細說圓中的分類討論題之兩解情況考試拒絕遺漏

1、細說圓中的分類討論題-之兩解情況由于圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，還具有旋轉(zhuǎn)不變性,有許多問題需要分類討論,分類討論是一種同學(xué)們應(yīng)該掌握并且相當重要的數(shù)學(xué)思想，對于鍛煉同學(xué)們的縝密思維和分析問題能力異常的重要，但同學(xué)們在遇到分類討論題時易出現(xiàn)漏解情況,這就要求同學(xué)們在解題時一要讀懂題意，明白題干的要求，二要有順序步驟的做。先從幾個方面舉例說明如下:一、根據(jù)點與圓的位置分類例、點P是圓O所在平面上一定點，點P到圓上的最大距離和最短距離分別為和，則該圓的半徑為。分析：根據(jù)點和圓的位置關(guān)系，這個點P與圓有兩種位置關(guān)系。分為點在圓內(nèi)和點在圓外兩種情況。解：過點P和圓心O作直線分別與圓O相交于A、

2、B兩點。PA、PB分別表示圓上各點到點P的最長距離和最短距離。 圖1 圖2（1）當點P在圓內(nèi)時，如圖1所示，直徑；（2）當點P在圓外時，如圖2所示，直徑；所以，圓O的直徑為2或6。二、三角形與圓心的位置關(guān)系例：已知內(nèi)接于圓O，則的度數(shù)為_。分析：因點A的位置不確定。所以點A和圓心O可能在BC的同側(cè)，也可能在BC的異側(cè)。也可分析為圓心在的內(nèi)部和外部兩種情況。解：（1）當點A和圓心O在BC的同側(cè)時，如圖3， 圖3 圖4（2）當點A和圓心O在BC的異側(cè)時，如圖4，所以的度數(shù)是或。練習(xí)：已知圓內(nèi)接中，AB=AC，圓心O到BC的距離為3cm，圓的半徑為6cm,求腰長AB。（兩種情況如圖5、圖6） 圖5

3、圖6三、角與圓心的位置關(guān)系例3:在半徑為1的O中，弦AB、AC的長分別為和，則BAC的度數(shù)是_。分析：角與圓心的位置關(guān)系為圓心在角內(nèi)部和外部兩種情況。解：如圖7，當圓心在BAC內(nèi)部時，連接AO并延長交O于E在RtABE中，由勾股定理得：,所以BAE30°同理，在RtCAE中，ECAC，所以EAC45°，當圓心O在BAC的外部時（BAC'），由軸對稱性可知：所以BAC為75°或15° 圖7四、圓中兩平行弦與圓心的位置關(guān)系例4. 圓O的直徑為10cm，弦AB/CD，AB=6cm，求AB和CD的距離。分析：題中的弦AB、CD都比圓O中的直徑小，所以AB

4、和CD可能在圓心的同側(cè)，也可能在圓心的異側(cè)。解：（1）當AB、CD在圓心的同側(cè)時，如圖8，過點O作交AB于點M，交CD于N，連結(jié)OB、OD，得，然后由勾股定理求得：，故AB和CD的距離為1cm。 圖8 圖9（2）當在圓心的異側(cè)時，如圖9，仍可求得。故AB和CD的距離為7cm。所以AB和CD的距離為1cm和7cm。五、弦所對的圓周角有兩種情況例5：半徑為1的圓中有一條弦，如果它的長為，那么這條弦所對的圓周角的度數(shù)等于_。分析：弦所對的圓周角有兩種情況：（1）弦所對的圓周角的頂點在優(yōu)弧上；（2）弦所對的圓周角的頂點在劣弧上。解：故應(yīng)填60°或120°。練習(xí)：一條弦分圓周為3：5

5、兩部分，則這條弦所對的圓周角的度數(shù)為 。 六、圓與圓的位置關(guān)系例6、已知圓和圓相內(nèi)切，圓心距為，圓半徑為，求圓的半徑。分析：根據(jù)兩圓相內(nèi)切的特點：圓心距等于大圓半徑減去小圓半徑。但該題的條件中沒有給定誰是大圓，誰是小圓。這時可把圓看成大圓，也可把圓看成小圓。解：（1）當圓是大圓時，則圓的半徑等于大圓半徑4cm減去圓心距1cm，求得圓的半徑為3cm。（2）當圓是小圓時，則圓的半徑等于小圓半徑4cm加上圓心距1cm，求得圓的半徑為5cm。所以圓的半徑是3cm或5cm。例7、兩圓相切，半徑分別為4cm和6cm，求兩圓的圓心距 。分析：此題中的兩圓相切沒有說明是內(nèi)切還是外切，所以應(yīng)該分兩種情況考慮。解：（1）當兩圓內(nèi)切時，兩圓心的距離等于大圓半徑減去小圓半徑，即。（2）當兩圓外切時，兩圓心的距離等于大圓半徑加上小圓半徑