高中排列組合知識點歸納與典型例題（全）

1、 一基本原理1加法原理：做一件事有n類辦法，則完成這件事的方法數(shù)等于各類方法數(shù)相加。2乘法原理：做一件事分n步完成，則完成這件事的方法數(shù)等于各步方法數(shù)相乘。注：做一件事時，元素或位置允許重復(fù)使用，求方法數(shù)時常用基本原理求解。二排列：從n個不同元素中，任取m（mn）個元素，按照一定的順序排成一1.公式：1.2.(1)(2) ；(3)三組合：從n個不同元素中任取m（mn）個元素并組成一組，叫做從n 個不同的m 元素中任取 m 個元素的組合數(shù)，記作 。 1. 公式： ；若四處理排列組合應(yīng)用題 1.明確要完成的是一件什么事（審題） 有序還是無序 分步還是分類。2解排列、組合題的基本策略（1）兩種思路：

2、直接法；間接法：對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。這是解決排列組合應(yīng)用題時一種常用的解題方法。（2）分類處理：當(dāng)問題總體不好解決時，常分成若干類，再由分類計數(shù)原理得出結(jié)論。注意：分類不重復(fù)不遺漏。即：每兩類的交集為空集，所有各類的并集為全集。（3）分步處理：與分類處理類似，某些問題總體不好解決時，常常分成若干步，再由分步計數(shù)原理解決。在處理排列組合問題時，常常既要分類，又要分步。其原則是先分類，后分步。（4）兩種途徑：元素分析法；位置分析法。3排列應(yīng)用題：（1）窮舉法（列舉法）：將所有滿足題設(shè)條件的排列與組合逐一列舉出來； (2)、特殊元素優(yōu)先考慮、特殊位置優(yōu)先考

3、慮；（3）相鄰問題：捆邦法：對于某些元素要求相鄰的排列問題，先將相鄰接的元素“捆綁”起來，看作一“大”元素與其余元素排列，然后再對相鄰元素部進(jìn)行排列。（4）、全不相鄰問題，插空法：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法.即先安排好沒有限制條件的元素，然后再將不相鄰接元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入。（5）、順序一定，除法處理。先排后除或先定后插解法一：對于某幾個元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進(jìn)行全排列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個元素的全排列數(shù)。即先全排，再除以定序元素的全排列。解法二：在總位置中選出定序元素的位置不參加排列，先對其他元素進(jìn)行排

4、列，剩余的幾個位置放定序的元素，若定序元素要求從左到右或從右到左排列，則只有1種排法；若不要求，則有2種排法；（6）“小團(tuán)體”排列問題采用先整體后局部策略 對于某些排列問題中的某些元素要求組成“小團(tuán)體”時，可先將“小團(tuán)體”看作一個元素與其余元素排列，最后再進(jìn)行“小團(tuán)體”部的排列。（7）分排問題用“直排法”把元素排成幾排的問題，可歸納為一排考慮，再分段處理。（8）數(shù)字問題（組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)） 能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是偶數(shù)；不能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是奇數(shù)。能被3整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)；能被9整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是9的倍數(shù)能被4整除的數(shù)的特征：末兩位是4的倍數(shù)

5、。 能被5整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是0或5。能被25整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)是25，50，75。 能被6整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)的偶數(shù)。4組合應(yīng)用題：（1）.“至少”“至多”問題用間接排除法或分類法: （2） “含”與“不含” 用間接排除法或分類法:3分組問題：均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以組數(shù)的階乘。即除法處理。非均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘。即組合處理?；旌戏纸M：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以均勻分組的組數(shù)的階乘。4分配問題：定額分配：（指定到具體位置）即固定位置固定人數(shù)，分步取，得組合數(shù)相乘。隨機(jī)分配：（不指定到具體位置）即不固定位置但固定人數(shù)，先分組再排列，先組合分

6、堆后排，注意平均分堆除以均勻分組組數(shù)的階乘。5隔板法： 不可分辨的球即相同元素分組問題例1.電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中含4個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有種不同的播放方式（結(jié)果用數(shù)值表示）.解：分二步：首尾必須播放公益廣告的有A22種；中間4個為不同的商業(yè)廣告有A44種，從而應(yīng)當(dāng)填 A22·A4448. 從而應(yīng)填48例3.6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少種排法？解一：間接法：即解二：（1）分類求解：按甲排與不排在最右端分類.(1) 甲排在最右端時,有種排法； (2) 甲不排在最右端（甲不排在最左端）時，則甲有種排法，乙有種

7、排法，其他人有種排法，共有種排法，分類相加得共有+=504種排法例.有4個男生，3個女生，高矮互不相等，現(xiàn)將他們排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列，有多少種排法？分析一：先在7個位置上任取4個位置排男生，有A種排法.剩余的3個位置排女生，因要求“從矮到高”，只有1種排法，故共有A·1=840種.1.從4臺甲型和5臺乙型電視機(jī)中任取3臺，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺，則不同的取法共有解析1：逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機(jī)，故不同的取法共有種,選.解析2：至少要甲型和乙 型電視機(jī)各一臺可分兩種情況：甲型1臺乙型2臺；甲型2臺乙型1臺；故不

8、同的取法有臺,選.2從5名男生和4名女生中選出4人去參加辯論比賽（1）如果4人中男生和女生各選2人，有種選法； （2）如果男生中的甲與女生中的乙必須在，有種選法； （3）如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1人在，有種選法； （4）如果4人中必須既有男生又有女生，有種選法分析：本題考查利用種數(shù)公式解答與組合相關(guān)的問題.由于選出的人沒有地位的差異，所以是組合問題.解：（1）先從男生中選2人，有種選法，再從女生中選2人，有種選法，所以共有=60（種）；（2）除去甲、乙之外，其余2人可以從剩下的7人中任意選擇，所以共有=21（種）；（3）在9人選4人的選法中，把甲和乙都不在的去掉，得到符合條件的選法數(shù)

9、：=91（種）；直接法，則可分為3類：只含甲；只含乙；同時含甲和乙，得到符合條件的方法數(shù)=91（種）.（4）在9人選4人的選法中，把只有男生和只有女生的情況排除掉，得到選法總數(shù)=120（種）.直接法：分別按照含男生1、2、3人分類，得到符合條件的選法為=120（種）.16個人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐4人，則不同的乘車方法數(shù)為()A40 B50 C60 D70 解析先分組再排列，一組2人一組4人有C15種不同的分法；兩組各3人共有10種不同的分法，所以乘車方法數(shù)為25×250，故選B.2有6個座位連成一排，現(xiàn)有3人就坐，則恰有兩個空座位相鄰的不同坐法有()A36種 B48種 C

10、72種 D96種 解析恰有兩個空座位相鄰，相當(dāng)于兩個空位與第三個空位不相鄰，先排三個人，然后插空，從而共AA72種排法，故選C.3只用1,2,3三個數(shù)字組成一個四位數(shù)，規(guī)定這三個數(shù)必須同時使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有()A6個 B9個 C18個 D36個 解析注意題中條件的要求，一是三個數(shù)字必須全部使用，二是相同的數(shù)字不能相鄰，選四個數(shù)字共有C3(種)選法，即1231,1232,1233，而每種選擇有A×C6(種)排法，所以共有3×618(種)情況，即這樣的四位數(shù)有18個4男女學(xué)生共有8人，從男生中選取2人，從女生中選取1人，共有30種不同的選法，其中女生有

11、()A2人或3人 B3人或4人 C3人 D4人 解析設(shè)男生有n人，則女生有(8n)人，由題意可得CC30，解得n5或n6，代入驗證，可知女生為2人或3人5某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，若規(guī)定從二樓到三樓用8步走完，則方法有()A45種 B36種 C28種 D25種 解析因為10÷8的余數(shù)為2，故可以肯定一步一個臺階的有6步，一步兩個臺階的有2步，那么共有C28種走法6某公司招聘來8名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個部門，其中兩名英語翻譯人員不能分在同一個部門，另外三名電腦編程人員也不能全分在同一個部門，則不同的分配方案共有()A24種 B36

12、種 C38種 D108種 解析本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，據(jù)題意可先將兩名翻譯人員分到兩個部門，共有2種方法，第二步將3名電腦編程人員分成兩組，一組1人另一組2人，共有C種分法，然后再分到兩部門去共有CA種方法，第三步只需將其他3人分成兩組，一組1人另一組2人即可，由于是每個部門各4人，故分組后兩人所去的部門就已確定，故第三步共有C種方法，由分步乘法計數(shù)原理共有2CAC36(種)7已知集合A5，B1,2，C1,3,4，從這三個集合中各取一個元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)，則確定的不同點的個數(shù)為()A33 B34 C35 D36 解析所得空間直角坐標(biāo)系中的點的坐標(biāo)中不含1的有C·A1

13、2個；所得空間直角坐標(biāo)系中的點的坐標(biāo)中含有1個1的有C·AA18個；所得空間直角坐標(biāo)系中的點的坐標(biāo)中含有2個1的有C3個故共有符合條件的點的個數(shù)為1218333個，故選A.8由1、2、3、4、5、6組成沒有重復(fù)數(shù)字且1、3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個數(shù)是()A72 B96 C108 D144 解析分兩類：若1與3相鄰，有A·CAA72(個)，若1與3不相鄰有A·A36(個)故共有7236108個9如果在一周(周一至周日)安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學(xué)校，要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其余學(xué)校均只參觀一天，那么不同的安排方法有()A50種 B60種 C

14、120種 D210種 解析先安排甲學(xué)校的參觀時間，一周兩天連排的方法一共有6種：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任選一種為C，然后在剩下的5天中任選2天有序地安排其余兩所學(xué)校參觀，安排方法有A種，按照分步乘法計數(shù)原理可知共有不同的安排方法C·A120種，故選C.10安排7位工作人員在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有_種(用數(shù)字作答) 解析先安排甲、乙兩人在后5天值班，有A20(種)排法，其余5人再進(jìn)行排列，有A120(種)排法，所以共有20×1202400(種)安排方

15、法11今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個球排成一列有_種不同的排法(用數(shù)字作答) 解析由題意可知，因同色球不加以區(qū)分，實際上是一個組合問題，共有C·C·C1260(種)排法12將6位志愿者分成4組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人，分赴世博會的四個不同場館服務(wù)，不同的分配方案有_種(用數(shù)字作答) 解析先將6名志愿者分為4組，共有種分法，再將4組人員分到4個不同場館去，共有A種分法，故所有分配方案有：·A1 080種13要在如圖所示的花圃中的5個區(qū)域中種入4種顏色不同的花，要求相鄰區(qū)域不同色，有_種不同的種法(用數(shù)字作答) 解析5有4種種法

16、，1有3種種法，4有2種種法若1、3同色，2有2種種法，若1、3不同色，2有1種種法，有4×3×2×(1×21×1)72種14. 將標(biāo)號為1，2，3，4，5，6的6卡片放入3個不同的信封中若每個信封放2，其中標(biāo)號為1，2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有 （A）12種 （B）18種 （C）36種 （D）54種【解析】標(biāo)號1,2的卡片放入同一封信有種方法；其他四封信放入兩個信封，每個信封兩個有種方法，共有種，故選B.15. 某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁

17、不排在10月7日，則不同的安排方案共有A. 504種 B. 960種 C. 1008種 D. 1108種 解析：分兩類：甲乙排1、2號或6、7號 共有種方法甲乙排中間,丙排7號或不排7號，共有種方法故共有1008種不同的排法排列組合 二項式定理1，分類計數(shù)原理 完成一件事有幾類方法，各類辦法相互獨立每類辦法又有多種不同的辦法（每一種都可以獨立的完成這個事情）分步計數(shù)原理 完成一件事，需要分幾個步驟，每一步的完成有多種不同的方法2，排列   排列定義：從n個不同元素中，任取m（mn）個元素（被取出的元素各不相同），按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個

18、排列。 排列數(shù)定義；從n個不同元素中，任取m（mn）個元素的所有排列的個數(shù)公式 = 規(guī)定0！=13，組合 組合定義 從n個不同元素中，任取m（mn）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合組合數(shù)從n個不同元素中，任取m（mn）個元素的所有組合個數(shù) =性質(zhì) =排列組合題型總結(jié)一 直接法1 .特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6這6個數(shù)字組成無重復(fù)的四位數(shù)，試求滿足下列條件的四位數(shù)各有多少個（1）數(shù)字1不排在個位和千位 （2）數(shù)字1不在個位，數(shù)字6不在千位。分析：（1）個位和千位有5個數(shù)字可供選擇，其余2位有四個可供選擇，由乘法原理：=2402特殊位置法（2）當(dāng)1在千位時余下三

19、位有=60，1不在千位時，千位有種選法，個位有種，余下的有，共有=192所以總共有192+60=252二 間接法當(dāng)直接法求解類別比較大時，應(yīng)采用間接法。如上例中（2）可用間接法=252Eg有五卡片，它的正反面分別寫0與1，2與3，4與5，6與7，8與9，將它們?nèi)我馊⑴欧旁谝黄鸾M成三位數(shù)，共可組成多少個不同的三位數(shù)？ 分析：任取三卡片可以組成不同的三位數(shù)個，其中0在百位的有個，這是不合題意的。故共可組成不同的三位數(shù)-=432Eg 三個女生和五個男生排成一排（1） 女生必須全排在一起 有多少種排法（ 捆綁法）（2） 女生必須全分開 （插空法 須排的元素必須相鄰）（3） 兩端不能排女生（4） 兩端

20、不能全排女生（5） 如果三個女生占前排，五個男生站后排，有多少種不同的排法二 插空法 當(dāng)需排元素中有不能相鄰的元素時，宜用插空法。例3 在一個含有8個節(jié)目的節(jié)目單中，臨時插入兩個歌唱節(jié)目，且保持原節(jié)目順序，有多少中插入方法？分析：原有的8個節(jié)目中含有9個空檔，插入一個節(jié)目后，空檔變?yōu)?0個，故有=100中插入方法。三 捆綁法 當(dāng)需排元素中有必須相鄰的元素時，宜用捆綁法。1四個不同的小球全部放入三個不同的盒子中，若使每個盒子不空，則不同的放法有種（）,2，某市植物園要在30天接待20所學(xué)校的學(xué)生參觀，但每天只能安排一所學(xué)校，其中有一所學(xué)校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀2天，其余只參觀一天，則植物園30

21、天不同的安排方法有（）（注意連續(xù)參觀2天，即需把30天種的連續(xù)兩天捆綁看成一天作為一個整體來選有其余的就是19所學(xué)校選28天進(jìn)行排列）四 閣板法 名額分配或相同物品的分配問題，適宜采閣板用法例5 某校準(zhǔn)備組建一個由12人組成籃球隊，這12個人由8個班的學(xué)生組成，每班至少一人，名額分配方案共種 。分析：此例的實質(zhì)是12個名額分配給8個班，每班至少一個名額，可在12個名額種的11個空當(dāng)中插入7塊閘板，一種插法對應(yīng)一種名額的分配方式，故有種五 平均分推問題 eg 6本不同的書按一下方式處理，各有幾種分發(fā)？（1） 平均分成三堆，（2） 平均分給甲乙丙三人（3） 一堆一本，一堆兩本，一對三本（4） 甲得一本，乙得兩本，丙得三本（一種分組對應(yīng)一種方案）（5） 一人的一本，一人的兩本，一人的三本 分析：1，分出三堆書（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由順序不同可以有=6種，而這6種分法只算一種分堆方式，故6本不同的書平均分成三堆方式有=15種2，六本不同的書，平均分成三堆有x種，平均分給甲乙丙三人就有x種 3， 5，五 合