于F，求證：=證法一：如圖，在RtABC中，BACRt，ADBC，3C，又E是RtADC的斜邊AC上的中點(diǎn)，ED=ACEC，2C，又12，13，DFBAFD，DFBAFD， （1）又AD是RtABC的斜邊BC上的高，RtABDRtCAD，= （2）由（1）（2）兩式得=，故=證法二：過(guò)點(diǎn)A作AGEF交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則= （1）E是AC的中點(diǎn)，EDAC，D是GC的中點(diǎn)，又ADGC，AD是線段GC的垂直平分線，AGAC （2）由（1）（2）兩式得：=，證畢。 【解題技巧點(diǎn)撥】本題證法中，通過(guò)連續(xù)兩次證明三角形相似，得到相應(yīng)的比例式，然后通過(guò)中間比“”過(guò)渡，使問(wèn)題

6、得證，證法二中是運(yùn)用平行線分線段成比例定理的推論，三角形的中位線的判定，線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)使問(wèn)題得證一、如何證明三角形相似例1、如圖：點(diǎn)G在平行四邊形ABCD的邊DC的延長(zhǎng)線上,AG交BC、BD于點(diǎn)E、F，則AGD 。例2、已知ABC中，AB=AC，A=36°，BD是角平分線，求證：ABCBCD例3：已知，如圖，D為ABC內(nèi)一點(diǎn)連結(jié)ED、AD，以BC為邊在ABC外作CBE=ABD，BCE=BAD求證：DBEABC例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC邊的三等分點(diǎn)，連結(jié)AE、AF、AC，問(wèn)圖中是否存在非全等的相似三角形？請(qǐng)證明你的結(jié)論。二、如何應(yīng)用相似三角形證明比

7、例式和乘積式例5、ABC中，在AC上截取AD，在CB延長(zhǎng)線上截取BE，使AD=BE，求證：DFAC=BCFE例6：已知：如圖，在ABC中，BAC=900，M是BC的中點(diǎn)，DMBC于點(diǎn)E，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D。求證：（1）MA2=MDME；（2）例7：如圖ABC中，AD為中線，CF為任一直線，CF交AD于E，交AB于F，求證：AE：ED=2AF：FB。三、如何用相似三角形證明兩角相等、兩線平行和線段相等。例8：已知：如圖E、F分別是正方形ABCD的邊AB和AD上的點(diǎn)，且。求證：AEF=FBD例9、在平行四邊形ABCD內(nèi)，AR、BR、CP、DP各為四角的平分線， 求證：SQAB，RPBC例10、已

8、知A、C、E和B、F、D分別是O的兩邊上的點(diǎn)，且ABED，BCFE，求證：AFCD例11、直角三角形ABC中，ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，F(xiàn)GAC交AB于G，求證：FC=FG例12、RtABC銳角C的平分線交AB于E，交斜邊上的高AD于O，過(guò)O引BC的平行線交AB于F，求證：AE=BF課后作業(yè)學(xué)生姓名所屬年級(jí)九年級(jí)輔導(dǎo)學(xué)科數(shù)學(xué)任課教師作業(yè)時(shí)限90分鐘布置時(shí)間月 日 一、填空題1.已知：在ABC中，P是AB上一點(diǎn)，連結(jié) CP，當(dāng)滿足條件ACP= 或APC=或 AC2= 時(shí)，ACPABC2.兩個(gè)相似三角形周長(zhǎng)之比為49，面積之和為291，則面積分別是 。3.如圖，D

9、EFG是RtABC的內(nèi)接正方形，若CF8，DG4，則BE 。4如圖，直角梯形 ABCD中，ADBC，ADCD，ACAB，已知AD4，BC9，則 AC。5ABC中，AB15，AC9，點(diǎn)D是AC上的點(diǎn)，且AD=3，E在AB上，ADE與ABC相似，則AE的長(zhǎng)等于。6.如圖，在正方形網(wǎng)格上畫有梯形ABCD，則BDC的度數(shù)為。7.ABC中，ABAC，A36°，BC1，BD平分ABC交于D，則BD ，AD ，設(shè)ABx,則關(guān)于x的方程是 .8如圖，已知D是等邊ABC的BC邊上一點(diǎn)，把ABC向下折疊，折痕為MN，使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，若BDDC23，則AMMN= 。 二、選擇題9.如圖，在正A

10、BC中，D、E分別在AC、AB上，且=，AE=BE，則有（）AAEDBEDBAEDCBDCAEDABDDBADBCD10如圖，在ABC中，D為AC邊上一點(diǎn)，DBCA，BC=，AC3，則CD的長(zhǎng)為（ ）A.1B.C.2D.11如圖，ABCD中，G是 BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AG與 BD交于點(diǎn)E，與DC交于點(diǎn)F，則圖中相似三角形共有（ ）A3對(duì) B4對(duì) C5對(duì) D6對(duì)12 P是RtABC的斜邊BC上異于B、C的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線截ABC，使截得的三角形與ABC相似，滿足這樣條件的直線共有（ ）A1條 B.2條 C3條 D4條13如圖，在直角梯形 ABCD中，AB7，AD2，BC=3，若在 AB上取一點(diǎn)P

11、，使以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形和以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似，這樣的P點(diǎn)有（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè) 三、解答下列各題14.如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=5，BC10，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB作勻速運(yùn)動(dòng)，1分鐘可以到達(dá)B點(diǎn)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，沿BC作勻速直線運(yùn)動(dòng)，1分鐘可到C點(diǎn)，現(xiàn)在點(diǎn)P點(diǎn)Q同時(shí)分別從A點(diǎn)、B點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，線段PQ恰與線段BD垂直？  15已知：如圖，正方形DEFG內(nèi)接于RtABC，EF在斜邊BC上，EHAB于H求證：（1）ADGHED；（2）EF2BE·FC    （答案）例1分析

12、：關(guān)鍵在找“角相等”，除已知條件中已明確給出的以外，還應(yīng)結(jié)合具體的圖形，利用公共角、對(duì)頂角及由平行線產(chǎn)生的一系列相等的角。本例除公共角G外,由BCAD可得1=2，所以AGDEGC。再1=2（對(duì)頂角），由ABDG可得4=G，所以EGCEAB。例2分析：證明相似三角形應(yīng)先找相等的角，顯然C是公共角，而另一組相等的角則可以通過(guò)計(jì)算來(lái)求得。借助于計(jì)算也是一種常用的方法。證明：A=36°，ABC是等腰三角形，ABC=C=72°又BD平分ABC，則DBC=36°在ABC和BCD中，C為公共角，A=DBC=36°ABCBCD例3分析： 由已知條件ABD=CBE，DBC

13、公用。所以DBE=ABC，要證的DBE和ABC，有一對(duì)角相等，要證兩個(gè)三角形相似，或者再找一對(duì)角相等，或者找夾這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。從已知條件中可看到CBEABD，這樣既有相等的角，又有成比例的線段，問(wèn)題就可以得到解決。證明：在CBE和ABD中，CBE=ABD, BCE=BADCBEABD=即：=DBE和ABC中，CBE=ABD, DBC公用CBE+DBC=ABD+DBCDBE=ABC且=DBEABC例4分析：本題要找出相似三角形，那么如何尋找相似三角形呢？下面我們來(lái)看一看相似三角形的幾種基本圖形：（1） 如圖：稱為“平行線型”的相似三角形(2)如圖：其中1=2，則ADEABC稱為“相交線型

14、”的相似三角形。(3)如圖：1=2，B=D，則ADEABC，稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。觀察本題的圖形，如果存在相似三角形只可能是“相交線型”的相似三角形，及EAF與ECA解：設(shè)AB=a，則BE=EF=FC=3a，由勾股定理可求得AE=， 在EAF與ECA中，AEF為公共角，且所以EAFECA例5 分析：證明乘積式通常是將乘積式變形為比例式及DF：FE=BC：AC，再利用相似三角形或平行線性質(zhì)進(jìn)行證明：證明：過(guò)D點(diǎn)作DKAB，交BC于K，DKAB，DF：FE=BK：BE又AD=BE，DF：FE=BK：AD，而BK：AD=BC：AC即DF：FE= BC：AC，DFAC=BCFE例6 證明：（1）

15、BAC=900，M是BC的中點(diǎn)，MA=MC，1=C，DMBC，C=D=900-B，1=D，2=2，MAEMDA，MA2=MDME，（2）MAEMDA，評(píng)注：命題1 如圖，如果1=2，那么ABDACB，AB2=ADAC。命題2 如圖，如果AB2=ADAC，那么ABDACB，1=2。例7 分析：圖中沒(méi)有現(xiàn)成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考慮作平行線構(gòu)造相似形。怎樣作？觀察要證明的結(jié)論，緊緊扣住結(jié)論中“AE：ED”的特征，作DGBA交CF于G，得AEFDEG，。與結(jié)論相比較，顯然問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證。證明：過(guò)D點(diǎn)作DGAB交FC于G則AEFDEG。（平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長(zhǎng)

16、線所得三角形與原三角形相似） （1）D為BC的中點(diǎn)，且DGBFG為FC的中點(diǎn)則DG為CBF的中位線， （2）將（2）代入（1）得：例8 分析：要證角相等，一般來(lái)說(shuō)可通過(guò)全等三角形、相似三角形，等邊對(duì)等角等方法來(lái)實(shí)現(xiàn)，本題要證的兩個(gè)角分別在兩個(gè)三角形中，可考慮用相似三角形來(lái)證，但要證的兩個(gè)角所在的三角形顯然不可能相似（一個(gè)在直角三角形中，另一個(gè)在斜三角形中），所以證明本題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，證明：作FGBD，垂足為G。設(shè)AB=AD=3k則BE=AF=k，AE=DF=2k，BD=ADB=450，F(xiàn)GD=900DFG=450DG=FG=BG=又A=FGB=900AEFGBF AEF=FBD例9

17、分析：要證明兩線平行較多采用平行線的判定定理，但本例不具備這樣的條件，故可考慮用比例線段去證明。利用比例線段證明平行線最關(guān)鍵的一點(diǎn)就是要明確目標(biāo)，選擇適當(dāng)?shù)谋壤€段。要證明SQAB，只需證明AR：AS=BR：DS。證明：在ADS和ARB中。 DAR=RAB=DAB，DCP=PCB=ABCADSABR 但ADSCBQ，DS=BQ，則，SQAB，同理可證，RPBC例10分析：要證明AFCD，已知條件中有平行的條件，因而有好多的比例線段可供利用，這就要進(jìn)行正確的選擇。其實(shí)要證明AFCD，只要證明即可，因此只要找出與這四條線段相關(guān)的比例式再稍加處理即可成功。證明：ABED，BCFE，兩式相乘可得：例1

18、1 分析：要證明FC=FG，從圖中可以看出它們所在的三角形顯然不全等，但存在較多的平行線的條件，因而可用比例線段來(lái)證明。要證明FC=FG，首先要找出與FC、FG相關(guān)的比例線段，圖中與FC、FG相關(guān)的比例式較多，則應(yīng)選擇與FC、FG都有聯(lián)系的比作為過(guò)渡，最終必須得到（“？”代表相同的線段或相等的線段），便可完成。證明： FGACBE，ABEAGF 則有而FCDE AEDAFC則有 又BE=DE（正方形的邊長(zhǎng)相等），即GF=CF。例12 證明：CO平分C，2=3，故RtCAERtCDO，又OFBC，又RtABDRtCAD，即AE=BF。一、B、ACB、AP·AB 2.48,243 3.4 4.6 5.5或 6.135° 7.1,1,x2-x-1=0