應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)分析(20211109203753)

1、第8章典型習(xí)題解析1.試畫出下列圖所示簡(jiǎn)支梁 A點(diǎn)處的原始單元體。=圖8.1解：1原始單元體要求其六個(gè)截面上的應(yīng)力應(yīng)或可利用公式直接計(jì)算，因此應(yīng)選取如下三對(duì)平面：A點(diǎn)左右側(cè)的橫截面，此對(duì)截面上的應(yīng)力可直接計(jì)算得到；與梁xy平面平行的一對(duì)平面，其中靠前的平面是自由外表，所以該對(duì)平面應(yīng)力均為零。再取A點(diǎn)偏上和偏下的一對(duì)與xz平行的平面。截取出的單元體如圖 d所示。2分析單元體各面上的應(yīng)力：A點(diǎn)偏右橫截面的正應(yīng)力和切應(yīng)力如圖b、c所示，將A點(diǎn)的坐標(biāo)x、y代入正應(yīng)力和切應(yīng)力公式得 A點(diǎn)單元體左右側(cè)面的應(yīng)力為:*QSz£ =Izb由切應(yīng)力互等定律知,單元體的上下面有切應(yīng)力前后邊面為自由外表，應(yīng)

2、力為零。在單元體各面上畫上應(yīng)力，得到A點(diǎn)單元體如圖d。2. 圖a所示的單元體，試求1圖示斜截面上的應(yīng)力；2主方向和主應(yīng)力，畫出主單元 體;3主切應(yīng)力作用平面的位置及該平面上的正應(yīng)力，并畫出該單元體。解: 1求斜截面上的正應(yīng)力二-30和切應(yīng)力30由公式二 30= 一50 100 一50 一100 cos(-60 ) _(-60)sin(-60 ) = -64.5MPa 2-5°00 si門(_60) (60)cos(-60 ) = 34.95MPa(2)求主方向及主應(yīng)力tan2亠 y込0.8-5° -10°2: - -38.66宀19.33: 2 = 70.67最大

3、主應(yīng)力在第一象限中，對(duì)應(yīng)的角度為>0 =70.67，主應(yīng)力的大小為-50+100 + - 50-100 cos(2 70.67 )-(-60)s in (270.67 )=121.0MPa2 2二 + ； = . .由 >1-'2 X y可解出癥= Py = (-50) +100 - (121.0) = -71.0MPa因有一個(gè)為零的主應(yīng)力，因此(第三主方向：七=-19.33 )畫出主單元體如圖8.2(b)。(3) 主切應(yīng)力作用面的法線方向七毗皿辱1.25-1202 宀 51.34：i =25.67：2 =115.67主切應(yīng)力為.'二 - 50 - 100 sin(

4、51.34 ) (-60)cos(51.34 ) =-96.04MPa = - 匕此兩截面上的正應(yīng)力為丁 = 一5； 100 . 5010°cos(51.34)(_60)sin(51.34 ) =25.0MPa5 100-50100cos(231.34 ) (60)sin(231.34 ) =25.0MPa-2 亠 亠主切應(yīng)力單元體如下圖。25.0 25.0 = 50MPa = ；x ；y由:1：-2，可以驗(yàn)證上述結(jié)果的正確性。3. 試用圖形解析法，重解例2。解：(1 )畫應(yīng)力圓建立比例尺，畫坐標(biāo)軸 '、'O對(duì)圖 所示單元體，在 ；- 平面上畫出代表 二x、-x的點(diǎn)

5、a(-50,-60)和代表 f y的點(diǎn)B(100,60) o連接A B,與水平軸二交于C點(diǎn)，以C點(diǎn)為圓心，CB (或CA) 為半徑，作應(yīng)力圓如下圖 .鞏254, 96.04)(2) 斜截面上的應(yīng)力在應(yīng)力圓上自A點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)60 ,到達(dá)G點(diǎn)。G點(diǎn)在匚、-坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)即為該斜 截面上的應(yīng)力，從應(yīng)力圓上可直接用比例尺測(cè)量或計(jì)算得到G點(diǎn)的水平和垂直坐標(biāo)值：% = _64.5MPat a =34.95 MPa(3) 主方向、主應(yīng)力及主單元體圖所示應(yīng)力圓圖上 H點(diǎn)橫坐標(biāo)OH為第一主應(yīng)力，即十 OH =121.04MPaK點(diǎn)的橫坐標(biāo)OK為第三主應(yīng)力，即6 =OK = -71.04MPa由應(yīng)力圓圖上可以看出

6、，由B點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)20為第一主方向，在單元體上那么為由y軸順時(shí)針轉(zhuǎn)'0，且2、；° = 38.66 , 、*-0 =19.33應(yīng)力圓圖上由A順時(shí)針轉(zhuǎn)到K點(diǎn)( ACK =38.66)，那么在單元體上由x軸順時(shí)針轉(zhuǎn) 過(guò)19.33為第三主方向，畫出主單元體仍如圖(b)所示。(4) 主切應(yīng)力作用面的位置及其上的應(yīng)力圖所示應(yīng)力圓上 N、P點(diǎn)分別表示主切應(yīng)力作用面的相對(duì)方位及其上的應(yīng)力。在應(yīng)力圓上由B到N,逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)51.34，單元體上 max作用面的外法線方向?yàn)橛蓎軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)25.67，且max 二- min 二 CB = 96.04MPamax和-min作用面上的正應(yīng)力均為 25M

7、Pa主切應(yīng)力作用面的單元體仍如圖(C)所示。4. 如下圖兩端封閉的薄壁筒同時(shí)承受內(nèi)壓強(qiáng)p和外力矩m的作用。在圓筒外表 a點(diǎn)用應(yīng)變儀測(cè)出與x軸分別成正負(fù)45方向兩個(gè)微小線段 ab和ac的的應(yīng)變 冷=629.4 x 10-6, ；-45 =-66.9 x 10-6,試求壓強(qiáng)P和外力矩薄壁筒的平均直徑 d= 200mm厚度t = 10mm解：(1) a點(diǎn)為平面應(yīng)力狀態(tài)，在a點(diǎn)取出如圖(c)所示的原始單元體，其上應(yīng)力:Pd4tPd2t2m二 d2t(2)求圖8.4(c)斜單元體efgh各面上的正應(yīng)力:CT +CT = x y_.=3 pd.2m452x 8t-：d2tcr + crxyCJ -=_3P

8、d _2m452x8t二 d 2tJE 浮12m二 d2t1丄3兇1一空1E |I8 t二 d2t將給定數(shù)據(jù)代入上式629.4 10 2m 106-66.9 10 啟-200 103_200 103得內(nèi)壓強(qiáng)和外力矩p= 10MPa5.直徑 d=20mm、L=2m 的算出單元體上的應(yīng)力的數(shù)值乞竺空975+2,810jtx2002 x10102m 1063 P 200 0.75 一28 10 二 2002 1 010m = 35kNm如.25)1.25圓截面桿，受力如圖。試?yán)L桿件中A點(diǎn)和B點(diǎn)的單元體受力圖并確定這些點(diǎn)是否為危險(xiǎn)點(diǎn)。(b)(c)(d)應(yīng)力計(jì)算：圖a解：以下列圖為圖各單元體受力圖:(c

9、)(d)(b):;=_63.69MPa A空二 50.96MP a圖b圖cc=N=127.38MFa=127.38MFaAa80=50.96MP兀16d320 103圖(d)中A點(diǎn)(壓應(yīng)力):,=25.48MPa1 a 3.14 (20 10；)332QSzT =Izb-0.17MP a3A(b )中的A為危險(xiǎn)點(diǎn),(c)中的A、B為危險(xiǎn)點(diǎn)，(d)中的A , B點(diǎn)均為危險(xiǎn)點(diǎn)，相比之下A點(diǎn)的應(yīng)力較大。6.應(yīng)力狀態(tài)如下圖(應(yīng)力單位:MPa)。試用圖解法求:(1)(a)、(b)中指定斜截面上的應(yīng)力；并用解析法校核之(c)、(d) 、(e)上主應(yīng)力的大小與方向，在單元體上畫出主平面的位置，求最大切應(yīng)力。

10、(a)30 0斜截面單元本；(b)45斜截面單元體;(c)純切應(yīng)力單元體;(d)壓拉切單元體(e)拉壓切單元體。50(c)40解：(a)按比例畫出應(yīng)力圓如下列圖,可得a =300的斜截面的正應(yīng)力和切應(yīng)力為E點(diǎn)的坐標(biāo)為B2°a =解析法校核:二 X -cos2xsin2,淪沁込60；2 2 2= 45MPa si n2： x cos2、=50一30 仝=5.3=8.5MPa2 x 2 2 a(b)用比例畫出應(yīng)力圓，E點(diǎn)的坐標(biāo)為-45 = 5MPa45 = 25MPL2050f(b)解析法校核:E* -x7cos2xsin 2,50 5°cos9020sin 902 2 x 2 250 sin 90= 25MP5MPaa(c )應(yīng)力圓如下列圖，與(T軸的交點(diǎn)即為主應(yīng)力的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，從應(yīng)力圓上可按比例直接量得兩個(gè)主應(yīng)力之值分別為:G 二 0A二 50MPa，；二2 = 0， 6 二 0A?二-50MP&主平面的方位可由應(yīng)力圓上量得，因2- DQA廣-90°最大主應(yīng)力作用面與 x平面之夾角為從D1到A1是順時(shí)針轉(zhuǎn)的:八45：最大切力；max50d 應(yīng)力圓與b軸的交點(diǎn)即為主應(yīng)力得應(yīng)點(diǎn)，從應(yīng)力圖上可按比例直接量得兩個(gè)主應(yīng) 力之值分別為:=OA 2 = 30MP a ,二3 = 0最大主應(yīng)力作用面與x平面之夾角為可由應(yīng)力圓上得:2 二 F