函數章節(jié)知識點總結

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上知識點一：函數的定義域求法1、 分母不為02、 根號下大于等于零3、 無意義，例：的定義域為4、 對數函數的定義域為5、 正切函數的定義域為習題1:求下列函數的定義域 6、 抽象函數定義域的求法（重點）（1） 例：的定義域為，求函數的定義域為： 解：一般性總結，直接代入法：已知的定義域，求的定義，直接代入即可，根據不等式解出，即是的定義域。習題1：若函數的定義域是，則的定義域為_（2） 例：的定義域為，求函數的定義域為_解：一般性總結，值域法：已知的定義域為，求的定義域，只需求出的值域即可，即為的定義域。習題1：若函數的定義域為，則函數的定義域為_（3） 已知函數的定

2、義域為，求函數的定義域為_解：總結：已知函數，求函數，只需要將上述（1），（2）的兩種方法綜合一下即可。即使找進行一次過度。由求出，按照（2）的步驟求出，然后再由求出，按照（1）的步驟即可。知識點二：函數值域的求法1、 直接代入法：已知，求的值解：將直接代入的表達式計算結果即可。2、 計算區(qū)間法：區(qū)間的計算法則（1）的倒數區(qū)間為 （2）的倒數區(qū)間為 （3）的倒數區(qū)間為 （4）的倒數區(qū)間為 （5）的倒數區(qū)間為 （6）的倒數區(qū)間為 （7）的區(qū)間等價于的倒數區(qū)間為 例題：求的值域解：3、 一元一次函數和一元二次函數求值域例題：上的值域_總結，對于一次函數來說，利用單調性求值域，即直接代入端點值即可。

3、例題：上的值域 上的值域 上的值域對于上述三種一元二次函數求值域，首先要判斷對稱軸的位置是否在定義域內，若不在定義域內即可以利用單調性直接代入端點即可，如的形式，如果對稱軸在定義域內，一定在對稱軸處取得最值，再其中一個端點處取得值域的另外一端。4、分離常數法：（1）例：求函數的值域為_解：，由此可知的值域為總結：分離常數法適用于齊次式（齊次式即為因式的分子和分母的最高次冪一樣高，常見的有一次比一次式和二次比二次式。）如例題所示為一次比一次的分式，按照分離常數后的結果，全部根據得出定義域和值域。的定義域為，值域為，根據的對稱中心，橫坐標即為定義域取不到的點，縱坐標即為值域取不到的點。的對稱中心可

4、以由的圖像向右移動一個單位并向上一個單位平移得到，所以對稱中心也依次平移到了點處，所以定義域為，值域為。習題1：求下列函數的值域 ，（特殊的齊次式）注：換元法將設為t之后，就可以變?yōu)辇R次式了。根據區(qū)間計算法求值域就可以了 ，仍然是特殊的齊次式，換元之后之后改變取值范圍。根據區(qū)間計算法求值域就可以了。補充知識點：對勾函數的性質（1）當時，對勾函數有最低點（最小值），其橫坐標為，上單調遞減，上單調遞增。（2） 當時，對勾函數有最高點（最大值），其橫坐標為，上單調遞增，上單調遞減。（3） 其圖像如圖所示 （2） 例1：求的值域_分析：分式的分子與分母都是二次式，依然符合齊次式的特征，所以需要通過分離

5、常數求解解：然后按照對勾函數性質求出分母的值域，再按照區(qū)間計算法求出函數的值域即可。例2：求的值域_判別式法，適用于定義域為R的函數求值域接總結：若函數可以轉化為一個系數含有的二次方程，則在時，若，則，從而確定函數的最值，并驗證時對應的x的值是否在函數定義域內，以決定時，的值的取舍。5、對勾函數法，適用于一次比二次或者二次比一次的非齊次式。例題1：的值域為解：轉換成了對勾函數，按照對勾函數的性質進行求解.例題2：求的值域_解：然后利用對勾函數求出值域即可6、換元法求值域（1）適用于的形式例題：方法一：利用單調性，因為函數和均在定義域內單調遞增，所以函數在定義域內單調遞增，所以代入斷電之即可。方

6、法二：換元，將的形式設為新參數t解：，然后按照一元二次函數的形式求值域即可。例題2：求的值域分析，因為函數是單調遞增的，而是單調遞減函數，所以在定義域內無法判斷其單調性，所以只能通過換元的方法求值域，即然后將函數轉化成一元二次函數的形式，最后按照一元二次函數的形式就值域。（2） 三角換元求值域例題1：求的值域分析，對于形如的形式，按照三角換元的形式進行求解。解：，由此可知值域為例題2：求的值域同樣利用三角換元的形式解：，所以可知值域為7、 利用幾何意義和函數圖像的性質求值域例題1：求的值域分析，這樣的函數求值域比較難，而且形式比較復雜，所以，當不符合以上上面的任何一種形式的求值域方式時，需要考

7、慮用幾何意義和圖像的性質求值域。所謂的幾何意義，主要包括，兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，斜率公式等解將該式子理解成P這個點，到點A和點B的兩點間的距離和。所以求值域過程如圖所示做A點關于x軸的對稱點,所以PA+PB有最小值，無最大值，所以連接和B點的直線與x軸的交點為最小值點，所以函數的最小值為的距離。例題2：求的值域分析，利用斜率和圓的性質求值域解：將該式子理解成單位圓外一點與單位圓上的點所連線的斜率的2倍，所以如圖所示：具體求解過程如下:，所以綜上所示函數的值域為8、 忽略定義域的值域問題例題1：函數的值域為，求的取值范圍。分析，若想讓函數取到的值域，則必須能取到的所有值，即的必須

8、大于等于零，如果所示：如圖所示，必須能取到x軸下方的部分，至于小于零的部分，雖然跟根號下大于等于零矛盾，可以通過定義域的規(guī)定，去除掉。解：例題2：已知函數的值域為R，則實數的取值范圍是_分析過程如上，若的值域要為R，必須可以取到大于零的所有值，且分析可知，所以等價于能取得大于零的所有值，所以依然是大于等于零，對于小于零的部分，雖然與真數大于零矛盾，依然可以通過定義域去除掉。9、 利用導數求值域例如高次函數或者各類基本初等函數混合的復雜函數求值域，可以利用導數的方法就值域例題：，上的值域解：然后利用極值點判斷出函數的單調性，根據單調性求出函數值域即可。知識點三：單調性判斷單調性的方法：1、掌握所

9、有基本初等函數的單調性區(qū)間 2、單調遞增 單調遞減 3、導函數大于零單調遞增，導函數小于零單調遞減 4、取倒數和添負號均改變一次單調性 5、復合函數的單調性，同增異減 6、奇函數在對稱區(qū)間內的單調性相同，偶函數在對稱區(qū)間內的單調性相反 7、增函數+增函數=增函數，減函數+減函數=減函數 8、互為反函數的兩個函數的單調性相同 9、觀察函數圖像，若圖像從左下角向右上角變化，則為增函數，若函數圖像從左上角向右下角變化，則為單調遞減函數。 10、分段函數的單調性：例題：已知函數是上的減函數，那么的取值范圍是_分析：對于分段函數，不單要討論每個分段區(qū)間上的單調性，即，還需要注意分段點處的單調性， 11、

10、單調區(qū)間不可以用并集，若要連接兩個單調區(qū)間，只能用逗號，或者“和”例題：的單調遞減區(qū)間為_根據對勾函數的性質：是單調遞減區(qū)間，而是單調遞減區(qū)間的寫法，是錯誤的。知識點四：奇偶性1、 奇函數：，圖像關于原點對稱，定義域對稱，若在處有定義，則必有2、 是奇函數證明過程如下：3、 偶函數：，圖像關于y軸對稱，定義域對稱4、 復合函數奇偶性：同奇則奇，一偶則偶。5、 函數奇偶性的運算法則：奇函數+奇函數=奇函數 偶函數+偶函數=偶函數 奇函數*奇函數=偶函數 偶函數*偶函數=偶函數 奇函數/奇函數=奇函數 偶函數/偶函數=偶函數 奇函數*偶函數=奇函數 奇函數/偶函數=奇函數總結：奇偶性相同的函數做乘

11、除等于偶函數，奇偶性不同的函數做乘除等于奇函數6、 奇函數的導數是偶函數，偶函數的導數是奇函數。7、 唯一的一個及時奇函數又是偶函數的函數是8、 一些反應奇偶性的重要表達式：（1）奇函數，偶函數 （2）奇函數 （3）奇函數 （4）奇函數知識點五：周期性1、 特殊函數的周期性：， ，2、反應周期函數的表達式（1），周期函數最基礎表達式，以T為周期 （2）， 變形：依然是周期函數，周期為 （3）， （4），C為常數， （5） ， （6）， 證：，3、 利用奇偶性推導周期性：若為偶函數，為奇函數，則為周期函數， 且周期為。同理若為奇函數，為偶函數，則 依然為周期函數，且周期為4、 利用對稱性和奇偶性

12、推導周期性：若是偶函數，且，則以 為周期的周期函數5、利用計算得出函數周期性：例：已知函數滿足：，則分析：此題需要求的值，因為2010過于大，所以分析可知需要利用函數的周期性去求解，所以根據題的已知條件，依次計算，觀察規(guī)律即可得出周期的結論。知識點六：對稱性1、 反應函數對稱性的式子：，均反應是函數的對稱軸。2、 奇函數原點對稱，偶函數y軸對稱3、 與關于y軸對稱 與關于x軸對稱 與關于原點對稱知識點七：函數圖像1、 的圖像，將y軸右側的函數圖像向左翻轉2、 的圖像，將x軸下方的圖像圖像向上翻轉3、 函數的平移變化，左加，右減，上加，下減例題1：圖像經過怎樣的變化可以得到平移變化1:先平移的變

13、化：平移變化2：先拉壓的變化：例題2：圖像經過怎樣的平移變化可以得到該題需要注意的是，在平移過程中只對x做變化，也就是說需要注意前面的負號。知識點八：求函數的表達式1、 換元法求表達式例題：已知，求函數的表達式解：2、 直接帶入法求表達式例題：已知函數，求的表達式解：3、 配方法求表達式例題1：已知，求函數的表達式解：例題2：已知，求的表達式解：3、利用奇偶性求函數表達式例題1：已知是奇函數，當時，求時，的表達式解：，利用奇偶性求表達式題型1，求法固定。例題2：已知函數是偶函數，當時，求當時，的表達式。解：例題3：已知定義在R上的奇函數和偶函數，滿足，求，的表達式。解：4、 利用對稱性求表達式

14、（1） 利用對稱軸求函數表達式例題：已知，且和關于對稱，求的表達式解：類型是有兩個函數，關于一條對稱軸對稱（2） 利用對稱點求函數表達式例題：已知，當時，求的表達式解：5、 倒代換求表達式例題：已知，求的表達式分析：觀察表達式，只有和兩種形式，用倒代換求表達式解：6、 反代換就表達式例題：已知，求的表達式分析，題中只含有表達式，兩種形式，所以采用反代換的形式求表達式解：知識點九：函數的凹凸性1、 凹函數：若函數上每一點的切線都在圖像的下方，則函數為凹函數。（函數的鼓出方向對著x軸方向，則為凹函數）。如圖所示：凹函數的性質：2、 凸函數：若函數上每一點的切線都在圖像的上方，則函數為凸函數。（若函

15、數的鼓出方向背離x軸方向，則為凸函數。）如圖所示：凸函數的性質：3、 函數的凹凸性：是凹函數 是凸函數 ，當時，函數為凸函數，當時，函數為凹函數。知識點十：反函數1、 反函數定義：將原函數中的自變量和因變量對換位置，也就是用原函數中的因變量去表示自變量。2、 反函數達的求法：例題：已知函數，求函數的反函數。解：3、 反函數的性質：（1）原函數的定義域即為反函數的值域，原函數的值域即為反函數的定義域 （2）原函數、反函數具有相同的單調性 （3）原函數、反函數的圖像關于對稱。4、 一個函數存在反函數的條件：函數在給定定義域內具有單調性。原函數與反函數的經典函數：指數函數與對數函數例：和如圖所示：知

16、識點十一：函數的零點問題1、 二分法：用來判斷函數根的位置。，函數在區(qū)間內具有單調性，所有函數在內有且只有一個實數根。2、 函數的零點個數：，的圖像的零點個數，等于和的圖像的交點個數。，的圖像的零點個數，等于和的圖像的交點個數。3、常見函數的交點個數：在定義域內有且僅有一個交點。在定義域內有3個交點，其中一個在y軸左側，另外兩個在y軸右側，分別是知識點十二：觀察法觀察函數性質所謂的觀察法即是通過觀察函數表達式的形式，或者做稍微簡單的化簡變化而得出的函數性質的方法。觀察法要求對函數的性質，尤其是對于函數的奇偶性和單調性有比較強烈的敏感性，才能比較準確的觀察出函數的性質。例題1：，通過觀察需要觀察

17、出函數具有奇函數且定義域內單調遞增的性質。例題2：，通過觀察函數首先具有奇函數的性質，但是無法直接觀察出函數的單調性，所有通過對函數求導，才能得出單調遞增的性質。所以原函數單調遞增。例題3：，且的值。通過觀察可知函數是一個奇函數，且互為相反數，所以等于0。函數經典例題：（主要針對函數的零點和根的分布的問題）1、 設是周期為2的奇函數，當時，則分析：并不在題中給出定義域中，所以無法應用進行計算，所以需要應用奇偶性和周期性將轉化到區(qū)間內。解：2、 對實數和，定義運算“”：，設函數。若函數的函數與x軸有兩個公共點，則實數的取值范圍是_分析：注意題中語句，函數與x軸有兩個交點，所以判斷交點個數問題應該

18、考慮函數圖像，即理解為與的交點個數。其次需要讀懂題中新定義的算法解：，畫出函數圖像可知，根據圖像可知，在BD直線上方，且直線與有兩個交點的地方就是所求的范圍。所以總結，根據題干描述，只要涉及到交點個數的問題，基本都需要用函數的圖像去解決。3、 已知函數，若互不相當，且，則的取值范圍分析：由此性質可以知道，于某條直線有三個交點，才能得到此條件。再次根據求的范圍可以，多變量問題一定要轉化成一個變量。所以一定要將轉換成一個未知量才可以。解：如圖所示4、 定義在R上的函數滿足，則的值為_分析：不在題中給出具體函數表達式的定義域中，且2009較大，所以必須轉化到的區(qū)間內，其次根據一定反映出函數的周期性，所以根據需要根據條件導出函數的周期。將兩式子相加可以得出，所以可知T=6，所以，所以5、 已知函數滿足：，則_分析，求的數比較大，所以應該利用函數的周期性求解，但是無法通過題中給出的已知條件得出周期的性質，所以，我們只能多算幾遍，根據算出的結果判斷函數的周期性。解：周期是6，所以。上面左邊是第一種方法，右邊是第二種方法，但是第二種方法對于函數的性質要求比較高，而且符合條件的函數比較不好找，推薦采用第一種方法。6、 已知函數，若數列，且是遞減函數，則實數的取值范圍是_分析