矩陣的運(yùn)算及其運(yùn)算規(guī)則

1、矩陣基本運(yùn)算及應(yīng)用201700060牛晨暉在數(shù)學(xué)中，矩陣是一個(gè)按照長(zhǎng)方陣列排列的復(fù)數(shù)或?qū)崝?shù)集合。矩陣是高等代數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)工具，也常見(jiàn)于統(tǒng)計(jì)分析等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科中。在物理學(xué)中,矩陣于電路學(xué)、力學(xué)、光學(xué)和量子物理中都有應(yīng)用；計(jì)算機(jī)科學(xué)中，三維動(dòng)畫(huà)制作也需要用到矩陣。矩陣的運(yùn)算是數(shù)值分析領(lǐng)域的重要問(wèn)題。將矩陣分解為簡(jiǎn)單矩陣的組合可以在理論和實(shí)際應(yīng)用上簡(jiǎn)化矩陣的運(yùn)算。在電力系統(tǒng)方面，矩陣知識(shí)已有廣泛深入的應(yīng)用，本文將在介紹矩陣基本運(yùn)算和運(yùn)算規(guī)則的基礎(chǔ)上，簡(jiǎn)要介紹其在電力系統(tǒng)新能源領(lǐng)域建模方面的應(yīng)用情況，并展望隨機(jī)矩陣?yán)碚摰认嚓P(guān)知識(shí)與人工智能電力系統(tǒng)的緊密結(jié)合。1矩陣的運(yùn)算及其運(yùn)算規(guī)則1.1 矩陣的加法與

2、減法1.1.1 運(yùn)算規(guī)則'即1au設(shè)矩陣ki%工廣為土、電土為程±%、13"土馬I次第±"啊!士簡(jiǎn)言之，兩個(gè)矩陣相加減，即它們相同位置的元素相加減!注意：只有對(duì)于兩個(gè)行數(shù)、列數(shù)分別相等的矩陣（即同型矩陣），加減法運(yùn)算才有意義，即加減運(yùn)算是可行的.1.1.2 運(yùn)算性質(zhì)滿足交換律和結(jié)合律交換律A+B=B+A；結(jié)合律M+B）+C="（B+C）1.2 矩陣與數(shù)的乘法1.2.1 運(yùn)算規(guī)則數(shù)A乘矩陣A,就是將數(shù)及乘矩陣A中的每一個(gè)元素，記為腦或亂.特別地，稱-乂稱為后（的負(fù)矩陣.1.2.2 運(yùn)算性質(zhì)滿足結(jié)合律和分配律結(jié)合律：（入w）A=入（wA）;

3、（入+w）A=入A+wA.分配律：入（A+B尸入A+入B.1.2.3 典型舉例已知兩個(gè)矩陣滿足矩陣方程A+2X=B,求未知矩陣X.解由已知條件知-2-2-23 -1-2-21.3 矩陣與矩陣的乘法1.3.1 運(yùn)算規(guī)則設(shè)A工璇*,B=&j)皿，則A與B的乘積C=O是這樣一個(gè)矩陣：(1)行數(shù)與(左矩陣)A相同，列數(shù)與(右矩陣)B相同，即C=(cij)&,h.(2) C的第i行第J列的元素片由A的第i行元素與B的第J列元素對(duì)應(yīng)相乘，再取乘積之和.1.3.2 典型例題設(shè)矩陣計(jì)算解A3是2x3的矩陣.設(shè)它為可得結(jié)論1:只有在下列情況下，兩個(gè)矩陣的乘法才有意義，或說(shuō)乘法運(yùn)算是可行的：左矩陣

4、的列數(shù)=右矩陣的行數(shù)；結(jié)論2在矩陣的乘法中，必須注意相乘的順序.即使在45與物均有意義時(shí)，也未必有岫=即成立.可見(jiàn)矩陣乘法不滿足交換律；結(jié)論3方陣A和它同階的單位陣作乘積，結(jié)果仍為A,即抽二此二.1.3.3 運(yùn)算性質(zhì)（假設(shè)運(yùn)算都是可行的）（1）結(jié)合律（間C=43C）.分配律AB+C）=AB±AC（左分配律）；（B±C）A=BA±CA（右分配律）.（硼（砌馬網(wǎng).1.3.4 方陣的哥定義：設(shè)A是方陣，長(zhǎng)是一個(gè)正整數(shù)，規(guī)定Ax=AA-A顯然，記號(hào)”表示上個(gè)A的連乘積.1.4 矩陣的轉(zhuǎn)置1.4.1 定義定義：將矩陣A的行換成同序號(hào)的列所得到的新矩陣稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記

5、作且或aat=例如，矩陣（2102J的轉(zhuǎn)置矩陣為10311.4.2 運(yùn)算性質(zhì)（假設(shè)運(yùn)算都是可行的）1.4.3 典型例題利用矩陣驗(yàn)證運(yùn)算性質(zhì):-1oAB=1-1232-1；1.13所以B''A=（幽02-1定義：如果方陣滿足小人即5二州,則稱A為對(duì)稱矩陣.對(duì)稱矩陣的特點(diǎn)是：它的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等.1.5 方陣的行列式1.5.1 定義定義：由方陣A的元素所構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變），稱為方陣A的行列式，記作M或加t乂.1.5.2 運(yùn)算性質(zhì)（行列式的性質(zhì)）,IdlDl|心|訓(xùn)小加吊陽(yáng)平樹(shù)，特別地：一L是常數(shù)，A的階數(shù)為n）思考：設(shè)A為并階方陣，那么觸的行列式囚I與A

6、的行列式M之間的關(guān)系為什么不是倒二胭，而是|觸|=M?不妨自行設(shè)一個(gè)二階方陣，計(jì)算下同和阿(2a2bA -例如2A =,則Q 2a2d)2b于是.IM =,而=2/2c2d2 光伏逆變器的建模光伏并網(wǎng)逆變器是將光伏組件輸出的直流電轉(zhuǎn)化為符合電網(wǎng)要求的交流點(diǎn)再輸入電網(wǎng)的關(guān)鍵設(shè)備，是光伏系統(tǒng)并網(wǎng)環(huán)節(jié)中能量轉(zhuǎn)換與控制的核心。光伏逆變器的性能不僅影響到光伏系統(tǒng)是否運(yùn)行穩(wěn)定、安全可靠，也是影響整個(gè)系統(tǒng)使用壽命的主要因素。本節(jié)將分析主流光伏逆變器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和建模方法。2.1 系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)光伏并網(wǎng)逆變器按照不同的分類方式可分為多種類型。如按照交流側(cè)接線數(shù)可分為單相逆變器和三相逆變器，如按照并網(wǎng)方式可分為隔離

7、型光伏逆變器和非隔離型光伏逆變器。在歐洲，相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)要求光伏逆變器可以采用非隔離型；而在美國(guó)，光伏逆變器必須采用隔離型的；我國(guó)目前尚沒(méi)有在此方面的明確要求。按照能量變換級(jí)數(shù)來(lái)分，光伏并網(wǎng)系統(tǒng)主要包括單級(jí)變換、兩級(jí)變換和多級(jí)變換三種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。為方面理解后續(xù)利用矩陣相關(guān)知識(shí)建模，下面對(duì)這三種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的特點(diǎn)做簡(jiǎn)要介紹。1) 單級(jí)變換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)單級(jí)變換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與前者相比，只有DC/AC逆變部分，該逆變器一般采用單相半橋、全橋電壓型逆變器或者三相全橋電壓型逆變器。這種類型的光伏逆變器具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、成本低廉等優(yōu)點(diǎn)。由于該系統(tǒng)只有一級(jí)功率轉(zhuǎn)換電路，所有控制目標(biāo)都要通過(guò)這一級(jí)功率轉(zhuǎn)換單元實(shí)現(xiàn)，因而增加了控制系統(tǒng)的

8、復(fù)雜性。圖1為一典型的單極變換單相光伏逆變器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。這種光伏逆變器一般會(huì)安裝工頻變壓器。變壓器可以有效降低輸出側(cè)電壓，也可以起到有效隔離絕緣的效果，具有可靠性高、維護(hù)量少、開(kāi)關(guān)頻率低和電磁干擾小等特點(diǎn)。圖1單級(jí)單相光伏逆變器拓?fù)鋱D2) 兩級(jí)變換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)兩級(jí)變換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)一般由DC/D儂換器和DC/AC®變器兩部分組成。前者一般采用比較常見(jiàn)的BOOS；電路、BUCK-BOOSTlgCUIfe路等，用來(lái)實(shí)現(xiàn)光伏陣列輸出功率的最大功率跟蹤的功能，DC/AL般采用單相或三相的并網(wǎng)逆變器實(shí)現(xiàn)并網(wǎng)、有功調(diào)節(jié)、無(wú)功補(bǔ)償或者諧波補(bǔ)償?shù)认嚓P(guān)功能。圖2為一典型的兩級(jí)變換單相光伏逆變器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。第一級(jí)

9、是DC/D儂換環(huán)節(jié)，其拓?fù)漕愋蜑閎oost電路，目的是把光伏組件輸出的不穩(wěn)定直流低電壓提升到可并網(wǎng)的穩(wěn)定直流高電壓。第二級(jí)是DC/AC®變環(huán)節(jié)，由單相全橋的可逆PW整流器構(gòu)成，這一級(jí)的功率開(kāi)關(guān)可以采用MOSFBTIGBT。圖2兩級(jí)變換單相光伏逆變器拓?fù)鋱D3) 多級(jí)變換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)采用高頻變壓器絕緣方式的多級(jí)變換拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)通過(guò)采用帶有整流器的高頻率變壓器來(lái)提升輸入電壓，具有體積小、重量輕、成本低等優(yōu)點(diǎn)，常用于并網(wǎng)型太陽(yáng)能發(fā)電設(shè)備之中。圖3為一典型的帶高頻變壓器的多級(jí)變換單相光伏逆變器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。這種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)由于需要經(jīng)過(guò)三級(jí)能量變換，通常效率相對(duì)較低，并且由于高頻電磁干擾嚴(yán)重，必須采用濾波和屏

10、蔽等相關(guān)措施。圖3帶高頻變壓器的多級(jí)式光伏逆變器拓?fù)鋱D2.2 典型光伏逆變器的建模與兩級(jí)式光伏逆變器相比，單級(jí)式光伏逆變器只有一個(gè)能量變換環(huán)節(jié)，結(jié)構(gòu)緊湊、元器件少，能量轉(zhuǎn)換效率更高。目前，單級(jí)式三相光伏并網(wǎng)逆變器在大中型光伏電站的建設(shè)中得到了大規(guī)模的應(yīng)用。本節(jié)選取此類光伏逆變器作為典型進(jìn)行建模分析。如圖4所示，三相光伏逆變器一般由防反沖二極管、直流母線穩(wěn)壓電容、DC/AC逆變環(huán)節(jié)、逆變器輸出濾波器組成。圖4三相光伏并網(wǎng)發(fā)電系統(tǒng)電路圖假定三相電感且其等效電感、電阻值分別為匕山士北和R=R=R=R三相全橋都是理想的開(kāi)關(guān)管。光伏發(fā)電系統(tǒng)在三相靜止坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型如下:,diaLaRiaeanSaU

11、dcdtLdfRibeb二SbUdc出L+Ric+ec=Scudcccccc工dt式中：ia、ib、ic三相并網(wǎng)逆變器的輸出電流；ea、eb、ec三相電網(wǎng)電壓；Sa、Sb、Sc開(kāi)關(guān)函數(shù)；Udc直流母線電壓；考慮直流母線中電流的穩(wěn)壓作用，則有C嗓二ipv-(SaiaSbibScib)dt式中：(2.1)(2.2)C一直流母線穩(wěn)壓電容;ipv光伏陣列輸出電流將公式2.2進(jìn)行同步矢量旋轉(zhuǎn)變換，則得到dq坐標(biāo)系下的三相光伏并網(wǎng)發(fā)電系統(tǒng)的模型為:diddtdtRid. i _ ed_SdudcL q L LRiqeqSqudc_ I - ' LL LdUdc Ipv 3(SdId Sqlq)=d

12、t C 2C(2.3)式中：id、I q逆變器輸出電流d、q軸（有功、無(wú)功）分量;ed、eq電網(wǎng)電壓d、q軸分量；Sd、Sq觸發(fā)三相逆變橋的開(kāi)關(guān)信號(hào)d、q軸分量；3電網(wǎng)電壓的角頻率，即dq坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)速度。公式2.3中兩個(gè)電流方程寫(xiě)成矩陣形式為:,d jd：-R "IdL - .Bdt Jq - jY：L -R|Jq - jSqudc _ fq(2.4)對(duì)公式2.4兩邊取拉式變換得LsJd(s)=RsLld(s)+.dUdc(s)|lq(s)L Rlq(s)_|SqUdc(s)Eq(s)Ed(s)_ .L，、令Ud(s) =SdUdc(s) , Uq(s) = SqUdc(s),相應(yīng)

13、時(shí)域中有 ud =(2.5)一* 一c , uq = Squdc ,則公式2.5可寫(xiě)為(2.6)式(咋lsMsLR冊(cè)嘰部LUq(s)JUq(s)j>LRJq(s)j£(s)公式2.6的時(shí)域表達(dá)式為:(2.7)3 隨機(jī)矩陣相關(guān)理論3.1 隨機(jī)矩陣相關(guān)理論和要點(diǎn)隨機(jī)矩陣?yán)碚?randommatrixtheory,RMT)勺研究起源于原子核物理領(lǐng)域。Wigner在研究量子系統(tǒng)中得出結(jié)論，對(duì)于復(fù)雜的量子系統(tǒng)，隨機(jī)矩陣?yán)碚摰念A(yù)測(cè)代表了所有可能相互作用的一種平均。偏離預(yù)測(cè)的那部分屬性反映了系統(tǒng)中特殊非隨機(jī)的性質(zhì)，這為了解和研究潛在的相互作用和關(guān)系提供了理論支撐。RMT以矩陣為單位，可以處理

14、獨(dú)立同分布(independentidenticallydistributed,IID)的數(shù)據(jù)。RMT并不對(duì)源數(shù)據(jù)的分布、特征等做出要求(如滿足高斯分布，為Hermitian矩陣等)，僅要求數(shù)據(jù)足夠大(并非無(wú)限)。故該工具適合處理大多數(shù)的工程問(wèn)題，特別適合用于分析具有一定隨機(jī)性的海量數(shù)據(jù)系統(tǒng)。隨機(jī)矩陣?yán)碚撜J(rèn)為當(dāng)系統(tǒng)中僅有白噪聲、小擾動(dòng)和測(cè)量誤差時(shí)，系統(tǒng)的數(shù)據(jù)將呈現(xiàn)出一種統(tǒng)計(jì)隨機(jī)特性；而當(dāng)系統(tǒng)中有信號(hào)源(事件)時(shí)，在其作用下系統(tǒng)的運(yùn)行機(jī)制和內(nèi)部機(jī)理將會(huì)改變，其統(tǒng)計(jì)隨機(jī)特性將會(huì)被打破。單環(huán)定律(RingLaw)、Marchenko-Pastur定律(M-PLaw)均是RMT體系的重大突破。在這些理

15、論基礎(chǔ)上，可進(jìn)一步研究隨機(jī)矩陣的線性特征根統(tǒng)計(jì)量(lineareigenvaluestatistics,LES)，而平均譜半徑(meanspectralradius)則是LE薪構(gòu)造出的一個(gè)具體對(duì)象。3.2 隨機(jī)矩陣?yán)碚搶?duì)電力系統(tǒng)的支撐全球正在經(jīng)歷由信息技術(shù)時(shí)代(IT時(shí)代)向數(shù)據(jù)技術(shù)時(shí)代(DT時(shí)代)的過(guò)渡，數(shù)據(jù)正逐步成為電力系統(tǒng)等大型民生系統(tǒng)的戰(zhàn)略資源。數(shù)據(jù)的價(jià)值在于其所蘊(yùn)含的信息而并非數(shù)據(jù)本身，信息提取(informationextraction)相關(guān)技術(shù)是數(shù)據(jù)增值業(yè)務(wù)的核心。智能電網(wǎng)的最終目標(biāo)是建設(shè)成為覆蓋電力系統(tǒng)整個(gè)生產(chǎn)過(guò)程，包括發(fā)電、輸電、變電、配電、用電及調(diào)度等多個(gè)環(huán)節(jié)的全景實(shí)時(shí)系統(tǒng)。

16、而支撐智能電網(wǎng)安全、自愈、綠色、堅(jiān)強(qiáng)及可靠運(yùn)行的基礎(chǔ)是電網(wǎng)全景實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)的采集、傳輸和存儲(chǔ)，以及對(duì)累積的海量多源數(shù)據(jù)的快速分析。數(shù)據(jù)化是智能電網(wǎng)建設(shè)的重要目標(biāo)，也是未來(lái)電網(wǎng)的基本特征。智能電網(wǎng)是繼小型孤立電網(wǎng)、分布式互聯(lián)大電網(wǎng)之后的第三代電網(wǎng)，其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)錯(cuò)綜復(fù)雜。同時(shí)，用戶側(cè)的開(kāi)放致使新能源、柔性負(fù)荷、電能產(chǎn)消者(如EV)大規(guī)模介入電網(wǎng)，這也極大地加劇了電網(wǎng)運(yùn)行機(jī)理和控制模型的復(fù)雜性。傳統(tǒng)的通過(guò)對(duì)個(gè)體元器件建模、參數(shù)辨識(shí)及在此機(jī)理模型上進(jìn)行仿真的手段不足以認(rèn)知日益復(fù)雜的電網(wǎng)；而另一方面，隨著智能電網(wǎng)建設(shè)進(jìn)程的不斷深入，尤其是高級(jí)測(cè)量體系(advancedmeteringinfrastructur

17、e,AMI)和信息通信技術(shù)(informationcommunicationtechnology，ICT)的發(fā)展，數(shù)據(jù)將越來(lái)越容易獲取，電網(wǎng)運(yùn)行和設(shè)備監(jiān)測(cè)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量將呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)。然而，各電力部門普遍存在如下問(wèn)題：1)從如此之多的數(shù)據(jù)中，能得到些什么？2)不同部門的數(shù)據(jù)為什么且如何混合在一起？3)壞(異常、缺失、時(shí)間不同步)數(shù)據(jù)如何處理？上述的典型問(wèn)題也是現(xiàn)階段信息化建設(shè)所呈現(xiàn)的“重系統(tǒng)輕數(shù)據(jù)”模式的結(jié)果。該模式忽略了最重要的(也是理論要求最深的)數(shù)據(jù)資源利用環(huán)節(jié)，即將收集來(lái)的“數(shù)據(jù)原料”轉(zhuǎn)換成驅(qū)動(dòng)力，以數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)(data-driven/model-free)為主要方式及時(shí)、準(zhǔn)確地認(rèn)知系統(tǒng)，

18、故難以滿足系統(tǒng)決策制定(decision-making)的需求。從數(shù)據(jù)的角度出發(fā)，海量(volume)、多樣(variety)、實(shí)時(shí)(velocity)、真實(shí)(veracity)的4Vs數(shù)據(jù)是未來(lái)電網(wǎng)數(shù)據(jù)的發(fā)展趨勢(shì)，而4Vs數(shù)據(jù)的復(fù)雜性所引起的維數(shù)災(zāi)難(curseofimensionality)等問(wèn)題將不可避免地產(chǎn)生且日益嚴(yán)峻。而隨機(jī)矩陣是元素為隨機(jī)變量(randomvariable)的一類矩陣，隨機(jī)矩陣?yán)碚?randommatrixtheory,RMT史要研究隨機(jī)矩陣的特征根和特征向量的一些統(tǒng)計(jì)分析性質(zhì)，其核心為線性特征根統(tǒng)計(jì)量(lineareigenvaluestatistic,LES)。隨機(jī)矩陣知識(shí)與電力系統(tǒng)的廣泛結(jié)合將有的放矢的緩解這一問(wèn)題。4結(jié)論與展望本文第二部分簡(jiǎn)要介紹了矩陣基本知識(shí)在新能源領(lǐng)域建模的應(yīng)用情況。由此可見(jiàn)，矩陣基本知識(shí)已經(jīng)廣泛應(yīng)用與電力系統(tǒng)的各個(gè)領(lǐng)域多年。但近年來(lái)，隨著新能源裝機(jī)容量日益增長(zhǎng)與新能源遠(yuǎn)距離傳輸消納問(wèn)題的日益凸顯。包