根軌跡法習題及答案

1、第四章 根軌跡法習題及答案4-1 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為K*G(s)H(s)=(s+1)(s+2)(s+4)試證明點s1=1+j3在根軌跡上，并求出相應的根軌跡增益K和開環(huán)增益K。解 若點s1在根軌跡上，則點s1應滿足相角條件G(s)H(s)=±(2k+1)，如圖解4-1所示。 對于s=1+j，由相角條件 *G(s1)H(s1)=0(1+j3+1)(1+j+2)(1+j+4)= 0236= 滿足相角條件，因此s1=1+j在根軌跡上。將s1代入幅值條件：G(s1)H（s1=K*1+j+1+j+21+j3+4=1K*3解出 ： K=12 ， K= 82*4-2 已知開環(huán)零、極點如圖4-22

2、所示，試繪制相應的根軌跡。解 根軌如圖解4-2所示：4-3 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試概略繪出系統(tǒng)根軌跡。 G(s)=K s(0.2s+1)(0.5s+1)K*(s+5) G(s)= s(s+2)(s+3) G(s)=K(s+1) s(2s+1)解 G(s)=K10K= s(0.2s+1)(0.5s+1)s(s+5)(s+2)系統(tǒng)有三個開環(huán)極點：p1=0,p2=2,p3=5 實軸上的根軌跡：(,5, 2,00257=a33 漸近線： =(2k+1)=±,a33 分離點：111+=0 dd+5d+2解之得：d1=0.88，d23.7863(舍去)。 與虛軸的交點：特征方程為 D

3、(s)=s+7s+10s+10k=0 32ReD(j)=72+10k=0令 3ImD(j)=+10=0= 解得k=7。 根軌跡如圖解4-3(a)所與虛軸的交點（0，±j）示。 根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡：5,3, 2,0023(5)=0a2 漸近線： =(2k+1)=±a22 分離點：用試探法可得 1111 +=dd+2d+3d+5d=0.886。根軌跡如圖解4-3(b) G(s)=K(s+1)K(s+1) =1s(2s+1)2s(s+)2根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡：(,1, 0.5,0 分離點： 111 +=dd+0.5d+1解之得：d=0.293,d=1.7

4、07。根軌跡如圖解4-3(c)所示。 4-4已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試概略繪出相應的根軌跡。K*(s+2) G(s)=(s+1+j2)(s+1j2)K*(s+20) G(s)= s(s+10+j10)(s+10j10)K*(s+2)解 G(s)= (s+1+j2)(s+1j2)根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： (,2111 分離點：+=d+1+j2d+1j2d+2解之得：d =4.23 起始角：p=180+63.43590=153.43 1由對稱性得另一起始角為 153.43。根軌跡如圖解4-4(a)所示。K*(s+20) G(s)=s(s+10+j10)(s+10j10)系統(tǒng)有三個

5、開環(huán)極點和一個開環(huán)零點。根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 20,0 起始角：=180+4590135=0°根軌跡如圖解4-4(b)所示。4- 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試概略繪出相應的根軌跡。K G(s)H(s)= s(s2+8s+20)K G(s)H(s)= s(s+1)(s+2)(s+5)K(s+2) G(s)H(s)= s(s+3)(s2+2s+2)K(s+1) G(s)H(s)= 2s(s1)(s+4s+16)K解 G(s)H(s)= 2s(s+8s+20) 實軸上的根軌跡： (,0 漸近線：0+(4+j2)+(4j2)8=a33+(2k1)=±,a33分離點： 1

6、11+=0dd+4+j2d+4j2解之得：d=2,d=3.33。與虛軸交點：D(s)=s+8s+20s+K32把s=j代入上方程，整理，令其實、虛部分別為零得：Re(D(j)=K82=0 3Im(D(j)=20=0解得： =0K=0 =±25 K=160起始角：由相角條件 p2=63，p3=63。根軌跡如圖解4-5(a)所示。K G(s)H(s)= s(s+1)(s+2)(s+5) 實軸上的根軌跡：5,2, 1,00+(5)+(2)+(1)=2a4 漸近線： =(2k+1)=±,3a444 分離點： 1111+=0 dd+1d+2d+5解之得：d1=4.06,d2=0.39

7、9,d3=1.54(舍去)； 與虛軸交點：D(s)=s4+8s3+17s2+10s+K令s=j，帶入特征方程，令實部，虛部分別為零Re(D(j)=482+2K=0 3Im(D(j)=(6+K)5=0=0解得： K=0=±1.12 K=19.7根軌跡如圖解4-5(b)所示。K(s+2) G(s)H(s)=s(s+3)(s2+2s+2)系統(tǒng)有四個開環(huán)極點、一個開環(huán)零點。根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： ,3, 2,03+(1+j1)+(1j1)(2)=1a3 漸近線： =(2k+1)=±,a33 與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為D(s)=s(s+3)(s2+2s+2)+K(s+2)

8、把s=j代入上方程，令42Re(D(j)=8+2K=03Im(D(j)=(6+K)5=0=0解得： K=0 起始角 =±1.61 K=7.03p=180°+45°90°135°25.57°=25.57° 3根軌跡如圖解4-5(c)所示。K(s+1) G(s)H(s)=2s(s1)(s+4s+16)系統(tǒng)根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡：,1, 0,11+(2+j)+(2j3)(1)2a=33 漸近線： =(2k+1)=±,a33 分離點： 11111 +=dd1d+2j23d+2+j23d+1解得：d1=2.26,d

9、2=0.49,d3、4=0.76±j2.16 (舍去) 與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為D(s)=s(s1)(s+4s+16)+K(s+1)=0把s=j代入上方程，整理，令實虛部分別為零得： 242Re(D(j)=12+K=0 3Im(D(j)=(K16)3=0=0解得： K=0 起始角： =±1.38 K=21.7=±2.66 K=37.3p=180+106.190120130.89=54.79 3由對稱性得，另一起始角為 54.79，根軌跡如圖解4-5(d)所示。4- 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，要求： K(s+z)（1）確定G(s)=2產(chǎn)生純虛根為±

10、j1的z值和K值； s(s+10)(s+20)K的閉環(huán)根軌跡圖（要求（2）概略繪出G(s)=s(s+1)(s+3.5)(s+3+j2)(s+3j2)確定根軌跡的漸近線、分離點、與虛軸交點和起始角）。解（1）閉環(huán)特征方程D(s)=s2(s+10)(s+20)+K(s+z)=s4+30s3+200s2+Ks+Kz=0有 D(j)=(200+Kz)+j(K42303)=042200+Kz=0令實虛部分別等于零即： 3K30=0把=1代入得： K=30， z=30。（2）系統(tǒng)有五個開環(huán)極點：p1=0,p2=1,p3=3.5,p4=3+j2,p5=3j2 實軸上的根軌跡：,3.5, 1,013.5+(3

11、+j2)+(3j2)=2.1a5 漸近線： (2k+1)3=±,±,a555 分離點： 11111+=0dd+1d+3.5d+3j2d+3+j2解得： d1=0.45 , d22.4 (舍去) , d3、4=3.25±j1.90 (舍去) 與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為D(s)=s(s+1)(s+3.5)(s+3+j2)(s+3j2)+K=0 把s=j代入上方程，整理，令實虛部分別為零得：42Re(j)=K+10.579.5=0 53Im(j)= 43.5+45.5=0解得：=0K=0 ，=±1.02K=71.90，=±6.52K=15546.3

12、（舍去） 起始角：根據(jù)法則七（相角條件），根軌跡的起始角為p=18075.9690135146.3=92.74 4由對稱性得，另一起始角為92.74，根軌跡如圖解4-6所示。4- 已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為K（s+2） G(s)H(s)=2 2(s+4s+9)試概略繪制系統(tǒng)根軌跡。解 根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： ,2 漸近線：22j52+j(2)=a33 =(2k+1)=±,a33 分離點：2d+2+j+2d+2j59=1d+2解之得：d=3.29 d=0.71 (舍去) 與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為D(s)=(s2+4s+9)2+K（s+2）=0把s=j代入上方程，令42R

13、e(D(j)=34+81+2K=0 3Im(D(j)=(72+K)8=0解得：=±21 K=96（2p12×90）=（2k+1） 起始角： 90解出 p1=45,p2=135根軌跡如圖解4-7所示。4- 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 KG(s)=s(s2+3s+9)試用根軌跡法確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益K值范圍。解 根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： (,0起始角： 30 1.5+j2.61.5j2.6=1a3漸近線： (2k1)+=±,a33 與虛軸交點：閉環(huán)特征方程D(s)=s(s2+s+9)+K=0把s=j代入上方程，整理，令實虛部分別為零得： 102Re(D

14、(j)=K3=0 3Im(D(j)=9=0=0解得： K=0=±3 K=27根軌跡如圖解4-8所示。從根軌跡圖可知，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K范圍為0<K<27，又K=K*，故相應的的K范圍為0<K<3。4- 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=K(2s+1) 4(s+1)2(s1)7試繪制系統(tǒng)根軌跡，并確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。解 根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 0.5,7/4 漸近線：11+7/4(0.5)1=a24 =(2k+1)=±a22 與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為D(s)=431210s+s+(2K)s+K1=0 777把s=j代入上方程，令1

15、2DjK=0Re()=17104Im(D(j)=(2K)3=077=0解得： ，K=1=±29K=7根軌跡如圖解4-9所示。由圖解4-9可知使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍為 1<K<97。 114-10單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為K(s22s+5) G(s)=(s+2)(s0.5)試繪制系統(tǒng)根軌跡，確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。解 根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 2,0.5 分離點：由1111 +=+d0.5d+2d1+j2d1j2解得： d1=0.41。與虛軸交點：D(s)=(s+2)(s0.5)+K(s2+2s+5)=0 把s=j代入上方程，令2Re(D(j)=(1+K)+5K

16、1=0 Im(D(j)=(1.52K)=0=0解得： K0.2=±1.25 K0.75=根軌跡如圖解4-10所示。由圖解4-10可知系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍為0.2<K<0.75；又K=5K， 所以系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍為1<K<3.75。4-11 試繪出下列多項式方程的根軌跡。s+2s+3s+Ks+2K=0； s+3s+(K+2)s+10K=0解 s+2s+3s+Ks+2K=0作等效開環(huán)傳遞函數(shù) G(s)=根軌跡繪制如下： *323232K(s+2)。 32s+2s+3s 實軸上的根軌跡： 2,0 漸近線：1+j2+(1j2)(2)=0a2 =(2k+1)=±

17、;a22 起始角：p=180+54.7490125.26=19.48 1根軌跡如圖解4-11(a)所示。(2) s3+3s2+(K+2)s+10K=0*作等效開環(huán)傳遞函數(shù) G(s)=根軌跡繪制如下： K(s+10)。 32s+3s+2s 實軸上的根軌跡：10,2,1,0；12(10)=3.5a2 漸近線： =(2k+1)=±a22 分離點： 解得 1111 +=dd+1d+2d+10d1=0.4344,d2=14.4752(舍),d3=1.5904( 與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為D(s)=s3+3s2+(K+2)s+10K=0 把s=j代入上方程，整理，令實虛部分別為零得：2Re(D(

18、j)=10K3=0 3Im(D(j)=(K+2)=0試根可得：=0 K=0=±1.69 6K=7根軌跡如圖解4-11(b)所示。4-12 控制系統(tǒng)的結構如圖4-23所示，試概略繪制其根軌跡。 解 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為K(s+1) G(s)=3(s+2)此系統(tǒng)為正反饋系統(tǒng)，應繪零度根軌跡。 實軸上的根軌跡：,2,1,+ 分離點：解得 d=0.5 起始角：根據(jù)相角條件， 31 =d+2d+1ii=1j=1mnj=2k得 p1=60，p2=60，p3=180。根軌跡如圖解4-12所示。4-13 設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 K(1s)G(s)= s(s+2)試繪制其根軌跡，并求出使系統(tǒng)產(chǎn)生

19、重實根和純虛根的K值。解 由開環(huán)傳遞函數(shù)的表達式知需繪制0根軌跡。 實軸上的根軌跡： 2,0, 1,+)； 分離點： 111 +=dd+2d1解得：d1=0.732 , d2=2.732將s=d1=0.732, s=d2=2.732代入幅值條件得 14Kd1=0.54, Kd2=7.46 與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為D(s)=s(s+2)+K(1s)=0把s=j代入上方程，整理，令實虛部分別為零得：2Re(D(j)=+K=0 Im(D(j)=(2K)=0=0解得： K=0=±1.41 K=2根軌跡如圖解4-13所示，復平面上的根軌跡為以開環(huán)零點為圓心，開環(huán)零點到分離點的距離為半徑的圓

20、。系統(tǒng)產(chǎn)生重實根的K為0.54，7.46，產(chǎn)生純虛根的K為2。4-14 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試繪制參數(shù)b從零變化到無窮大時的根軌跡，并寫出b=2時系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。（1）G(s)=20 (s+4)(s+b)30(s+b) s(s+10)b(s+4) s2+4s+20（2）G(s)=解 （1）做等效開環(huán)傳遞函數(shù) G(s)= 實軸上的根軌跡：(,4 分離點：111 +=d+2+j4d+2j4d+4解得：d1=0.472(舍去)，d2=8.472如圖解4-14(a)所示，根軌跡為以開環(huán)零點為圓心，開環(huán)零點到開環(huán)極點的距離為半徑的圓。 當b=2時，兩個閉環(huán)特征根為1,2=3±j

21、4.24。此時閉環(huán)傳遞函數(shù)為(s)=20 (s+3+j4.24)(s+3j4.24)（2）做等效開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)=30b s(s+40) 實軸上的根軌跡：40,0 分離點：解得：d=20根軌跡如圖解4-14(b)所示， 11+=0 dd+40當b=2時，兩個閉環(huán)特征根為1=38.44，2=1.56此時閉環(huán)傳遞函數(shù)為(s)=30(s+2) (s+1.56)(s+38.44)4-15 已知系統(tǒng)結構圖如圖4-24所示，試繪制時間常數(shù)T變化時系統(tǒng)的根軌跡，并分析參數(shù)T的變化對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。解：G(s)=100 32Ts+s+20s作等效開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)=*(s2+20s+100)s3根軌

22、跡繪制如下： 實軸上的根軌跡：(,10,10,0 分離點： 32 =dd+10解得 d=30。根據(jù)幅值條件，對應的T=0.015。 虛軸交點：閉環(huán)特征方程為D(s)=Ts3+s2+20s+100=0把s=j代入上方程，整理，令實虛部分別為零得：2Re(D(j)=100=0 3Im(D(j)=20T=0解得： =±10 T=0.2 起始角：p1=60°參數(shù)T從零到無窮大變化時的根軌跡如圖解4-15所示。從根軌跡圖可以看出，當0<T0.015時，系統(tǒng)階躍響應為單調(diào)收斂過程；0.015<T<0.2時，階躍響應為振蕩收斂過程；T>0.2時，有兩支根軌跡在s右

23、半平面，此時系統(tǒng)不穩(wěn)定。4-16 實系數(shù)特征方程A(s)=s+5s+(6+a)s+a=0要使其根全為實數(shù)，試確定參數(shù)a的范圍。解 作等效開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)=32a(s+1)a(s+1)= 32sss(+2)(+3)s+5s+6s當a>0時，需繪制180根軌跡。 實軸上的根軌跡： 3,2，1,023+1=2a31 漸近線： +k(21)=±a312 分離點：1111 +=dd+2d+3d+1解得 d=2.47分離點處的根軌跡增益可由幅值條件求得：Kd=dd+2d+3d+1=0.4147根據(jù)以上計算，可繪制出系統(tǒng)根軌跡如圖所示。由根軌跡圖解4-16(a)可以看出，當0a0.414

24、7時，多項式的根全為實數(shù)。當a<0時，需繪制0根軌跡。實軸上的根軌跡區(qū)段為：(,3，2,1， 0,)。由根軌跡圖圖解4-16(b)可以看出，當a<0時，多項式的根全為實數(shù)。因此所求參數(shù)a的范圍為0a0.4147或a<0。4-17 某單位反饋系統(tǒng)結構圖如圖4-25所示，試分別繪出控制器傳遞函數(shù)Gc(s)為 Gc1(s)=K* Gc2(s)=K*(s+3) Gc3(s)=K*(s+1)時系統(tǒng)的根軌跡，并討論比例加微分控制器Gc(s)=K*(s+zc)中，零點zc的影響。解 Gc1(s)=K*時K*系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=2 s(s+2)根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： (,

25、222=a33 漸近線： =(2k+1)=±,a33根軌跡如圖解4-17(a)所示。 Gc2(s)=K(s+3)；K(s+3)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=2，根軌跡繪制如s(s+2)下： 實軸上的根軌跡： 3,22(3)1=a22 漸近線：=(2k+1)=±a22根軌跡如圖解4-17(b)所示。 Gc3(s)=K(s+1)K(s+1)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=2。 s(s+2)根軌跡繪制如下： 實軸上的根軌跡： 2,12(1)1=a22 漸近線： =(2k+1)=±a22根軌跡如圖解4-17(c)所示。 從根軌跡圖中可以看出，比例加微分控制器Gc(s)=K(s+

26、zc)的加入使根軌跡向左移動，且當zc<p時系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，附加開環(huán)零點越靠近虛軸這種趨勢越強。4-18 某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=K 4(0.5s+1)試根據(jù)系統(tǒng)根軌跡分析系統(tǒng)穩(wěn)定性，并估算%=16.3%時的K值。解 G(s)=16K 4(s+2)根軌跡繪制如下： 實軸的根軌跡：實軸上的除點2外沒有根軌跡區(qū)段。2222=2a4 漸近線： =(2k+1)=±,±3a444 與虛軸交點：令D(j)=0，解得根軌跡與虛軸交點為±j2。根軌跡與虛軸交點對應的根軌跡增益為 K=j2+2*4=64 相應開環(huán)增益為 K=K=4根軌跡如圖解4-18所示。從根軌跡圖中可以看出，當根軌跡增益0<K*<64，開環(huán)增益0<K<4，根軌跡全在左半s平面