講座——數(shù)學(xué)思想應(yīng)用2011(國培)

1、講講 座座數(shù)學(xué)思想應(yīng)用數(shù)學(xué)思想應(yīng)用 張 濤講講 座座(一一)遞推思想應(yīng)用遞推思想應(yīng)用 張 濤 一、數(shù)線段、三角形、一、數(shù)線段、三角形、 角、交點、部分角、交點、部分 1數(shù)線段數(shù)線段 直線上依次有 個點，問最多能構(gòu)成多少條線段？ 解1： 解2：n2) 1(123)3()2() 1(nnnnn2) 1() 1(321nnn 2數(shù)三角形數(shù)三角形 直線上依次有 個點，直線外有1個點，連接這些點，問最多能構(gòu)成多少個三角形？ 解：n2) 1() 1(321nnn 3數(shù)角數(shù)角 人教版數(shù)學(xué)七年級上冊第四章 觀察：從同一定點出發(fā)的 條射線，問它們最多能構(gòu)成多少個角？ 解：138Pn2) 1() 1(321nnn

2、 4數(shù)交點數(shù)交點 人教版人教版數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)七年級上冊第四章七年級上冊第四章 拓廣探索：平面上拓廣探索：平面上2條直線相交，有條直線相交，有1個交個交點，點，3條直線相交，最多有多少個交點？條直線相交，最多有多少個交點？4條呢？條呢？ 條呢？條呢？ 解：解： 134Pn2) 1() 1(321nnn 5數(shù)部分?jǐn)?shù)部分 （1）直線上 個點最多可以把直線分成幾部分？ 解： 所以nnnaaaannn121021nan1 （2）人教版數(shù)學(xué)八年級上冊第十四章 拓廣探索：平面上 條直線最多可以把平面分成幾部分？ 解： 108Pn11nnnabb12211nnnnnaabab12100nnaaaab2) 1(143

3、211nnn （3）空間中 張平面最多可以把空間分成幾部分？ 解： n11nnnbcc12211nnnnnbbcbc122100nnbbbbbc)1(3211 )3211 ()211 () 11 (11n)1() 1(2)2(3)3()3(3)2(2) 1(11nnnnnnnnn) 1(321 )1(321 12222nnnn6) 12() 1(2) 1(12nnnnnn6)5(12nn 二、線段染色問題二、線段染色問題 1問題的原型與問題的提出問題的原型與問題的提出 題目題目1假設(shè)世界上任何兩個人要么互相認(rèn)識，要么互相不認(rèn)識，則世界上任何6個人中必有3人互相認(rèn)識或必有3人互相不認(rèn)識 題目題目

4、2世界上任何6個人在一起，每兩人都用左手或右手握一次手，證明至少有3人互相用左手握了手或者互相用右手握了手 題目題目3設(shè)有6棵樹，任意3棵不共線，任意兩棵樹之間用白線或黑線連接，證明無論怎樣連，總存在同色的三角形 題目題目4在6個同學(xué)中，任意兩個同學(xué)都通一次電話，在他們的通話中僅討論所規(guī)定的兩個問題中的一個問題，證明至少有3個同學(xué)在通話中討論了同一個問題 以上四個題目，本質(zhì)上是一個題目 問題：問題：平面上有6個點，任意三點不共線，將其任意2點用線段連接現(xiàn)用兩種顏色給每條線段染色，證明：無論怎樣染，總有同色的三角形 122) 16( 2問題的推廣問題的推廣 （1）平面上有17個點，任意三點不共線

5、，將其任意兩點用線段連接現(xiàn)用3種顏色給每條線段染色，證明：無論怎樣染，總有同色的三角形 （2）平面上有66個點，任意三點不共線，將其任意兩點用線段連接現(xiàn)用4種顏色給每條線段染色，證明：無論怎樣染，總有同色的三角形 （3）153) 117(1164) 166( 3遞推公式遞推公式 將顏色種數(shù)記為 ，平面點數(shù)記為 ，即 平面上至少有 個點，任意三點不共線，將其任意兩點用線段連接，用 種顏色給每條線段染色，無論怎樣染，總有同色的三角形求 找規(guī)律 猜想：猜想：nnananna31a2) 1(2612aa2) 1( 31723aa2) 1(46634aa2) 1)(1(1nnana 4通項公式通項公式

6、記 ，由 得 ， 且 則則 ， 1nnab1) 1(1nnbnb213111 ab! 1! 1! 0! 11b! 2! 2! 1! 2! 0! 21)! 1! 1! 0! 1(21212 bb! 3! 3! 2! 3! 1! 3! 0! 31)! 2! 2! 1! 2! 0! 2(31323 bb1) 1)(1(11nnana 其中 故 ，或或采用收尾法時 （收尾法） ! 1! 0!nnnnbnnennnenkeenknnnnknk!)!( !)!1( !1!0010nnbennn!enbnenbann!1 5 的計算的計算 6 的奇偶性，如的奇偶性，如 的奇偶性的奇偶性 7 的奇偶性的應(yīng)用的

7、奇偶性的應(yīng)用 na na na!100e 三、項鏈染色問題三、項鏈染色問題 從一道競賽題說起：從一道競賽題說起：抽象地說就是：中間有1塊區(qū)域，周圍有5塊區(qū)域圍成一圈，這5塊區(qū)域兩兩鄰接而且都和中間的區(qū)域鄰接現(xiàn)有4種顏色的盆景花，要求相鄰的花不同色，問有多少種不同的擺法？ 這個問題可以抽象成用3種顏色給一條5顆珠子的項鏈染色，要求相鄰的珠子不同色，問有多少種不同的染法？（如下圖） 問題：問題：用 種顏色給一條 個珠子的項鏈染色，要求相鄰的珠子不同色，問有多少種不同的染法？kn 討論一、討論一、 的情況的情況 1假設(shè)項鏈?zhǔn)菞l形的顯然，當(dāng) 時有1種染法，當(dāng) 時不存在滿足要求的染法 2假設(shè)項鏈?zhǔn)黔h(huán)形的

8、顯然，當(dāng) 時有1種染法，當(dāng) 時不存在滿足要求的染法 1k1n1n1n1n 討論二、討論二、 的情況的情況 1假設(shè)項鏈?zhǔn)菞l形的 由于相鄰的珠子不能同色，所以它們的顏色必須相間，所以滿足要求的染法有2種 2假設(shè)項鏈?zhǔn)黔h(huán)形的 當(dāng) 時，顯然有2種染法 當(dāng) 時，由于相鄰的珠子不能同色，所以它們的顏色必須相間 當(dāng) 為偶數(shù)時，有2種染法 當(dāng) 為大于1的奇數(shù)時，滿足要求的染法不存在 2k1n1nnn 討論三、討論三、 的情況的情況 1假設(shè)項鏈?zhǔn)菞l形的 （）通過具體試染可得 ， ， ， ， 3k31a62a123a244a485a （）猜測遞推公式， 及 （3）通項公式為 nnaa2131a123nna1112

9、2123222nnnnnaaaa 2假設(shè)項鏈?zhǔn)黔h(huán)形的 當(dāng) 時，滿足要求的染法當(dāng)且僅當(dāng)是 中第 個與第個不同色的染法記 中第 個與第個不同色的染法的種數(shù)為 （1）具體試染得 1nnananbnn62b63b184b305b （2）遞推公式 或 或 還可得 1123nnnbb212nnnbbbnnnabb11nnnbba （3）通項公式為 證明：通過遞推公式 用初等方法求通項 記 （ ），則 ，因而 從而 2) 1(2nnnb1123nnnbb1111222) 12(23nnnnnnbb)2(221111nnnnnnbbbnnnbc21n1nncc2) 1() 1(22nnncc2) 1(2nnn

10、b 討論四、討論四、 的情況的情況 1假設(shè)項鏈?zhǔn)菞l形的假設(shè)項鏈?zhǔn)菞l形的 4k41a342a1343334nna 2假設(shè)項鏈?zhǔn)黔h(huán)形的 （1）同討論三類似可知 ， （2）遞推公式 或 （3）通項公式為 01b122b1134nnnbb1132nnnbbb3) 1(3nnnb 討論五、對討論五、對 取任意值的情況取任意值的情況 1對條形項鏈有 2對環(huán)形項鏈有 k1) 1(nnkka) 1() 1() 1(kkbnnn 原題的解答： 當(dāng)k=3,n=5時，x=30 所以共有 430=120 種不同的擺法。 四、費(fèi)波拿奇數(shù)列四、費(fèi)波拿奇數(shù)列 問題的原型問題的原型：如果一對小兔子（一公一母）一個月長大，以后

11、每個月生一對小兔子，假設(shè)所有的兔子都不死，問 個月后共有多少對兔子？ 很多現(xiàn)實中的問題都是這一模型，如樹枝分叉、樹葉、病菌、股票等 n 遞推公式：遞推公式：記第 個月的兔子對數(shù)為 ，由于第 個月的每對兔子都生1對小兔子，而且第 個月的兔子都沒死，所以第 個月的兔子對數(shù)就是第 個月的兔子對數(shù)加上第 個月的兔子對數(shù)，即 或 其中 ， 簡單計算可得數(shù)列的前幾項為： nna2nn1n1n2n21nnnaaa021nnnaaa11a12a3n,89,55,34,21,13, 8 , 5 , 3 , 2 , 1 , 1 通項公式通項公式：（用母函數(shù)法求） 設(shè) 則 -得 ，從而 由冪級數(shù)展開的唯一性得 )(

12、xf12112321nnnnnnxaxaxaxaxaa)(xxf1133221nnnnxaxaxaxaxa)(2xfx1433221nnxaxaxaxa1)()1 (12axfxx)251)(251(111)(2xxxxxf111125125151nnnnxxnnna25125151 五、天平砝碼的重量設(shè)計五、天平砝碼的重量設(shè)計 問題的提出問題的提出 如何設(shè)計天平的砝碼重量才最經(jīng)濟(jì)？ 下面分兩種情況來討論只允許在天平的一端放砝碼和允許在天平的兩端放砝碼 1只允許在天平的一端放砝碼只允許在天平的一端放砝碼 砝碼的重量應(yīng)該依次為1，2，4，8，16，也就是 ， ， ， ， ， 它們的二進(jìn)制表示為

13、， ， ， ， ， 根據(jù)二進(jìn)制數(shù)的知識可知用這樣 個砝碼就可以稱出 的每個單位的重量（ ） 從以上討論可知這最經(jīng)濟(jì)如拆項鏈02122232422) 1 (2)10(2)100(2)1000(2)10000(2)00100(n12 n11222221210nn 拆項鏈問題拆項鏈問題 問題的原型問題的原型 漢森太太走進(jìn)海邊的一家旅館，要租用一個房間，租期為一周這家旅館的房費(fèi)每天25美元（美金），而且要求每天交現(xiàn)金漢森太太沒有帶現(xiàn)金，只好準(zhǔn)備把一根金項鏈作為現(xiàn)金支付這根金項鏈共7節(jié)，每節(jié)都值25美元她對旅館經(jīng)理說明：“我馬上去找珠寶匠把項鏈拆開，每天給你一節(jié)，等到周末我的現(xiàn)金匯到再把項鏈贖回”經(jīng)理同

14、意了但是珠寶匠是以切割和以后重新連接項鏈的節(jié)數(shù)來計算工錢的那么，以什么方式斷開項鏈能少花這筆費(fèi)用而又能做到每天用一節(jié)項鏈來付房費(fèi)呢？ 問題的解答問題的解答 只要斷開第3節(jié)即可 這是因為，當(dāng)斷開第3節(jié)后，項鏈被分成了3段，它們分別是1節(jié)、2節(jié)和4節(jié)第一天付1節(jié)，第二天用2節(jié)去換回1節(jié)，第三天再付1節(jié)，第四天用4節(jié)去換回那3節(jié)，第五天再付1節(jié)，第六天用2節(jié)換回1節(jié)，第七天再付1節(jié)顯然這是斷開項鏈的最佳方法 解答的數(shù)學(xué)原理解答的數(shù)學(xué)原理 將1，2，4用二進(jìn)位制表示為 ， ， 顯然這三個數(shù)之和可以表示出任何一個不超過三位的二進(jìn)位數(shù) ， ， ， ， ， ， 即1，2，3，4，5，6，72) 1 (2)1

15、0(2)100(2) 1 (2)10(2)11(2)100(2)101(2)110(2)111( 2允許在天平的兩端放砝碼允許在天平的兩端放砝碼 砝碼的重量應(yīng)該依次為 1，3，9，27，81，也就是 ， ， ， ， ， 利用這樣設(shè)計的 個砝碼 ， ， ， ， ， 就可以稱出1 的每個單位的重量 （ ）， 03132333430313233313nn213 n21333331210nn 例如，（奧賽題）要用天平稱出140克的重量，應(yīng)設(shè)計4個砝碼，重量分別為1克、3克、9克、27克具體稱法自試 如此設(shè)計10個砝碼可稱出129524的每個 單 位 的 重 量 ， 2 0 個 砝 碼 可 稱 出117

16、43392200的每個單位的重量 六六、世界末日問題、世界末日問題 印度有一個古老的傳說：“梵天（印度教的主神）創(chuàng)造世界的時候，在黃銅板上插上了三根寶石針，在其中的一根針上從下到上放了由大到小的64片金片這就是所謂的梵塔不論白天黑夜，都有一個值班的僧侶把這些金片在三根針上移來移去，移動的法則是：一次只能移一片，要求不管在哪根針上，小片永遠(yuǎn)在大片的上面當(dāng)所有的64片都從梵天創(chuàng)造世界時所放的那根針上移到另一根針上時，世界就將在一聲霹靂聲中消滅，梵塔、廟宇和眾生都將同歸于盡” 1問題的提出問題的提出 將上述的64改成一般的 ，全部移到另一根上最少需要 次，求 2 的遞推公式的遞推公式 顯然 ， 3

17、的通項公式的通項公式 由 得 所以 ，從而nnana11a121kkaa) 1(2) 1(2) 1(22211121aaaaakkkkknnnaa2) 1(211112 nnanana121kkaa 4世界末日問題的數(shù)字答案世界末日問題的數(shù)字答案 5世界末日問題的時間答案世界末日問題的時間答案 假如僧侶們每一秒鐘移動一片金片，日夜不停，歲歲如此，全部移完大約需要58萬億年！太陽系的壽命不會超過200億年 6象棋發(fā)明人的報酬問題象棋發(fā)明人的報酬問題 這么多的麥子需要全世界生產(chǎn)2000年！ 37095516151844674407126464a370955161518446744071222221

18、646332 自行研討自行研討稱球問題稱球問題 一、所給工具為帶有砝碼的天平秤 設(shè)有 堆球，其中有一堆每個的重量為 ，其余 堆每個重量為 ，問最少稱幾次可以找出每個重量為 的那一堆？ 答：只需稱一次。方法是：先給每堆球編號： ，再從第 堆球中取 個球，共得到 個球，稱出它們的總重量 ，則每個重量為 的那一堆的編號為： na1nban, 2 , 1kk2) 1( nnca)()2) 1(babnnc 二、所給工具為沒有砝碼的天平秤 設(shè)有 個球，其中只有 個為次品（重量不一樣）問最少稱幾次可以找出那個次品球？ 答：（1）若已知次品球比正品球重 ，若 ，則最多用 次就可找出次品球 （2）若不知道正品

19、球與次品球的輕重關(guān)系（假設(shè)有正品球作參考） 設(shè) 次可以從最多 個球中稱出次品球，則 n1kkn331knnnnnnb322512515122講講 座座(二二)數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用 勾股定理的應(yīng)用勾股定理的應(yīng)用 張 濤 一、12 n22)1(1) 1(1nnnnn1二、黃金分割點二、黃金分割點 1 黃金分割點的計算 設(shè)線段 的黃金分割點為 ，則 即 解得 即 axaxxxa022aaxxaaaax215242221211214521522ax 2 黃金分割點的作圖法 設(shè)線段 的長為 ，過 作 的垂線 使 的長為 ，連 。以 為心過 畫圓交 于 ，以 為心過 畫圓交 于 ，則 就是 的

20、黃金分割點，即 ABaBABBCBC2aACCBACDADABEEAB215 ABAE 3 證明所以BCBCABCBACCDACADAE22ABaaaaaaaa2152152252452)2(222215 ABAE三、正十邊形三、正十邊形 1黃金三角形（頂角為 的等腰三角形）作一個頂角為 腰長為 的等腰三角形并作出其一個底角的角平分線，設(shè)這個三角形的底長為 。則由相似三角形的對應(yīng)邊成比例 可得 ，即 ，解之得 所以 36361xxxx11012 xx215 x415218sinx 2正十邊形的邊長 正十邊形的每個圓心角為 ， 其半角為 。設(shè)圓的半徑為 ， 則正十邊形的邊長為3610360182

21、36rrrrrra2121121411214521518sin222 3正十邊形的作圖 作半徑為 的圓 的互相垂直的兩條直徑 與 ，取 的中點 ，連 。以 為心過 畫弧交 于 ，以 為心過 畫弧交圓 于 ，連 ，則 就是正十邊形的一條邊 rOBDACBOEAEEOAEFAO1A1AA1AAF 4證明 EOEOAOEOAEEFAEAFAA221arrrr2152)2(22四、正五邊形四、正五邊形 1正五邊形的邊長 正五邊形的每個圓心角為 ，其半角為 。設(shè)圓的半徑為 ，則正五邊形的邊長為 。 而 從而 72536036272r36sin2ra 521041)415(1415218sin118sin

22、236sin22rrrra22222212111)215(145261521021 2正五邊形的作圖 作半徑為 的圓 的互相垂直的兩條直徑 與 ，取 的中點 ，連 。以 為心過 畫弧交 于 ，以 為心過 畫弧交圓 于 ，連 ，則 就是正五邊形的一條邊 rOBDACBOEAEEFAO1A1AA1AAFAOD 3證明 rrrAE2222)21(1)2(rrrOEAEOEEFOF21)21(121)21(12222rrrOFOAAFAA222222222121)21(1121)21(1 4中國民間近似解法 九五頂五八，八五兩邊分 ； ； ； ； 1096. 996. 988. 988. 9五、高斯等

23、分圓周五、高斯等分圓周 前3世紀(jì)，歐幾里得時代用尺規(guī)作出了正3、4、5、6、8、10、12、15邊形 1796年，19歲的高斯做出了正17邊形 1801年，高斯解決了正N邊形可用尺規(guī)作出的充要條件（括號內(nèi)都是不同的質(zhì)數(shù)）：) 12() 12)(12(222221knnnmN講講 座座(三三)類比思想應(yīng)用類比思想應(yīng)用 貝努力難題貝努力難題 張 濤貝努力家族簡介貝努力家族簡介 三代出了13位數(shù)學(xué)家 最杰出的數(shù)學(xué)家是雅各、約翰和丹尼爾 雅各對數(shù)學(xué)幾乎是無師自通，任瑞士巴塞爾大學(xué)的數(shù)學(xué)教授達(dá)18年 約翰在雅各的指導(dǎo)下研究數(shù)學(xué)，雅各去世后他即繼任瑞士巴塞爾大學(xué)的數(shù)學(xué)教授達(dá)43年之久 丹尼爾是這個家族中成

24、就最大的數(shù)學(xué)家，曾先后榮獲法蘭西科學(xué)院10次大獎 一、雅各一、雅各貝努力難題的由來貝努力難題的由來 雅各貝努力（16541705）是瑞士巴塞爾大學(xué)的數(shù)學(xué)講座教授，他曾求出了很多無窮級數(shù)的和，但對于所有正整數(shù)平方的倒數(shù)和 卻束手無策，于是他便聲稱：“假如有人能夠求出這個我直到現(xiàn)在還未求出的和，并把它通知我，我將非常感激”。22221312111n二、歐拉的天才解法二、歐拉的天才解法 歐拉（17071783）于1740年的解法 1假設(shè) 為 的 個不同的非零根，則 n,2102210nnxaxaxaan)()(212210nnnnxxxaxaxaxaa)1 ()1)(1 () 1(2121nnnnx

25、xxa)1 ()1)(1 (210nxxxa 2假設(shè) 為 的 個不同的非零根，由知 n,210) 1(242210nnnxbxbxbbn2nnnxbxbxbb242210) 1()1)(1 ()1)(1)(1)(1 (22110nnxxxxxxb)1 ()1)(1 (222222120nxxxb 3將的括號展開并比較等號兩邊關(guān)于 項的系數(shù)得 2x0122221111bbn 4考慮三角方程 的冪級數(shù)展開式 這是一個一元無限次方程， 是方程的根，即有無限個根 ， ， 將 這個根去掉，同時兩邊同除以 得 它的無限個根為 ， 0sinx0)!12() 1(! 5! 312153nxxxxnnkx 0,

26、2,n0 x0)!12() 1(! 5! 31)1(2142nxxxnn,2,n 5將、兩式分別與、兩式作類比就有和所以 )!12() 1(! 5! 31)1(2142nxxxnn)1 ()21)(1 (22222222nxxx! 311312112222222n6131211112222212nnn 6歐拉還用同樣的方法得出： 8) 12(1513111) 12(12222212nnn32) 12() 1(513111) 12() 1(221222121nnnnn90131211114444414nnn96) 12(1513111) 12(14444414nnn960) 12(1513111

27、) 12(16666616nnn三、異議三、異議 異議主要集中在、兩式分別與、兩式作類比上，因為作為有限次代數(shù)方程來說，、兩式的結(jié)論無疑是正確的，但是對于無限次方程是否有類似的結(jié)論呢？這在數(shù)學(xué)上找不到依據(jù)，因此歐拉的這個方法值得懷疑。這一異議持續(xù)了十年之久，但是歐拉深信自己的結(jié)論是正確的，并進(jìn)行數(shù)值檢驗。后來歐拉給出了這個問題的新的嚴(yán)格證明。 四、貝努力難題的解法 1將 的右端二項式展開，比較虛部與實部得所以 當(dāng) 時有nniinieenin)sin(cos)(sincos55533311sincossincossincossinnnnnnnCCCnnkkknknkCn012221212sinc

28、os) 1() 12sin(20nkknknknkknknknCCn021212022121212)(cot) 1(cot) 1(sin) 12sin( 2令 （ ）得 這說明 （ ）是方程 的 個根。 由韋達(dá)定理得 從而 由 得 故 12 nknk, 3 , 2 , 10) 12sin(n12cot2nknk, 3 , 2 , 10) 1(01212nkknknkxCn) 12(3112cot11231212nnCCnknnnk) 1(32) 112(cot12nnnknktansincsc1cot12csc1212cot222nkknnk 3對 從 到 取和得 即取極限由兩邊夾得 或 k1

29、n) 1(3212) 12(3112nnknnnnk212212) 1(32112) 12(31nnnknnnnk61212kk61212nn講講 座座(四四)拓?fù)渌枷霊?yīng)用拓?fù)渌枷霊?yīng)用 張 濤 一、一筆畫問題一、一筆畫問題 1介紹一筆畫問題 2歐拉定理： （1）能一筆畫的充要條件是奇數(shù)點至多兩個 （2）能回到出發(fā)點的一筆畫的充要條件是沒有奇數(shù)點 （3）不能回到出發(fā)點的一筆畫的充要條件是只有兩個奇數(shù)點 二、將軍飲馬問題二、將軍飲馬問題 1介紹“將軍飲馬”問題：將軍牽著馬從A地到河邊飲馬后要到同岸的B地問怎樣走最近？ 答案是：應(yīng)瞄準(zhǔn)B地關(guān)于河岸的對稱點C走到河邊D，飲完馬后徑直走到B地 2引申出光

30、線折射、照鏡子、打臺球等等 3. 拓廣探索題10： （1）從A到B應(yīng)該走線段AB （2）從A到C應(yīng)該先從A到BD的中點，再到C （3）引申：如果所給的立體為長方體時，怎樣走最近？(俄國名題蜘蛛與蒼蠅)134P 4 拓廣拓廣 （1）水杯上的螞蟻爬行路線 （2）漏斗上的螞蟻爬行路線 （3）可展曲面與不可展曲面 （4）地圖 三、結(jié)合三、結(jié)合 數(shù)學(xué)活動數(shù)學(xué)活動2介紹莫比烏斯帶介紹莫比烏斯帶 1莫比烏斯帶有幾面？莫比烏斯帶有幾面？ 2把紙條一端扭轉(zhuǎn) 粘合而成的曲面是幾面的？ 3沿莫比烏斯帶的2、3、4、5、6等分線剪開后會得到什么結(jié)果？ 4莫比烏斯帶有什么實用價值？ 5克萊茵瓶149P360 四、介紹正

31、多面體四、介紹正多面體 正多面體只有五種正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體 證明：設(shè)正多面體的每個面都是正n（n2）邊形，每個頂點在k（k2）個n邊形上， n邊形的每個內(nèi)角為 ，則 或1802nn3601802knn22knn 當(dāng)n=3時，k=3,4,5得到正四、八、二十面體； 當(dāng)n=4時，k=3得到正六面體； 當(dāng)n=5時，k=3得到正十二面體 當(dāng)n5時，無解 所以正多面體只有上述五種 五、介紹歐拉公式五、介紹歐拉公式 記多面體的頂點數(shù)為V，面數(shù)F，棱數(shù)為E，則有2EFV 1.證明：對任何m（m4）個面的多面體，記它的頂點數(shù)、面數(shù)和棱數(shù)分別為 、 和 ，把它想象成一個由m個可

32、伸縮的面圍成的，先取下一個面，把余下的圖形的開口向外拉開直到攤平在平面上，選定其中的一個面（n邊形），讓這個面的各邊收縮成一個點，就得到了m-1個面的多面體，記它的頂點數(shù)、面數(shù)和棱數(shù)分別為 、 和mVmFmE1mV1mF1mE 則有 所以 這說明 的值與多面體的頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)及形狀都無關(guān)，對正方體來說有 ，所以對任何多面體都有11nVVmm11mmFFnEEmm1mmmmmmmmmEFVnEFnVEFV)() 1() 1(111EFV2EFV2EFV 2.歐拉公式成立的條件 （1） （2）3201013EFV0321616EFV 六、皮亞諾定理能否類比六、皮亞諾定理能否類比 亞諾定理：平面

33、上任何一條簡單封閉曲線，都能把平面分成兩部分 能否類比成：三維空間中任何一張簡單封閉曲面，都能把空間分成兩部分？ 答案是不能！ 如克萊茵瓶，講講 座座(五五)變量替換思想應(yīng)用變量替換思想應(yīng)用二、三、四次方程的解法二、三、四次方程的解法 張 濤一、代數(shù)方程的化簡一、代數(shù)方程的化簡 任一代數(shù)方程 都可用平移變換 變成與其同解的缺少 次高項的方程 012211nnnnnayayayaynaxy10123221nnnnnbxbxbxbx 用待定常數(shù)法，將 代入得 展開得 合并得 令 ，即 ，即 時，即可消 去次高項。 xy0)()()(111nnnnaxaxax0)()(111nnnnaxaxnx0)

34、()()()(211xxxnaxnnn01nana1naxy1二、二三次方程的韋達(dá)定理二、二三次方程的韋達(dá)定理 （1） ， 是方程 的解 的充要條件是 （2） ， ， 是方程 的解的充要條件是1x2x0212axax221121axxaxx1x2x3x032213axaxax332121332211321axxxaxxxxxxaxxx三、二次方程三、二次方程 二次方程二次方程 （ ） 兩邊同除以 得 令 代入得 解得 ，代回得02cbxax0aa02acxabxabyx2044222aacbyaacby242aacbbx242四、三次方程四、三次方程 三次方程 用變換 轉(zhuǎn)化成等價方程 轉(zhuǎn)化后的

35、方程還是不能直接求解，考慮用兩個待定變量代替 ，設(shè) 代入得 展開整理得 兩個未知量只有一個方程，所以可增加一個條件，今要求 032213ayayay31axy03qpxxvuxx0)()(3qvupvu0)(3()(33vupuvqvu303puvpuv 這樣就變成了兩個方程 和 所以根據(jù)韋達(dá)定理可知 和 是二次方程 的兩個根，解得 由此得 最后得 qvu3327333pvu3u3v02732pqzz2742322, 1pqqz332312742pqqzu332322742pqqzv33233227422742pqqpqqx五、四次方程五、四次方程 四次方程 用變換 轉(zhuǎn)化成等價方程 轉(zhuǎn)化后的方

36、程還是不能直接求解，考慮用三個待定變量代替 ，設(shè) 代入得展開整理得 04322314ayayayay41axywvuxx024srxqxx)()(2)(2)(2222222222wvuqqwvuwuvwuvwvu0)(4)(8(222222suwwvvuwvuruvw 因為用了3個未知量代替了一個未知量，所以還可以再增加2個條件，為此設(shè) 代入得即 從而得 20)(2222222qwvuqwvu808ruvwruvw0)(4)()(2222222222222suwwvvuwvuqwvu0)(42422222222suwwvvuqq1642222222squwwvvu642222rwvu 由、及韋

37、達(dá)定理可知 ， ， 是3次方程 的3個根，記這個三次方程的3個根為 , 和 ，則 ， ， ，這時 有8種可能的組合，但由于有條件的限制，實際上只有4種組合為方程的4個根 2u2v2w06416422223rzsqzqz1z2z3z1zu2zv3zwwvux六、小結(jié)六、小結(jié) 1共同點是先把方程用平移變換消去次高項2解二次方程,是先消去一次項,再開方,將其轉(zhuǎn)化成一次方程來處理.3解三次方程時引進(jìn)了兩個輔助變量和一個二次輔助方程，這說明要解三次方程必須要先會解二次方程4解四次方程時引進(jìn)了三個輔助變量和一個三次輔助方程，這說明要解四次方程必須要先會解三次方程5這種解法是否能類比？就是說是否可以通過引進(jìn)

38、四個輔助變量和一個四次輔助方程的方法解出五次方程？ 事實上,這個類比是不可能成功的.七、韋達(dá)解三次方程七、韋達(dá)解三次方程 任意三次方程都同解于方程 ，用變換 代入得 ，展開得 即 ，或 這是關(guān)于 的二次方程，求出 ，然后求 ，再求 baxx33yyaxbyyaayya33bayyaayyyayyaya3333322233byya333336abyy3y3yyx講講 座座(六六)病例診斷病例診斷 張 濤 一、常識方面一、常識方面 問題問題1 百米賽跑（都按勻速計算），甲比乙早到5米，甲比丙早到10米，問乙比丙早到幾米？ 問題問題2：今年比去年的多百分之十，問去年比今年的少百分之幾？ 問題問題3：

39、爺孫倆賣瓜，三塊錢一個，五塊錢兩個。今有甲、乙、丙三人合買了兩個瓜，每人給了兩塊錢。三人走后，賣瓜老爺爺意識到共收了六塊錢，多收了這三人一塊錢，便打發(fā)小孫子送還多收的那一塊錢。小孫子在追趕的路上渴了，花四毛錢買了一根冰棍兒吃了。追上三人后把剩下的六毛錢還給每人兩毛錢。有好事者見了問道：你們?nèi)讼喈?dāng)于每人交了一塊八毛錢，共五塊四毛錢，就算加上小孩兒吃的四毛錢的冰棍錢，也只有五塊八毛錢，那還差兩毛錢哪里去了？ 二、二、 運(yùn)算方面運(yùn)算方面 問題問題1 1=2 證明：設(shè) ，則ba 2222babbaaba)()(babbaba122bbbba 問題問題2 證明：設(shè) ，則 。則bababaccba)()(bacbbaabcbacababa22bcbabacaba22bacbabcbaa)()( 問題問題3 證明：證明： 432816219449281644921922)274()273(43274273 問題問題4 證明：設(shè) ，則 babaabc2222)()()(abccbababaabba22 問題問題5 證明：證明： 66)9)(4(3661312946)1(322 三、三、 代數(shù)方面代數(shù)方面 問題問題 設(shè)設(shè) 且且 ， ， 求求 的值。的值。 解： Rzyx,2zyx1222zyxzxyzxyzxyzxy)()(212222zyxzyx23