初三相似三角形知識點以及經(jīng)典例題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上相似三角形知識點以及典例知識點1 有關(guān)相似形的概念(1)形狀相同的圖形叫相似圖形，在相似多邊形中，最簡單的是相似三角形. (2)如果兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，這兩個多邊形叫做相似多邊形相似多邊形對應(yīng)邊長度的比叫做相似比(相似系數(shù))知識點2 比例線段的相關(guān)概念（1）在四條線段中，如果a和b的比等于c和d的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段注：比例線段是有順序的，如果說是的第四比例項，那么應(yīng)得比例式為：在比例式中，a、d叫比例外項，b、c叫比例內(nèi)項, a、c叫比例前項，b、d叫比例后項,如果b=c，即 那么b叫做a、d的比例中項， 此時有

2、。知識點3 比例的性質(zhì)（注意性質(zhì)立的條件：分母不能為0）（1） 基本性質(zhì)：；注：由一個比例式只可化成一個等積式，而一個等積式共可化成八個比例式，如，除了可化為等。（2） 更比性質(zhì)(交換比例的內(nèi)項或外項)：（3）反比性質(zhì)(把比的前項、后項交換)： （4）合、分比性質(zhì)：典型例題：例題1：已知線段a6 cm，b2 cm，則a、b、ab的第四比例項是_cm，ab與ab的比例中項是_cm例題2：若m2，則m_知識點4 比例線段的有關(guān)定理1.三角形中平行線分線段成比例定理:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例. 重要結(jié)論：平行于三角形的一邊,并且和其它兩邊相交的直線,所截

3、的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例.(相似) 2.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對應(yīng)線段成比例. 知識點5 相似三角形的概念對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形相似用符號“”表示，讀作“相似于” 相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比(或相似系數(shù))相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例注：對應(yīng)性：即兩個三角形相似時，一定要把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)位置上，這樣寫比較容易找到相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊 順序性：相似三角形的相似比是有順序的知識點6 三角形相似的等價關(guān)系與三角形相似的判定定理的預(yù)備定理(1)相似三角形的等價關(guān)系：反身性：對于任一有 對稱性：若，則 傳遞

4、性：若，且，則(2) 三角形相似的判定定理的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似定理的基本圖形： 用數(shù)學(xué)語言表述是：， 知識點7 三角形相似的判定方法1、定義法：三個對應(yīng)角相等，三條對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似2、平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似3、判定定理1：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似4、判定定理2：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似5、判定定理3：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各種判定均適用(2)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與

5、另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似（射影定理：在中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。）如圖，RtABC中，BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則AD2=BD·DC，AB2=BD·BC ，AC2=CD·BC 。經(jīng)典例題：例題1：判斷對錯： (1)兩個直角三角形一定相似嗎？為什么？ (2)兩個等腰三角形一定相似嗎？為什么？(3)兩個等腰直角三角形一定相似嗎？為什么？ (4)兩個等邊三角形一定相似嗎？為什么？(5)兩個全等三角形一定相似嗎？為什么？例題2：下列能夠

6、相似的一組三角形為( ) A.所有的直角三角形 B.所有的等腰三角形 C.所有的等腰直角三角形 D.所有的一邊和這邊上的高相等的三角形例題3：如圖所示，已知 中，E為AB延長線上的一點，AB=3BE，DE與BC相交于F，請找出圖中各對相似三角形，并求出相應(yīng)的相似比.例題4：已知在RtABC中，C=90°，AB=10，BC=6.在RtEDF中，F(xiàn)=90°，DF=3，EF=4，則ABC和EDF相似嗎？為什么？例題5：如圖所示，點D在ABC的邊AB上，滿足怎樣的條件時，ACD與ABC相似？試分別加以列舉.例題6：已知：如圖正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP=3PC，Q是CD

7、的中點求證：ADQQCP例題7：已知：如圖，AD是ABC的高，E、F分別是AB、AC的中點求證：DFEABC例題8：如圖，ABC中，CDAB于D，E為BC中點，延長AC、DE相交于點F，求證例題9：如圖，在ABC中，ABAC，延長BC至D，使得CDBC，CEBD交AD于E，連結(jié)BE交AC于F，求證AFFC例題10： 如圖，BD、CE分別是ABC的兩邊上的高，過D作DGBC于G，分別交CE及BA的延長線于F、H，求證：（1）DG2BG·CG；（2）BG·CGGF·GH例題11：如圖，ABCCDB90°，ACa，BCb（1）當(dāng)BD與a、b之間滿足怎樣的關(guān)系時

8、，ABCCDB？（2）過點A作BD的垂線，與DB的延長線交于點E，若ABCCDB求證四邊形AEDC為矩形（自己完成圖形）知識點8 相似三角形的性質(zhì)(1)相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例(2)相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比(3)相似三角形周長的比等于相似比(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方注：相似三角形性質(zhì)可用來證明線段成比例、角相等，也可用來計算周長、邊長等知識點9 相似三角形中有關(guān)證（解）題規(guī)律與輔助線作法1、證明四條線段成比例的常用方法：(1)線段成比例的定義 (2)三角形相似的預(yù)備定理 (3)利用相似三角形的性質(zhì)(4)利用中間比等量代換 (5)利

9、用面積關(guān)系2、證明題常用方法歸納：（1）總體思路:“等積”變“比例”，“比例”找“相似”(2)找相似：通過“橫找”“豎看”尋找三角形，即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r候一共各有三個不同的字母，并且這幾個字母不在同一條直線上，能夠組成三角形，并且有可能是相似的，則可證明這兩個三角形相似，然后由相似三角形對應(yīng)邊成比例即可證的所需的結(jié)論.(3)找中間比：若沒有三角形(即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r候一共有四個字母或者三個字母，但這幾個字母在同一條直線上)，則需要進(jìn)行“轉(zhuǎn)移”(或“替換”)，常用的“替換”方法有這樣的三種：等線段代換、等比代換、等積代換.即：找相似找不到，找中間比。方法：將等式左右兩邊的比表示出來。 (

10、4) 添加輔助線：若上述方法還不能奏效的話，可以考慮添加輔助線(通常是添加平行線)構(gòu)成比例.以上步驟可以不斷的重復(fù)使用，直到被證結(jié)論證出為止.注：添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。平面直角坐標(biāo)系中通常是作垂線（即得平行線）構(gòu)造相似三角形或比例線段。（5）比例問題：常用處理方法是將“一份”看著k;對于等比問題，常用處理辦法是設(shè)“公比”為k。（6）對于復(fù)雜的幾何圖形，通常采用將部分需要的圖形（或基本圖形）“分離”出來的辦法處理。典型例題：例題1：ABCDEF，若ABC的邊長分別為5cm、6cm、7cm，而4cm是DEF中一邊的長度，你能求出DEF的另外兩邊的長度嗎？試說明理由.

11、例題2：如圖所示，已知ABC中，AD是高，矩形EFGH內(nèi)接于ABC中，且長邊FG在BC上，矩形相鄰兩邊的比為1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面積. 例題3：ABC中，DEBC，M為DE中點，CM交AB于N，若，求例題4：已知：如圖，在ABC與CAD中，DABC，CD與AB相交于E點，且AEEB=12，EFBC交AC于F點，ADE的面積為1，求BCE和AEF的面積例題5：如圖，已知：ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ/AB，P點在AC上(與點A、C不重合)，Q點在BC上(1)當(dāng)PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時，求CP的長；(2)當(dāng)PQC的周長與四邊形P

12、ABQ的周長相等時，求CP的長；例題6：如圖，ABCD，A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一動點(不與A、D重合)，PEBP，P為垂足，PE交DC于點E， (1)設(shè)AP=x，DE=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；(2)請你探索在點P運動的過程中，四邊形ABED能否構(gòu)成矩形？如果能，求出AP的長；如果不能，請說明理由.知識點10 位似圖形有關(guān)的概念與性質(zhì)及作法1.如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)頂點的連線都交于一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形. 2. 這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比. 注： 注：（1） 位似圖形是相似圖形的特例，位似圖

13、形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點. （2） 位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形. （3） 位似圖形的對應(yīng)邊互相平行或共線.3.位似圖形的性質(zhì)： 位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于相似比. 注：位似圖形具有相似圖形的所有性質(zhì).4. 畫位似圖形的一般步驟： （1） 確定位似中心（位似中心可以是平面中任意一點） （2） 分別連接原圖形中的關(guān)鍵點和位似中心，并延長（或截?。? （3） 根據(jù)已知的位似比，確定所畫位似圖形中關(guān)鍵點的位置. （4） 順次連結(jié)上述得到的關(guān)鍵點，即可得到一個放大或縮小的圖形. 注：位似中心可以是平面內(nèi)任意一點，該點可在圖形內(nèi)，或在圖形外，或

14、在圖形上（圖形邊上或頂點上）。 外位似：位似中心在連接兩個對應(yīng)點的線段之外，稱為“外位似”（即同向位似圖形） 內(nèi)位似：位似中心在連接兩個對應(yīng)點的線段上，稱為“內(nèi)位似”（即反向位似圖形）（5） 在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點O為位似中心，相似比為k（k>0）,原圖形上點的坐標(biāo)為（x,y）,那么同向位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)為(kx,ky), 反向位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)為(-kx,-ky),【解答題】 1.如圖：是O的直徑，是弦，延長到點， 使得(1)求證：是O的切線；(2)若，求的長2.已知：如圖，AB為O的直徑，AD為弦，DBC =A. （1）求證： BC是O的切線；（2）若OCAD，

15、OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的長.3.在ABC中，點D在AC上，點E在BC上，且DEAB，將CDE繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到（使180°），連接、，設(shè)直線與AC交于點O.（1）如圖，當(dāng)AC=BC時，:的值為 ；（2）如圖，當(dāng)AC=5，BC=4時，求:的值； （3）在（2）的條件下，若ACB=60°，且E為BC的中點，求OAB面積的最小值. 圖 圖【填空題】1.在平面直角坐標(biāo)系中，頂點的坐標(biāo)為，若以原點O為位似中心，畫的位似圖形，使與的相似比等于，則點的坐標(biāo)為 2.如圖，ABC與ABC 是位似圖形，點O是位似中心，若OA=2A A,SABC=8，則SABC =_3.如圖，的頂點的坐標(biāo)為（4，0），把沿軸向右平移得到如果那么的長為 4.如圖，與中，交于給出下列結(jié)論：；其中正確的結(jié)論是 （填寫所有正確結(jié)論的序號）5.如圖11，正方形OEFG和正方形ABCD是位似形，點F的坐標(biāo)為（1，1），點C的坐標(biāo)為（4，2），則這兩個正方形位似中心的坐標(biāo)是