初二-第01講-三角形的證明(培優(yōu))-教案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號(hào)： 年 級(jí)：八年級(jí)(下)課 時(shí) 數(shù)：3學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù) 學(xué)學(xué)科教師：授課主題第01講-三角形的證明授課類型T同步課堂P實(shí)戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)教學(xué)目標(biāo) 掌握等腰三角形、直角三角形的概念與性質(zhì)； 掌握線段的垂直平分線與角平分線的性質(zhì)與定理； 掌握各種思想的運(yùn)用。授課日期及時(shí)段T（Textbook-Based）同步課堂體系搭建一、 知識(shí)梳理1、等腰三角形的性質(zhì)定理（1）兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等。（AAS）（2）等腰三角形的兩底角相等。即等邊對(duì)等角。（3）推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合。即

2、三線合一。（4）等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°。2、等腰三角形的判定定理（1）有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。（2）有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形。即等角對(duì)等邊。（3）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。（4）有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。3、在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。4、直角三角形的性質(zhì)和判定方法定理：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。定理：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。5、勾股定理：勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。6、勾股定理的逆定理：如果三角形兩邊的平方和

3、等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。7、逆命題、逆定理互逆命題：在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題，其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題?；ツ娑ɡ恚喝绻粋€(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，其中一個(gè)定理稱為另一個(gè)定理的逆命題。8、斜邊、直角邊定理定理：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等。簡述為“斜邊、直角邊定理”或“HL”定理。9、線段垂直平分線的性質(zhì)定理：定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。10、線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理（判定定理）定理：到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在

4、這條線段的垂直平分線上。11、三角形三條邊的垂直平分線的性質(zhì)性質(zhì)：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)定點(diǎn)的距離相等。12、角平分線的性質(zhì)定理：定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。13、角平分線性質(zhì)定理的逆定理（判定定理）：定理：在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。14、三角形三內(nèi)角的角平分線性質(zhì)：性質(zhì)：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等?？键c(diǎn)一：等腰三角形例1、如圖在等腰ABC中，其中AB=AC，A=40°，P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且1=2，則BPC等于（）A110° B120° C130°

5、; D140°【解析】A=40°，ACB+ABC=180°40°=140°，又ABC=ACB，1=2，PBA=PCB，1+ABP=PCB+2=140°×=70°，BPC=180°70°=110°故選A例2、如圖，在PAB中，PA=PB，M，N，K分別是PA，PB，AB上的點(diǎn)，且AM=BK，BN=AK，若MKN=44°，則P的度數(shù)為（）A44° B66° C88° D92°【解析】PA=PB，A=B，在AMK和BKN中，AMKBKN，AM

6、K=BKN，MKB=MKN+NKB=A+AMK，A=MKN=44°，P=180°AB=92°，故選：D例3、如圖，在ABC中，AB=AC=6，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，連接AD，若AD=4，則DC=5【解析】過A作AFBC于F，AB=AC，BF=CF=BC，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，BD=AD=4，設(shè)DF=x，BF=4+x，AF2=AB2BF2=AD2DF2，即16x2=36（4+x）2，x=0.5，DF=0.5，CD=CF+DF=BF+DF=BD+2DF=4+0.5×2=5，故答案為：5例4、在等腰ABC中，AB=AC，AC腰上的

7、中線BD將三角形周長分為15和21兩部分，則這個(gè)三角形的底邊長為16或8【解析】BD是等腰ABC的中線，可設(shè)AD=CD=x，則AB=AC=2x，又知BD將三角形周長分為15和21兩部分，可知分為兩種情況AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此時(shí)BC=21x=215=16；AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此時(shí)等腰ABC的三邊分別為14，14，8經(jīng)驗(yàn)證，這兩種情況都是成立的這個(gè)三角形的底邊長為8或16故答案為：16或8例5、如圖，銳角三角形的兩條高BD、CE相交于點(diǎn)O，且OB=OC求證：ABC是等腰三角形【解析】證明：銳角三角形的兩條高BD、CE相交于點(diǎn)O，OEB=ODC=90&

8、#176;，EOB=DOC，EBO=DCO，又OB=OC，OBC=OCB，ABC=ACB，AB=AC，ABC是等腰三角形例6、如圖，閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明已知：如圖，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且BAE=CDE 求證：AB=CD分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要要證AB=CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形請(qǐng)根據(jù)上述分析寫出詳細(xì)的證明過程（只需寫一種思路）【解析】證明：方法一：如圖1中，作BFDE于點(diǎn)F，CGDE于點(diǎn)GF=CGE=90°，在BFE和CGE中，BFECGEBF=CG在ABF

9、和DCG中，ABFDCGAB=CD或方法二：如圖2中，作CFAB，交DE的延長線于點(diǎn)FF=BAE又ABE=D，F(xiàn)=DCF=CD在ABE和FCE中，ABEFCEAB=CFAB=CD考點(diǎn)二：直角三角形 例1、如圖，在ABC中，ACB=90°，CD是AB邊上的高，如果A=50°，則DCB=（）A50° B45° C40° D25°【解析】在ABC中，ACB=90°，A=50°， B=40°，CD是AB邊上的高，CDB=90°，DCB=50°，故選A例2、具備下列條件的ABC中，不是直角三角形

10、的是（）AA+B=C BAB=CCA：B：C=1：2：3 DA=B=3C【解析】選：D例3、如圖，已知在ABC中，ACB=90°，CD為高，且CD，CE三等分ACB（1）求B的度數(shù)；（2）求證：CE是AB邊上的中線，且CE=AB【解析】（1）在 ABC中， ACB=90°，CD，CE三等分 ACB，ACD=DCE=BCE=30°，則BCD=60°，又CD為高，B=90°60°=30°（2）證明：由（1）知，B=BCE=30°，則CE=BE，AC=ABACB=90°，B=30°，A=60°

11、;，又由（1）知，ACD=DCE=30°，ACE=A=60°，ACE是等邊三角形，AC=AE=EC=AB，AE=BE，即點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)CE是AB邊上的中線，且CE=AB例4、如圖，在四邊形ABCD中，ABC=ADC=90°，M、N分別是AC、BD的中點(diǎn)，試說明：（1）MD=MB；（2）MNBD【解析】（1）ABC=ADC=90°，M是AC的中點(diǎn)，BM=AC，DM=AC，DM=BM；（2） 由（1）可知DM=BM，N是BD的中點(diǎn)，MNBD考點(diǎn)三：線段的垂直平分線與角平分線例1、如圖，ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，

12、則BDC的周長是（）A8 B9C10 D11【解析】故選C例2、如圖，ABC中，BD平分ABC，BC的中垂線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接CF若A=60°，ABD=24°，則ACF的度數(shù)為（）A48° B36°C30° D24°【解析】選A例3、如圖，在ABC中，DE，F(xiàn)G分別是AB，AC的垂直平分線，連接AE，AF，已知BAC=80°，請(qǐng)運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，確定EAF的度數(shù)【解析】在ABC中，BAC=80°，B+C=180°BAC=100°，DE是AB的垂直平分線，EB=EA，BAE=B，同理可得

13、CAF=C，EAF=BAE+CAFBAC=B+CBAC=20°例4、如圖，在ABC中，AB=AC=a，BC=b，且2ab，BGAC于G，DEAB于E，DFAC于F（1）在圖（1）中，D是BC邊上的中點(diǎn)，計(jì)算DE+DF和BG的長（用a，b表示），并判斷DE+DF與BG的關(guān)系（2）在圖（2）中，D是線段BC上的任意一點(diǎn)，DE+DF與BG的關(guān)系是否仍然成立？如果成立，證明你的結(jié)論；如果不成立，請(qǐng)說明理由（3）在圖（3）中，D是線段BC延長線上的點(diǎn)，探究DE、DF與BG的關(guān)系（不要求證明）【解析】（1）DFAC，BGAC，DFBG，D是BC的中點(diǎn)，DF=BG=連接AD，DEAB，DFAC，D

14、E=DF=DE+DF=DE+DF=BG（2）延長FD，使FM=BG，DFAC，BGAC，四邊形BMFG是矩形，BG=MF，EDB+ABD=90°，F(xiàn)DC+C=90°，ABC=C，EDB=FDC，F(xiàn)DC=BDM，EDB=BDMBED=BMD，BD=BD，EBDMBD，ED=MDBG=DE+DF（3）BG=DEDFP(Practice-Oriented)實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練Ø 課堂狙擊1、如圖，在ABC中，AB=AC，ADBC于點(diǎn)D，則下列結(jié)論不一定成立的是（）AAD=BD BBD=CDC1=2 DB=C【解析】選A2、如圖，RtABC中，ACB=90°，A=5

15、5°，將其折疊，使點(diǎn)A落在邊CB上A處，折痕為CD，則ADB=（）A40° B30° C20° D10°【解析】選：C3、下列說法中，正確的是（）A直角三角形中，已知兩邊長為3和4，則第三邊長為5B三角形是直角三角形，三角形的三邊為a，b，c則滿足a2b2=c2C以三個(gè)連續(xù)自然數(shù)為三邊長能構(gòu)成直角三角形DABC中，若A：B：C=1：5：6，則ABC是直角三角形【解析】故選D4、如圖，ABC中，ACB=90°，沿CD折疊CBD，使點(diǎn)B恰好落在AC邊上的點(diǎn)E處，若A=25°，則BDC等于（）A44° B60°

16、 C67° D70°【解析】故選D5、如圖，ABCE，BF交CE于點(diǎn)D，DE=DF，F(xiàn)=20°，則B的度數(shù)為40°【解析】DE=DF，F(xiàn)=20°，E=F=20°，CDF=E+F=40°，ABCE，B=CDF=40°，故答案為：40°6、如圖，在ABC中，已知BAC=90°，ADBC，AD與ABC的平分線交于點(diǎn)E，試說明AEF是等腰三角形的理由【解析】BF平分ABC，ABF=DBF，又BAC=90°，ADBC，AFE=90°ABF，DEB=90°DBF，AFE=DEB

17、，又DEB=AEF，AEF=AFE，AEF是等腰三角形7、如圖，已知BAC=90°，ADBC于點(diǎn)D，1=2，EFBC交AC于點(diǎn)F試說明AE=CF【解析】作EHAB于H，作FGBC于G，1=2，ADBC，EH=ED（角平分線的性質(zhì)）EFBC，ADBC，F(xiàn)GBC，四邊形EFGD是矩形，ED=FG，EH=FG，BAD+CAD=90°，C+CAD=90°，BAD=C，又AHE=FGC=90°，AEHCFG（AAS）AE=CF8、已知：如圖ABCE，BE平分ABC，CP平分BCE交BE于點(diǎn)P（1）求證：BCP是直角三角形；（2）若BC=5，SBCP=6，求AB與C

18、E之間的距離【解析】（1）ABCE，ABC+BCE=180°，又BE平分ABC，CP平分BCE，EBC+BCP=（ABC+BCE）=90°，BCP是直角三角形；（2）過點(diǎn)P作PDBC于點(diǎn)D，PFAB于點(diǎn)F，延長FP交CE于點(diǎn)H又ABCE，PHCE，又BE，CP分別平分ABC，BCE，PD=PF=PH，BC=5，SBCP=6，PD=2.4，F(xiàn)H=4.8，即AB與CE之間的距離是4.89、如圖，ABC中，ACB=90°，AD平分BAC，DEAB于E求證：直線AD是線段CE的垂直平分線【解析】證明：DEAB， AED=90°=ACB，又AD平分BAC，DAE=

19、DAC，AD=AD， AED ACD，AE=AC，AD平分BAC，ADCE，即直線AD是線段CE的垂直平分線Ø 課后反擊1、如圖，在ABC中，AB=AC，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D，AEBD交CB的延長線于點(diǎn)E若E=35°，則BAC的度數(shù)為（ ）A40° B45° C60° D70°【解析】故選：A2、如圖，ABC中，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，已知AB=AC=BD，AD=CD，則B=（）A30° B36° C45° D50°【解析】AB=AC，B=C，CD=DA，C=DAC，BA=BD，BDA=BAD

20、=2C=2B，又B+BAD+BDA=180°，5B=180°，B=36°，故選B3、下列說法中，正確的有（）有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形三邊分別是1，3的三角形是直角三角形一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形三個(gè)角之比為3：4：5的三角形是直角三角形A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)【解析】故選C4、如圖，點(diǎn)D為線段AB與線段BC的垂直平分線的交點(diǎn)，A=35°，則D等于（）A50° B65° C55° D70°【解析】連DA，如圖，點(diǎn)D為線段AB與線段BC的垂直平分線的交點(diǎn)，DA=DB

21、，DB=DC，即DA=DB=DC，點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)在以D點(diǎn)圓心，DB為半徑的圓上，BDC=2BAC=2×35°=70°故選D5、如圖所示，在ABC中，DE是AC的中垂線，AE=3cm，ABD的周長為13cm，則ABC的周長是19cm【解析】ABC中，DE是AC的中垂線，AD=CD，AE=CE=AC=3cm，ABD得周長=AB+AD+BD=AB+BC=13 則ABC的周長為AB+BC+AC=AB+BC+6 把代入得ABC的周長=13+6=19cm故答案為：196、如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，PEAB于點(diǎn)E若PE=3，則點(diǎn)P到AD的距離為3【解析

22、】作PFAD于D，如圖，四邊形ABCD為菱形，AC平分BAD，PEAB，PFAD，PF=PE=3，即點(diǎn)P到AD的距離為3故答案為：37、如圖，AD平分BAC，BDAD，DEAC，求證：BDE是等腰三角形【解析】證明：AD平分BAC，EAD=CAD，DEAC，CAD=ADE，EAD=ADE，BDADADE+BDE=90°，EAD+B=90°，BDE=B，BE=DE，BDE是等腰三角形8、已知ABC中，AD是BAC的平分線，AD的垂直平分線交BC的延長線于F求證：BAF=ACF【解析】證明：AD是BAC的平分線，1=2，F(xiàn)E是AD的垂直平分線，F(xiàn)A=FD（線段垂直平分線上的點(diǎn)到

23、線段兩端的距離相等），F(xiàn)AD=FDA（等邊對(duì)等角），BAF=FAD+1，ACF=FDA+2，BAF=ACF9、如圖，將ABC沿BD對(duì)折，使點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)C處，且C=2CBD，已知A=36°（1）求BDC的度數(shù)；（2）寫出圖中所有的等腰三角形（不用證明）【解析】由折疊的性質(zhì)可得：CBD=CBD，ABC=2CBD，C=2CBD，C=ABC，ABC中，A=22°，C=ABC=72°，CBD=36°，BDC=180°3×36°=72°（2）C=ABC=BDC=BDC=BCD=72°，AB=AC，BC=BD=B

24、C，ABC，BCD，BCD是等腰三角形，ABC=BDC=BDC=BCD=72°，ABD=ADC=A=36°，AD=BD，AC=DC，ABD，ADC是等腰三角形所以等腰三角形有ABC，ABD，BCD，BDC，ADC，直擊中考例1、如圖，在ABC中，ABC=ACB=72°，BD、CE分別是ABC和ACB的平分線，它們的交點(diǎn)為F，則圖中等腰三角形有8個(gè)【解析】由題意可得：ABD=DBC=ECB=ACE=A=36°，ABC=ACB=CDB=CFD=BFE=BEF=72°ABC，ABD，ACE，BEF，CDF，BCF，BCE，BCD均為等腰三角形，題中共有8