202X屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何8.4空間角與距離、空間向量及其應(yīng)用課件理

1、8.4 空間角與距離、空間向量及其應(yīng)用高考理數(shù)高考理數(shù) (課標專用)考點一空間角與距離考點一空間角與距離五年高考A A組組 統(tǒng)一命題統(tǒng)一命題課標卷題組課標卷題組1.(2018課標,12,5分)已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面所成的角都相等,則截此正方體所得截面面積的最大值為() A. B. C. D. 3 342 333 2432答案答案 A本題主要考查空間直線與平面的位置關(guān)系及其所成角問題.由正方體的性質(zhì)及題意可得,正方體共頂點的三條棱所在直線與平面所成的角均相等.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,易知棱AB,AD,AA1所在直線與平面A1BD所成的角均相等,所以平面A1B

2、D,當(dāng)平面趨近于點A時,截面圖形的面積趨近于0;當(dāng)平面經(jīng)過正方體的中心O時,截面圖形為正六邊形,其邊長為,截面圖形的面積為6=;當(dāng)平面趨近于C1時,截面圖形的面積趨近于0,所以截面圖形面積的最大值為,故選A.解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵利用正方體的性質(zhì),將每條棱所在直線與平面所成角轉(zhuǎn)化為共頂點的三條棱所在直線與平面所成角是解決本題的關(guān)鍵.22342223 343 34方法點撥方法點撥利用特殊位置與極限思想是解決選擇題的常用方法.2.(2016課標,11,5分)平面過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為()A. B. C.

3、 D. 32223313答案答案 A如圖,延長B1A1至A2,使A2A1=B1A1,延長D1A1至A3,使A3A1=D1A1,連接AA2,AA3,A2A3,A1B,A1D.易證AA2A1BD1C,AA3A1DB1C.平面AA2A3平面CB1D1,即平面AA2A3為平面.于是mA2A3,直線AA2即為直線n.顯然有AA2=AA3=A2A3,于是m、n所成的角為60,其正弦值為.選A.思路分析思路分析先利用平行關(guān)系作出平面,進而確定直線m與直線n的位置,然后求m,n所成角的正弦值.疑難突破疑難突破本題的難點是明確直線m、n的具體位置.為此適當(dāng)擴形是常用策略.323.(2019課標,18,12分)如

4、圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,BAD=60,E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點.(1)證明:MN平面C1DE;(2)求二面角A-MA1-N的正弦值. 解析解析本題主要考查線面平行的判定定理,線面垂直的性質(zhì)定理,二面角求解等知識點;旨在考查學(xué)生的空間想象能力;以直四棱柱為模型考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).(1)證明:連接B1C,ME.因為M,E分別為BB1,BC的中點,所以MEB1C,且ME=B1C.又因為N為A1D的中點,所以ND=A1D.由題設(shè)知A1B1DC,可得B1CA1D,故MEND,因此四邊形MNDE為平行四邊形,MNE

5、D.又MN 平面EDC1,所以MN平面C1DE.(2)由已知可得DEDA.以D為坐標原點,的方向為x軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz,則A(2,0,0),A1(2,0,4),M(1,2),N(1,0,2),=(0,0,-4),=(-1,-2),=(-1,0,-2),=(0,-,1212DA31A A1AM31A NMN30).設(shè)m=(x,y,z)為平面A1MA的法向量,則所以可取m=(,1,0).設(shè)n=(p,q,r)為平面A1MN的法向量,則所以可取n=(2,0,-1).于是cos=,所以二面角A-MA1-N的正弦值為.思路分析思路分析(1)要證明線面平行,可先證線線平行.通過

6、作輔助線及題設(shè)條件可得MNED,從而可得MN與平面C1DE平行.(2)建立空間直角坐標系,找到相關(guān)點的坐標,求出平面A1MA與平面A1MN的法向量,再由向量的11A0,A0.mMmA320,40.xyzz 31MN0,A0.nnN30,20.qpr|m nm n2 325155105夾角公式求解.解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵建立空間直角坐標系后,寫出各點坐標,正確求解平面的法向量是解決本題的關(guān)鍵.4.(2019課標,19,12分)圖1是由矩形ADEB,RtABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,FBC=60.將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連接DG,如圖2.(1)證明

7、:圖2中的A,C,G,D四點共面,且平面ABC平面BCGE;(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小. 解析解析本題主要考查平面與平面垂直的判定與性質(zhì)以及二面角的計算;本題還考查了學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和運算能力;通過平面圖形與立體圖形的轉(zhuǎn)化,考查了直觀想象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).(1)證明:由已知得ADBE,CGBE,所以ADCG,故AD,CG確定一個平面,從而A,C,G,D四點共面.由已知得ABBE,ABBC,故AB平面BCGE.又因為AB平面ABC,所以平面ABC平面BCGE.(2)作EHBC,垂足為H.因為EH平面BCGE,平面BCGE平面ABC,所以EH平面ABC.由已知,菱

8、形BCGE的邊長為2,EBC=60,可求得BH=1,EH=.以H為坐標原點,的方向為x軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系H-xyz,3HC則A(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,),=(1,0,),=(2,-1,0).設(shè)平面ACGD的法向量為n=(x,y,z),則即所以可取n=(3,6,-).又平面BCGE的法向量可取為m=(0,1,0),所以cos=.因此二面角B-CG-A的大小為30.思路分析思路分析(1)利用折疊前后AD與BE平行關(guān)系不變,可得ADCG,進而可得A、C、G、D四點共面.由折疊前后不變的位置關(guān)系可得ABBE,ABBC,從而AB平面BCGE,由面面垂直的判定

9、定理可得結(jié)論成立.(2)由(1)可得EH平面ABC.以H為坐標原點,的方向為x軸的正方向,建立空間直角坐標系,求得平面的法向量,進而求得二面角B-CG-A的大小.3CG3ACCG0,AC0,nn30,20.xzxy3|n mn m32HC5.(2018課標,19,12分)如圖,邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧所在平面垂直,M是上異于C,D的點.(1)證明:平面AMD平面BMC;(2)當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時,求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值. CDCD解析解析本題考查面面垂直的判定、二面角的計算、空間向量的應(yīng)用.(1)證明:由題設(shè)知,平面CMD平面ABCD,交線為CD.因為

10、BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因為M為上異于C,D的點,且DC為直徑,所以DMCM.又BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.(2)以D為坐標原點,的方向為x軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz.當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時,M為的中點.由題設(shè)得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),=(-2,1,1),=(0,2,0),=(2,0,0).CDDACDAMABDA設(shè)n=(x,y,z)是平面MAB的法向量,則即可取n=(1,0,2).是平面MCD的法向量,因此cos=,

11、sin=.所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是.解后反思解后反思一、面面垂直的判定在證明兩平面垂直時,一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線,若圖中不存在這樣的直線,則可通過作輔助線來解決.二、利用向量求二面角問題的常見類型及解題方法AM0,AB0,nn20,20,xyzyDADADA|DA|nn55DA2 552 551.求空間中二面角的大小,可根據(jù)題意建立空間直角坐標系,再分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量,然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角. 2.給出二面角的大小求解或證明相關(guān)問題,可利用求解二面角的方法列出相關(guān)的關(guān)系式,再

12、根據(jù)實際問題求解. 6.(2017課標,19,12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,BAD=ABC=90,E是PD的中點.(1)證明:直線CE平面PAB;(2)點M在棱PC上,且直線BM與底面ABCD所成角為45,求二面角M-AB-D的余弦值. 12解析解析本題考查了線面平行的證明和線面角、二面角的計算.(1)證明:取PA的中點F,連接EF,BF.因為E是PD的中點,所以EFAD,EF=AD.由BAD=ABC=90得BCAD,又BC=AD,所以EFBC,則四邊形BCEF是平行四邊形,所以CEBF,又BF平面PAB,CE 平面PAB,故

13、CE平面PAB.(2)由已知得BAAD,以A為坐標原點,的方向為x軸正方向,|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,),=(1,0,-),=(1,0,0).1212ABAB3PC3AB設(shè)M(x,y,z)(0 x1),則=(x-1,y,z),=(x,y-1,z-).因為BM與底面ABCD所成的角為45,而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量,所以|cos|=sin 45,=,即(x-1)2+y2-z2=0.又M在棱PC上,設(shè)=,則x=,y=1,z=-.由,解得(舍去),或所以M,從而=.設(shè)m=(x0,y0,z0)

14、是平面ABM的法向量,BMPM3BM222|(1)zxyz22PMPC3321,21,62xyz 21,21,6,2xyz 261,1,22AM261,1,22則即所以可取m=(0,-,2).于是cos=.易知所求二面角為銳角.因此二面角M-AB-D的余弦值為.方法總結(jié)方法總結(jié)本題涉及直線與平面所成的角和二面角,它們是高考的熱點和難點,解決此類題時常利用向量法,解題關(guān)鍵是求平面的法向量,再由向量的夾角公式求解.解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵由線面角為45求點M的坐標是解題的關(guān)鍵.AM0,AB0,mm0000(22)x2y6z0,x0,6|m nm n105105考點二空間向量及其應(yīng)用考點二空間向量及其應(yīng)用1

15、.(2017課標,16,5分)a,b為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),有下列結(jié)論:當(dāng)直線AB與a成60角時,AB與b成30角;當(dāng)直線AB與a成60角時,AB與b成60角;直線AB與a所成角的最小值為45;直線AB與a所成角的最大值為60.其中正確的是 .(填寫所有正確結(jié)論的編號)答案答案解析解析本題考查空間直線、平面間的位置關(guān)系.過點C作直線a1a,b1b,則直線AC、a1、b1兩兩垂直.不妨分別以a1、b1、AC所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系,取n1=(1,0,0)為a1的方向向量,n2=(0,1,0

16、)為b1的方向向量,令A(yù)(0,0,1).可設(shè)B(cos ,sin ,0),則=(cos ,sin ,-1).當(dāng)直線AB與a成60角時,|cos|=,|cos |=,|sin |=,|cos|=,即AB與b所成角也是60.|cos|=,直線AB與a所成角的最小值為45.綜上,和是正確的,和是錯誤的.故填.一題多解一題多解過點B作a1a,b1b,當(dāng)直線AB與a成60角時,由題意,可知AB在由a1,b1確定的平面上的射影為BC,且BC與a1成45角,又ab,故AB與b所成角也是60.錯,正確.當(dāng)直線aBC時,AB與a所成角最小,故最小角為45.正確,錯誤.綜上,正確的是,錯誤的是.(注:一條斜線與平

17、面所成角的余弦值和其在平面內(nèi)的射影與平面內(nèi)一條直線所成角的余弦值的乘積等于斜線和平面內(nèi)的直線所成角的余弦值)ABAB122222AB12AB|cos|12|cos|2222.(2018課標,20,12分)如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點.(1)證明:PO平面ABC;(2)若點M在棱BC上,且二面角M-PA-C為30,求PC與平面PAM所成角的正弦值. 2解析解析(1)證明:因為AP=CP=AC=4,O為AC的中點,所以O(shè)PAC,且OP=2.連接OB.因為AB=BC=AC,所以ABC為等腰直角三角形,且OBAC,OB=AC=2.由OP2+OB

18、2=PB2知POOB.由OPOB,OPAC,OBAC=O,知PO平面ABC.(2)如圖,以O(shè)為坐標原點,的方向為x軸正方向,建立空間直角坐標系O-xyz.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),=(0,2,2).取平面PAC的法向量=(2,0,0).設(shè)M(a,2-a,0)(0a2),則=(a,4-a,0).設(shè)平面PAM的法向量為n=(x,y,z).32212OB3AP3OBAM由n=0,n=0得可取n=(a-4),a,-a),所以cos=.由已知可得|cos|=.所以=.解得a=-4(舍去)或a=.所以n=.又=(0,2,-2),所以

19、cos=.所以PC與平面PAM所成角的正弦值為. APAM22 30,(4)0,yzaxa y33OB2222 3(4)2 3(4)3aaaaOB322222 3 |4|2 3(4)3aaaa32438 3 4 34,333PC3PC34343.(2016課標,19,12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點,AM=2MD,N為PC的中點.(1)證明MN平面PAB;(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值. 解析解析(1)證明:由已知得AM=AD=2.取BP的中點T,連接AT,TN,由N為PC的中點知TNBC,TN

20、=BC=2.(3分)又ADBC,故TNAM,故四邊形AMNT為平行四邊形,于是MNAT.因為AT平面PAB,MN 平面PAB,所以MN平面PAB.(6分)(2)取BC的中點E,連接AE.由AB=AC得AEBC,從而AEAD,且AE=231222ABBE222BCAB=.以A為坐標原點,的方向為x軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz.由題意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C(,2,0),N,=(0,2,-4),=,=.設(shè)n=(x,y,z)為平面PMN的法向量,則即(10分)可取n=(0,2,1).于是|cos|=.即直線AN與平面PMN所成角的正弦值為.(12分) 5AE55

21、,1,22PMPN5,1, 22AN5,1,22PM0,PN0,nn240,520,2yzxyzAN|AN|AN|nn8 5258 5254.(2015課標,19,12分)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.過點E,F的平面與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形.(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由);(2)求直線AF與平面所成角的正弦值. 解析解析(1)交線圍成的正方形EHGF如圖:(2)作EMAB,垂足為M,則AM=A1E=4,EM=AA1=8.因為EHGF為正方形,所以EH=EF=

22、BC=10.于是MH=6,所以AH=10.以D為坐標原點,的方向為x軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz,則A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),=(10,0,0),=(0,-6,8).設(shè)n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量,則即22EHEMDAFEHEFE0,HE0,nn100,680,xyz所以可取n=(0,4,3).又=(-10,4,8),故|cos|=.所以AF與平面EHGF所成角的正弦值為.思路分析(1)正方形是矩形且所有邊都相等,利用面面平行的性質(zhì)定理,結(jié)合長方體各棱長度作截面;(2)以D為坐標原點,的方向為x軸,y軸,z軸

23、的正方向建立空間直角坐標系,分別求出平面的法向量與直線AF的方向向量,從而利用向量法求得直線AF與平面所成角的正弦值.方法技巧方法技巧利用向量求線面角的方法:(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影的方向向量,進而求兩個方向向量的夾角(或其補角);(2)通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量的夾角或其補角(求銳角),取該角的余角就是斜線與平面所成的角.AFAF|AF|AF|nn4 5154 515DADC1DDB B組組 自主命題自主命題省省( (區(qū)、市區(qū)、市) )卷題組卷題組考點一空間角與距離考點一空間角與距離1.(2019浙江,8,4分)設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形,側(cè)

24、棱長均相等,P是棱VA上的點(不含端點).記直線PB與直線AC所成的角為,直線PB與平面ABC所成的角為,二面角P-AC-B的平面角為,則()A., B., C., D.,PD得sin sin ,(、均為銳角).在RtPDB與RtPDF中,由PBPF得sin (、均為銳角).故選B.思路分析思路分析在圖形中找到異面直線所成的角,線面角和二面角的平面角,通過解直角三角形,比較求解,本題也可以通過取正四面體側(cè)棱的中點P,由特殊值法求解.疑難突破疑難突破過點P作平面ABC的垂線,以其為公共邊找到相應(yīng)的空間角,通過解直角三角形去求解,是關(guān)鍵也是難點的突破口.2.(2018江蘇,22,10分)如圖,在正

25、三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,點P,Q分別為A1B1,BC的中點.(1)求異面直線BP與AC1所成角的余弦值;(2)求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值. 解析解析本題主要考查空間向量、異面直線所成角和線面角等基礎(chǔ)知識,考查運用空間向量解決問題的能力.如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中, 設(shè)AC,A1C1的中點分別為O,O1,則OBOC,OO1OC,OO1OB,以,為基底,建立空間直角坐標系O-xyz.因為AB=AA1=2,所以A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),B1(,0,2),C1(0,1,2).(1)因為P為A1B1的中點

26、,所以P.OBOC1OO3331,222從而=,=(0,2,2).故|cos|=.因此,異面直線BP與AC1所成角的余弦值為.(2)因為Q為BC的中點,所以Q,因此=,=(0,2,2),=(0,0,2).設(shè)n=(x,y,z)為平面AQC1的一個法向量,則即不妨取n=(,-1,1).設(shè)直線CC1與平面AQC1所成角為, BP31,2221ACBP1AC11| |BP ACBPAC| 14|52 2 3 10203 10203 1,022AQ3 3,0221AC1CC1AQ0,AC0,nn330,22220.xyyz3則sin =|cos|=,所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為.方法總結(jié)

27、(1)用向量法求異面直線所成角的步驟:求兩條直線所對應(yīng)的方向向量m,n;異面直線所成角的余弦值cos =|cos|=.(2)用向量法求線面角的正弦值的步驟:求直線的方向向量a和平面的法向量b;直線與平面所成角的正弦值sin =|cos|=.易錯警示易錯警示(1)異面直線所成角的范圍為,cos =|cos|.(2)線面角的正弦值為|cos|,并不是|sin|. 1CC11|CC|CC | |nn2525555| |m nmn|a ba b0,23.(2017北京,16,14分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,平面PAD平面ABCD,點M在線段PB上,PD平面MAC,PA=PD

28、=,AB=4.(1)求證:M為PB的中點;(2)求二面角B-PD-A的大小;(3)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值. 6解析解析本題考查面面垂直的性質(zhì)定理,線面平行的性質(zhì)定理,二面角,直線與平面所成的角等知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運算求解能力.(1)證明:設(shè)AC,BD交點為E,連接ME.因為PD平面MAC,平面MAC平面PDB=ME,所以PDME.因為ABCD是正方形,所以E為BD的中點.所以M為PB的中點.(2)取AD的中點O,連接OP,OE.因為PA=PD,所以O(shè)PAD.又因為平面PAD平面ABCD,且OP平面PAD,所以O(shè)P平面ABCD.因為OE平

29、面ABCD,所以O(shè)POE.因為ABCD是正方形,所以O(shè)EAD.如圖建立空間直角坐標系O-xyz,則P(0,0,),D(2,0,0),B(-2,4,0),=(4,-4,0),=(2,0,-).設(shè)平面BDP的法向量為n=(x,y,z), 則 即2BDPD2BD0,PD0,nn440,220.xyxz令x=1,則y=1,z=.于是n=(1,1,).平面PAD的一個法向量為p=(0,1,0).所以cos=.由題意知二面角B-PD-A為銳角,所以它的大小為.(3)由題意知M,C(2,4,0),=.設(shè)直線MC與平面BDP所成角為,則sin =|cos|=.所以直線MC與平面BDP所成角的正弦值為.方法總結(jié)

30、方法總結(jié)1.在求二面角時,通常用空間向量法,即建立空間直角坐標系,求出兩個面的法向量22|n pnp12321,2,2MC23,2,2MC|MC|MC|nn2 692 69n1,n2,設(shè)二面角的大小為,則有|cos |=|cos|=,再通過原圖判斷二面角是鈍角還是銳角,進而求出二面角.2.用向量法求直線與平面所成的角的方法:設(shè)直線的方向向量為e,平面的法向量為n,則直線與平面所成的角滿足sin =,. 1212|n nnn| |e ne n0,24.(2016浙江,17,15分)如圖,在三棱臺ABC-DEF中,平面BCFE平面ABC,ACB=90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1

31、)求證:BF平面ACFD;(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值. 解析解析(1)證明:延長AD,BE,CF相交于一點K,如圖所示.因為平面BCFE平面ABC,且ACBC,所以,AC平面BCK,因此,BFAC.又因為EFBC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以BCK為等邊三角形,且F為CK的中點,則BFCK.所以BF平面ACFD.(2)解法一:過點F作FQAK于Q,連接BQ.因為BF平面ACK,所以BFAK,則AK平面BQF,所以BQAK.所以,BQF是二面角B-AD-F的平面角.在RtACK中,AC=3,CK=2,得FQ=.在RtBQF中,FQ=,BF=,得cosBQF=.所以,二面角

32、B-AD-F的平面角的余弦值為.解法二:由(1)知BCK為等邊三角形.取BC的中點O,連接KO,則KOBC,又平面BCFE平面ABC,所以,KO平面ABC.以點O為原點,分別以射線OB,OK的方向為x,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz.由題意得B(1,0,0),C(-1,0,0),K(0,0,),A(-1,-3,0), 3 13133 1313334343E,F.因此,=(0,3,0),=(1,3,),=(2,3,0).設(shè)平面ACK的法向量為m=(x1,y1,z1),平面ABK的法向量為n=(x2,y2,z2).由得取m=(,0,-1);由得取n=(3,-2,).于是,co

33、s=.又易知二面角B-AD-F為銳二面角,所以,二面角B-AD-F的平面角的余弦值為.方法總結(jié)方法總結(jié)若二面角的平面角為,兩半平面的法向量分別為n1和n2,則|cos |=|cos|,要求cos 的值,還需結(jié)合圖形判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角,進而決定cos =|cos|,還是cos =-|cos|.13,0,2213,0,22ACAK3ABAC0,AK0mm11113y0,x3y3z0,3AB0,AK0nn222222x3y0,x3y3z0,3| |m nmn3434評析評析本題主要考查空間點、線、面位置關(guān)系,二面角等基礎(chǔ)知識,同時考查空間想象能力和運算求解能力.考點二空間向量及其應(yīng)用考

34、點二空間向量及其應(yīng)用1.(2019浙江,19,15分)如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1ACC1平面ABC,ABC=90,BAC=30,A1A=A1C=AC,E,F分別是AC,A1B1的中點.(1)證明:EFBC;(2)求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.解析解析本題主要考查空間點、線、面位置關(guān)系,直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識,同時考查空間想象能力和運算求解能力.本題考查了邏輯推理和直觀想象的核心素養(yǎng).解法一:(1)證明:連接A1E,因為A1A=A1C,E是AC的中點,所以A1EAC,又平面A1ACC1平面ABC,A1E平面A1ACC1,平面A1ACC1平面ABC=AC,所以,

35、A1E平面ABC,則A1EBC.又因為A1FAB,ABC=90,故BCA1F.所以BC平面A1EF.因此EFBC.(2)取BC中點G,連接EG,GF,則EGFA1是平行四邊形.由于A1E平面ABC,故A1EEG,所以平行四邊形EGFA1為矩形.由(1)得BC平面EGFA1,則平面A1BC平面EGFA1,所以EF在平面A1BC上的射影在直線A1G上.連接A1G交EF于O,則EOG是直線EF與平面A1BC所成的角(或其補角),不妨設(shè)AC=4,則在RtA1EG中,A1E=2,EG=.由于O為A1G的中點,故EO=OG=,所以cosEOG=.因此,直線EF與平面A1BC所成角的余弦值是.解法二:(1)

36、證明:連接A1E,因為A1A=A1C,E是AC的中點,所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC,A1E平面A1ACC1,平面A1ACC1平面ABC=AC,3312AG1522222EOOGEGEO OG3535所以,A1E平面ABC.如圖,以點E為原點,分別以射線EC,EA1為y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標系E-xyz.不妨設(shè)AC=4,則A1(0,0,2),B(,1,0),B1(,3,2),F,C(0,2,0).因此,=,=(-,1,0).由=0得EFBC.(2)設(shè)直線EF與平面A1BC所成角為.由(1)可得=(-,1,0),=(0,2,-2).33333 3,2 322EF3 3,2

37、 322BC3EFBCBC31AC3設(shè)平面A1BC的法向量為n=(x,y,z).由得取n=(1,1),故sin =|cos|=.因此,直線EF與平面A1BC所成的角的余弦值為.評析評析本題主要考查面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)、線面角的求解、空間向量的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識,在建立空間直角坐標系之前,應(yīng)有必要的證明過程,保證從E引發(fā)的三條直線兩兩垂直.在利用直接法求線面角時,一定先“找角”,再“求角”.1BC0,A0,nC n30,30.xyyz3EF|EF|EF| |nn45352.(2018天津,17,13分)如圖,ADBC且AD=2BC,ADCD,EGAD且EG=AD,CDFG且CD=2FG,D

38、G平面ABCD,DA=DC=DG=2.(1)若M為CF的中點,N為EG的中點,求證:MN平面CDE;(2)求二面角E-BC-F的正弦值;(3)若點P在線段DG上,且直線BP與平面ADGE所成的角為60,求線段DP的長. 解析解析本小題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.依題意,可以建立以D為原點,分別以,的方向為x軸,y軸,z軸的正方向的空間直角坐標系(如圖),可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2

39、),M,N(1,0,2).(1)證明:依題意得=(0,2,0),=(2,0,2).設(shè)n0=(x0,y0,z0)為平面CDE的法向量,則即不妨令z0=-1,可得n0=(1,0,-1).又=,可得n0=0,又因為直線MN 平面CDE,所以MN平面CDE.DADCDG30,12DCDE00DC0,DE0,nn0002y0,2x2z0,MN31,12MN(2)依題意,可得=(-1,0,0),=(1,-2,2),=(0,-1,2).設(shè)n=(x1,y1,z1)為平面BCE的法向量,則即不妨令z1=1,可得n=(0,1,1).設(shè)m=(x2,y2,z2)為平面BCF的法向量,則即BCBECFBC0,BE0,n

40、n1111x0,x2y2z0,BC0,CF0,mm222x0,y2z0,不妨令z2=1,可得m=(0,2,1).因此有cos=,于是sin=.所以,二面角E-BC-F的正弦值為.(3)設(shè)線段DP的長為h(h0,2),則點P的坐標為(0,0,h),可得=(-1,-2,h).易知,=(0,2,0)為平面ADGE的一個法向量,故|cos|=,由題意,可得=sin 60=,解得h=0,2.所以,線段DP的長為.方法歸納方法歸納利用空間向量解決立體幾何問題的一般步驟(1)審清題意并建系,利用條件分析問題,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系;(2)確定相關(guān)點的坐標,結(jié)合建系過程與圖形,準確地寫出相關(guān)點的坐標;(3)

41、確定直線的方向向量和平面的法向量,利用點的坐標求出相關(guān)直線的方向向量和平面的法|m nm n3 101010101010BPDCBPDC|BP DCBP DC225h 225h 323333向量,若已知某直線垂直某平面,可直接取該直線的方向向量為該平面的法向量;(4)轉(zhuǎn)化為向量運算,將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系,空間角轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題去論證、求解; (5)問題還原,結(jié)合條件與圖形,作出結(jié)論(注意角的范圍).3.(2017江蘇,22,10分)如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AA1平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,BAD=120.(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余

42、弦值;(2)求二面角B-A1D-A的正弦值. 3解析解析本小題主要考查空間向量、異面直線所成角和二面角等基礎(chǔ)知識,考查運用空間向量解決問題的能力.在平面ABCD內(nèi),過點A作AEAD,交BC于點E.因為AA1平面ABCD,所以AA1AE,AA1AD.如圖,以,為正交基底建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz.因為AB=AD=2,AA1=,BAD=120, AEAD1AA3所以A(0,0,0),B(,-1,0),D(0,2,0),E(,0,0),A1(0,0,),C1(,1,).(1)=(,-1,-),=(,1,),則cos=-,因此異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為.(2)平面A1DA的一個法向量為=

43、(,0,0).設(shè)m=(x,y,z)為平面BA1D的法向量,又=(,-1,-),=(-,3,0),則即333331AB331AC331AB1AC1111|AB ACABAC( 3, 1,3) ( 3,1, 3)7 1717AE31AB33BD31A0,BD0,mBm330,330.xyzxy不妨取x=3,則y=,z=2,所以m=(3,2)為平面BA1D的一個法向量,從而cos=.設(shè)二面角B-A1D-A的大小為,則|cos |=.因為0,所以sin =.因此二面角B-A1D-A的正弦值為.33AEAE|AE|mm( 3,0,0) (3, 3,2)34343421 cos 74744.(2017天津

44、,17,13分)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA底面ABC,BAC=90.點D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點,M是線段AD的中點,PA=AC=4,AB=2.(1)求證:MN平面BDE;(2)求二面角C-EM-N的正弦值;(3)已知點H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為,求線段AH的長. 721解析解析本小題主要考查直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角等基礎(chǔ)知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.如圖,以A為原點,分別以,方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系.依題意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0

45、,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).(1)證明:=(0,2,0),=(2,0,-2).設(shè)n=(x,y,z)為平面BDE的法向量,則即不妨設(shè)z=1,可得n=(1,0,1).又=(1,2,-1),可得n=0.ABACAPDEDBDE0,DB0,nn20,220.yxzMNMN因為MN 平面BDE,所以MN平面BDE.(2)易知n1=(1,0,0)為平面CEM的一個法向量.設(shè)n2=(x,y,z)為平面EMN的法向量,則因為=(0,-2,-1),=(1,2,-1),所以不妨設(shè)y=1,可得n2=(-4,1,-2).因此有cos=-,于是s

46、in=.所以,二面角C-EM-N的正弦值為.(3)依題意,設(shè)AH=h(0h4),則H(0,0,h),進而可得=(-1,-2,h),=(-2,2,2).由已知,得|cos|=,整理得10h2-21h+8=0,解得h=或h=.所以,線段AH的長為或.22EM0,MN0.nnEMMN20,20.yzxyz1212|n nnn4211052110521NHBENHBE|NH BENHBE2|22|52 3hh72185128512方法總結(jié)方法總結(jié)利用空間向量法證明線面位置關(guān)系與計算空間角的步驟:(1)根據(jù)題目中的條件,充分利用垂直關(guān)系,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系,盡量使相關(guān)點在坐標軸上,求出相關(guān)點的坐標

47、;(2)求出相關(guān)直線的方向向量及相關(guān)平面的法向量,根據(jù)題目的要求,選擇適當(dāng)?shù)墓?將相關(guān)的坐標代入進行求解或證明;(3)檢驗,得出最后結(jié)論.C C組組 教師專用題組教師專用題組考點一空間角與距離考點一空間角與距離1.(2018浙江,8,4分)已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形,側(cè)棱長均相等,E是線段AB上的點(不含端點).設(shè)SE與BC所成的角為1,SE與平面ABCD所成的角為2,二面角S-AB-C的平面角為3,則()A.123 B.321C.132 D.231 答案答案 D本小題考查正四棱錐的性質(zhì),異面直線所成的角,直線與平面所成的角,二面角的概念、作法以及三角函數(shù)值的大小比較.由題意知該四

48、棱錐為正四棱錐,設(shè)AB,AD,BC的中點分別為P,M,N.連接MN,過點E作直線MN的垂線交MN于點Q.設(shè)O為S在底面ABCD內(nèi)的射影,連接SO,OP,OE,SP,SQ,則SEQ=1,SEO=2,SPO=3,tan 2=,tan 3=,OPOE,tan 3tan 2.又EQMN,EQSO,MNSO=O,MN,SO平面SOQ,EQ平面SOQ,又SQ平面SOQ,EQSQ.tan 1=,SQSO,EQ=OP,tan 1tan 3.故有tan 1tan 3tan 2.由圖可知1,2,3,132,故選D.OSOEOSOPSQEQ0,2思路分析思路分析(1)判斷四棱錐的形狀,作出高線.(2)作出異面直線S

49、E與BC所成的角,直線SE與平面ABCD所成的角,二面角S-AB-C的平面角.(3)根據(jù)公共邊找等量關(guān)系,選擇求三個角的正弦值、余弦值還是正切值.(4)比較所求三角函數(shù)值的大小,得三個角的大小關(guān)系.2.(2014課標,11,5分)直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90,M,N分別是A1B1,A1C1的中點,BC=CA=CC1,則BM與AN所成角的余弦值為()A. B. C. D. 11025301022答案答案 C解法一:取BC的中點Q,連接QN,AQ,易知BMQN,則ANQ或其補角即為所求,設(shè)BC=CA=CC1=2,則AQ=,AN=,QN=,cosANQ=,故選C.5562222ANN

50、QAQAN NQ5652 5662 303010解法二:以C1為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,設(shè)BC=CA=CC1=2,則A(2,0,2),N(1,0,0),M(1,1,0),B(0,2,2),=(-1,0,-2),=(1,-1,-2),cos=,故選C.ANBMANBM|AN BMANBM1456 33030103.(2015四川,14,5分)如圖,四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,它們所在的平面互相垂直,動點M在線段PQ上,E,F分別為AB,BC的中點.設(shè)異面直線EM與AF所成的角為,則cos 的最大值為 . 答案答案 25解析解析如圖,建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,設(shè)AB=2

51、,QM=m(0m2),則F(2,1,0),E(1,0,0),M(0,m,2)(0m2).=(2,1,0),=(1,-m,-2),cos =|cos|=.設(shè)y=,則y=AFMEAFME| |AF MEAFME2255mm2|2|525mm22(2)525mm22222(2)(525)(2)10(525)mmmmm222(2)(1050)(2) 10 (525)mmmmm=.當(dāng)0m2時,y0,y=在(0,2)上單調(diào)遞減.當(dāng)m=0時,y取最大值, 此時cos 取最大值,(cos )max=.22(2)(5020 )(525)mmm22(2)525mm2|02|5 025254.(2016山東,17,

52、12分)在如圖所示的圓臺中,AC是下底面圓O的直徑,EF是上底面圓O的直徑,FB是圓臺的一條母線.(1)已知G,H分別為EC,FB的中點.求證:GH平面ABC;(2)已知EF=FB=AC=2,AB=BC.求二面角F-BC-A的余弦值. 123解析解析(1)證明:取FC的中點I,連接GI,HI.在CEF中,因為點G是CE的中點,所以GIEF.又EFOB,所以GIOB.在CFB中,因為H是FB的中點,所以HIBC.又HIGI=I,所以平面GHI平面ABC.因為GH平面GHI,所以GH平面ABC.(2)解法一:連接OO,則OO平面ABC.又AB=BC,且AC是圓O的直徑,所以BOAC.以O(shè)為坐標原點

53、,建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz.由題意得B(0,2,0),C(-2,0,0),所以=(-2,-2,0),過點F作FM垂直O(jiān)B于點M. 所以FM=3,可得F(0,3).故=(0,-,3).設(shè)m=(x,y,z)是平面BCF的法向量.33BC3322FBBM3BF3由可得進而可得平面BCF的一個法向量m=.因為平面ABC的一個法向量n=(0,0,1),所以cos=.又易知二面角F-BC-A為銳二面角,所以二面角F-BC-A的余弦值為.解法二:連接OO.過點F作FM垂直O(jiān)B于點M.BC0,BF0,mm2 32 30,330.xyyz31,1,3| |m nmn7777則有FMOO.又OO平面

54、ABC,所以FM平面ABC.可得FM=3.過點M作MN垂直BC于點N,連接FN.可得FNBC,從而FNM為二面角F-BC-A的平面角.又AB=BC,AC是圓O的直徑,所以MN=BMsin 45=. 從而FN=,可得cosFNM=.所以二面角F-BC-A的余弦值為.22FBBM6242277775.(2015重慶,19,13分)如圖,三棱錐P-ABC中,PC平面ABC,PC=3,ACB=.D,E分別為線段AB,BC上的點,且CD=DE=,CE=2EB=2.(1)證明:DE平面PCD;(2)求二面角A-PD-C的余弦值. 22解析解析(1)證明:由PC平面ABC,DE平面ABC,得PCDE.由CE

55、=2,CD=DE=得CDE為等腰直角三角形,故CDDE.由PCCD=C,DE垂直于平面PCD內(nèi)兩條相交直線,故DE平面PCD.(2)由(1)知,CDE為等腰直角三角形,DCE=.如圖,過D作DF垂直CE于F,易知DF=FC=FE=1,又已知EB=1,故FB=2.由ACB=得DFAC,=,故AC=DF=.242DFACFBBC233232以C為坐標原點,分別以,的方向為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系,則C(0,0,0),P(0,0,3),A,E(0,2,0),D(1,1,0),=(1,-1,0),=(-1,-1,3),=.設(shè)平面PAD的法向量為n1=(x1,y1,z1),由n1=0,

56、n1=0,得故可取n1=(2,1,1).由(1)可知DE平面PCD,故平面PCD的法向量n2可取為,即n2=(1,-1,0).從而法向量n1,n2的夾角的余弦值為cos=, 故所求二面角A-PD-C的余弦值為.CACBCP3,0,02EDDPDA1, 1,02DPDA1111130,10,2xyzxyED1212| |n nnn36366.(2015陜西,18,12分)如圖1,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD=,AB=BC=1,AD=2,E是AD的中點,O是AC與BE的交點.將ABE沿BE折起到A1BE的位置,如圖2.(1)證明:CD平面A1OC; (2)若平面A1BE平面BCDE,求平

57、面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值.2解析解析(1)證明:在題圖1中,因為AB=BC=1,AD=2,E是AD的中點,BAD=,所以BEAC.即在題圖2中,BEOA1,BEOC,從而BE平面A1OC,又CDBE,所以CD平面A1OC.(2)因為平面A1BE平面BCDE,又由(1)知,BEOA1,BEOC,所以A1OC為二面角A1-BE-C的平面角,所以A1OC=.如圖,以O(shè)為原點,建立空間直角坐標系,227.(2015福建,17,13分)如圖,在幾何體ABCDE中,四邊形ABCD是矩形,AB平面BEC,BEEC,AB=BE=EC=2,G,F分別是線段BE,DC的中點.(1)求證:GF平面ADE

58、;(2)求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值. 解析(1)證法一:如圖,取AE的中點H,連接HG,HD,又G是BE的中點,所以GHAB,且GH=AB.又F是CD的中點,所以DF=CD.由四邊形ABCD是矩形得,ABCD,AB=CD, 所以GHDF,且GH=DF,從而四邊形HGFD是平行四邊形,所以GFDH.又DH平面ADE,GF 平面ADE,所以GF平面ADE.證法二:如圖,取AB的中點M,連接MG,MF.1212又G是BE的中點,可知GMAE.又AE平面ADE,GM 平面ADE,所以GM平面ADE.在矩形ABCD中,由M,F分別是AB,CD的中點得MFAD.又AD平面ADE,MF 平

59、面ADE,所以MF平面ADE.又因為GMMF=M,GM平面GMF,MF平面GMF, 所以平面GMF平面ADE.因為GF平面GMF,所以GF平面ADE.(2)如圖,在平面BEC內(nèi),過B點作BQEC.因為BECE,所以BQBE.又因為AB平面BEC,所以ABBE,ABBQ. 以B為原點,分別以,的方向為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系,則A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1).因為AB平面BEC,所以=(0,0,2)為平面BEC的一個法向量.設(shè)n=(x,y,z)為平面AEF的法向量.又=(2,0,-2),=(2,2,-1),由得BEBQBABAAEAFAE

60、0,AF0,nn220,220,xzxyz取z=2,得n=(2,-1,2).從而cos=,所以平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值為.評析評析本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.BABA| |BA|nn43 22323考點二空間向量及其應(yīng)用考點二空間向量及其應(yīng)用1.(2016天津,17,13分)如圖,正方形ABCD的中心為O,四邊形OBEF為矩形,平面OBEF平面ABCD,點G為AB的中點,AB=BE=2.(1)求證:EG平面ADF;(2)求二面角O-EF-C的正弦值;(3)