(完整word版)數(shù)學(xué)分析(3)試卷及答案,推薦文檔

1、成績(jī)數(shù)學(xué)分析 (3) 期末試卷2005年1月13日班級(jí) _學(xué)號(hào) _姓名 _考試注意事項(xiàng)：1. 考試時(shí)間： 120 分鐘。2. 試卷含三大題，共 100 分。3. 試卷空白頁(yè)為草稿紙，請(qǐng)勿撕下！散卷作廢！4. 遵守考試紀(jì)律。一、填空題 (每空 3 分，共 24 分 )1、 設(shè) ux ytan z ，則全微分 du_ 。2uxyz3，其中 zf (x, y) 是由x3y3z33xyz所確定的隱函數(shù)，則、 設(shè)2ux_ 。3、 橢球面 x 2y 24z21在點(diǎn) M (2,1,1) 處的法線(xiàn)方程是 _ 。4、 設(shè) F (x)sinx f (x2, y)dy, f (x, y) 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 則 F (

2、x)_ 。x5、 設(shè) L 是從點(diǎn) (0,0)到點(diǎn) (1,1)的直線(xiàn)段， 則第一型曲線(xiàn)積分L xyds _。6、 在 xy 面上，若圓 D( x, y) | x2y21 的密度函數(shù)為( x, y) 1 ，則該圓關(guān)于原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的二重積分表達(dá)式為_(kāi) ，其值為 _。7、 設(shè) S 是球面 x2y2z21的外側(cè)， 則第二型曲面積分z2 dxdy _。S二、計(jì)算題(每題8 分，共56分)1、 討論f ( x, y)( xy) sin1 sin 1在原點(diǎn)的累次極限、 重極限及在R2 上的連續(xù)性。xy2、 設(shè) uf ( x 2 y,y) 具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求二階偏導(dǎo)數(shù)uxx 和 u xy 。x3、 求

3、f (x, y)x33x23y2在 D( x, y) | x 2y 216 上的最大值和最小值。e xe 2 xaxeax4、求 0xsinxdx 。提示：e sin bxdxa2b2 (asinbx bcosbx) C 。2xy，其中D由x y 1，x0及y0圍成。5D secxy dxdy、 利用坐標(biāo)變換求6、 求曲面 x2y 2z22 與 zx2y 2 所圍成的立體體積。7、 計(jì)算S x3dydzy3dzdx z3dxdy ，其中 S 是球面 x2y 2z2R2 (R 0)的上半部分 (z0) 的外側(cè)。三、證明題 （每題 10 分，共 20 分）1、 試證：函數(shù) f (x, y)xy2,

4、 x2y20,x2y2在原點(diǎn) (0,0) 連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在， 但0,x2y 20,在原點(diǎn)不可微，并且f x ( x, y)和 f y( x, y) 在原點(diǎn)不連續(xù) 。2、 試證 x2y2z 23 和 x yz 1 的交線(xiàn)在點(diǎn)P (1, 1,1)的鄰域內(nèi)能用一對(duì)0方程 yf (x) 和 zg (x) 表示，并求 dy 和 dz ，以及交線(xiàn)在點(diǎn) P0 的法平面方程。dx dx數(shù)學(xué)分析3 期末考試題一. 選擇題（每題 4 分，共 16 分）1. 如果是偶函數(shù)且可導(dǎo)，則（）A.f( 0)0 B.f (0) 0C. f (0)1 D. f (0)12. 下列廣義積分收斂的是（）A. 01x 2 dxcos

5、4x2 dxxB.1x11p dx,( p1)C.1xp dx, ( p 1)2x(ln x)D.3. 下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A. 設(shè)ER2 為任一有界無(wú)窮點(diǎn)集，則 E 在 R2 中至少有一個(gè)聚點(diǎn) .B. 設(shè)PR 2k為一個(gè)有界點(diǎn)列，則它必存在收斂子列 .C. ER2 為有界閉集 , 則 E 的任一無(wú)窮子集必有聚點(diǎn) .D. ER2 為有界閉集，則 E 不一定為一列緊集 .4.下列說(shuō)法正確的是（）A. 若級(jí)數(shù)un 是發(fā)散的，則 cun 也是發(fā)散的 .B. 若級(jí)數(shù)un是收斂的，vn 是發(fā)散的，則unvn 可以是收斂的 .C. 若級(jí)數(shù)un和vn是發(fā)散的，則unvn 可以是收斂的 .D. 若級(jí)數(shù)un 和

6、vn 是發(fā)散的，則un vn 也是發(fā)散的 .二. 填空題（每空3 分，共 15 分）1級(jí) 數(shù)(x 1) n，收斂區(qū)間2n n的收斂半徑為為.2若 zarctan y在 (1,1)處 可 微 ， 則 zx (1,1)，xzy (1,1).3.函數(shù) zysin( xy) 的全微分為.三. 計(jì)算題（共 40 分）1計(jì)算下列定積分（每題4分，共 8分）（1）1x2dx（2） 11 (ln x)2 dx1e0 1x 2ex2求級(jí)數(shù)1的和函數(shù)（ 8 分）n 1 n( n 1)( n2),x 0,3把函數(shù) f (x)4展成傅立葉級(jí)數(shù) .(8分 ), 0 x,44. 求極限 lim(x y) sin1.（8分

7、）x2y2( x， y)(0,0)5求曲面 3x2y 2z227 在點(diǎn) (3,1,1) 處的切平面方程和法線(xiàn)方程.(8分)四. 討論題和證明題（共29 分）1設(shè)f n(x)xxnn, 討論函數(shù)列f n與f n在x 0,1的一致收斂性.（9分）2. 設(shè) f 在 a, a 上可積，證明：（ 5 分）af ( x)dx0（1）若 f 為奇函數(shù)，則aaf ( x)dx2a（2）若 f 為偶函數(shù)，則f ( x)dxa03. 證明不等式 11ex2dx e . （ 5 分）0x 2 y,x 2y20,4證明函數(shù) f x, yx 2y2在點(diǎn) (0,0) 連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存0,x 2y20,在，但在此點(diǎn)不可微 .

8、 （10 分）2008-2009（一）數(shù)學(xué)分析 (3-3) 期末考試試卷B題二三四總分一號(hào)得分得分閱卷人一 .選擇題(每題 3分,共 27分)1 下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A R2 是開(kāi)集但不是閉集B( x, y) x2y2r 2是閉集C (x, y) x2y21 是開(kāi)集D是既開(kāi)又閉的點(diǎn)集。2.設(shè)點(diǎn) P是平面點(diǎn)集 E 的邊界點(diǎn) ,CE 是 E 關(guān)于全平面的余集，則（）A P是 E的聚點(diǎn)B P是 E 的孤立點(diǎn)C P是 E的內(nèi)點(diǎn)D P是 CE的邊界點(diǎn)3.L 為 單 位 圓 周 x2y 21 ，yds 的 值 為L(zhǎng)( )A 4B 3C 2D 14. 設(shè) L 是沿拋物線(xiàn)y 2x2 從原點(diǎn)到點(diǎn)（ ， ）的曲線(xiàn)

9、，xdy ydxB 1 2L的值為()A05 ()A 16. 若 S為柱面部分，則S（）A2HR7. 累次積分B2C1D2lim(11 ) xsin y的值等于( x, y) ( ,)xyB2C3D0x 2y 2R 2被平面 z0 和 z H(H0) 所截取的212dS 值等于xyBHC3 HD4 HR4R1x 2dxf ( x, y)dy 交 換 積 分 順 序 后 ， 正 確 的 是00()1y11A0 dy 0f (x, y)dxB0 dyy f (x, y)dx1y10C0 dy 1f (x, y)dxD0 dyy f (x, y)dx8.曲 面z= arctan y在 點(diǎn) (1,1,

10、)處的切平面方程是()x4Axy2 zBxy2z22C2(1x)2( y1)z D2(1x)2( y1)4z49.設(shè) uxe2 y ,l 由起 點(diǎn) P(1,0)到 終 點(diǎn) Q(3,-1),則u |P 等 于( )lA 0B 1C 2D 3二 計(jì)算題(每題 8分,共 40分)得分閱卷人1. 設(shè) z = f ( y , xy ), 求2 z .xx y2. 設(shè) ux2y2z2 , 其中 zf ( x , y ) 是由方程x3y3z33xyz所確定的隱函數(shù) , 求 ux設(shè) L 為任一包含原點(diǎn)的閉曲線(xiàn)，方向取正向, 計(jì)算xdyydx3L x2y 24.計(jì)算z 2 dxdydz 的值，其中 V 是由 x

11、 2y 2z 2R 2 與Vx 2y 2z 22 Rz 所圍成的空間區(qū)域5. 計(jì)算曲面積分x2 dydz y 2 dzdx z2 dxdy ，其中 S 是錐面Sx 2y 2z2 與平面 zh 所 圍空間區(qū)域 (0 z h) 的表面，方向取外側(cè) .得分閱卷人三 證明題 (共 24分)1 設(shè) f ( x, y)xy, x2y20;x2y20,x2y20討論 f ( x, y) 在（ 0，0）處是否連續(xù)，是否可微（10 分）得分閱卷人2. 討論積分 Ie x2 ydy 在 a,b(a0) 上的一致收斂性（ 8 分）03. 設(shè) f ( x, y) 為連續(xù)函數(shù)，且f (x, y)f ( y, x) ，證

12、明：1x1xdxf (x, y)dydxf (1 x,1 y)dy （6 分）0000四 應(yīng)用題（ 9 分）求體積一定而表面積最小的長(zhǎng)方體.成績(jī)數(shù)學(xué)分析 (3) 期末試卷2005年1月13日班級(jí) _學(xué)號(hào) _姓名 _考試注意事項(xiàng)：5. 考試時(shí)間： 120 分鐘。6. 試卷含三大題，共 100 分。7. 試卷空白頁(yè)為草稿紙，請(qǐng)勿撕下！散卷作廢！8. 遵守考試紀(jì)律。一、填空題(每空 3 分，共24分)8、 設(shè) ux y tan z ，則全微分 du_ 。9uxyz3，其中zf (x, y) 是由x3y3z33xyz所確定的隱函數(shù)，則、 設(shè)2ux_ 。10、橢 球 面x2y 24z21 在 點(diǎn)M (2

13、,1,1)處的法線(xiàn)方程是_ 。11、設(shè)F (x)sinx f (x2, y)dy,f (x, y)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 則xF (x)_ 。12、設(shè) L是 從 點(diǎn) (0,0)到 點(diǎn)(1,1)的直線(xiàn)段，則第一型曲線(xiàn)積分L xyds_ 。、在xy面上，若圓 D(x, y) | x 2y 21 的密度函數(shù)為(x, y)1，則該圓13關(guān)于原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的二重積分表達(dá)式為_(kāi)，其值為_(kāi) 。14、 設(shè) S 是 球 面 x2y 2z21的外側(cè)，則第二型曲面積分S z2dxdy_。二、計(jì)算題 (每題 8 分，共 56 分 )8、 討論 f ( x, y)( xy) sin 1 sin 1 在原點(diǎn)的累次極限、 重極限及

14、在R2 上的連續(xù)性。xy9、 設(shè) uf ( x 2 y,y) 具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求二階偏導(dǎo)數(shù)uxx 和 u xy 。x10、 求 f ( x, y)x3 3x2 3y2 在 D ( x, y) | x2y216 上的最大值和最小值。11、求exe2x。提示：0xsinxdxaxeax2 (a sinbx bcosbx)C 。e sinbxdxa2b、利用坐標(biāo)變換求2 xy，其中D由 xy 1，x0及 y0 圍12xy dxdyD sec成。13、求曲面 x2y2z22 與 zx2y 2 所圍成的立體體積。333，其中S是球面14、計(jì)算S x dydzy dzdxz dxdyx 2y 2z2

15、R2 (R0) 的上半部分 ( z0) 的外側(cè)。三、證明題 （每題 10 分，共 20 分）xy2, x2y20,x23、 試證：函數(shù) f (x, y)y2在原點(diǎn) (0,0) 連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在， 但0,x2y 20,在原點(diǎn)不可微，并且f x ( x, y)和 f y( x, y) 在原點(diǎn)不連續(xù) 。4、 試證x2y2z 23 和xyz1 的交線(xiàn)在點(diǎn)P0 (1, 1,1) 的鄰域內(nèi)能用一對(duì)方程yf (x) 和 zg (x)表示，并求dy 和 dxdz ，以及交線(xiàn)在點(diǎn) dxP0 的法平面方程。數(shù)學(xué)分析 (3)期末試題班級(jí) _ 學(xué)號(hào) _姓名 _成績(jī) _一、判斷題 (每空 2 分，共 10 分)1、 無(wú)

16、窮點(diǎn)集 ER 2 是有界的，等價(jià)于：E 的任一無(wú)窮子集在R2 中必有聚點(diǎn)。答：_。2、 若函數(shù)f ( x, y) 在點(diǎn) (x0 , y0 ) 可微，則f (x, y) 在點(diǎn) ( x0 , y0 ) 的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。答：_。3、 設(shè)F ( x, y) 和F y ( x, y) 在 點(diǎn) ( x0 , y0 ) 的 鄰 域 U ( x0 , y0 ) 內(nèi) 連 續(xù) ， 且F (x0 , y0 )0 ，若 Fy ( x0 , y0 )0 ，則在點(diǎn) x0 附近有唯一的函數(shù)yf (x) 滿(mǎn)足F (x, y)0 。答： _。、若函數(shù)f ( x, y)在 D( x, y) | x y x2 ,1 x 2 上 連

17、續(xù) ， 則 含 參 量 積 分4x2I (x)xf ( x, y)dy 在 1,2 上一定是連續(xù)的。答：_。5、 若 f ( x, y) 在有界閉域 D 上連續(xù)，則二重積分f ( x, y)dxdy 存在。答： _。D二、填空題 (每空 4 分，共20分)1、設(shè) F ( x)x2 1f (3x, y)dy ， f (x, y) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則F ( x) _。xx2y 2z21在其上某點(diǎn) M (x0 , y0 , z0 ) 處的法線(xiàn)方程是 _。2、橢球面b 2ca223、設(shè) D( x, y) | x2y 21 ，則二重積分ex 2 y2dxdy_。D4、已知 (1)，則( 1) _ 。22

18、5、設(shè) L(x, y) | x2y2a 2 ，則第一型曲線(xiàn)積分x2y 2 ds _ 。L三、計(jì)算題 (每題 8 分，共 48 分 )1, (x, y)00y sin x(, ),并研究1、求函數(shù) f ( x, y)0 0在點(diǎn) (0,0) 的累次極限和重極限，0( x, y),( ,f ( x, y) 在全平面上的連續(xù)性。2、說(shuō)明 x2y21z2 和 xy z 2 的交線(xiàn)在點(diǎn) P (1,1,2) 的鄰域內(nèi)能用一對(duì)方程20z f ( x) 和 yg (x) 表示，并求 dz 和 dy 。dx dxe xe2 x3、求dx 。0 x4、求三重積分zdxdydz ，其中是 x2y2z 及 1z4 所圍

19、區(qū)域。5、計(jì)算曲線(xiàn)積分L(exsin 2 yy)dx(2ex cos2 y10)dy，其中L 是從A(1,0)到B(1,0) 的上半單位圓周。6、計(jì)算曲面積分x3dydzy 3dzdxz(x2y2 )dxdy ，其中S 是 zx 2y 2被Sz 4 所截得部分的外側(cè)。四、證明題xyy 2, x 2y 20,1、（ 12 分）試證：函數(shù) f ( x, y)x2x2y 2在原點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在，0,0,并且函數(shù)在原點(diǎn)可微，但是f x ( x, y) 和 f y ( x, y) 在原點(diǎn)不連續(xù) 。2、（ 10 分）試證：含參量反常積分0e ax sin xdx 在 0,b 上一致收斂 (b 0) 。x數(shù)學(xué)分析（三）期末試題一、 填空題