公務(wù)員考試常用數(shù)學(xué)公式匯總(完整打印版)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上公務(wù)員考試常用數(shù)學(xué)公式匯總(完整版)一、基礎(chǔ)代數(shù)公式1. 平方差公式：（ab）×（ab）a2b22. 完全平方公式：（a±b）2a2±2abb2 完全立方公式：（a±b）3=（a±b）(a2ab+b2)3. 同底數(shù)冪相乘: am×anamn（m、n為正整數(shù)，a0）同底數(shù)冪相除：am÷anamn（m、n為正整數(shù)，a0）a01（a0）a-p（a0，p為正整數(shù)）4. 等差數(shù)列： （1）sn na1+n(n-1)d；（2）ana1（n1）d；（3）n 1；（4）若a,A,b成等差數(shù)列，則：2Aa+b；（5）

2、若m+n=k+i，則：am+an=ak+ai ；（其中：n為項(xiàng)數(shù)，a1為首項(xiàng)，an為末項(xiàng)，d為公差，sn為等差數(shù)列前n項(xiàng)的和）5. 等比數(shù)列： （1）ana1q1；（2）sn （q1）（3）若a,G,b成等比數(shù)列，則：G2ab；（4）若m+n=k+i，則：am·an=ak·ai ；（5）am-an=(m-n)d（6）q(m-n)（其中：n為項(xiàng)數(shù)，a1為首項(xiàng)，an為末項(xiàng)，q為公比，sn為等比數(shù)列前n項(xiàng)的和）6.一元二次方程求根公式：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 其中：x1=；x2=（b2-4ac0）根與系數(shù)的關(guān)系：x1+x2=-，x1·x2=二、基礎(chǔ)

3、幾何公式1. 三角形：不在同一直線上的三點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)三角形；三角形內(nèi)角和等于180°；三角形中任兩邊之和大于第三邊、任兩邊之差小于第三邊；（1）角平分線：三角形一個(gè)的角的平分線和這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段,叫做三角形的角的平分線。（2）三角形的中線：連結(jié)三角形一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。（3）三角形的高：三角形一個(gè)頂點(diǎn)到它的對(duì)邊所在直線的垂線段，叫做三角形的高。（4）三角形的中位線：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段，叫做三角形的中位線。（5）內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)叫做內(nèi)心；內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。 重心：中線的交點(diǎn)叫做重心；重心到每邊中點(diǎn)的距離等于這邊

4、中線的三分之一。 垂線：高線的交點(diǎn)叫做垂線；三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與垂心連線必垂直于對(duì)邊。 外心：三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心。外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。直角三角形：有一個(gè)角為90度的三角形，就是直角三角形。直角三角形的性質(zhì)： （1）直角三角形兩個(gè)銳角互余； （2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半； （3）直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半； （4）直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角是30°； （5）直角三角形中，c2a2b2（其中：a、b為兩直角邊長(zhǎng)，c為斜邊長(zhǎng)）；（6）直角

5、三角形的外接圓半徑，同時(shí)也是斜邊上的中線；直角三角形的判定： （1）有一個(gè)角為90°；（2）邊上的中線等于這條邊長(zhǎng)的一半； （3）若c2a2b2，則以a、b、c為邊的三角形是直角三角形；2. 面積公式： 正方形邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)； 長(zhǎng)方形 長(zhǎng)×寬； 三角形× 底×高； 梯形 ； 圓形 R2平行四邊形底×高扇形 R2正方體6×邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng) 長(zhǎng)方體2×（長(zhǎng)×寬寬×高長(zhǎng)×高）； 圓柱體2r22rh； 球的表面積4R23. 體積公式 正方體邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)； 長(zhǎng)方體長(zhǎng)

6、15;寬×高； 圓柱體底面積×高Shr2h 圓錐 r2h 球 4. 與圓有關(guān)的公式 設(shè)圓的半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則有：（1）dr：點(diǎn)在圓內(nèi)（即圓的內(nèi)部是到圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合）；（2）dr：點(diǎn)在圓上（即圓上部分是到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)的集合）；（3）dr：點(diǎn)在圓外（即圓的外部是到圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合）；線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)和判定：如果O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么：（1）直線與O相交：dr；（2）直線與O相切：dr；（3）直線與O相離：dr；圓與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)和判定：設(shè)兩圓半徑分別為R和r，圓心距為d，那么：（1）兩圓外離：；（2

7、）兩圓外切：；（3）兩圓相交：（）；（4）兩圓內(nèi)切：（）；（5）兩圓內(nèi)含：（）圓周長(zhǎng)公式：C2Rd （其中R為圓半徑，d為圓直徑，3.）；的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)的計(jì)算公式：；扇形的面積：（1）S扇R2；（2）S扇 R；若圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，則它的側(cè)面積：S側(cè)r；圓錐的體積：VShr2h。三、其他常用知識(shí)1 2X、3X、7X、8X的尾數(shù)都是以4為周期進(jìn)行變化的；4X、9X的尾數(shù)都是以2為周期進(jìn)行變化的；另外5X和6X的尾數(shù)恒為5和6，其中x屬于自然數(shù)。2 對(duì)任意兩數(shù)a、b，如果ab0，則ab；如果ab0，則ab；如果ab0，則ab。當(dāng)a、b為任意兩正數(shù)時(shí)，如果a/b1，則ab；如果a/b

8、1，則ab；如果a/b1，則ab。當(dāng)a、b為任意兩負(fù)數(shù)時(shí)，如果a/b1，則ab；如果a/b1，則ab；如果a/b1，則ab。對(duì)任意兩數(shù)a、b，當(dāng)很難直接用作差法或者作商法比較大小時(shí)，我們通常選取中間值C，如果aC，且Cb，則我們說ab。3 工程問題：工作量工作效率×工作時(shí)間；工作效率工作量÷工作時(shí)間；工作時(shí)間工作量÷工作效率；總工作量各分工作量之和；注：在解決實(shí)際問題時(shí)，常設(shè)總工作量為1。4 方陣問題：（1）實(shí)心方陣：方陣總?cè)藬?shù)（最外層每邊人數(shù)）2 最外層人數(shù)（最外層每邊人數(shù)1）×4（2）空心方陣：中空方陣的人數(shù)（最外層每邊人數(shù)）2-（最外層每邊人數(shù)-2

9、×層數(shù)）2（最外層每邊人數(shù)-層數(shù)）×層數(shù)×4=中空方陣的人數(shù)。例：有一個(gè)3層的中空方陣，最外層有10人，問全陣有多少人？ 解：（103）×3×484（人）5 利潤(rùn)問題：（1）利潤(rùn)銷售價(jià)（賣出價(jià)）成本；利潤(rùn)率1；銷售價(jià)成本×（1利潤(rùn)率）；成本。（2）單利問題利息本金×利率×時(shí)期； 本利和本金利息本金×（1+利率×時(shí)期）； 本金本利和÷（1+利率×時(shí)期）。 年利率÷12=月利率； 月利率×12=年利率。 例：某人存款2400元，存期3年，月利率為102（即月利

10、1分零2毫），三年到期后，本利和共是多少元？” 解：用月利率求。3年=12月×3=36個(gè)月 2400×（1+102×36） =2400×13672 =328128（元） 6 排列數(shù)公式：Pn（n1）（n2）（nm1），（mn）組合數(shù)公式：CP÷P（規(guī)定1）?！把b錯(cuò)信封”問題：D10，D21，D32，D49，D544，D6265，7. 年齡問題：關(guān)鍵是年齡差不變； 幾年后年齡大小年齡差÷倍數(shù)差小年齡 幾年前年齡小年齡大小年齡差÷倍數(shù)差8. 日期問題：閏年是366天，平年是365天，其中：1、3、5、7、8、10、12月都是31

11、天，4、6、9、11是30天，閏年時(shí)候2月份29天，平年2月份是28天。9. 植樹問題 （1）線形植樹：棵數(shù)總長(zhǎng)間隔1 （2）環(huán)形植樹：棵數(shù)總長(zhǎng)間隔 （3）樓間植樹：棵數(shù)總長(zhǎng)間隔1 （4）剪繩問題：對(duì)折N次，從中剪M刀，則被剪成了（2N×M1）段10. 雞兔同籠問題： 雞數(shù)（兔腳數(shù)×總頭數(shù)-總腳數(shù)）÷（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)） （一般將“每”量視為“腳數(shù)” ） 得失問題（雞兔同籠問題的推廣）：不合格品數(shù)（1只合格品得分?jǐn)?shù)×產(chǎn)品總數(shù)-實(shí)得總分?jǐn)?shù)）÷（每只合格品得分?jǐn)?shù)+每只不合格品扣分?jǐn)?shù)） 總產(chǎn)品數(shù)-（每只不合格品扣分?jǐn)?shù)×總產(chǎn)品數(shù)+實(shí)得總分?jǐn)?shù)）&

12、#247;（每只合格品得分?jǐn)?shù)+每只不合格品扣分?jǐn)?shù)）例：“燈泡廠生產(chǎn)燈泡的工人，按得分的多少給工資。每生產(chǎn)一個(gè)合格品記4分，每生產(chǎn)一個(gè)不合格品不僅不記分，還要扣除15分。某工人生產(chǎn)了1000只燈泡，共得3525分，問其中有多少個(gè)燈泡不合格？”解：（4×1000-3525）÷（4+15） =475÷19=25（個(gè)）11盈虧問題：（1）一次盈，一次虧：（盈+虧）÷（兩次每人分配數(shù)的差）=人數(shù)（2）兩次都有盈： （大盈-小盈）÷（兩次每人分配數(shù)的差）=人數(shù)（3）兩次都是虧： （大虧-小虧）÷（兩次每人分配數(shù)的差）=人數(shù)（4）一次虧，一次剛好：

13、虧÷（兩次每人分配數(shù)的差）=人數(shù)（5）一次盈，一次剛好：盈÷（兩次每人分配數(shù)的差）=人數(shù)例：“小朋友分桃子，每人10個(gè)少9個(gè)，每人8個(gè)多7個(gè)。問：有多少個(gè)小朋友和多少個(gè)桃子？” 解（7+9）÷（10-8）=16÷2=8（個(gè)）人數(shù) 10×8-9=80-9=71（個(gè)）桃子 12.行程問題：（1）平均速度：平均速度（2）相遇追及： 相遇（背離）：路程÷速度和時(shí)間 追及：路程÷速度差時(shí)間（3）流水行船： 順?biāo)俣却偎?；逆水速度船速水速。兩船相向航行時(shí)，甲船順?biāo)俣?乙船逆水速度=甲船靜水速度+乙船靜水速度 兩船同向航行時(shí)，后（前

14、）船靜水速度-前（后）船靜水速度=兩船距離縮?。ɡ螅┧俣取＃?）火車過橋： 列車完全在橋上的時(shí)間（橋長(zhǎng)車長(zhǎng)）÷列車速度 列車從開始上橋到完全下橋所用的時(shí)間（橋長(zhǎng)車長(zhǎng)）÷列車速度（5）多次相遇： 相向而行，第一次相遇距離甲地a千米，第二次相遇距離乙地b千米，則甲乙兩地相距 S3a-b（千米）（6）鐘表問題：鐘面上按“分針”分為60小格，時(shí)針的轉(zhuǎn)速是分針的，分針每小時(shí)可追及 時(shí)針與分針一晝夜重合22次，垂直44次，成180o22次。時(shí)分秒重疊2次13容斥原理： AB=+ A+B+C=+- 其中，E14牛吃草問題： 原有草量（牛數(shù)每天長(zhǎng)草量）×天數(shù)，其中：一般設(shè)每天長(zhǎng)

15、草量為X備考數(shù)量關(guān)系萬能解法：文氏圖        數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷。       縱觀近幾年公務(wù)員考試真題，無論是國(guó)考還是地方考試，集合問題作為一個(gè)熱點(diǎn)問題幾乎每年都會(huì)考到，此類題目的特點(diǎn)是總體難度不大，只要方法得當(dāng)，一般都很容易求解。下面為大家介紹用數(shù)形結(jié)合方法解這類題的經(jīng)典方法：文氏圖。

16、60;     一般來說，考試中?？嫉募详P(guān)系主要有下面兩種：       1. 并集 定義：取一個(gè)集合，設(shè)全集為I，A、B是I中的兩個(gè)子集，由所有屬于A或?qū)儆贐的元素所組成的集合，叫做A，B的并集，表示：AB。       比如說，現(xiàn)在要挑選一批人去參加籃球比賽。條件A是，這些人年齡要在18歲以上，條件B是，這些人身高要在180CM以上， 那么符合條件的人就是取條件A和B的并集，就是兩個(gè)條件都符合的人：18歲以上且身高在180CM以上。  &#

17、160;    2. 交集 定義：（交就是取兩個(gè)集合共同的元素）A和B的交集是含有所有既屬于A又屬于B的元素，而沒有其他元素的集合。A和B的交集寫作“AB”。形式上：x屬于AB當(dāng)且僅當(dāng)x屬于A且x屬于B。         例如：集合1，2，3和2，3，4 的交集為2，3。數(shù)字9不屬于素?cái)?shù)集合2，3，5，7，11 和奇數(shù)集合1，3，5，7，9，11的交集。若兩個(gè)集合 A 和 B 的交集為空，就是說他們沒有公共元素，則他們不相交。         （

18、I）取一個(gè)集合，設(shè)全集為I，A、B是I中的兩個(gè)子集，X為A和B的相交部分，則集合間有如下關(guān)系：       ABX，ABABX；文氏圖如下圖。      下面讓我們回顧一下歷年國(guó)考和地方真題，了解一下文氏圖的一些應(yīng)用。      例：如下圖所示，X、Y、Z分別是面積為64、180、160的三個(gè)不同形狀的紙片，它們部分重疊放在一起蓋在桌面上，總共蓋住的面積為290，且X與Y、Y與Z、Z與X重疊部分面積分別為24、70、36，問陰影部分的面積是多少？

19、（ ）      A. 15      B. 16      C. 14      D. 18            【答案：B】從題干及提供的圖我們可以看出，所求的陰影部分的面積即（II）中的x，直接套用上述公式，我們可以得到：XYZ64+180+160，XZ24，XY36，YZ70，則

20、： xXYZXYZXZXYYZ2906418016024703616      從圖上可以清楚的看到，所求的陰影部分是X，Y，Z這三個(gè)圖形的公共部分。即圖1中的x，由題意有：64180160247036x290，解得x16。        例：旅行社對(duì)120人的調(diào)查顯示，喜歡爬山的與不喜歡爬山的人數(shù)比為5：3，喜歡游泳的與不喜歡游泳的人數(shù)比為7：5，兩種活動(dòng)都喜歡的有43人，對(duì)這兩種活動(dòng)都不喜歡的人數(shù)是（ ）。      A. 18 B

21、. 27 C. 28 D. 32       【答案：A】欲求兩種活動(dòng)都喜歡的人數(shù)，我們可以先求出兩種活動(dòng)都不喜歡的人數(shù)。套用（I）中的公式：喜歡爬山的人數(shù)為120×58 75，可令A(yù)75；喜歡游泳的人數(shù)為120×712 70，可令B70；兩種活動(dòng)都喜歡的有43人，即AB43，故兩項(xiàng)活動(dòng)至少喜歡一個(gè)的人數(shù)為757043102人，即AB105，則兩種活動(dòng)都不喜歡的人數(shù)為12010218（人）。        例：某外語班的30名學(xué)生中，有8人學(xué)習(xí) 英語 ，1

22、2人學(xué)習(xí)日語，3人既學(xué)英語也學(xué)日語，問有多少人既不學(xué)英語又沒學(xué)日語？（ ）      A. 12 B. 13 C. 14 D. 15        【答案：B】題中要求的是既不學(xué)英語又不學(xué)日語的人數(shù)，我們可以先求出既學(xué)英語又學(xué)日語的人數(shù)。總?cè)藬?shù)減去既學(xué)英語又學(xué)日語的人數(shù)即為所求的人數(shù)。套用上面的公式可知，即學(xué)英語也學(xué)日語的人數(shù)為812317，則既不學(xué)英語又沒學(xué)日語的人數(shù)是：30（8123）13。        例：電

23、視臺(tái)向100人調(diào)查昨天收看電視情況，有62人看過2頻道，34人看過8頻道，11人兩個(gè)頻道都看過。問，兩個(gè)頻道都沒有看過的有多少人？（ ）      A4 B15 C17 D28 答案：B】本題解法同上，直接套用上述公式求出既看過2頻道又看過8頻道的人數(shù)為62341185人，則兩個(gè)頻道都沒看過的有1008515人。就我自己考試經(jīng)歷而言，其實(shí)沒有快速方法，唯有多練習(xí)，下面的可以參考一下在排列組合中，有三種特別常用的方法：捆綁法、插空法、插板法。一、捆綁法精要：所謂捆綁法，指在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的問題時(shí)，先整體考慮，將相鄰元素視作一個(gè)整體參與

24、排序，然后再單獨(dú)考慮這個(gè)整體內(nèi)部各元素間順序。提醒：其首要特點(diǎn)是相鄰，其次捆綁法一般都應(yīng)用在不同物體的排序問題中。二、插空法精要：所謂插空法，指在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求不相鄰的問題時(shí)，先將其它元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置。提醒：首要特點(diǎn)是不鄰，其次是插空法一般應(yīng)用在排序問題中。三、插板法精要：所謂插板法，指在解決若干相同元素分組，要求每組至少一個(gè)元素時(shí)，采用將比所需分組數(shù)目少1的板插入元素之間形成分組的解題策略。 文總結(jié)了數(shù)學(xué)運(yùn)算排列組合解題法則，幫助廣大備考2011年的考生了解排列組合常見問題及解題方法。一、捆綁法精要：所謂捆綁法，指在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求

25、相鄰的問題時(shí)，先整體考慮，將相鄰元素視作一個(gè)整體參與排序，然后再單獨(dú)考慮這個(gè)整體內(nèi)部各元素間順序。提醒：其首要特點(diǎn)是相鄰，其次捆綁法一般都應(yīng)用在不同物體的排序問題中?！纠}】有10本不同的書：其中數(shù)學(xué)書4本，外語書3本，語文書3本。若將這些書排成一列放在書架上，讓數(shù)學(xué)書排在一起，外語書也恰好排在一起的排法共有( )種。解析：這是一個(gè)排序問題，書本之間是不同的，其中要求數(shù)學(xué)書和外語書都各自在一起。為快速解決這個(gè)問題，先將4本數(shù)學(xué)書看做一個(gè)元素，將3本外語書看做一個(gè)元素，然后和剩下的3本語文書共5個(gè)元素進(jìn)行統(tǒng)一排序，方法數(shù)為，然后排在一起的4本數(shù)學(xué)書之間順序不同也對(duì)應(yīng)最后整個(gè)排序不同，所以在4本書

26、內(nèi)部也需要排序，方法數(shù)為，同理，外語書排序方法數(shù)為。而三者之間是分步過程，故而用乘法原理得。【例題】5個(gè)人站成一排，要求甲乙兩人站在一起，有多少種方法?解析：先將甲乙兩人看成1個(gè)人，與剩下的3個(gè)人一起排列，方法數(shù)為，然后甲乙兩個(gè)人也有順序要求，方法數(shù)為，因此站隊(duì)方法數(shù)為?！揪毩?xí)】一臺(tái)晚會(huì)上有6個(gè)演唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目，4個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起，有多少不同的安排節(jié)目的順序?注釋：運(yùn)用捆綁法時(shí)，一定要注意捆綁起來的整體內(nèi)部是否存在順序的要求，有的題目有順序的要求，有的則沒有。如下面的例題?！纠}】6個(gè)不同的球放到5個(gè)不同的盒子中，要求每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，一共有多少種方法?解析：按照題意，顯然是2個(gè)

27、球放到其中一個(gè)盒子，另外4個(gè)球分別放到4個(gè)盒子中，因此方法是先從6個(gè)球中挑出2個(gè)球作為一個(gè)整體放到一個(gè)盒子中，然后這個(gè)整體和剩下的4個(gè)球分別排列放到5個(gè)盒子中，故方法數(shù)是。二、插空法精要：所謂插空法，指在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求不相鄰的問題時(shí)，先將其它元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置。提醒：首要特點(diǎn)是不鄰，其次是插空法一般應(yīng)用在排序問題中?！纠}】若有A、B、C、D、E五個(gè)人排隊(duì)，要求A和B兩個(gè)人必須不站在一起，則有多少排隊(duì)方法?解析：題中要求AB兩人不站在一起，所以可以先將除A和B之外的3個(gè)人排成一排，方法數(shù)為，然后再將A和B分別插入到其余3個(gè)人排隊(duì)所形成的4個(gè)空

28、中，也就是從4個(gè)空中挑出兩個(gè)并排上兩個(gè)人，其方法數(shù)為，因此總方法數(shù)。【例題】8個(gè)人排成一隊(duì)，要求甲乙必須相鄰且與丙不相鄰，有多少種方法?解析：甲乙相鄰，可以捆綁看作一個(gè)元素，但這個(gè)整體元素又和丙不相鄰，所以先不排這個(gè)甲乙丙，而是排剩下的5個(gè)人，方法數(shù)為，然后再將甲乙構(gòu)成的整體元素及丙這兩個(gè)元素插入到此前5人所形成的6個(gè)空里，方法數(shù)為，另外甲乙兩個(gè)人內(nèi)部還存在排序要求為。故總方法數(shù)為?！揪毩?xí)】5個(gè)男生3個(gè)女生排成一排，要求女生不能相鄰，有多少種方法?注釋：將要求不相鄰元素插入排好元素時(shí)，要注釋是否能夠插入兩端位置。【例題】若有A、B、C、D、E五個(gè)人排隊(duì)，要求A和B兩個(gè)人必須不站在一起，且A和B

29、不能站在兩端，則有多少排隊(duì)方法?解析：原理同前，也是先排好C、D、E三個(gè)人，然后將A、B查到C、D、E所形成的兩個(gè)空中，因?yàn)锳、B不站兩端，所以只有兩個(gè)空可選，方法總數(shù)為。注釋：對(duì)于捆綁法和插空法的區(qū)別，可簡(jiǎn)單記為“相鄰問題捆綁法，不鄰問題插空法”。三、插板法精要：所謂插板法，指在解決若干相同元素分組，要求每組至少一個(gè)元素時(shí)，采用將比所需分組數(shù)目少1的板插入元素之間形成分組的解題策略。提醒：其首要特點(diǎn)是元素相同，其次是每組至少含有一個(gè)元素，一般用于組合問題中。【例題】將8個(gè)完全相同的球放到3個(gè)不同的盒子中，要求每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，一共有多少種方法?解析：解決這道問題只需要將8個(gè)球分成三組，然

30、后依次將每一組分別放到一個(gè)盒子中即可。因此問題只需要把8個(gè)球分成三組即可，于是可以講8個(gè)球排成一排，然后用兩個(gè)板查到8個(gè)球所形成的空里，即可順利的把8個(gè)球分成三組。其中第一個(gè)板前面的球放到第一個(gè)盒子中，第一個(gè)板和第二個(gè)板之間的球放到第二個(gè)盒子中，第二個(gè)板后面的球放到第三個(gè)盒子中去。因?yàn)槊總€(gè)盒子至少放一個(gè)球，因此兩個(gè)板不能放在同一個(gè)空里且板不能放在兩端，于是其放板的方法數(shù)是。(板也是無區(qū)別的)【例題】有9顆相同的糖，每天至少吃1顆，要4天吃完，有多少種吃法?解析：原理同上，只需要用3個(gè)板插入到9顆糖形成的8個(gè)內(nèi)部空隙，將9顆糖分成4組且每組數(shù)目不少于1即可。因而3個(gè)板互不相鄰，其方法數(shù)為?！揪毩?xí)

31、】現(xiàn)有10個(gè)完全相同的籃球全部分給7個(gè)班級(jí)，每班至少1個(gè)球，問共有多少種不同的分法?注釋：每組允許有零個(gè)元素時(shí)也可以用插板法，其原理不同，注意下題解法的區(qū)別。【例題】將8個(gè)完全相同的球放到3個(gè)不同的盒子中，一共有多少種方法?解析：此題中沒有要求每個(gè)盒子中至少放一個(gè)球，因此其解法不同于上面的插板法，但仍舊是插入2個(gè)板，分成三組。但在分組的過程中，允許兩塊板之間沒有球。其考慮思維為插入兩塊板后，與原來的8個(gè)球一共10個(gè)元素。所有方法數(shù)實(shí)際是這10個(gè)元素的一個(gè)隊(duì)列，但因?yàn)榍蛑g無差別，板之間無差別，所以方法數(shù)實(shí)際為從10個(gè)元素所占的10個(gè)位置中挑2個(gè)位置放上2個(gè)板，其余位置全部放球即可。因此方法數(shù)為

32、。注釋：特別注意插板法與捆綁法、插空法的區(qū)別之處在于其元素是相同的。四、具體應(yīng)用【例題】一條馬路上有編號(hào)為1、2、9的九盞路燈，現(xiàn)為了節(jié)約用電，要將其中的三盞關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，則所有不同的關(guān)燈方法有多少種?解析：要關(guān)掉9盞燈中的3盞，但要求相鄰的燈不能關(guān)閉，因此可以先將要關(guān)掉的3盞燈拿出來，這樣還剩6盞燈，現(xiàn)在只需把準(zhǔn)備關(guān)閉的3盞燈插入到亮著的6盞燈所形成的空隙之間即可。6盞燈的內(nèi)部及兩端共有7個(gè)空，故方法數(shù)為?！纠}】一條馬路的兩邊各立著10盞電燈，現(xiàn)在為了節(jié)省用電，決定每邊關(guān)掉3盞，但為了安全，道路起點(diǎn)和終點(diǎn)兩邊的燈必須是亮的，而且任意一邊不能連續(xù)關(guān)掉兩盞。問總共可以有

33、多少總方案?A、120B、320C、400D、420解析：考慮一側(cè)的關(guān)燈方法，10盞燈關(guān)掉3盞，還剩7盞，因?yàn)閮啥说臒舨荒荜P(guān)，表示3盞關(guān)掉的燈只能插在7盞燈形成的6個(gè)內(nèi)部空隙中，而不能放在兩端，故方法數(shù)為，總方法數(shù)為。注釋：因?yàn)閮蛇呹P(guān)掉的種數(shù)肯定是一樣的(因?yàn)閮蛇吺峭鹊匚?，而且總的種數(shù)是一邊的種數(shù)乘以另一邊的種數(shù)，因此關(guān)的方案數(shù)一定是個(gè)平方數(shù)，只有C符合。 排 列 組 合 加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法那么完成這件事共有Nm1十m2十十mn種不同的方法乘法原理：做一件事

34、，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法那么完成這件事共有Nm1 m2mn種不同的方法 6 排列數(shù)公式：Pn（n1）（n2）（nm1），（mn）組合數(shù)公式：CP÷P（規(guī)定1）。例1 5位高中畢業(yè)生，準(zhǔn)備報(bào)考3所高等院校，每人報(bào)且只報(bào)一所，不同的報(bào)名方法共有多少種? 解： 5個(gè)學(xué)生中每人都可以在3所高等院校中任選一所報(bào)名，因而每個(gè)學(xué)生都有3種不同的報(bào)名方法，根據(jù)乘法原理，得到不同報(bào)名方法總共有 3×3×3×3×3=35(種)例2 從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)

35、，其中至少有甲型與乙型電視機(jī)各1臺(tái)，則不同的取法共有( ) A.140種 B.84種 C.70種 D.35種 解： 抽出的3臺(tái)電視機(jī)中甲型1臺(tái)乙型2臺(tái)的取法有C14·C25種；甲型2臺(tái)乙型1臺(tái)的取法有C24·C15種 根據(jù)加法原理可得總的取法有 C24·C25+C24·C15=40+30=70(種) 可知此題應(yīng)選C.例3 由數(shù)字1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50 000的 偶數(shù)共有( ) A.60個(gè) B.48個(gè) C.36個(gè) D.24個(gè) 解 因?yàn)橐笫桥紨?shù)，個(gè)位數(shù)只能是2或4的排法有P12；小于50 000的五位數(shù)，萬位只能是1、3或

36、2、4中剩下的一個(gè)的排法有P13;在首末兩位數(shù)排定后，中間3個(gè)位數(shù)的排法有P33，得P13P33P1236(個(gè)) 由此可知此題應(yīng)選C. 例4 將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)字，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不同的填法有多少種? 解： 將數(shù)字1填入第2方格，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不相同的填法有3種，即214 3，3142，4123；同樣將數(shù)字1填入第3方格，也對(duì)應(yīng)著3種填法；將數(shù)字1填入第4方格，也對(duì)應(yīng)3種填法，因此共有填法為 3P13=9(種). 例5 甲、乙、丙、丁四個(gè)公司承包8項(xiàng)工程，甲公司承包3項(xiàng)，乙公司承包1 項(xiàng)，丙、丁公司各承包2項(xiàng)，問

37、共有多少種承包方式? 解： 甲公司從8項(xiàng)工程中選出3項(xiàng)工程的方式 C38種； 乙公司從甲公司挑選后余下的5項(xiàng)工程中選出1項(xiàng)工程的方式有C15種； 丙公司從甲乙兩公司挑選后余下的4項(xiàng)工程中選出2項(xiàng)工程的方式有C24種； 丁公司從甲、乙、丙三個(gè)公司挑選后余下的2項(xiàng)工程中選出2項(xiàng)工程的方式有C22種.根據(jù)乘法原理可得承包方式的種數(shù)有×C15×C24×C22=×1=1680(種). 例6 由數(shù)學(xué)0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有( ). A.210個(gè) B.300個(gè) C.464個(gè) D.600個(gè) 解：先考慮可組成無限制條件

38、的六位數(shù)有多少個(gè)?應(yīng)有P15·P55=600個(gè). 由對(duì)稱性，個(gè)位數(shù)小于十位數(shù)的六位數(shù)和個(gè)位數(shù)大于十位數(shù)的六位數(shù)各占一半. 有×600=300個(gè)符合題設(shè)的六位數(shù). 應(yīng)選B.例7 以一個(gè)正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有( ). A.70個(gè) B.64個(gè) C.58個(gè) D.52個(gè)解：如圖，正方體有8個(gè)頂點(diǎn)，任取4個(gè)的組合數(shù)為C48=70個(gè).其中共面四點(diǎn)分3類：構(gòu)成側(cè)面的有6組；構(gòu)成垂直底面的對(duì)角面的有2組；形如(ADB1C1 )的有4組. 能形成四面體的有70-6-2-4=58(組) 應(yīng)選C. 例8 7人并排站成一行，如果甲、乙必須不相鄰，那么不同排法的總數(shù)是 ( ). A.1440

39、B.3600 C.4320 D.4800 解：7人的全排列數(shù)為P77. 若甲乙必須相鄰則不同的排列數(shù)為P22P66. 甲乙必須不相鄰的排列數(shù)為P77-P22P66=5P66=3600. 應(yīng)選B.例9 用1，2，3，4，四個(gè)數(shù)字組成的比1234大的數(shù)共有 個(gè)(用具體 數(shù)字作答). 解：若無限制，則可組成4!=24個(gè)四位數(shù)，其中1234不合題設(shè). 有24-1=23個(gè)符合題設(shè)的數(shù). 例10 用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，那么在這些四位數(shù)中，是偶數(shù)的總共有( ). A.120個(gè) B.96個(gè) C.60 個(gè) D.36個(gè) 解：末位為0，則有P34=24個(gè)偶數(shù). 末位不是0的偶數(shù)有P

40、12P13P23=36個(gè). 共有24+36=60個(gè)數(shù)符合題設(shè). 應(yīng)選C. 公務(wù)員行測(cè)排列組合問題的七大解題策略（修正版）排列組合問題是歷年公務(wù)員考試行測(cè)的必考題型，并且隨著近年公務(wù)員考試越來越熱門，國(guó)考中這部分題型的難度也在逐漸的加大，解題方法也趨于多樣化。解答排列組合問題，必須認(rèn)真審題，明確是屬于排列問題還是組合問題，或者屬于排列與組合的混合問題；同時(shí)要抓住問題的本質(zhì)特征，靈活運(yùn)用基本原理和公式進(jìn)行分析，還要注意講究一些策略和方法技巧。 一、排列和組合的概念 排列：從n個(gè)不同元素中，任取m個(gè)元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)

41、排列。 組合：從n個(gè)不同元素種取出m個(gè)元素拼成一組，稱為從n個(gè)不同元素取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。 二、七大解題策略 1.特殊優(yōu)先法 特殊元素，優(yōu)先處理；特殊位置，優(yōu)先考慮。對(duì)于有附加條件的排列組合問題，一般采用：先考慮滿足特殊的元素和位置，再考慮其它元素和位置。 例：從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項(xiàng)不同的工作，若其中甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，則不同的選派方案共有( ) (A) 280種 (B)240種 (C)180種 (D)96種 正確答案：【B】 解析：由于甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，所以翻譯工作就是“特殊”位置，因此翻譯工作從剩下的四名志愿者中任選一

42、人有C(4,1)=4種不同的選法，再從其余的5人中任選3人從事導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔三項(xiàng)不同的工作有A(5,3)=60種不同的選法，所以不同的選派方案共有 C(4,1)×A(5,3)=240種，所以選B。 2.科學(xué)分類法 問題中既有元素的限制，又有排列的問題，一般是先元素(即組合)后排列。 對(duì)于較復(fù)雜的排列組合問題，由于情況繁多，因此要對(duì)各種不同情況，進(jìn)行科學(xué)分類，以便有條不紊地進(jìn)行解答，避免重復(fù)或遺漏現(xiàn)象發(fā)生。同時(shí)明確分類后的各種情況符合加法原理，要做相加運(yùn)算。 例：某單位邀請(qǐng)10位教師中的6位參加一個(gè)會(huì)議，其中甲，乙兩位不能同時(shí)參加，則邀請(qǐng)的不同方法有()種。 A.84 B.98 C.

43、112 D.140 正確答案【D】 解析：按要求：甲、乙不能同時(shí)參加分成以下幾類： a。甲參加，乙不參加，那么從剩下的8位教師中選出5位，有C(8，5)=56種； b。乙參加，甲不參加，同(a)有56種； c。甲、乙都不參加，那么從剩下的8位教師中選出6位，有C(8，6)=28種。 故共有56+56+28=140種。 3.間接法 即部分符合條件排除法，采用正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)換的策略。為求完成某件事的方法種數(shù)，如果我們分步考慮時(shí)，會(huì)出現(xiàn)某一步的方法種數(shù)不確定或計(jì)數(shù)有重復(fù)，就要考慮用分類法，分類法是解決復(fù)雜問題的有效手段，而當(dāng)正面分類情況種數(shù)較多時(shí)，則就考慮用間接法計(jì)數(shù)。 例：從6名男生，5名女生中任選4人參加競(jìng)賽，要求男女至少各1名，有多少種不同的選法？ A.240 B.310 C.720 D.1080 正確答案【B】 解析：此題從正面考慮的話情況比較多，如果采用間接法，男女至少各一人的反面就是分別只選男生或者女生，這樣就可以變化成C(11，4)-C(6，4)-