函數(shù)章節(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上知識(shí)點(diǎn)一：函數(shù)的定義域求法1、 分母不為02、 根號(hào)下大于等于零3、 無意義，例：的定義域?yàn)?、 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?、 正切函數(shù)的定義域?yàn)榱?xí)題1:求下列函數(shù)的定義域 6、 抽象函數(shù)定義域的求法（重點(diǎn)）（1） 例：的定義域?yàn)?，求函?shù)的定義域?yàn)椋?解：一般性總結(jié)，直接代入法：已知的定義域，求的定義，直接代入即可，根據(jù)不等式解出，即是的定義域。習(xí)題1：若函數(shù)的定義域是，則的定義域?yàn)開（2） 例：的定義域?yàn)?，求函?shù)的定義域?yàn)開解：一般性總結(jié)，值域法：已知的定義域?yàn)?，求的定義域，只需求出的值域即可，即為的定義域。習(xí)題1：若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開（3） 已知函數(shù)的定

2、義域?yàn)椋蠛瘮?shù)的定義域?yàn)開解：總結(jié)：已知函數(shù)，求函數(shù)，只需要將上述（1），（2）的兩種方法綜合一下即可。即使找進(jìn)行一次過度。由求出，按照（2）的步驟求出，然后再由求出，按照（1）的步驟即可。知識(shí)點(diǎn)二：函數(shù)值域的求法1、 直接代入法：已知，求的值解：將直接代入的表達(dá)式計(jì)算結(jié)果即可。2、 計(jì)算區(qū)間法：區(qū)間的計(jì)算法則（1）的倒數(shù)區(qū)間為 （2）的倒數(shù)區(qū)間為 （3）的倒數(shù)區(qū)間為 （4）的倒數(shù)區(qū)間為 （5）的倒數(shù)區(qū)間為 （6）的倒數(shù)區(qū)間為 （7）的區(qū)間等價(jià)于的倒數(shù)區(qū)間為 例題：求的值域解：3、 一元一次函數(shù)和一元二次函數(shù)求值域例題：上的值域_總結(jié)，對(duì)于一次函數(shù)來說，利用單調(diào)性求值域，即直接代入端點(diǎn)值即可。

3、例題：上的值域 上的值域 上的值域?qū)τ谏鲜鋈N一元二次函數(shù)求值域，首先要判斷對(duì)稱軸的位置是否在定義域內(nèi)，若不在定義域內(nèi)即可以利用單調(diào)性直接代入端點(diǎn)即可，如的形式，如果對(duì)稱軸在定義域內(nèi)，一定在對(duì)稱軸處取得最值，再其中一個(gè)端點(diǎn)處取得值域的另外一端。4、分離常數(shù)法：（1）例：求函數(shù)的值域?yàn)開解：，由此可知的值域?yàn)榭偨Y(jié)：分離常數(shù)法適用于齊次式（齊次式即為因式的分子和分母的最高次冪一樣高，常見的有一次比一次式和二次比二次式。）如例題所示為一次比一次的分式，按照分離常數(shù)后的結(jié)果，全部根據(jù)得出定義域和值域。的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋鶕?jù)的對(duì)稱中心，橫坐標(biāo)即為定義域取不到的點(diǎn)，縱坐標(biāo)即為值域取不到的點(diǎn)。的對(duì)稱中心可

4、以由的圖像向右移動(dòng)一個(gè)單位并向上一個(gè)單位平移得到，所以對(duì)稱中心也依次平移到了點(diǎn)處，所以定義域?yàn)?，值域?yàn)?。?xí)題1：求下列函數(shù)的值域 ，（特殊的齊次式）注：換元法將設(shè)為t之后，就可以變?yōu)辇R次式了。根據(jù)區(qū)間計(jì)算法求值域就可以了 ，仍然是特殊的齊次式，換元之后之后改變?nèi)≈捣秶?。根?jù)區(qū)間計(jì)算法求值域就可以了。補(bǔ)充知識(shí)點(diǎn)：對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)勾函數(shù)有最低點(diǎn)（最小值），其橫坐標(biāo)為，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增。（2） 當(dāng)時(shí)，對(duì)勾函數(shù)有最高點(diǎn)（最大值），其橫坐標(biāo)為，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減。（3） 其圖像如圖所示 （2） 例1：求的值域_分析：分式的分子與分母都是二次式，依然符合齊次式的特征，所以需要通過分離

5、常數(shù)求解解：然后按照對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)求出分母的值域，再按照區(qū)間計(jì)算法求出函數(shù)的值域即可。例2：求的值域_判別式法，適用于定義域?yàn)镽的函數(shù)求值域接總結(jié)：若函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)系數(shù)含有的二次方程，則在時(shí)，若，則，從而確定函數(shù)的最值，并驗(yàn)證時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值是否在函數(shù)定義域內(nèi)，以決定時(shí)，的值的取舍。5、對(duì)勾函數(shù)法，適用于一次比二次或者二次比一次的非齊次式。例題1：的值域?yàn)榻猓恨D(zhuǎn)換成了對(duì)勾函數(shù)，按照對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.例題2：求的值域_解：然后利用對(duì)勾函數(shù)求出值域即可6、換元法求值域（1）適用于的形式例題：方法一：利用單調(diào)性，因?yàn)楹瘮?shù)和均在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以代入斷電之即可。方

6、法二：換元，將的形式設(shè)為新參數(shù)t解：，然后按照一元二次函數(shù)的形式求值域即可。例題2：求的值域分析，因?yàn)楹瘮?shù)是單調(diào)遞增的，而是單調(diào)遞減函數(shù)，所以在定義域內(nèi)無法判斷其單調(diào)性，所以只能通過換元的方法求值域，即然后將函數(shù)轉(zhuǎn)化成一元二次函數(shù)的形式，最后按照一元二次函數(shù)的形式就值域。（2） 三角換元求值域例題1：求的值域分析，對(duì)于形如的形式，按照三角換元的形式進(jìn)行求解。解：，由此可知值域?yàn)槔}2：求的值域同樣利用三角換元的形式解：，所以可知值域?yàn)?、 利用幾何意義和函數(shù)圖像的性質(zhì)求值域例題1：求的值域分析，這樣的函數(shù)求值域比較難，而且形式比較復(fù)雜，所以，當(dāng)不符合以上上面的任何一種形式的求值域方式時(shí)，需要考

7、慮用幾何意義和圖像的性質(zhì)求值域。所謂的幾何意義，主要包括，兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，斜率公式等解將該式子理解成P這個(gè)點(diǎn)，到點(diǎn)A和點(diǎn)B的兩點(diǎn)間的距離和。所以求值域過程如圖所示做A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn),所以PA+PB有最小值，無最大值，所以連接和B點(diǎn)的直線與x軸的交點(diǎn)為最小值點(diǎn)，所以函數(shù)的最小值為的距離。例題2：求的值域分析，利用斜率和圓的性質(zhì)求值域解：將該式子理解成單位圓外一點(diǎn)與單位圓上的點(diǎn)所連線的斜率的2倍，所以如圖所示：具體求解過程如下:，所以綜上所示函數(shù)的值域?yàn)?、 忽略定義域的值域問題例題1：函數(shù)的值域?yàn)椋蟮娜≈捣秶?。分析，若想讓函?shù)取到的值域，則必須能取到的所有值，即的必須

8、大于等于零，如果所示：如圖所示，必須能取到x軸下方的部分，至于小于零的部分，雖然跟根號(hào)下大于等于零矛盾，可以通過定義域的規(guī)定，去除掉。解：例題2：已知函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_分析過程如上，若的值域要為R，必須可以取到大于零的所有值，且分析可知，所以等價(jià)于能取得大于零的所有值，所以依然是大于等于零，對(duì)于小于零的部分，雖然與真數(shù)大于零矛盾，依然可以通過定義域去除掉。9、 利用導(dǎo)數(shù)求值域例如高次函數(shù)或者各類基本初等函數(shù)混合的復(fù)雜函數(shù)求值域，可以利用導(dǎo)數(shù)的方法就值域例題：，上的值域解：然后利用極值點(diǎn)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)值域即可。知識(shí)點(diǎn)三：單調(diào)性判斷單調(diào)性的方法：1、掌握所

9、有基本初等函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間 2、單調(diào)遞增 單調(diào)遞減 3、導(dǎo)函數(shù)大于零單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于零單調(diào)遞減 4、取倒數(shù)和添負(fù)號(hào)均改變一次單調(diào)性 5、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，同增異減 6、奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性相反 7、增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù) 8、互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性相同 9、觀察函數(shù)圖像，若圖像從左下角向右上角變化，則為增函數(shù)，若函數(shù)圖像從左上角向右下角變化，則為單調(diào)遞減函數(shù)。 10、分段函數(shù)的單調(diào)性：例題：已知函數(shù)是上的減函數(shù)，那么的取值范圍是_分析：對(duì)于分段函數(shù)，不單要討論每個(gè)分段區(qū)間上的單調(diào)性，即，還需要注意分段點(diǎn)處的單調(diào)性， 11、

10、單調(diào)區(qū)間不可以用并集，若要連接兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，只能用逗號(hào)，或者“和”例題：的單調(diào)遞減區(qū)間為_根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)：是單調(diào)遞減區(qū)間，而是單調(diào)遞減區(qū)間的寫法，是錯(cuò)誤的。知識(shí)點(diǎn)四：奇偶性1、 奇函數(shù)：，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，定義域?qū)ΨQ，若在處有定義，則必有2、 是奇函數(shù)證明過程如下：3、 偶函數(shù)：，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，定義域?qū)ΨQ4、 復(fù)合函數(shù)奇偶性：同奇則奇，一偶則偶。5、 函數(shù)奇偶性的運(yùn)算法則：奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù) 偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù) 奇函數(shù)*奇函數(shù)=偶函數(shù) 偶函數(shù)*偶函數(shù)=偶函數(shù) 奇函數(shù)/奇函數(shù)=奇函數(shù) 偶函數(shù)/偶函數(shù)=偶函數(shù) 奇函數(shù)*偶函數(shù)=奇函數(shù) 奇函數(shù)/偶函數(shù)=奇函數(shù)總結(jié)：奇偶性相同的函數(shù)做乘

11、除等于偶函數(shù)，奇偶性不同的函數(shù)做乘除等于奇函數(shù)6、 奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)。7、 唯一的一個(gè)及時(shí)奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)是8、 一些反應(yīng)奇偶性的重要表達(dá)式：（1）奇函數(shù)，偶函數(shù) （2）奇函數(shù) （3）奇函數(shù) （4）奇函數(shù)知識(shí)點(diǎn)五：周期性1、 特殊函數(shù)的周期性：， ，2、反應(yīng)周期函數(shù)的表達(dá)式（1），周期函數(shù)最基礎(chǔ)表達(dá)式，以T為周期 （2）， 變形：依然是周期函數(shù)，周期為 （3）， （4），C為常數(shù)， （5） ， （6）， 證：，3、 利用奇偶性推導(dǎo)周期性：若為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則為周期函數(shù)， 且周期為。同理若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則 依然為周期函數(shù)，且周期為4、 利用對(duì)稱性和奇偶性

12、推導(dǎo)周期性：若是偶函數(shù)，且，則以 為周期的周期函數(shù)5、利用計(jì)算得出函數(shù)周期性：例：已知函數(shù)滿足：，則分析：此題需要求的值，因?yàn)?010過于大，所以分析可知需要利用函數(shù)的周期性去求解，所以根據(jù)題的已知條件，依次計(jì)算，觀察規(guī)律即可得出周期的結(jié)論。知識(shí)點(diǎn)六：對(duì)稱性1、 反應(yīng)函數(shù)對(duì)稱性的式子：，均反應(yīng)是函數(shù)的對(duì)稱軸。2、 奇函數(shù)原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)y軸對(duì)稱3、 與關(guān)于y軸對(duì)稱 與關(guān)于x軸對(duì)稱 與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱知識(shí)點(diǎn)七：函數(shù)圖像1、 的圖像，將y軸右側(cè)的函數(shù)圖像向左翻轉(zhuǎn)2、 的圖像，將x軸下方的圖像圖像向上翻轉(zhuǎn)3、 函數(shù)的平移變化，左加，右減，上加，下減例題1：圖像經(jīng)過怎樣的變化可以得到平移變化1:先平移的變

13、化：平移變化2：先拉壓的變化：例題2：圖像經(jīng)過怎樣的平移變化可以得到該題需要注意的是，在平移過程中只對(duì)x做變化，也就是說需要注意前面的負(fù)號(hào)。知識(shí)點(diǎn)八：求函數(shù)的表達(dá)式1、 換元法求表達(dá)式例題：已知，求函數(shù)的表達(dá)式解：2、 直接帶入法求表達(dá)式例題：已知函數(shù)，求的表達(dá)式解：3、 配方法求表達(dá)式例題1：已知，求函數(shù)的表達(dá)式解：例題2：已知，求的表達(dá)式解：3、利用奇偶性求函數(shù)表達(dá)式例題1：已知是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求時(shí)，的表達(dá)式解：，利用奇偶性求表達(dá)式題型1，求法固定。例題2：已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求當(dāng)時(shí)，的表達(dá)式。解：例題3：已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，滿足，求，的表達(dá)式。解：4、 利用對(duì)稱性求表達(dá)式

14、（1） 利用對(duì)稱軸求函數(shù)表達(dá)式例題：已知，且和關(guān)于對(duì)稱，求的表達(dá)式解：類型是有兩個(gè)函數(shù)，關(guān)于一條對(duì)稱軸對(duì)稱（2） 利用對(duì)稱點(diǎn)求函數(shù)表達(dá)式例題：已知，當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式解：5、 倒代換求表達(dá)式例題：已知，求的表達(dá)式分析：觀察表達(dá)式，只有和兩種形式，用倒代換求表達(dá)式解：6、 反代換就表達(dá)式例題：已知，求的表達(dá)式分析，題中只含有表達(dá)式，兩種形式，所以采用反代換的形式求表達(dá)式解：知識(shí)點(diǎn)九：函數(shù)的凹凸性1、 凹函數(shù)：若函數(shù)上每一點(diǎn)的切線都在圖像的下方，則函數(shù)為凹函數(shù)。（函數(shù)的鼓出方向?qū)χ鴛軸方向，則為凹函數(shù)）。如圖所示：凹函數(shù)的性質(zhì)：2、 凸函數(shù)：若函數(shù)上每一點(diǎn)的切線都在圖像的上方，則函數(shù)為凸函數(shù)。（若函

15、數(shù)的鼓出方向背離x軸方向，則為凸函數(shù)。）如圖所示：凸函數(shù)的性質(zhì)：3、 函數(shù)的凹凸性：是凹函數(shù) 是凸函數(shù) ，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為凸函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為凹函數(shù)。知識(shí)點(diǎn)十：反函數(shù)1、 反函數(shù)定義：將原函數(shù)中的自變量和因變量對(duì)換位置，也就是用原函數(shù)中的因變量去表示自變量。2、 反函數(shù)達(dá)的求法：例題：已知函數(shù)，求函數(shù)的反函數(shù)。解：3、 反函數(shù)的性質(zhì)：（1）原函數(shù)的定義域即為反函數(shù)的值域，原函數(shù)的值域即為反函數(shù)的定義域 （2）原函數(shù)、反函數(shù)具有相同的單調(diào)性 （3）原函數(shù)、反函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱。4、 一個(gè)函數(shù)存在反函數(shù)的條件：函數(shù)在給定定義域內(nèi)具有單調(diào)性。原函數(shù)與反函數(shù)的經(jīng)典函數(shù)：指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)例：和如圖所示：知

16、識(shí)點(diǎn)十一：函數(shù)的零點(diǎn)問題1、 二分法：用來判斷函數(shù)根的位置。，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有單調(diào)性，所有函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。2、 函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)：，的圖像的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，等于和的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。，的圖像的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，等于和的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。3、常見函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：在定義域內(nèi)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)。在定義域內(nèi)有3個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)在y軸左側(cè)，另外兩個(gè)在y軸右側(cè)，分別是知識(shí)點(diǎn)十二：觀察法觀察函數(shù)性質(zhì)所謂的觀察法即是通過觀察函數(shù)表達(dá)式的形式，或者做稍微簡單的化簡變化而得出的函數(shù)性質(zhì)的方法。觀察法要求對(duì)函數(shù)的性質(zhì)，尤其是對(duì)于函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性有比較強(qiáng)烈的敏感性，才能比較準(zhǔn)確的觀察出函數(shù)的性質(zhì)。例題1：，通過觀察需要觀察

17、出函數(shù)具有奇函數(shù)且定義域內(nèi)單調(diào)遞增的性質(zhì)。例題2：，通過觀察函數(shù)首先具有奇函數(shù)的性質(zhì)，但是無法直接觀察出函數(shù)的單調(diào)性，所有通過對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，才能得出單調(diào)遞增的性質(zhì)。所以原函數(shù)單調(diào)遞增。例題3：，且的值。通過觀察可知函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)，且互為相反數(shù)，所以等于0。函數(shù)經(jīng)典例題：（主要針對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)和根的分布的問題）1、 設(shè)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則分析：并不在題中給出定義域中，所以無法應(yīng)用進(jìn)行計(jì)算，所以需要應(yīng)用奇偶性和周期性將轉(zhuǎn)化到區(qū)間內(nèi)。解：2、 對(duì)實(shí)數(shù)和，定義運(yùn)算“”：，設(shè)函數(shù)。若函數(shù)的函數(shù)與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_分析：注意題中語句，函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題應(yīng)該

18、考慮函數(shù)圖像，即理解為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。其次需要讀懂題中新定義的算法解：，畫出函數(shù)圖像可知，根據(jù)圖像可知，在BD直線上方，且直線與有兩個(gè)交點(diǎn)的地方就是所求的范圍。所以總結(jié)，根據(jù)題干描述，只要涉及到交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，基本都需要用函數(shù)的圖像去解決。3、 已知函數(shù)，若互不相當(dāng)，且，則的取值范圍分析：由此性質(zhì)可以知道，于某條直線有三個(gè)交點(diǎn)，才能得到此條件。再次根據(jù)求的范圍可以，多變量問題一定要轉(zhuǎn)化成一個(gè)變量。所以一定要將轉(zhuǎn)換成一個(gè)未知量才可以。解：如圖所示4、 定義在R上的函數(shù)滿足，則的值為_分析：不在題中給出具體函數(shù)表達(dá)式的定義域中，且2009較大，所以必須轉(zhuǎn)化到的區(qū)間內(nèi)，其次根據(jù)一定反映出函數(shù)的周期性，所以根據(jù)需要根據(jù)條件導(dǎo)出函數(shù)的周期。將兩式子相加可以得出，所以可知T=6，所以，所以5、 已知函數(shù)滿足：，則_分析，求的數(shù)比較大，所以應(yīng)該利用函數(shù)的周期性求解，但是無法通過題中給出的已知條件得出周期的性質(zhì)，所以，我們只能多算幾遍，根據(jù)算出的結(jié)果判斷函數(shù)的周期性。解：周期是6，所以。上面左邊是第一種方法，右邊是第二種方法，但是第二種方法對(duì)于函數(shù)的性質(zhì)要求比較高，而且符合條件的函數(shù)比較不好找，推薦采用第一種方法。6、 已知函數(shù)，若數(shù)列，且是遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_分析